文档文本内容
专题 2.5 圆周角（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:19)................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:43)(cid:24)(cid:19)..................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 90(cid:46)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..........................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:34)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:19)......................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:19)......................................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:63)(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:60)(cid:19)......................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:25)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................28
知识点1 圆周角
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)
(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:87)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)
1
(cid:88)1(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79) = (cid:87)
2
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:88)2(cid:89)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79) = = (cid:87)
𝐴𝐶 𝐵𝐷⇒∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:88)3(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:43)(cid:24)(cid:79)90(cid:46)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:87)
(cid:90)(cid:36)(cid:91)(cid:79)AB(cid:45)(cid:43)(cid:44) = =90°(cid:92) =90° AB(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:87)
⇒∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ⇒3. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:94)
圆心角 圆周角
顶点在(cid:22)(cid:37) 顶点在(cid:22)(cid:36)
区别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是(cid:95)(cid:38)的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有(cid:96)(cid:29)个
联系 (cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)
知识点2 圆内接四边形
1. (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:55)(cid:76)
(cid:90)(cid:97)(cid:38)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)4(cid:98)(cid:77)(cid:71)(cid:83)(cid:78)(cid:40)(cid:38)(cid:98)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:99)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:79)(cid:99)(cid:98)(cid:22)(cid:85)(cid:86)(cid:99)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:100)
(cid:49)(cid:22)(cid:87)
2. (cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)
(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:34)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:92)
(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:105)(cid:38)(cid:98)(cid:100)(cid:24)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:48)(cid:34)(cid:24)(cid:87)
【题型1 圆周角的概念】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:91)(cid:72)(cid:107)(cid:108)(cid:25)4(cid:98)(cid:24)(cid:72)(cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)
A(cid:87)1(cid:98) B(cid:87)2(cid:98) C(cid:87)3(cid:98) D(cid:87)4(cid:98)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:79)(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:51)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)
(cid:108)(cid:111)(cid:112)(cid:79)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:45)(cid:68)(cid:120)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:119)(cid:91)(cid:122)(cid:123)(cid:10) (cid:130) (cid:131)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:79) (cid:77)(cid:71)(cid:132)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:79) (cid:25)(cid:38)(cid:51)(cid:130)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:84)(cid:79)
(cid:134)(cid:91)(cid:72)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109) (cid:130) ∠(cid:79)1(cid:135)∠23(cid:98)(cid:79) ∠2 ∠4
(cid:134)(cid:136)(cid:10)B(cid:87) ∠1 ∠3
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-1(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:91)(cid:72)(cid:79) (cid:142)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)
∠𝐵𝐴𝐶A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)D
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:76)(cid:87)(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:120)(cid:20)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:79)(cid:68)
(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:45)(cid:56)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:87)
(cid:147)(cid:148)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:55)(cid:121)(cid:122)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)A(cid:152) (cid:25)(cid:51) (cid:132)(cid:45)(cid:61)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:33)(cid:123)(cid:79)(cid:33)(cid:153) (cid:132)(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:134)(cid:120)(cid:136)(cid:150)(cid:132)(cid:131)(cid:65)(cid:20)(cid:154)(cid:92)
B(cid:152) (cid:25)(cid:51) (cid:152)∠𝐵𝐴𝐶(cid:83)(cid:132)(cid:45)𝐴(cid:61)𝐶(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:33)(cid:123)(cid:79)(cid:33)(cid:153) (cid:132)∠𝐵(cid:45)𝐴(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:134)(cid:120)(cid:136)(cid:150)(cid:132)(cid:131)(cid:65)(cid:20)(cid:154)(cid:92)
C(cid:152)∠𝐵𝐴𝐶(cid:25)(cid:77)(cid:71)𝐴𝐶(cid:155)(cid:78)𝐴𝐵(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:33)(cid:153) (cid:132)(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)∠(cid:79)𝐵(cid:134)𝐴𝐶(cid:120)(cid:136)(cid:150)(cid:132)(cid:131)(cid:65)(cid:20)(cid:154)(cid:92)
D(cid:152)∠𝐵𝐴𝐶(cid:131)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:76)(cid:79)(cid:45)(cid:22)∠(cid:23)𝐵(cid:24)𝐴𝐶(cid:79)(cid:134)(cid:120)(cid:136)(cid:150)(cid:131)(cid:65)(cid:20)(cid:154)(cid:92)
(cid:134)(cid:136)∠(cid:10)𝐵𝐴D𝐶(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)·(cid:163)(cid:72)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:100)(cid:79) (cid:61) (cid:84)(cid:31)(cid:71)
(cid:79) (cid:79) (cid:31)(cid:71) (cid:87)(cid:139)(cid:140)(cid:24)(cid:72)(cid:79)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:88) 𝐴(cid:89),𝐵,𝐶 ⊙𝑂 𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐷 ⊙𝑂
𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐹 𝐴𝐸
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)∠𝐴B𝐷𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝑂𝐸
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:79)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128) (cid:87)(cid:43)(cid:49)(cid:66)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:164)(cid:165)(cid:151)(cid:166)(cid:121)
(cid:122).
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:10) (cid:41) (cid:79)
(cid:134)(cid:136)(cid:10)B(cid:87) 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-3(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)A(cid:79)B(cid:79)C(cid:79)D(cid:79)E(cid:45) O(cid:36)(cid:25)(cid:167)(cid:98)(cid:71)(cid:79)(cid:168)(cid:91)(cid:72)(cid:135)(cid:109) (cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:113)(cid:94)(cid:45) (cid:87)
⊙(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19) 6 ACB(cid:79) BCE(cid:79) ACE(cid:79) CBD(cid:79) CED(cid:79) BDE
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:147)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)∠(cid:55)(cid:76)(cid:164)(cid:165)∠ (cid:151)(cid:166)(cid:121)∠(cid:122). ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:154)(cid:122)(cid:169)(cid:91)(cid:72)(cid:135)(cid:109)6(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:79)(cid:113)(cid:94)(cid:45) ACB(cid:79) BCE(cid:79) ACE(cid:79) CBD(cid:79) CED(cid:79) BDE.
(cid:134)(cid:111)(cid:112)(cid:142)6(cid:92) ACB(cid:79) BCE(cid:79) ACE(cid:79) CBD(cid:79) CED(cid:79) B∠DE. ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:71)(cid:170)(cid:19)(cid:115)(cid:20)∠(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)∠(cid:24)(cid:25)(cid:55)∠(cid:76)(cid:10)(cid:77)∠(cid:71)(cid:78)(cid:22)∠(cid:36)(cid:79)(cid:80)(cid:81)∠(cid:82)(cid:51)(cid:83)(cid:130)(cid:22)(cid:42)(cid:84)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24).
【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:50)(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:175)(cid:169) (cid:31)(cid:71) (cid:79)
=70°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142) (cid:87) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷
∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)70°/70(cid:28)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:62)(cid:176)(cid:65)(cid:38)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:123)(cid:178) = (cid:79)(cid:62)(cid:176)(cid:65)(cid:38)(cid:179)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:123)(cid:178)
= (cid:79)(cid:121)(cid:122)(cid:87) 𝑂𝐴 𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:15)∠𝐶(cid:129)(cid:68)∠(cid:19)𝐷𝑂(cid:68)𝐵(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:168)(cid:10) = (cid:79)
𝑂𝐴 𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:79)
∵𝑂𝐷⊥𝐴𝐵= (cid:79)
∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐵(cid:79)𝑂𝐷
∵∠𝐴𝑂=𝐵 2∠𝐶=70°(cid:92)
(cid:134)∴∠(cid:111)𝐶(cid:112)(cid:142)∠𝐷(cid:10)𝑂7𝐵0°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)2-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:71) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:177)(cid:179) (cid:152) (cid:87)(cid:184)
=35°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:185)(cid:186)(cid:142)(cid:88) (cid:89) △𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝑂𝐴 𝑂𝐶
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑂𝐴𝐶
A(cid:87)45° B(cid:87)55° C(cid:87)65° D(cid:87)70°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:30)(cid:51)(cid:34)(cid:30)(cid:24)(cid:79)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:48)(cid:24)(cid:130)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:79)
(cid:189)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:51)(cid:34)(cid:30)(cid:24)(cid:130)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:48)(cid:24)(cid:130)(cid:55)(cid:56)(cid:73)(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:87) ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10) =35°(cid:79)
= ∵∠𝐴=𝐵𝐶70°(cid:79)
∴(cid:190)∠𝐴𝑂𝐶= 2∠(cid:79)𝐴𝐵𝐶
∵𝑂𝐴 𝑂𝐶
= = =55°(cid:79)
2
180°−∠𝐴𝑂𝐶
∴(cid:134)∠(cid:136)𝑂𝐴(cid:92)𝐶B(cid:87)∠𝑂𝐶𝐴
(cid:15)(cid:137)(cid:138)2-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)BC(cid:142) (cid:25)(cid:47)(cid:79)(cid:71)A(cid:79)D(cid:78) (cid:36)(cid:79) (cid:79)
=30°(cid:79) =2 3(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:182)(cid:142) (cid:87) ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝑂𝐴⊥𝐵𝐶
∠𝐴𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝑂𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:199)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:200)30°(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:87)
1
(cid:147)(cid:148) (cid:122)(cid:123) = = 3(cid:79) = (cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123) = =60°(cid:79)(cid:164)(cid:203)(cid:123)(cid:178) =30°(cid:79)
2
𝑂𝐴⊥𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶 2∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶
1
(cid:204)(cid:120) = (cid:79)(cid:78)Rt (cid:72)(cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:79)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:108) (cid:25)(cid:182)(cid:87)
2
𝑂𝐸 𝑂𝐶 △𝐶𝑂𝐸 𝑂𝐶(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:209) (cid:61) (cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)
𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝐸
(cid:79) =2 3(cid:79)
∵𝑂𝐴⊥𝐵1𝐶 𝐵𝐶
= = 3(cid:79) = (cid:79)
2
∴𝐶𝐸 =𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 2×3 𝐴 0 𝐵 °=60°(cid:79)
∴(cid:78)∠𝐴R𝑂t𝐶 2∠𝐴(cid:72)𝐷(cid:79)𝐵 = =30°
∴ △1𝐶𝑂𝐸 ∠𝐶 90°−∠𝐴𝑂𝐶
= (cid:79)
2
∴𝑂𝐸 𝑂𝐶
(cid:78)Rt (cid:72)(cid:79) + = (cid:79)
2 2 2
∵ 1 △𝐶𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝐶𝐸 𝑂𝐶
+( 3) = (cid:79)
2 2 2 2
(cid:68)∴ (cid:123)𝑂𝐶 =2(cid:79) 𝑂𝐶
(cid:134)(cid:111)𝑂(cid:112)𝐶(cid:142)(cid:10)2(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)2-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:191)(cid:192)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:210)(cid:167)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)P(cid:142) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:88) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝑃𝐴
𝑃𝐸 ∠𝐴𝑃𝐸
A(cid:87)18° B(cid:87)36° C(cid:87)54° D(cid:87)72°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:211)(cid:71)(cid:116)(cid:117)(cid:210)(cid:212)(cid:51)(cid:52)(cid:130)(cid:22)(cid:152)(cid:210)(cid:212)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:72)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:76)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:79)(cid:168)
1 1 𝑂𝐴 𝑂𝐸
= ×360°=72°(cid:79)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:123) = =36°(cid:79)(cid:31)(cid:45)(cid:123)(cid:178)(cid:75)(cid:20)(cid:25)(cid:111)(cid:112)(cid:87)
5 2
∠(cid:15)𝐴(cid:129)𝑂𝐸(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:79) ∠𝐴𝑃𝐸 ∠𝐴𝑂𝐸
𝑂𝐴 𝑂𝐸(cid:210)(cid:167)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)
∵ 1𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂
= ×360°=72°(cid:79)
5
∴P∠𝐴(cid:142)𝑂𝐸 (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)
∵ 𝐴𝐵 1 1
= = ×72°=36°(cid:79)
2 2
∴(cid:134)∠(cid:136)𝐴𝑃(cid:10)𝐸B(cid:87) ∠𝐴𝑂𝐸
【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:194)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78) (cid:72)(cid:79)(cid:47) (cid:42)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79) =40 (cid:79) =35 (cid:79)
∘ ∘
(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89) ⊙𝑂 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝑃 ∠𝐴 ∠𝐵
∠𝐴𝑃𝐷
A(cid:87)75 B(cid:87)65 C(cid:87)70 D(cid:87)80
∘ ∘ ∘ ∘
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)A
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:40)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:45)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:87)(cid:217)
(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:123)(cid:178) = (cid:79)(cid:189)(cid:147)(cid:148)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:100)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:218)(cid:132)(cid:42)(cid:219)(cid:25)(cid:82)(cid:98)(cid:48)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:220)(cid:130)(cid:122)(cid:68)(cid:123)(cid:33)
(cid:73)(cid:87) ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10) = (cid:79)
= =3∵5𝐴°𝐷(cid:79) 𝐴𝐷
∴∠𝐵=4∠0𝐶(cid:79)
∘
∵∠𝐴 = + =40°+35°=75°(cid:87)
(cid:134)∴(cid:136)∠𝐴(cid:10)𝑃𝐷A(cid:87) ∠𝐴 ∠𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-1(cid:19)(cid:88)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:222)(cid:223)·(cid:62)(cid:224)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:71)D(cid:142)(cid:225)(cid:35) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:177)(cid:49)
△𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐵(cid:152) (cid:152) (cid:79)(cid:184) = (cid:79) =50°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142) °(cid:87)
𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐷 ∠𝐴
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)40
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:30)(cid:226)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:79)(cid:126)(cid:127)(cid:153)(cid:36)(cid:169)(cid:213)(cid:71)(cid:45)
(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:119) =50°(cid:79) = (cid:122)(cid:123)(cid:178) =80°(cid:79)(cid:189)(cid:179)(cid:65) = (cid:79)(cid:122)(cid:123)(cid:178)(cid:225)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:61) (cid:25)(cid:28)(cid:29)
∠𝐷 𝑂1𝐵 𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷
(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:168) = ×80°=40°(cid:87)
2
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)∠(cid:68)𝐴(cid:10) =50°(cid:79) = (cid:79)
= ∵=∠5𝐷0°(cid:79) 𝑂𝐵 𝑂𝐷
∴∠𝐷 ∠=𝑂𝐵𝐷 =80°(cid:79)
∴∠𝐵𝑂=𝐷 (cid:79)180°−50°−50°
∵(cid:225)𝐵𝐶(cid:35) 𝐵𝐷(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:61) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:30)(cid:79)
∴ 𝐵𝐶1 ∠𝐵𝑂𝐷
(cid:168) = ×80°=40°(cid:87)
2
(cid:134)∠(cid:111)𝐴(cid:112)(cid:142)(cid:10)40(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:221)(cid:222)(cid:222)(cid:223)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79) (cid:142) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:81)
(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:87)(cid:184) =35°(cid:79) =15°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)△(cid:88)𝐴𝐵 𝐶 (cid:89) ⊙𝑂 𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
𝐹 𝐶𝐸 ∠𝐴 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐵
A(cid:87)65° B(cid:87)70° C(cid:87)75° D(cid:87)80°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)A
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:48)(cid:24)(cid:130)(cid:61)(cid:100)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:45)(cid:126)(cid:127)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:87)(cid:147)(cid:148)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:123) =90°(cid:79) = (cid:79)(cid:123)(cid:178) = (cid:79)(cid:227)(cid:108) = (cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:62)(cid:24)(cid:52)
(cid:25)(cid:100)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:73)(cid:108) (cid:79)(cid:189)(cid:147)(cid:148)∠(cid:62)𝐴𝐹(cid:24)𝐷(cid:52)(cid:25)(cid:48)(cid:24)𝐴(cid:130)𝐹(cid:55)(cid:56)𝐵(cid:73)𝐹 (cid:108) 𝐴𝐸(cid:79)(cid:121)𝐵(cid:122)𝐸(cid:73)(cid:68)(cid:87)∠𝐴𝐶𝐵 2∠𝐴𝐶𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10) ∠ 𝐶𝐺(cid:142)𝐸 (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:81) (cid:31)(cid:71) (cid:79)∠𝐴𝐶𝐸
=90∵°(cid:79)𝐷𝐸 =⊙𝑂(cid:79) 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐹
∴ ∠𝐴𝐹=𝐷 (cid:79) 𝐴𝐹 𝐵𝐹
∴ 𝐴𝐸 𝐵=𝐸 (cid:79)(cid:121) = (cid:79)
∴ ∠𝐴𝐶=𝐸35°∠(cid:79)𝐵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 2∠𝐴𝐶𝐸
(cid:209)∵ ∠𝐴(cid:61) (cid:84)(cid:31)(cid:71)G(cid:79)
𝐴 𝐶 𝐷𝐸= + =35°+90°=125°(cid:79)
∴ ∠𝐶𝐺𝐸 =∠15𝐴°(cid:79)∠𝐴𝐹𝐷
∵ ∠𝐶𝐸𝐷= =40°(cid:79)
∴ ∠𝐴𝐶𝐸 =180°−∠=𝐶𝐺8𝐸0−°(cid:79)∠𝐶𝐸𝐷
∴ ∠𝐴𝐶=𝐵 2∠𝐴𝐶𝐸 = =65°(cid:79)
(cid:134)∴(cid:136)∠(cid:10)𝐵A(cid:87)180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴 180°−80°−35°
3
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-3(cid:19)(cid:88)2025·(cid:228)(cid:16)(cid:229)(cid:230)·(cid:231)(cid:224)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:47) (cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:87)(cid:184) = (cid:79)
2
(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142) (cid:87) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸
𝐶𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)144°
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:45)(cid:126)(cid:127)(cid:42)(cid:3)(cid:169)(cid:213)(cid:87)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
𝐴𝐶 𝑂𝐶 𝑂𝐷3
(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:10) = (cid:79) =90°(cid:79)(cid:227)(cid:108) + =90°(cid:79)(cid:179)(cid:65) = (cid:79)(cid:122)(cid:73)(cid:108) =36°(cid:79)(cid:164)(cid:203)(cid:123)
2
(cid:178) = ∠𝐴 =∠7𝐸2°(cid:79)∠(cid:232)𝐴𝐶(cid:233)𝐵(cid:147)(cid:148)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)∠(cid:121)𝐴(cid:122)(cid:73)∠𝐴(cid:68)𝐵(cid:87)𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸 ∠𝐸
(cid:15)(cid:129)∠𝐵(cid:68)𝑂𝐶(cid:19)(cid:68)2(cid:10)∠(cid:177)𝐸(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79)
= (cid:79) 𝐴𝐶 𝑂𝐶 𝑂𝐷
∵ 𝐵𝐶 =𝐵𝐶(cid:79)
∴ ∠𝐴(cid:45) ∠𝐸 (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∵ 𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:79)
∴ ∠𝐴𝐶+𝐵 =90°(cid:79)
∴ ∠𝐴 ∠𝐴𝐵3𝐶
= (cid:79)
2
∵ ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸
3
+ =90°(cid:79)
2
∴ ∠𝐸=3∠6𝐸°(cid:79)
∴ ∠𝐸(cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:47) (cid:79)
∵ 𝐴𝐵=⊙𝑂(cid:79) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
∴ 𝐵𝐶 𝐵=𝐷 =72°(cid:79)
∴ ∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶+ =144°(cid:79)
(cid:121)∴ ∠𝐶(cid:25)𝑂(cid:28)𝐷(cid:29)(cid:142)∠𝐵1𝑂44𝐶°(cid:79)∠𝐵𝑂𝐷
(cid:134)𝐶(cid:111)𝐷(cid:112)(cid:142)(cid:10)144°(cid:87)
【题型4 直径所对的圆周角是直角】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:159)(cid:160)(cid:159)(cid:194)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:153)(cid:71) (cid:142)(cid:22)(cid:37)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:72)(cid:79) (cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79) + =
1 𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:184) = (cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:74)(cid:45)(cid:88) (cid:89)
2
𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐸 𝑂𝐶 𝐵𝐷 𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐸:𝐶𝐴2 2 3 3
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
3 2 4 3
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)D
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:151)(cid:55)(cid:61)(cid:101)(cid:102)(cid:152)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:234)(cid:235)
1 𝑂𝐷,𝐵𝐶 △𝐵𝐶𝐸
(cid:45)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)(cid:123)(cid:178) = = (cid:79)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:178) = 3 (cid:79)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:108)(cid:179)(cid:236)(cid:87)
2
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:79)𝐵𝐶(cid:90)(cid:139)𝐶(cid:91)𝐸(cid:79) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐶𝐸
𝑂𝐷,𝐵𝐶
+ = (cid:79)
∵𝐴𝐷 𝐵=𝐶 𝐶𝐷 + (cid:79)
∴∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐶=180°(cid:79)
∵∠𝐶𝑂𝐷=∠9𝐴0°𝑂(cid:79)𝐷 ∠𝐵𝑂𝐶
∴∠𝐶𝑂𝐷 1
= =45°(cid:79)
2
∴∠𝐶𝐵(cid:45)𝐷(cid:43)(cid:44)(cid:79)∠𝐶𝑂𝐷
∵𝐴𝐵 =90°(cid:79)
∴∠𝐴𝐶𝐵= =45°= (cid:79)(cid:121) (cid:142)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)
∴∠𝐶𝐸𝐵 90°1−∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 △𝐵𝐶𝐸
= = (cid:79)
2
∴𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐵
= = 3 = 3 (cid:79)
2 2
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 −𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸
3
= 3 = (cid:87)
3
∴(cid:134)𝐶(cid:136)𝐸:(cid:10)𝐶𝐴D(cid:87)𝐶𝐸: 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-1(cid:19)(cid:88)2025·(cid:50)(cid:171)(cid:229)(cid:237)·(cid:231)(cid:224)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:71) (cid:79) (cid:45) (cid:36)(cid:238)(cid:31)(cid:43)(cid:44) (cid:82)(cid:239)(cid:25)(cid:71)(cid:79)(cid:177)
(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:81) = (cid:79)(cid:168) = (cid:28)𝐴𝐵(cid:87) ⊙𝑂 𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)45
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:108) =90°(cid:79)(cid:189)(cid:147)(cid:148) = (cid:123)(cid:108) = (cid:79)
(cid:164)(cid:203)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:108)(cid:111)(cid:112)(cid:87) ∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐷𝐵𝐴
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:79)
𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
=90°(cid:79) ∵ 𝐴𝐵 ⊙𝑂
(cid:190)∴∠𝐴 𝐷𝐵 = (cid:79)
∵ 𝐴𝐷= 𝐵𝐷 =45°(cid:79)
∴∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴=45°(cid:79)
(cid:134)∴(cid:111)∠𝐴(cid:112)𝐶𝐷(cid:142)(cid:10)∠45𝐴(cid:87)𝐵𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-2(cid:19)(cid:88)2025(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:139)·(cid:240)(cid:230)·(cid:11)(cid:241)(cid:116)(cid:242)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:47)(cid:79)D(cid:142) (cid:36)(cid:38)(cid:71)(cid:79)
(cid:243)(cid:71)D(cid:244) (cid:79)(cid:84) (cid:31)(cid:71)E(cid:79)(cid:84) (cid:31)(cid:71)F(cid:79) 𝐴=𝐵 ⊙(cid:79)(cid:177)𝑂(cid:49) (cid:79) 𝐴𝐶(cid:87)(cid:184)⊙𝑂= =8(cid:79)⊙(cid:168)𝑂 (cid:25)(cid:182)
(cid:142) (cid:87)𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐹 4𝐴𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)6
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:43)(cid:24)(cid:79)(cid:119)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:178) =4(cid:79)(cid:168)(cid:209)
= (cid:79)(cid:168) = (cid:79)(cid:119)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123)4 + = (cid:79)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:122)(cid:73)(cid:108) =10(cid:79)(cid:73)(cid:108) 𝐷=𝐸90°(cid:79)(cid:168)(cid:119)
2 2 2
𝑂(cid:201)𝐷(cid:202)(cid:55)𝑟(cid:56)(cid:122)(cid:123)𝑂𝐸 𝑟−2 = (cid:79)(cid:121)10 8 =(𝑟−2(cid:79)) (cid:68)(cid:220)𝑟(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:87) 𝐴𝐵 ∠𝐶
2 2 2 2 2 2
𝐴𝐵 −𝐴𝐶 𝐵𝐶 − 𝐵𝐶(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:92) = =8(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) (cid:79)
= =∵4𝐷(cid:79)𝐹 4𝐴𝐸 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵
(cid:209)∴𝐴𝐸 =2,𝐷(cid:79)𝐸(cid:168) = (cid:79)
(cid:78)𝑂Rt𝐷 𝑟 (cid:72)𝑂(cid:79)𝐸(cid:119)(cid:201)𝑟(cid:202)−2(cid:55)(cid:56)(cid:123) + = (cid:79)
2 2 2
4 +△𝐷𝐸𝑂 = (cid:79) 𝐷𝐸 𝑂𝐸 𝑂𝐷
2 2 2
(cid:68)∴ (cid:123) =(𝑟−5(cid:79)2) 𝑟
𝑟=10(cid:79)
∴𝐴𝐵(cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∵𝐴𝐵 =⊙90𝑂°(cid:87)
∴∠𝐶 = =8(cid:79)
∵(cid:78)𝐷R𝐹t 𝐴𝐶 (cid:72)(cid:79)(cid:119)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:123) = (cid:79)(cid:121)10 8 = (cid:79)
2 2 2 2 2 2
∴ =△6𝐴(cid:41)𝐶𝐵 = (cid:88)(cid:245)(cid:246)(cid:89)(cid:79)𝐴𝐵 −𝐴𝐶 𝐵𝐶 − 𝐵𝐶
(cid:134)∴(cid:111)𝐵𝐶(cid:112)(cid:142)(cid:10)6𝐵(cid:87)𝐶 −6
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:39)(cid:44)(cid:142)5(cid:25) (cid:72)(cid:79)(cid:47) (cid:79) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:113)
(cid:94)(cid:45) (cid:79) (cid:79)(cid:184) =6(cid:79) + =180°(cid:79)(cid:168)(cid:47) (cid:25)(cid:182)(cid:30)⊙(cid:31)𝐴(cid:88) (cid:89) 𝐵𝐶 𝐸𝐷
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐷 𝐵𝐶
A(cid:87)8 B(cid:87)10 C(cid:87)11 D(cid:87)12
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)A
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:87)(cid:244)(cid:43)(cid:44) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:217)(cid:67)(cid:60)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:123)(cid:178)
= (cid:79)(cid:251)(cid:233)(cid:189)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:22)(cid:72)(cid:79)(cid:42)(cid:30)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:33)𝐶(cid:34)𝐹(cid:25)(cid:47)(cid:42)𝐵(cid:30)𝐹(cid:123)(cid:178) = =6(cid:79)(cid:189)(cid:67)(cid:60)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:252)
∠(cid:203)𝐷(cid:73)𝐴𝐸(cid:123)(cid:111)∠(cid:112)𝐵(cid:87)𝐴𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10) (cid:39)(cid:44)(cid:142)5(cid:25) (cid:79)
=5(cid:79) ∵ ⊙𝐴
∴(cid:244)𝐴(cid:43)𝐶(cid:44) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:79)
𝐶𝐹 𝐵𝐹(cid:168) =90°(cid:79) = =10(cid:79)
∠𝐹𝐵𝐶+ =𝐶𝐹1802°(cid:79)𝐴𝐶 + =180°(cid:79)
∵∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐸𝐴𝐷(cid:79) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐹
∴∠𝐷𝐴=𝐸 (cid:79)∠𝐵𝐴𝐹
∴𝐷𝐸=𝐵𝐹=6(cid:79)
∴𝐷𝐸 𝐵𝐹
= =8(cid:87)
2 2
∴(cid:134)𝐵(cid:136)𝐶(cid:10)A(cid:87)𝐶𝐹 −𝐵𝐹
【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:228)(cid:16)(cid:253)(cid:254)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) (cid:45) (cid:25)(cid:47)(cid:79) =2(cid:79)
=30°(cid:79)(cid:184)(cid:71)D(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:81) =60°(cid:79)𝐴(cid:168)𝐵 ⊙(cid:182)(cid:142)𝑂 (cid:87)𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐵
∠𝐵𝐴𝐶 ⊙𝑂 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)1(cid:41)2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:200)30(cid:28)(cid:25)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)90(cid:28)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:66)(cid:60)(cid:113)(cid:255)
(cid:256)(cid:236)(cid:257)(cid:133)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)(cid:113)(cid:82)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:10)(cid:261)(cid:71)D(cid:78) (cid:36)(cid:262)(cid:92)(cid:261)(cid:71)D(cid:78) (cid:36)(cid:262)(cid:92)(cid:251)(cid:233)(cid:113)(cid:94)(cid:164)(cid:165)(cid:263)(cid:264)(cid:121)(cid:122)(cid:68)(cid:111)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:113)(cid:82)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:10) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶
(cid:261)(cid:71)D(cid:78) (cid:36)(cid:262)(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:10)
𝐴𝐶(cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:79)
∴∠𝐴𝐶𝐵=30°(cid:79) =2(cid:79)
∵∠𝐶𝐴𝐵 1 𝐴𝐵
= =1(cid:79)
2
∴𝐵𝐶 =6 𝐴 0 𝐵 °(cid:79)
∵∠𝐷𝐴𝐵= =30°(cid:79)
∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵−=∠3𝐶0𝐴°𝐵(cid:79)
∴∠𝐷𝐴=𝐶 ∠=𝐶𝐴1(cid:92)𝐵
∴(cid:261)𝐷(cid:71)𝐶 D𝐵(cid:78)𝐶 (cid:36)(cid:262)(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶
=60°(cid:79) =30°(cid:79)
∵∠𝐷𝐴𝐵= ∠+𝐶𝐴𝐵 =90°(cid:79)
∴∠𝐶𝐴(cid:45)𝐷 ∠(cid:25)𝐵𝐴(cid:43)𝐷(cid:44)(cid:79)∠𝐶𝐴𝐵
∴𝐶𝐷=⊙𝑂=2(cid:92)
∴(cid:64)𝐶(cid:36)𝐷(cid:33)(cid:265)𝐴𝐵(cid:10) =1(cid:41)2(cid:79)
(cid:134)(cid:111)(cid:112)(cid:142)(cid:10)1𝐶𝐷(cid:41)2(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)Rt (cid:25)(cid:266)(cid:51)(cid:61)(cid:39)(cid:22)(cid:25)(cid:43)(cid:44) (cid:211)(cid:65)(cid:267)(cid:268)(cid:79) =90°(cid:79)(cid:71) (cid:142) (cid:36)(cid:269)(cid:154)(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:177)(cid:49)
(cid:84)(cid:39)(cid:22)(cid:31) (cid:71)(cid:79)(cid:177)(cid:49)△𝐴𝐶(cid:79)𝐵(cid:184) =35°(cid:79)(cid:168) 𝐴𝐵 (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:88)∠ 𝐴 𝐶 (cid:89)𝐵 𝑀 𝐴𝐵
𝐶𝑀 𝑁 𝐵𝑁 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝑁𝐶
A(cid:87)60° B(cid:87)55° C(cid:87)50° D(cid:87)30°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:68)(cid:115)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)(cid:147)(cid:148) =90°(cid:79)(cid:153)(cid:71) (cid:142)(cid:22)(cid:37)(cid:25)(cid:39)(cid:22) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:130) (cid:211)(cid:65)(cid:79)(cid:122)(cid:169)(cid:71) (cid:78)(cid:153)(cid:71) (cid:142)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:119) =35°(cid:79)(cid:123)
∠ 𝐴𝐶=𝐵55°(cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:35)𝑂(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)𝑂(cid:30)(cid:121)(cid:122)(cid:73)𝐴(cid:68)𝐵(cid:87) 𝐶 𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)∠𝐶(cid:129)𝐴𝐵(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10) =90°(cid:79)(cid:153)(cid:71) (cid:142)(cid:22)(cid:37)(cid:25)(cid:39)(cid:22) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:130) (cid:211)(cid:65)(cid:79)
(cid:71) (cid:78)(cid:153)(cid:71) (cid:142)∵∠(cid:22)𝐴(cid:37)𝐶𝐵(cid:25)(cid:22)(cid:36)(cid:79) 𝑂 𝑂 𝐴𝐵
∴ 𝐶 =35𝑂°(cid:79)
∵∠𝐴𝐵𝐶= =55°(cid:79)
∴∠𝐶𝐴=𝐵 (cid:79)180°−35°−90°
∵𝐶𝐵 𝐶=𝐵 =55°(cid:79)
∴(cid:134)∠(cid:136)𝐵𝑁(cid:10)𝐶B(cid:87)∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-2(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:270)(cid:271)(cid:43)(cid:24)(cid:272)(cid:107)(cid:273)(cid:72)(cid:79)(cid:71) (cid:142)(cid:272)(cid:107)(cid:274)(cid:71)(cid:79)(cid:71) (cid:78)(cid:275)(cid:38)(cid:276)(cid:277)(cid:79) (cid:243)(cid:274)(cid:71)(cid:79)(cid:81)(cid:61) (cid:278)(cid:152) (cid:278)
(cid:84)(cid:31)(cid:71)A(cid:79) (cid:79)(cid:71)A(cid:25)(cid:272)(cid:107)(cid:142)(6,0)(cid:79) (cid:25)(cid:43)𝑂(cid:44)(cid:142)10(cid:87)(cid:168)(cid:71) (cid:25)𝑃(cid:272)(cid:107)(cid:142) (cid:87)⊙𝑃 𝑥 𝑦
𝐵 ⊙𝑃 𝐵
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)(0,8)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:177)(cid:49)AB(cid:79)(cid:147)(cid:148)90°(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:122)(cid:169)(cid:79)AB(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:92)(cid:189)(cid:147)(cid:148)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:73)(cid:108)OB(cid:25)(cid:182)(cid:79)(cid:122)
(cid:123)(cid:108)(cid:111)(cid:112)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:177)(cid:49)AB,
AOB=90°(cid:79)
∵A∠B(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∴AB=10(cid:87)
∴(cid:190) AOB=90°(cid:79)(cid:71)A(cid:25)(cid:272)(cid:107)(cid:142)(6,0)(cid:79)
∵∠ + = (cid:79) =6(cid:79)
2 2 2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑂𝐴
= = 10 6 =8(cid:79)
2 2 2 2
∴𝑂𝐵 𝐴𝐵 −𝑂𝐴 −(cid:71) (cid:25)(cid:272)(cid:107)(cid:142)(0(cid:79)8)(cid:87)
∴(cid:134)(cid:111)𝐵(cid:112)(cid:142)(cid:10)(0(cid:79)8)(cid:87)
(cid:15)(cid:71)(cid:170)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:45)90°(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:154)(cid:244)(cid:108)(cid:279)(cid:280)(cid:176)(cid:79)(cid:205)(cid:206)(cid:108)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)(cid:67)(cid:60)
(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:73)(cid:68)(cid:45)(cid:68)(cid:111)(cid:120)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-3(cid:19)(cid:88)2025·(cid:281)(cid:240)(cid:282)(cid:248)·(cid:224)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:286) (cid:287)(cid:71) (cid:288)(cid:262)(cid:289)(cid:290)(cid:291)90°(cid:123)(cid:178)
(cid:79)(cid:71) (cid:25)(cid:34)(cid:59)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:87)(cid:168)(cid:50)△(cid:51)𝐴(cid:52)𝐵𝐶 (cid:25)(cid:271)⊙(cid:292)𝑂(cid:88) (cid:89)△𝐴𝐵𝐶 𝐴
△𝐴𝐷𝐸 𝐶 𝐸 ⊙𝑂 𝐵𝐸 𝐴𝐶𝐵𝐸
A(cid:87)(cid:293)(cid:61) (cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3) B(cid:87)(cid:293)(cid:61) (cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3)
C(cid:87)(cid:293)(cid:61)𝐴𝐶(cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3) D(cid:87)(cid:293)(cid:61)𝐴𝐵(cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B 𝐵𝐶 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:290)(cid:291)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:61)(cid:22)(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:79)(cid:126)(cid:127)90°(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:51)(cid:142)(cid:22)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:294)(cid:295)(cid:91)(cid:52)(cid:271)(cid:292)(cid:25)(cid:263)
(cid:264)(cid:207)(cid:296)(cid:45)(cid:3)(cid:128)(cid:87)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:243)(cid:71) (cid:244) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:244)(cid:71) (cid:244) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:123)(cid:178) (cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
𝐶𝐸 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐶𝐸 𝐹 𝐵 𝐵𝐺⊥𝐶𝐸 𝐺 𝐶𝐸1 1 1 1
= =45°(cid:79)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:25)(cid:271)(cid:292)(cid:142) + (cid:79)(cid:179)(cid:65)(cid:263)(cid:264)(cid:123)(cid:178) = = =
2 2 2 4
∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐶𝐵𝐸
𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐶𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐸
𝐶𝐸·𝐴𝑂 𝐶𝐸· 𝐶𝐸 𝐶
(cid:79) (cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:45)(cid:55)(cid:74)(cid:79) (cid:25)(cid:271)(cid:292)(cid:61) (cid:25)(cid:297)(cid:292)(cid:109)(cid:3)(cid:79)(cid:41)(cid:61) (cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3)(cid:79)(cid:261)(cid:71) (cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:137)(cid:298)(cid:79)(cid:121)(cid:176)(cid:196)
2
𝐸 (cid:25)𝐶(cid:182)𝐸(cid:299)(cid:137)(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:182)(cid:299)𝑆(cid:137)△𝐶(cid:79)𝐵𝐸(cid:300)(cid:220) 𝐵(cid:299)𝐶·(cid:137)𝐵𝐸(cid:79)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:68)(cid:87) 𝐵𝐺 𝐵
(cid:15)𝐴𝐵(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)𝐵𝐺(cid:33)(cid:301)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:243)𝑆△(cid:71)𝐶𝐵𝐸(cid:244) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:244)(cid:71) (cid:244) (cid:31)(cid:71) (cid:79)
𝐶𝐸 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐶𝐸 𝐹 𝐵 𝐵𝐺⊥𝐶𝐸 𝐺
(cid:286) (cid:287)(cid:71) (cid:288)(cid:262)(cid:289)(cid:290)(cid:291)90°(cid:123)(cid:178) (cid:79)(cid:71) (cid:25)(cid:34)(cid:59)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)
∵ △=𝐴𝐵𝐶(cid:79) 𝐴 =90°(cid:79) △𝐴𝐷𝐸 𝐶 𝐸 ⊙𝑂
∴𝐴𝐶(cid:45)(cid:43)𝐴𝐸(cid:44)(cid:79)∠𝐶𝐴𝐸 = =45°(cid:79)
∴(cid:50)𝐶𝐸(cid:51)(cid:52) ∠(cid:25)𝐴(cid:271)𝐶𝐸(cid:292)(cid:142)∠𝐴𝐸𝐶 + (cid:79)
∴ 𝐴(cid:79)𝐶𝐵𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐶𝐵𝐸
∵(cid:71)𝐴𝐹⊥𝐶(cid:211)𝐸(cid:65)(cid:79)
∴ 𝐹,𝑂1
= = = (cid:79)
2
∴𝐴𝑂 𝐸𝑂 𝐶𝑂 𝐶𝐸
1 1 1 1
= = = (cid:79)
2 2 2 4
2
∴𝑆△𝐴 (cid:45) 𝐶𝐸 (cid:43)(cid:44)(cid:79)𝐶𝐸(cid:45)·𝐴(cid:55)𝑂(cid:74)(cid:79)𝐶𝐸· 𝐶𝐸 𝐶𝐸
∵𝐶𝐸 (cid:25)(cid:74)(cid:45)(cid:55)(cid:74)(cid:79)
∴𝑆△𝐴(cid:45)𝐶𝐸(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:81) (cid:79)
∵𝐶𝐸 =90°(cid:79)𝐵𝐺⊥𝐶𝐸
∴∠𝐶𝐵𝐸 1 1
= = (cid:79)
2 2
∴𝑆△𝐶𝐵𝐸 (cid:25)(cid:271)𝐶(cid:292)𝐵·(cid:61)𝐵𝐸 𝐶(cid:25)𝐸·𝐵(cid:297)𝐺(cid:292)(cid:109)(cid:3)(cid:79)(cid:41)(cid:61) (cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3)(cid:79)
∴(cid:261)𝑆△
(cid:71)
𝐶𝐵𝐸
(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:137)𝐵(cid:298)𝐶(cid:79)·𝐵(cid:121)𝐸 (cid:176)(cid:196) (cid:25)(cid:182)(cid:299)(cid:137)(cid:79)𝐵(cid:168)𝐺 (cid:25)(cid:182)(cid:299)(cid:137)(cid:79)(cid:300)(cid:220) (cid:299)(cid:137)(cid:79)
∴(cid:50)(cid:51)(cid:52)𝐵 (cid:25)(cid:271)(cid:292)(cid:299)(cid:137)(cid:79)𝐴𝐵 𝐵𝐺 𝑆△𝐶𝐵𝐸
∴(cid:50)(cid:51)(cid:52)𝐴A𝐶C𝐵B𝐸E(cid:25)(cid:271)(cid:292)(cid:293)(cid:61)AB(cid:25)(cid:182)(cid:109)(cid:3)(cid:79)
∴(cid:134)(cid:136)(cid:10)B (cid:87)
【题型6 圆内接四边形对角互补】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:302)(cid:229)(cid:303)(cid:235)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79) = (cid:79) (cid:79)
=70°(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:88) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∠𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷
A(cid:87)25° B(cid:87)28° C(cid:87)30° D(cid:87)35°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)C
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:22)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:30)(cid:226)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:270)(cid:165)(cid:176)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:48)(cid:24)
(cid:130)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:79)(cid:126)(cid:127)(cid:153)(cid:36)(cid:169)(cid:213)(cid:45)(cid:68)(cid:111)(cid:115)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:92)
(cid:147)(cid:148)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:123)(cid:178) + =180°(cid:92)(cid:147)(cid:148) = (cid:79)(cid:123)(cid:178) = =70°(cid:79)(cid:67)(cid:60)(cid:270)(cid:165)(cid:176)
(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:123)(cid:178)𝐴𝐵𝐶𝐷= ⊙=𝑂40°(cid:79)(cid:189)∠(cid:66)𝐵(cid:60)∠(cid:62)𝐷(cid:24)(cid:52)(cid:48)(cid:24)(cid:130)(cid:55)(cid:56)𝐴(cid:68)𝐵(cid:111)(cid:121)𝐴𝐶(cid:122)(cid:87) ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)∠(cid:10)𝐵𝐴(cid:50)𝐶(cid:51)(cid:52)∠𝐴𝐶𝐷 (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79) =70°(cid:79)
+ =1∵80°(cid:79) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 ∠𝐵
∴∠𝐵 ∠𝐷= =110°(cid:79)
∴∠𝐷= 180(cid:79)°−70°
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶 =70°(cid:79)
∴∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷+ =180°(cid:79)
∵∠𝐵 ∠=𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 =40°(cid:79)
∴∠𝐵𝐴𝐶 (cid:79)180°−70°−70°
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= =40°(cid:79)
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐴𝐶𝐷 =30°(cid:92)
∴(cid:134)∠(cid:136)𝐶𝐴(cid:10)𝐷C. 180−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)6-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:228)(cid:222)(cid:36)(cid:304)·(cid:195)(cid:196)(cid:125)(cid:197)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:45)(cid:210)(cid:207)(cid:52) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:71) (cid:142) (cid:36)(cid:269)(cid:154)
(cid:38)(cid:71)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:168) = (cid:87) ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶
𝐵𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)135°
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:45)(cid:126)(cid:127)(cid:153)(cid:36)(cid:169)(cid:213)(cid:71)(cid:87)
(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:305)(cid:217)(cid:73)(cid:108) =45°(cid:79)(cid:251)(cid:233)(cid:123)(cid:178) (cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:251)(cid:233)(cid:147)(cid:148)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)
(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:73)(cid:68)(cid:121)𝐴(cid:122)𝐶(cid:87) ∠𝐵𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:79)(cid:177)(cid:49)
𝐴𝐶
(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:45)(cid:210)(cid:207)(cid:52)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:79) =
∴∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶=45°
∴∠𝐵𝐴𝐶(cid:45)(cid:210)(cid:207)(cid:52) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:71) (cid:142) (cid:36)(cid:269)(cid:154)(cid:38)(cid:71)(cid:79)
∵⊙𝑂(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:52)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79) 𝐸 𝐵𝐶
∴⊙𝑂 = 𝐴𝐵𝐸𝐶 =135°(cid:87)
∴(cid:134)∠(cid:111)𝐵𝐸(cid:112)𝐶(cid:142)(cid:10)18103°5−°(cid:87)∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)6-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:221)(cid:222)(cid:306)(cid:229)·(cid:163)(cid:72)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31) (cid:79)(cid:71) (cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:152)
(cid:79) (cid:79)(cid:184) =25°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:88) △(cid:89)𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐷 ⊙𝑂 𝐷𝐶 𝐷𝐴
𝑂𝐴 𝑂𝐴⊥𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶𝐴𝐵
A(cid:87)140° B(cid:87)130° C(cid:87)120° D(cid:87)110°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:67)(cid:60)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:22)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:307)(cid:73)(cid:68) CAB(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:87)
(cid:67)(cid:60)(cid:198)(cid:44)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:108) = (cid:79)(cid:189)(cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:263)(cid:264) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:79)(cid:232)(cid:233)(cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:48)∠(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:263)(cid:264) (cid:25)
(cid:28)(cid:29)(cid:87) 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐸 ∠𝐶𝐴𝐵
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:78) (cid:36)(cid:308)(cid:38)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
⊙𝑂 𝐸 𝐵𝐸,𝐶𝐸
(cid:45) (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:79)
∵𝑂𝐴=⊥𝐵𝐶,(cid:79)𝑂𝐴 ⊙𝑂
∴𝐴𝐶 𝐴=𝐵25°(cid:79)
∵∠𝐴𝐷=𝐶 =50°(cid:79)
∴∠𝐸 2=∠𝐴𝐷𝐶 =130°(cid:79)
∴(cid:134)∠(cid:136)𝐶𝐴(cid:10)𝐵B(cid:87)180°−∠𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)6-3(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:228)(cid:16)(cid:229)(cid:230)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:286) (cid:309)(cid:310)(cid:47) (cid:311)(cid:312)(cid:79)(cid:71) (cid:79) (cid:113)(cid:94)(cid:78)(cid:313)(cid:35) (cid:130)(cid:225)(cid:35)
(cid:36)(cid:79)(cid:184) =65°(cid:79)(cid:168) = °(cid:87) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐵 ∠𝐶 ∠𝐷(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)115
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:244)(cid:108)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24) (cid:79)(cid:179)(cid:65)(cid:147)(cid:148)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:34)(cid:24)(cid:53)(cid:54)(cid:73)(cid:108) (cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:311)(cid:312)
(cid:25)(cid:34)(cid:314)(cid:101)(cid:152)(cid:22)(cid:25)𝐴(cid:48)𝐶(cid:49)𝐵(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:79)∠(cid:22)𝐴(cid:23)𝐸𝐵(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:71)(cid:87)(cid:244)(cid:108)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)∠(cid:23)𝐴𝐸(cid:24)𝐵 (cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:244)(cid:108)(cid:35) (cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24) (cid:79) 𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵
𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵
+ =180°(cid:79) =65°
∵∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐴𝐸𝐵 =115∠°𝐶(cid:79)
∴∠𝐴O𝐸𝐵(cid:309)(cid:47)180(cid:311)°−(cid:312)65(cid:79)°
∵⊙ = 𝐴𝐵 =115°
∴(cid:134)∠(cid:111)𝐴𝐷(cid:112)𝐵(cid:142)(cid:10)∠1𝐴1𝐸5𝐵
【题型7 圆周角定理的实际应用】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:88)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:222)(cid:223)·(cid:224)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:89)(cid:315)(cid:316)(cid:244)(cid:142)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:185)(cid:25)(cid:322)(cid:67)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:235)(cid:79)(cid:78)(cid:322)(cid:67)(cid:325)(cid:104)(cid:326)(cid:36)(cid:154)(cid:76)(cid:327)(cid:328)(cid:87)(cid:91)
②(cid:45)(cid:329)(cid:210)(cid:271)(cid:330)(cid:178)(cid:25)(cid:38)(cid:98)(cid:315)(cid:316)(cid:88)(cid:91)①(cid:89)(cid:25)(cid:52)(cid:331)(cid:301)(cid:154)(cid:91)(cid:79)(cid:315)(cid:316) (cid:61)(cid:322)(cid:271)(cid:113)(cid:94)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79)(cid:71)
(cid:78) (cid:25)(cid:332)(cid:182)(cid:176)(cid:36)(cid:87)(cid:184) =110°(cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:88) ⊙ (cid:89)𝑂 𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵
𝑀 𝐴𝐵 ∠𝑃𝐵𝑀 ∠𝐴𝑃𝐶
A(cid:87)20° B(cid:87)30° C(cid:87)55° D(cid:87)70°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)A(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:142)(cid:43)(cid:24)(cid:79)(cid:40)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:219)(cid:54)(cid:24)(cid:30)(cid:169)(cid:213)(cid:87)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:119)(cid:219)(cid:54)
(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:73)(cid:123) =70°(cid:79)(cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:73)(cid:123) = =70°(cid:79) =90°(cid:79)(cid:148)(cid:120)(cid:73)(cid:68)𝐴𝐶(cid:244)(cid:111)(cid:121)(cid:122)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)∠(cid:90)𝑃(cid:91)𝐵𝐴(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) ∠𝑃𝐵𝐴 ∠𝑃𝐶𝐴 ∠𝑃𝐴𝐶
𝐴𝐶
=110°(cid:79)
∵∠𝑃𝐵𝑀=70°(cid:79)
∴∠𝑃𝐵=𝐴 (cid:79)
∵𝐴𝑃 𝐴=𝑃 =70°(cid:79)
∴∠𝑃(cid:45)𝐵𝐴 ∠(cid:25)𝑃𝐶(cid:43)𝐴(cid:44)(cid:79)
∵𝑃𝐶 ⊙=𝑂90°(cid:79)
∴∠𝑃𝐴𝐶= =20°(cid:79)
(cid:134)∴∠(cid:136)𝐴𝑃(cid:10)𝐶A(cid:87)90°−∠𝑃𝐶𝐴
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7-1(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:250)(cid:333)(cid:334)(cid:335)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:36)(cid:109)(cid:38)(cid:22)(cid:52)(cid:104)(cid:301)(cid:93)(cid:79)(cid:78)(cid:218)(cid:22)(cid:52)(cid:51)(cid:340)(cid:25)(cid:71)P(cid:341)
(cid:223)(cid:342)(cid:118)(cid:38)(cid:335)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:79)(cid:32)(cid:25)(cid:343)(cid:346)(cid:24)(cid:28)(cid:45)56°(cid:79)(cid:142)(cid:118)(cid:343)(cid:346)(cid:347)(cid:98)(cid:104)(cid:93)(cid:79)(cid:232)(cid:348)(cid:349)(cid:188)(cid:78)(cid:22)(cid:52)(cid:51)(cid:340)(cid:36)(cid:135)(cid:223)(cid:342)(cid:99)(cid:350)(cid:25)(cid:343)(cid:344)(cid:345)
(cid:335)(cid:87)
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)4
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:38)(cid:351)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:37)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:79)(cid:124)(cid:352)(cid:42)(cid:3)(cid:179)(cid:236)(cid:121)
(cid:122)(cid:87)(cid:217)(cid:353)(cid:91)(cid:79)(cid:123)(cid:108) = =112°(cid:79)(cid:189)(cid:164)(cid:38)(cid:354)(cid:73)(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)∠(cid:33)𝐵(cid:301)𝑂𝐶(cid:10)(cid:352)2∠𝐵(cid:61)𝑃𝐶 (cid:25)(cid:84)(cid:71)(cid:142) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
∠𝑃 ⊙𝑂 𝐵,𝐶 𝑂𝐵,𝑂𝐶= =112°
∴∠𝐵𝑂𝐶 2∠𝐵𝑃𝐶 3
360°÷112°=3
14
∵(cid:232)(cid:348)(cid:349)(cid:188)(cid:78)(cid:22)(cid:52)(cid:51)(cid:340)(cid:36)(cid:135)(cid:223)(cid:342)(cid:99)(cid:350)(cid:25)(cid:343)(cid:344)(cid:345)4(cid:335)
∴(cid:134)(cid:111)(cid:112)(cid:142)(cid:10)4
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7-2(cid:19)(cid:88)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:355)(cid:171)·(cid:224)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:89)(cid:356)(cid:229)(cid:88)(cid:90)(cid:91)1(cid:89)(cid:45)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:357)(cid:94)(cid:207)(cid:358)(cid:60)(cid:25)(cid:38)(cid:258)(cid:359)(cid:345)(cid:79)(cid:45)(cid:360)(cid:229)(cid:289)(cid:25)(cid:361)
(cid:362)(cid:87)(cid:356)(cid:229)(cid:25)(cid:72)(cid:363)(cid:142)(cid:38)(cid:22)(cid:52)(cid:79)(cid:90)(cid:91)2(cid:79)(cid:22)(cid:37)(cid:142)O(cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:364)(cid:98)(cid:207)(cid:238)(cid:286) (cid:364)(cid:30)(cid:113)(cid:88)(cid:91)2(cid:72)(cid:25)(cid:71) (cid:142)(cid:364)(cid:98)(cid:30)(cid:113)
(cid:71)(cid:89)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:152) (cid:79) (cid:61) (cid:25)(cid:332)(cid:182)(cid:176)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:168) (cid:25)(cid:28)⊙(cid:29)𝑂(cid:142)(cid:88) (cid:89) 𝐴∼𝐻
𝐴𝐷 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝑃 ∠𝑃
A(cid:87)60° B(cid:87)50° C(cid:87)45° D(cid:87)30°
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)C
360°
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:25)(cid:365)(cid:115)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79) (cid:79)(cid:119)(cid:210)(cid:364)(cid:51)(cid:52)(cid:123) = = =45°(cid:79)
8
(cid:119)(cid:119)(cid:34)(cid:314)(cid:101)(cid:122)(cid:169) (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:119)(cid:22)(cid:25)𝑂(cid:365)𝐴(cid:115)𝑂(cid:101)𝐻(cid:102)(cid:123)𝑂𝐺 𝑂𝐷=90°(cid:79)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:68)∠(cid:92)𝐴𝑂(cid:126)𝐻(cid:127)(cid:210)∠(cid:212)𝐻𝑂(cid:51)𝐺(cid:52)(cid:61)(cid:22)(cid:79)(cid:22)(cid:25)(cid:365)
(cid:115)(cid:101)(cid:102)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)𝐷(cid:3)𝐻(cid:128)(cid:87)⊙𝑂 ∠𝐷𝐴𝑃
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79) (cid:79)
𝑂𝐴 𝑂𝐻 𝑂𝐺 𝑂𝐷
(cid:71) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:45) (cid:25)(cid:364)(cid:30)(cid:113)(cid:71)(cid:79)
3∵60° 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 ⊙𝑂
= = =45°(cid:79)
8
∴∠𝐴𝑂𝐻 ∠𝐻𝑂𝐺1
= =45°(cid:79)
2
(cid:119)∴(cid:34)∠𝐴(cid:314)𝐷𝑃(cid:101)(cid:122)(cid:169)∠(cid:79)𝐴𝑂𝐺 (cid:45) (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
=90°(cid:79)𝐷𝐻 ⊙𝑂
∴ ∠𝐷=𝐴𝑃 =45°(cid:87)
(cid:134)∴(cid:136)∠𝑃(cid:10)C(cid:87)90°−45°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7-3(cid:19)(cid:315)(cid:316)(cid:45)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:325)(cid:235)(cid:25)(cid:38)(cid:258)(cid:322)(cid:67)(cid:323)(cid:324)(cid:366)(cid:367)(cid:79)(cid:204)(cid:218)(cid:368)(cid:369)(cid:190)(cid:370)(cid:371)(cid:79)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:78)(cid:375)(cid:241)(cid:376)(cid:377)(cid:72)(cid:378)(cid:379)(cid:380)
(cid:60)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:315)(cid:316)(cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:142)2m(cid:79)(cid:315)(cid:316)(cid:36)(cid:381)(cid:382)(cid:209)(cid:268)(cid:118)12(cid:98)(cid:383)(cid:322)(cid:315)(cid:79)(cid:218)(cid:72)A(cid:79)B(cid:79)C(cid:45)(cid:42)(cid:219)(cid:25)(cid:62)(cid:98)(cid:383)(cid:322)(cid:315)(cid:79)(cid:78)(cid:322)
(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:55)(cid:25)(cid:259)(cid:260)(cid:139)(cid:79)(cid:315)(cid:316)(cid:36)(cid:25)(cid:105)(cid:38)(cid:98)(cid:383)(cid:322)(cid:315)(cid:83)(cid:86)(cid:382)(cid:387)(cid:66)(cid:388)(cid:87)(cid:389)(cid:243)(cid:390)(cid:391)(cid:79)(cid:261)A(cid:392)(cid:393)(cid:322)(cid:271)(cid:262)(cid:79)C(cid:394)(cid:395)(cid:393)(cid:361)(cid:164)(cid:396)
(cid:322)(cid:72)(cid:79)(cid:105)(cid:98)(cid:383)(cid:322)(cid:315)(cid:368)(cid:243)(cid:322)(cid:384)(cid:60)(cid:262)3(cid:397)(cid:79)(cid:392)(cid:393)(cid:322)(cid:271)6(cid:397)(cid:233)(cid:322)(cid:393)(cid:361)(cid:398)(cid:108)(cid:79)(cid:142)(cid:380)(cid:49)(cid:322)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:122)(cid:400)(cid:212)(cid:403)(cid:49)(cid:178)(cid:322)(cid:79)
(cid:168)(cid:49)(cid:322)(cid:399)(cid:404)(cid:392)(cid:322)(cid:271)(cid:25)(cid:232)(cid:185)(cid:405)(cid:28)(cid:45)(cid:88) (cid:89)
A(cid:87)(2+ 8)m B(cid:87)2 3m C(cid:87)2m D(cid:87)3m
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:79)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:87)(cid:244)(cid:108)(cid:91)(cid:52)(cid:79)(cid:73)(cid:123) (cid:45)(cid:30)(cid:51)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)(cid:234)(cid:235)
(cid:152) (cid:152) (cid:78)(cid:40)(cid:38)(cid:43)(cid:176)(cid:36)(cid:79)(cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:68)(cid:87) △𝐴𝑂𝐶
𝐶(cid:15)(cid:129)𝑂(cid:68)(cid:19)𝑀(cid:68)(cid:10)(cid:49)(cid:322)(cid:399)(cid:404)(cid:392)(cid:322)(cid:271)(cid:25)(cid:232)(cid:185)(cid:405)(cid:28)(cid:45)(cid:360)(cid:383)(cid:322)(cid:315)(cid:392)(cid:393)(cid:322)(cid:271)(cid:393)(cid:361)(cid:398)(cid:322)(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:79)
(cid:43)(cid:176) (cid:406)(cid:301)(cid:49)(cid:322)(cid:399)(cid:404)(cid:392)(cid:322)(cid:271)(cid:25)(cid:232)(cid:185)(cid:405)(cid:28)(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:79)(cid:121)(cid:383)(cid:322)(cid:315)A(cid:394)(cid:395)(cid:291)(cid:178) (cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:398)(cid:322)(cid:79)
(cid:43)(cid:176)𝑀𝑁(cid:406)(cid:301)(cid:322)(cid:271)(cid:79)(cid:315)(cid:316)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:142) (cid:79)(cid:168) = = =2m(cid:79) 𝑀
𝐴𝐵 𝑂 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶360°
(cid:119)(cid:20)(cid:154)(cid:123) = = =30°(cid:79)
12
=∠6𝐴0𝑂°(cid:79)𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶
∴∠𝐴𝑂𝐶 (cid:45)(cid:30)(cid:51)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79) = = =2m(cid:79)
∴(cid:105)△(cid:98)𝐴𝑂(cid:383)𝐶(cid:322)(cid:315)(cid:368)(cid:243)(cid:322)(cid:384)(cid:60)(cid:262)𝑂𝐴3(cid:397)𝐴(cid:79)𝐶(cid:392)(cid:393)𝑂(cid:322)𝐶 (cid:271)6(cid:397)(cid:233)(cid:322)(cid:393)(cid:361)(cid:398)(cid:108)(cid:79)
∵ =2 (cid:79)
∴𝐴𝑀 =𝐴𝐶 =120°(cid:79)
∴∠𝐴𝑂𝑀+ 2∠𝐴𝑂𝐶=180°(cid:79)
∵(cid:71)∠𝐴𝑂(cid:152)𝑀 (cid:152)∠𝐴(cid:78)𝑂𝐶(cid:40)(cid:38)(cid:43)(cid:176)(cid:36)(cid:79)
∴ 𝐶(cid:142)(cid:43)𝑂(cid:44)𝑀(cid:81) =4m(cid:79)
∴𝐶𝑀 =90°𝐶(cid:79)𝑀
∴∠𝐶𝐴𝑀
= =2 3(m)(cid:79)
2 2
∴(cid:49)𝐴𝑀(cid:322)(cid:399)(cid:404)𝐶(cid:392)𝑀(cid:322)−(cid:271)𝐴𝐶(cid:25)(cid:232)(cid:185)(cid:405)(cid:28)(cid:45)2 3m(cid:79)
∴(cid:134)(cid:136)(cid:10)B(cid:87)
【题型8 圆周角定理与三角板的综合运用】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:61)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63) (cid:25)(cid:266)(cid:51) (cid:211)(cid:65)(cid:79)(cid:218)(cid:72)(cid:385)(cid:24)(cid:345)0(cid:407)(cid:28)(cid:176)(cid:25)(cid:408)(cid:71)P(cid:61)(cid:71)C(cid:211)(cid:65)(cid:79)
(cid:409)(cid:176) (cid:329) (cid:341)(cid:108)(cid:325)(cid:287)(cid:71)B(cid:309)(cid:288)(cid:262)(cid:289)(cid:207)(cid:358)(cid:153)𝐴(cid:105)𝐵(cid:397)𝐶 2(cid:28)(cid:25)𝐴(cid:387)𝐶(cid:28)(cid:290)(cid:291)(cid:79) (cid:61)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:35)(cid:84)(cid:31)(cid:71)E(cid:79)(cid:275)13(cid:397)
(cid:262)(cid:79)(cid:71)𝐵𝐷E(cid:78)𝐵𝐶(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:36)(cid:34)(cid:59)(cid:25)(cid:410)(cid:29)(cid:45) (cid:28)(cid:87) 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)52
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:92)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:119)(cid:20)(cid:154)(cid:411)(cid:123)
=26°(cid:79)(cid:71)B(cid:78)(cid:153) (cid:142)(cid:43)(cid:44)(cid:25)(cid:22)(cid:36)(cid:79)(cid:251)(cid:233)(cid:122)(cid:123) = =52°(cid:79)(cid:164)𝑂(cid:203)𝐸(cid:75)(cid:20)(cid:122)(cid:73)(cid:68)(cid:87)
∠(cid:15)𝐶(cid:129)𝐵𝐷(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:90)𝐴𝐶(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:10) ∠𝐶𝑂𝐸 2∠𝐶𝐵𝐸
𝑂𝐸=90°(cid:79)
∵(cid:71)∠𝐴B𝐵𝐶(cid:78)(cid:153) (cid:142)(cid:43)(cid:44)(cid:25)(cid:22)(cid:36)(cid:79)
(cid:119)∴ (cid:20)(cid:154)(cid:122)(cid:169)𝐴𝐶 =2°×13=26°(cid:79)
= ∠𝐶𝐵𝐷=52°(cid:79)
∴(cid:385)∠𝐶(cid:24)𝑂𝐸(cid:345)02(cid:407)∠(cid:28)𝐶𝐵(cid:176)𝐸(cid:25)(cid:408)(cid:71)P(cid:61)(cid:71)C(cid:211)(cid:65)(cid:79)
∵(cid:71)E(cid:78)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:36)(cid:34)(cid:59)(cid:25)(cid:410)(cid:29)(cid:45)52(cid:28)(cid:92)
(cid:134)∴ (cid:111)(cid:112)(cid:142)(cid:10)52(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)8-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:79)(cid:412)(cid:388)(cid:413)(cid:72)(cid:414)(cid:414)(cid:286)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63)45°(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:71)P(cid:415)(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:82)(cid:51)(cid:113)(cid:94)(cid:84) (cid:31)(cid:71)A(cid:79)
B(cid:87)(cid:416)(cid:325)(cid:417)(cid:385)(cid:108) (cid:25)(cid:182)(cid:79)(cid:418)(cid:122)(cid:73) (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:79)(cid:261) =8(cid:262)(cid:79) (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:142)⊙(cid:88)𝑂 (cid:89) ⊙𝑂
𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂
A(cid:87)2 2 B(cid:87)2 3 C(cid:87)4 D(cid:87)4 2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)D
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:61)(cid:151)(cid:55)(cid:79)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)(cid:177)
(cid:49) (cid:152) (cid:79)(cid:67)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123) = =90°(cid:79)(cid:123)(cid:108) (cid:45)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)(cid:189)(cid:67)(cid:60)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)
(cid:62)𝑂(cid:24)𝐴(cid:52)(cid:25)𝑂𝐵(cid:101)(cid:102)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:68)(cid:87) ∠𝐴𝑂𝐵 2∠𝐴𝑃𝐵 △𝐴𝑂𝐵
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:152) (cid:79)
𝑂𝐴 𝑂𝐵
=45°(cid:79)
∵∠𝐴𝑃𝐵 = =90°(cid:79)
(cid:190)∴∠𝐴𝑂𝐵= 2∠(cid:79)𝐴𝑃𝐵
∵𝑂𝐴 (cid:45)𝑂(cid:30)𝐵(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)
∴△𝐴𝑂+𝐵 = = (cid:79)
2 2 2 2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐵 2𝑂𝐴 𝐴𝐵=4 2(cid:79)
∴𝑂𝐴 (cid:25)(cid:39)(cid:44)(cid:142)4 2(cid:87)
(cid:134)∴⊙(cid:136)(cid:10)𝑂 D(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)8-2(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:200)30°(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63) (cid:25)(cid:266)(cid:51) (cid:61)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:211)(cid:65)(cid:79)(cid:71) (cid:130)(cid:71) (cid:78)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:25)(cid:39)(cid:22)(cid:36)(cid:79)
(cid:184)(cid:71) (cid:78)(cid:385)(cid:24)(cid:345)(cid:36)(cid:34)(cid:59)(cid:25)(cid:410)(cid:29)(cid:45)50°(cid:79)(cid:168) 𝐴𝐵𝐶(cid:25)(cid:28)(cid:29)𝐴(cid:45)𝐵 (cid:92) 𝐶 𝐷
𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)35°/35(cid:28)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:119)(cid:20)(cid:154)(cid:122)(cid:169) =60°(cid:79) =50°(cid:79)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:178) = =120°(cid:79)
(cid:123)(cid:178) =7𝑂0𝐶°,(cid:79)𝑂𝐷(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:178)(cid:111)(cid:112)(cid:87)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐶 2∠𝐶𝐴𝐵
(cid:15)(cid:129)∠(cid:68)𝐷(cid:19)𝑂(cid:68)𝐶 (cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
𝑂𝐶,𝑂𝐷
(cid:119)(cid:20)(cid:154)(cid:122)(cid:169) =60°(cid:79) =50°(cid:79)
= ∠𝐵𝐴𝐶 =120°(cid:79)∠𝐵𝑂𝐷
∴∠𝐵𝑂𝐶 =2∠𝐶𝐴𝐵 =70°(cid:79)
∴∠𝐷𝑂𝐶 1∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐵𝑂𝐷
= =35°
2
∴(cid:134)∠(cid:111)𝐶𝐴(cid:112)𝐷(cid:142)(cid:10)∠3𝐷5°𝑂𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:170)(cid:19)(cid:120)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:55)(cid:56)(cid:48)(cid:419)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)8-3(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:38)(cid:420)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:63)(cid:25)30°(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:71) (cid:415)(cid:78) (cid:36)(cid:79)(cid:82)(cid:51)(cid:113)(cid:94)(cid:84) (cid:31) (cid:79) (cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:184) (cid:25)
(cid:43)(cid:44)(cid:142)8(cid:79)(cid:168)(cid:47) (cid:25)(cid:182)(cid:142) (cid:87) 𝑃 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 ⊙𝑂
𝐴𝐵(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)4
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:177)(cid:49) (cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:40)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:123)(cid:108) = =30°(cid:79)
=90°(cid:79)𝐴(cid:189)𝑂(cid:119)(cid:200)30(cid:28)⊙(cid:24)(cid:25)𝑂(cid:43)(cid:24)𝐷(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)𝐵(cid:101)𝐷(cid:102)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:108)(cid:179)(cid:236)(cid:87) ∠𝐷 ∠𝑃
∠(cid:15)𝐴(cid:129)𝐵𝐷(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:177)(cid:49) (cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
𝐴𝑂 ⊙𝑂 𝐷 𝐵𝐷
=30°(cid:79)
∵∠𝑃 = =30°(cid:87)
∴∠𝐷(cid:45) ∠𝑃 (cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79) =8(cid:79)
∵𝐴𝐷 ⊙=𝑂90°(cid:79) 𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐷 1
= =4(cid:87)
2
(cid:134)∴(cid:111)𝐴(cid:112)𝐵(cid:142)(cid:10)4 𝐴(cid:87)𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:170)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:45)(cid:40)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:154)(cid:244)(cid:108)(cid:279)(cid:280)(cid:176)(cid:79)(cid:205)(cid:206)(cid:108)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:45)(cid:68)(cid:111)(cid:120)(cid:20)(cid:25)(cid:3)
(cid:128)(cid:87)
【题型9 利用圆周角定理解决格点中的求值问题】
(cid:15)(cid:106)9(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)6×6(cid:25)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:421)(cid:70)(cid:91)(cid:52) (cid:72)(cid:79)(cid:105)(cid:98)(cid:186)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:182)(cid:142)1(cid:79)M(cid:152)N(cid:113)(cid:94)(cid:45) (cid:152) (cid:36)(cid:25)(cid:70)
(cid:71)(cid:87)(cid:184)(cid:71)P(cid:45)(cid:99)(cid:98)(cid:421)(cid:70)(cid:91)(cid:52)(cid:72)(cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:79)(cid:177)𝐴(cid:49)𝐵𝐶𝐷(cid:152) (cid:79)(cid:168)(cid:422)(cid:423) =45°(cid:25)(cid:71)P(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:110)(cid:89)𝐴𝐵(cid:98) 𝐵𝐶
𝑃𝑀 𝑃𝑁 ∠𝑀𝑃𝑁A(cid:87)3 B(cid:87)4 C(cid:87)5 D(cid:87)6
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)C
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:217)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:82)(cid:98)(cid:424)(cid:24)(cid:30)(cid:31)45°(cid:79)(cid:205)(cid:206)(cid:108)(cid:38)(cid:98)P(cid:71)(cid:79)(cid:189)(cid:353)(cid:108) (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:79)(cid:99)(cid:98)(cid:100)
(cid:49)(cid:22)(cid:61)(cid:421)(cid:70)(cid:84)(cid:71)(cid:142)(cid:70)(cid:71)(cid:25)(cid:83)(cid:131)(cid:65)(cid:20)(cid:154)(cid:87) △𝑃1𝑀𝑁
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78) (cid:51)(cid:36)(cid:308)(cid:71) (cid:79)(cid:380) = =2(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79)
𝐵𝐶 𝑃1 𝐵𝑃1 𝐴𝑁 𝑁𝑃1 𝑀𝑃1
= =4(cid:79)
∴𝑁𝐵 𝐴=𝑀 =90°(cid:79)
∵∠𝑀𝐴𝑁 ∠𝑁𝐵𝑃1 (SAS)(cid:79)
∴△𝑀=𝐴𝑁≌△(cid:79)𝑁𝐵𝑃1 = (cid:79)
∴𝑀𝑁
𝑁+𝑃1 ∠𝐴𝑀=𝑁90°(cid:79)∠𝐵𝑁𝑃1
∵∠𝐴𝑁𝑀+∠𝐴𝑀𝑁 =90°(cid:79)
∴∠𝐴𝑁𝑀 (cid:45)∠𝐵(cid:30)𝑁(cid:226)𝑃1(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)
∴△𝑃1𝑀𝑁=45°(cid:79)
∴(cid:244)∠𝑀𝑃1𝑁 (cid:25)(cid:100)(cid:49)(cid:22)(cid:84)(cid:421)(cid:70)(cid:31) (cid:152) (cid:152) (cid:152) (cid:79)
(cid:147)(cid:148)△(cid:22)𝑃1(cid:23)𝑀(cid:24)𝑁(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:123) =𝑃2 𝑃3 𝑃=4 𝑃5 = = =45°(cid:79)
(cid:134)(cid:136)(cid:10)C(cid:87) ∠𝑀𝑃1𝑁 ∠𝑀𝑃2𝑁 ∠𝑀𝑃3𝑁 ∠𝑀𝑃4𝑁 ∠𝑀𝑃5𝑁
(cid:15)(cid:71)(cid:170)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:425)(cid:30)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:151)(cid:55)(cid:79)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:30)(cid:79)(cid:68)(cid:111)(cid:262)(cid:349)(cid:188)(cid:38)(cid:55)(cid:25)(cid:426)(cid:363)(cid:133)(cid:276)(cid:400)(cid:427)(cid:79)(cid:224)(cid:21)(cid:154)(cid:213)(cid:87)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)9-1(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:421)(cid:70)(cid:91)(cid:72)(cid:25)(cid:105)(cid:98)(cid:186)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:182)(cid:381)(cid:142)1(cid:79)(cid:71)A(cid:152)B(cid:152)C(cid:152)D(cid:142)(cid:70)(cid:71)(cid:79)(cid:209)(cid:368)(cid:243)(cid:91)(cid:72)(cid:70)(cid:71)A(cid:152)
B(cid:152)C(cid:62)(cid:71)(cid:25)(cid:22)(cid:35)(cid:61) (cid:84)(cid:31)E(cid:79)(cid:168)AE(cid:25)(cid:182)(cid:142) (cid:87)
𝐴𝐷
5 2
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:199)(cid:218)(cid:288)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:151)(cid:55)(cid:130)(cid:101)(cid:102)(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:79)(cid:428)(cid:412)(cid:66)(cid:60)(cid:33)(cid:11)
(cid:169)(cid:213)(cid:73)(cid:68)(cid:45)(cid:68)(cid:69)(cid:115)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79)(cid:147)(cid:148)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:288)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:30)(cid:226)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:25)(cid:151)(cid:55)(cid:122)(cid:123)
(cid:45)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)(cid:189)(cid:147)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝐸(cid:55)𝐵(cid:56)(cid:130)𝐵𝐷(cid:35)(cid:182)𝐴(cid:25)𝐵(cid:263)(cid:264)(cid:7)(cid:138)(cid:164)(cid:165)(cid:73)(cid:68)(cid:121)(cid:122)(cid:87) △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79) (cid:79) (cid:79)
𝐸𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐵
= = 4 +3 =5(cid:79) = 1 +7 =5 2(cid:79)
2 2 2 2
∵𝐵𝐷 + 𝐴𝐵 = (cid:79) 𝐴𝐷
2 2 2
∴𝐵𝐷 𝐴=𝐵90°(cid:79)𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐷 (cid:45)(cid:30)(cid:226)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:79)
∴△𝐴𝐵𝐷=90°(cid:79)
∵∠𝐴(cid:45)𝐶𝐵(cid:22)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∴𝐴𝐵 =90°(cid:79)
∴∠𝐴𝐸𝐵1 5 2
= = (cid:87)
2 2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)9-2(cid:19)(cid:88)24-25(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:36)·(cid:191)(cid:192)(cid:222)(cid:429)·(cid:163)(cid:174)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:105)(cid:98)(cid:186)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:182)(cid:142)1(cid:25)(cid:421)(cid:70)(cid:72)(cid:79) (cid:48)(cid:49)(cid:31)
(cid:22)(cid:79)(cid:81)(cid:77)(cid:71)A(cid:79)B(cid:381)(cid:78)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:87) △𝐴𝐵𝐶(cid:88)1(cid:89)(cid:176)(cid:196) (cid:25)(cid:182)(cid:142) (cid:92)
(cid:88)2(cid:89)(cid:430)(cid:60)(cid:96)𝐴𝐵(cid:407)(cid:28)(cid:25)(cid:43)(cid:431)(cid:79)(cid:78)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:25)(cid:421)(cid:70)(cid:72)(cid:79)(cid:78)(cid:22)(cid:36)(cid:353)(cid:108)(cid:71)M(cid:79)(cid:380) + =90°(cid:79)(cid:80)(cid:145)(cid:188)(cid:432)(cid:235)(cid:71)
M(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:45)(cid:90)(cid:295)(cid:433)(cid:178)(cid:25)(cid:88)(cid:132)(cid:188)(cid:73)(cid:234)(cid:235)(cid:89) (cid:87) ∠𝑀𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19) 5 (cid:91)(cid:434)(cid:68)(cid:114) (cid:79)(cid:56)(cid:119)(cid:434)(cid:68)(cid:114)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:116)(cid:117)(cid:421)(cid:70)(cid:61)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:39)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:142)(cid:43)(cid:24)(cid:79)(cid:30)(cid:22)(cid:41)(cid:40)(cid:22)(cid:72)(cid:79)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:126)(cid:127)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:22)(cid:25)(cid:365)(cid:435)(cid:169)(cid:213)(cid:45)(cid:68)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:128)(cid:87)
(cid:88)1(cid:89)(cid:147)(cid:148)(cid:421)(cid:70)(cid:61)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:68)(cid:92)
(cid:88)2(cid:89)(cid:147)(cid:148)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:39)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:142)(cid:43)(cid:24)(cid:79)(cid:30)(cid:22)(cid:41)(cid:40)(cid:22)(cid:72)(cid:79)(cid:30)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:79)(cid:43)(cid:24)(cid:62)(cid:24)(cid:52)(cid:82)(cid:424)(cid:24)(cid:53)(cid:436)(cid:25)
(cid:207)(cid:296)(cid:244)(cid:91)(cid:121)(cid:122)(cid:87)
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:68)(cid:10)(cid:88)1(cid:89) = 3 +4 =5(cid:79)
2 2
(cid:134)(cid:111)(cid:112)(cid:142)(cid:10)5(cid:92) 𝐴𝐵
(cid:88)2(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:79)(cid:244)(cid:43)(cid:44) (cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:79)
𝐸𝐹,𝑃𝑄 𝑂 𝐶𝑂 ⊙𝑂 𝑀 𝐵𝑀
(cid:43)(cid:44) (cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)
∵(cid:71) (cid:142)𝐸𝐹(cid:22),𝑃(cid:37)𝑄(cid:79) 𝑂
∴ 𝑂(cid:142)(cid:43)(cid:44)(cid:79)
∴𝐶𝑀 =90°(cid:79)
∴∠𝐶𝐵𝑀+ =90°(cid:79)
∴∠𝐶𝑀=𝐵 (cid:79)∠𝑀𝐶𝐵
∵𝐶𝐵 𝐶𝐵= (cid:79)
∴∠𝐶𝐴𝐵 +∠𝐶𝑀𝐵=90°(cid:79)
∴(cid:71)∠𝑀𝐶(cid:121)𝐵(cid:142)(cid:33)∠𝐶(cid:73)𝐴𝐵(cid:71)(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:87)
∴(cid:15)(cid:137)𝑀(cid:138)9-3(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:78)(cid:105)(cid:98)(cid:186)(cid:210)(cid:207)(cid:52)(cid:25)(cid:51)(cid:182)(cid:142)1(cid:25)(cid:421)(cid:70)(cid:72)(cid:79) (cid:25)(cid:77)(cid:71)(cid:381)(cid:415)(cid:78)(cid:70)(cid:71)(cid:36)(cid:87)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:88)1(cid:89)(cid:176)(cid:196) (cid:25)(cid:182)(cid:30)(cid:31) (cid:92)
𝐵𝐶 1 2
(cid:88)2(cid:89)(cid:153) (cid:142)(cid:43)(cid:44)(cid:244)(cid:39)(cid:22)(cid:79)(cid:78)(cid:39)(cid:22)(cid:36)(cid:433)(cid:38)(cid:71) (cid:79)(cid:422)(cid:423) = (cid:92)(cid:78) (cid:36)(cid:433)(cid:38)(cid:71) (cid:79)(cid:422)(cid:423) = (cid:79)(cid:430)
4 2
(cid:60)(cid:96)(cid:407)(cid:28)𝐴(cid:25)𝐵(cid:43)(cid:431)(cid:79)(cid:78)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:25)(cid:421)(cid:70)(cid:72)(cid:79)(cid:353)𝐹(cid:108)(cid:71) (cid:130)∠(cid:71)𝐴𝐹𝐶(cid:79)(cid:80)(cid:145)∠𝐵(cid:188)𝐴(cid:432)𝐶(cid:235)(cid:32)𝐴(cid:437)𝐵(cid:25)(cid:238)(cid:268)(cid:45)𝐺(cid:90)(cid:295)(cid:433)(cid:178)𝐴(cid:25)𝐺(cid:88)(cid:132)(cid:188)𝐴𝐶(cid:73)(cid:234)
(cid:235)(cid:89) (cid:87) 𝐹 𝐺
(cid:15)(cid:111)(cid:112)(cid:19) 2 5 (cid:434)(cid:68)(cid:114)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:45)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:79)(cid:22)(cid:25)(cid:365)(cid:115)(cid:101)(cid:102)(cid:79)(cid:438)(cid:439)(cid:25)(cid:244)(cid:91)(cid:79)
(cid:88)1(cid:89)(cid:67)(cid:60)(cid:201)(cid:202)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:111)(cid:112)(cid:92)
(cid:88)2(cid:89)(cid:308)(cid:70)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49)CO(cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84)(cid:39)(cid:22)(cid:31)(cid:71) (cid:92)(cid:308)(cid:70)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:79)(cid:61) (cid:25)(cid:332)(cid:182)(cid:176)(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)(cid:49)
(cid:84)(cid:31)(cid:71) (cid:79)(cid:177)𝑂(cid:49) (cid:79)(cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84) (cid:31)(cid:71) (cid:79)𝐹(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:91)(cid:87)𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝐸 𝐵𝐷,𝐴𝐹
𝐻 𝐸𝐻 𝐴𝐵 𝐺
(cid:15)(cid:129)(cid:68)(cid:19)(cid:88)1(cid:89)(cid:68)(cid:10)(cid:78)Rt (cid:72)(cid:79) = + = 4 +2 = 20=2 5(cid:92)
2 2 2 2
(cid:134)(cid:111)(cid:112)(cid:142)(cid:10)2 5(cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:88)2(cid:89)(cid:68)(cid:10)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:301)(cid:79)
1 1
(cid:90)(cid:91)(cid:79)(cid:308)(cid:70)(cid:71) (cid:79)(cid:121)(cid:39)(cid:22)(cid:25)(cid:22)(cid:37)(cid:79)(cid:177)(cid:49) (cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84)(cid:39)(cid:22)(cid:31)(cid:71) (cid:79) = = (cid:79)
2 2
𝑂 𝐶𝑂 𝐹 ∵∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶,∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶1
= (cid:79)(cid:71) (cid:121)(cid:142)(cid:33)(cid:244)(cid:71)(cid:92)
4
(cid:308)∴(cid:70)∠𝐴(cid:71)𝐹𝐶D(cid:79)(cid:177)∠(cid:49)𝐵𝐴A𝐶D(cid:80)(cid:332)𝐹(cid:182)(cid:79)(cid:61)BF(cid:25)(cid:332)(cid:182)(cid:176)(cid:84)(cid:31)(cid:71)E(cid:79)(cid:177)(cid:49)BD,AF(cid:84)(cid:31)(cid:71)H(cid:79)(cid:177)(cid:49)EH(cid:79)(cid:80)(cid:332)(cid:182)(cid:84)AB(cid:31)(cid:71)G(cid:79)
AEG ABD(cid:79) AD=AG(cid:79) AC=2(cid:79) 2AC= 2(cid:79) AD= 12+12 = 2(cid:79) AG=AD= 2
2
∵ △ ≌△ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴
=
2AC(cid:79)(cid:71)G(cid:121)(cid:142)(cid:33)(cid:73)(cid:87)
2
