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06 圆周运动
[-考点-03-] 水平面内圆周运动的临界极值问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速
圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化
转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值
弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大
承受力等．
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，
找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，
利用牛顿第二定律列方程求解．
典例1 (摩擦力突变的临界极值问题)(多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视
为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l，b 与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的
最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢
地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正
确的是( )
A．b 一定比a 先开始滑动
B．a、b 所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b 开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a 所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 小木块a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，
1
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静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有Ffa＝mωa
2l，当Ffa
＝kmg 时，kmg＝mωa
2l，ωa＝；对木块b 有Ffb＝mωb
2·2l，当Ffb＝kmg 时，kmg＝mωb
2·2l，
ωb＝，则ω＝是b 开始滑动的临界角速度，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 比a 先开始滑
动，选项A、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，则Ffb＝mω2·2l，
Ffa<Ffb，选项B 错误；ω＝<ωa＝，a 没有滑动，则Ffa′＝mω2l＝kmg，选项D 错误．
典例2 (物体间恰好分离的临界极值问题)细绳一端系住一个质量为m 的小球(可视为质
点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h 高度处，绳长l 大于h，使小球在桌面上做如图所
示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )
A.
B．2π
C.
D.
答案 D
解析 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力
F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝htan θ，受
力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htan θ；当球即将离开
水平桌面时，FN＝0，转速n 有最大值，此时nm＝，故选D.
典例3 (绳上拉力的临界极值问题)(多选)(2023·湖北省公安县等六县质检)如图所示，AB 为
竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5 kg 的小球(可视为质
点)，另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C 处共同连着一质量为m2的小球(可视为质点)，长
细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC 能承受的最大拉力为27.6 N．圆筒顶端A 到C 点
的距离l1＝1.5 m，细绳BC 刚好被水平拉直时长l2＝0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速
度，在BC 绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC 绳被拉直之后，放开
m1，重力加速度g 取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大
B．当角速度ω＝ rad/s 时，BC 绳刚好被拉直
C．当角速度ω＝3 rad/s 时，AC 绳刚好被拉断
D．当角速度ω＝4 rad/s 时，BC 绳刚好被拉断
2
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答案 ABD
解析 转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ 逐渐增大，m2
竖直方向处于平衡，由FTAcos θ＝m2g，可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，
A 正确；BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝，
对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2gtan θ＝m2ω1
2l2，解得ω1＝ rad/s，B 正确；
当ω＝3 rad/s> rad/s，BC 绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不
变且为50 N，小于AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，C 错误；对小球m2，竖直方向有
m1gcos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC 被拉断时有m1gsin θ＋FTBC＝m2ω2
2l2，解得ω2＝4
rad/s，D 正确．
1.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆
盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪
种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止( )
A．增大圆盘转动的角速度
B．增大木块到转轴的距离
C．增大木块的质量
D．改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止
答案 C
解析 木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：μmg＝mω2r，角速
度ω 增大，所需要的向心力Fn＝mω2r 增大，mω2r 将大于最大静摩擦力μmg 而发生相对滑
动，故A 错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力Fn＝mω2r 越大，则会发生滑动，故
B 错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所
以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C 正确，D 错误．
2.(2023·湖南·质检)如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m 的铁质螺丝帽研究匀速圆
周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀
速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩
擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑
料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
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A．螺丝帽受重力、弹力、摩擦力以及向心力
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝
D．若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
答案 C
解析 螺丝帽受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向
心力，弹力的方向指向圆心，故A、B 错误；螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和
最大静摩擦力平衡，根据mg＝Ff＝μFN，FN＝mω2r，解得ω＝，故C 正确；若塑料管转动
加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力
仍然平衡，故D 错误．
3.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根
长为l＝1 m 的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内
绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(
)
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω＝ rad/s 时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2 rad/s 时，小球受重力、支持力和拉力作用
答案 BC
解析 转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin
θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω 达到ω0时支持力为零，支持力恰好为
零时有mgtan θ＝mω0
2lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A 错误，B、C 正确；当ω＝2 rad/s 时，小
球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D 错误．
4.如图所示，质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的B 点和A 点，绳a 长为
L，与水平方向成θ 角时绳b 恰好在水平方向伸直．当轻杆绕轴AB 以角速度ω 匀速转动时，
4
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小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b 绳均拉直．重力加速度为g，则( )
A．a 绳的拉力可能为零
B．a 绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b 绳中拉力不为零
D．当角速度ω>时，若a 绳突然被剪断，则b 绳仍可保持水平
答案 C
解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，
所以a 绳在竖直方向上的分力与小球重力相等，可知a 绳的拉力不可能为零，A 错误；根
据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a 绳的拉力不变，与角速度无关，
B 错误；当b 绳拉力为零时，有＝mω2Lcos θ，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b 绳出现拉
力，C 正确；若a 绳突然被剪断，则b 绳不能保持水平，D 错误．
5.(多选)(2023·重庆市·月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平
放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r 甲
∶r 乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的
完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间
距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(
)
A．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω 甲∶ω 乙＝1∶3
B．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B 先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
答案 ABC
解析 由题意可知两轮盘边缘的线速度v 大小相等，由v＝ωr，r 甲∶r 乙＝3∶1，可得ω 甲
∶ω 乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B 的角速度之比为1∶3，故A 正确；滑块相
对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B
的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B 正确；滑块的最大静摩擦力分别为 FfA＝μmAg，FfB
＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩擦力之比为
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FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B 先达到最大静摩擦力而先开始滑动，
故C 正确，D 错误．
6．(2023·吉林·调研)如图所示，两个相同的小木块A 和B(均可看做质点)，质量均为m，用
长为L 的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A 与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸
直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g.
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的
是( )
A．木块A、B 所受的摩擦力始终相等
B．木块B 所受摩擦力总等于木块A 所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B 将要相对圆盘发生滑动
答案 D
解析 当角速度较小时，A、B 均靠静摩擦力提供向心力，由于B 转动的半径较大，则B 先
达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A 的静摩擦力达到最大时，角
速度增大，A、B 开始发生相对滑动，可知B 的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张
力前，A、B 的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力
后，A、B 的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B 错误．当摩擦力刚好提供B 做圆周运动的向
心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C 错误；当A 的摩擦力达到
最大时，A、B 将要开始滑动，对A 有：kmg－FT＝mLω′2，对B 有：FT＋kmg＝
m·2Lω′2，解得ω′＝ ，故D 正确．
7.(多选)(2023·江西·月考)如图所示，一个上表面粗糙、中心有孔的水平圆盘绕轴MN 转动，
系有不可伸长细线的木块置于圆盘上，细线另一端穿过中心小孔O 系着一个小球。已知木
块、小球皆可视为质点，质量皆为m，木块到O 点的距离为R，O 点与小球之间的细线长
为L。当圆盘以角速度为ω 匀速转动时，小球以角速度ω 随圆盘做圆锥摆运动，木块相对
圆盘静止；连接小球的细线与竖直方向的夹角为α，小孔与细线之间无摩擦，则( )
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A.如果L 不变，ω 越大，则α 大
B.如果R＝L，无论ω 多大木块都不会滑动
C.如果R>L，ω 增大，木块可能向O 点滑动
D.如果R<L，ω 增大，木块可能远离O 点滑动
答案 AB
解析 小球做圆锥摆运动，设细线张力为FT，则有FTsin α＝mω2Lsin α，FTcos α＝mg，联
立可得ω＝，如果L 不变，ω 越大则α 越大，A 正确；由小球的运动可知细线张力FT＝
mω2L，木块随圆盘匀速转动所需向心力F＝mω2R，当R＝L，细线张力恰好提供木块做圆
周运动的向心力，摩擦力为零，而且此力只与ω 有关，所以无论ω 多大木块都不会滑动，
B 正确；如果R>L 木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O 点的摩
擦力Ff，当ω 增大，摩擦力Ff也增大，达到最大静摩擦力后木块会远离O 点滑动，C 错误；
同理，如果R<L 木块随圆盘匀速转动所需向心力小于细线张力，木块受到指向圆盘边缘的
摩擦力Ff，ω 增大到一定值，摩擦力达到最大值后木块会向O 点滑动，D 错误。
8.(2022·广东省深圳中学模拟)如图所示，小木块a、b 和c(可视为质点)放在水平圆盘上，
a、b 的质量均为m，c 的质量为，a 与转轴OO′的距离为l，b、c 与转轴OO′的距离为2l
且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加
速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是( )
A．b、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B．当a、b 和c 均未滑落时，a、c 所受摩擦力的大小相等
C．b 和c 均未滑落时线速度一定相同
D．b 开始滑动时的角速度是
答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要
的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动．b、c 质量不等，由Ff＝mrω2知b、c 所受
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摩擦力不等，不能同时从水平圆盘上滑落，A 错误；当a、b 和c 均未滑落时，a、b、c 和
圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，Ff＝mrω2，所以a、c 所受摩擦力的大小相等，
B 正确；b 和c 均未滑落时，由v＝rω 知线速度大小相等，方向不相同，故C 错误；b 开始
滑动时，最大静摩擦力提供向心力，kmg＝m·2lω2，解得ω＝，故D 错误．
9．(2023·宿迁市·期中)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有
竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边
缘．如图所示，质量为m 的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O 相距r，转盘的半径为
R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
为g.
(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向；
(2)使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；
(3)当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，
贴着侧壁一起转动，试求角速度ωm的大小．
答案 (1)mω0
2r 指向转盘中心O 点 (2) (3)
解析 (1)人做圆周运动，摩擦力提供向心力，有Ff＝mω0
2r，方向指向转盘中心O 点
(2)静摩擦力提供人做圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角
速度为最大角速度，则
μmg＝mω2r
解得ω＝
(3)人离开盘面贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供
向心力，则有
FN＝mωm
2R
μFN＝mg
解得ωm＝.
10．(2023·南京·期中)如图所示，长为L 的绳子下端连着质量为m 的小球，上端悬于天花板
上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重
力加速度为g)
(1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大；
(2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大；
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(3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力FN2各为多大．
答案 (1) (2)mg mg (3)3mg 0
解析 (1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得
mgtan θ＝m·Lsin θ·ω0
2
解得小球的角速度为ω0＝
(2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，由于ω1<ω0，桌面对小球存在支持力，竖直方向小球处
于平衡状态，满足
FN1＋F1cos θ＝mg
水平方向由向心力公式可得
F1sin θ＝m·Lsin θ·ω1
2
联立解得F1＝mg，FN1＝mg
(3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，由于ω2>ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力
FN2＝0
设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sin α＝m·Lsin α·ω2
2
解得F2＝3mg.
11.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B 两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速
圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．A、B 都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B 运动所需的向心力大于A 运动所需的向心力
C．盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2 倍
D．若B 相对圆盘先滑动，则A、B 间的动摩擦因数μA小于盘与B 间的动摩擦因数μB
答案 C
解析 把A、B 当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受
合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A 错误；
物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B 质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半
径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B 错误；由受力分析可知B 对A 的摩擦
力等于F，盘对B 的摩擦力等于2F，故C 正确；若B 相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜
μAmg，即μB＜μA，故D 错误．
12.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为L 的
水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍，A 放在距离转轴L 处，
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整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置
从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．当ω>时，A、B 会相对于转盘滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω 在<ω<范围内增大时，B 所受摩擦力变大
D．ω 在0<ω<范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
答案 ABD
解析 当A、B 所受摩擦力均达到最大值时，A、B 相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝
mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，A 项正确；当B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，
即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B 项正确；当ω>时，B 已达
到最大静摩擦力，则ω 在<ω<范围内增大时，B 受到的摩擦力不变，C 项错误；ω 在0<ω<
范围内，A 相对转盘是静止的，A 所受摩擦力为静摩擦力，所以由Ff－FT＝mLω2可知，当
ω 增大时，静摩擦力也增大，D 项正确．
13.(2023·湖南岳阳市第十四中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B 及物体 C
能随转台一起以角速度ω 匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A 与B、B 和C
与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C 离转台中心的距离分别为r 和1.5r.最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，物体A、B、C 均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是(
)
A．B 对A 的摩擦力一定为3μmg
B．B 对A 的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤
D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A 物体
答案 B
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