文档文本内容
第20 讲 圆周运动的临界问题
目 录
巩固·知识解构...................................................................................................................................... 1
知识点1 水平面内圆周运动的临界问题................................................................................3
知识点2 竖直平面内圆周运动的临界问题............................................................................2
知识点3 斜面上圆周运动的临界问题...................................................................................3
模拟·基础演练...............................................................................................................................................................4
⏳题型01 水平面内圆周运动的临界问题........................................................................................................4
⏳题型02 竖直面内的圆周运动临界问题........................................................................................................9
⏳题型03 斜面上圆周运动的临界问题..........................................................................................................13
重难·创新演练.............................................................................................................................................................17
真题·实战演练...........................................................................................................................................................229
巩固·知识解构
知识点1 水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
3．分析方法
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。
确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。
。
知识点2 竖直平面内圆周运动的临界问题
1．竖直面内圆周运动的两类模型
(1)无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”。
(2)有支撑（如球与杆连接、小球在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。
2．两种模型特点及涉及的临界问题
物理情境
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内
轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道
中运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力特征
最高点除重力外，物体受到
的弹力方向：向下或等于零
最高点除重力外，物体受到
的弹力方向：向下、等于零或向
上
受力
示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，mg＝m
即vmin＝
v＝0 即F 向＝0，FN＝mg
过最高
点的条件
在最高点的速度v≥
在最高点的速度v≥0
知识点3 斜面上圆周运动的临界问题
1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳
控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运
动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，
还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑
动摩擦力。
2．解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力沿垂直斜面方向的分力与物体受到的支持力平
衡，解决此类型问题时，可以按下图所示操作把问题简化。
模拟·基础演练
考查重点：圆周运动临界问题
⏳题型01
圆周运动的临界问题
水平面内
1.（2026·湖南·二模）2026 年春晚节目《世界义乌中国年》中，93 名孩子齐摇拨浪鼓送上新春祝福。
如图所示，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为LA、LB的两根不可伸长的
细绳，两根细绳另一端分别系着质量相同的小球A、B，其中LA< LB。现匀速转动手柄使两小球均在水平
面内匀速转动，连接小球A、B 的细绳与竖直方向的夹角分别为α和β，两小球线速度大小分别为v A、vB，
细绳对小球A、B 的拉力大小分别为F A、FB，下列判断正确的是（ ）
A．α > β
B．α = β
C．v A<vB
D．F A> FB
2.（2026·福建福州·三模）如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P 和Q（可视为质点），它们与
转台之间的动摩擦因数相同，P 与转轴
的距离为R1，Q 与转轴
的距离为R2，且R1<R2，转台绕
转轴
以角速度ω 匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
下列说法正确的是（ ）
A．滑块P 和Q 均受到四个力作用
B．P 的向心加速度大于Q 的向心加速度
C．P 所受到的摩擦力大于Q 所受到的摩擦力
D．若角速度ω 缓慢增大，Q 一定比P 先开始滑动
3.（多选）（2026 高三上·湖南岳阳·阶段检测）如图所示，质量均为m 的A、B 两个物块（均可视为
质点），用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过水平圆盘圆心的竖直线OO'，开始时轻绳恰好拉直但
无拉力，A、B 两物块的转动半径为rB=2r A =2r。A 和B 一起随圆盘绕竖直中心轴OO'转动，转动角速度
ω从零开始缓慢增大，直到两物块相对圆盘运动为止。它们与圆盘间的动摩擦因数均为μ，取最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（ ）
A．当圆盘的角速度小于❑√
μg
2r
时，绳中有拉力
B．当圆盘的角速度大于❑√
μg
2r
时，绳中有拉力
C．当圆盘的角速度等于❑√
μg
r
时，物块A 受到的摩擦力为零
D．当圆盘的角速度等于❑√
2 μg
r
时，物块A 和B 相对圆盘向A 的一侧发生相对滑动
4.（2026·河南濮阳·二模）如图所示，竖直放置的一光滑大圆环，半径为R，圆心为O。一根轻绳一端固定
在大圆环的最高点，另一端连接质量为m的小圆环，小圆环套在大圆环上。系统静止时细绳与竖直方向的
夹角为30°。现使大圆环绕过圆心O的竖直轴O1O2以角速度ω匀速转动，重力加速度为g。在角速度ω从0
逐渐增大，但小圆环未沿大圆环滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．ω=0时绳上拉力大小为mg
B．角速度增大到❑√
2g
R
时，大圆环对小圆环的弹力为零
C．角速度增大到❑√
2g
R
时，细绳对小圆环的拉力为零
D．细绳对小圆环的拉力比大圆环对小圆环的弹力先达到零
5.（2026 高三下·湖南娄底·开学考试）如图甲所示，将质量为m1的物块A 和质量为
的物块B 沿同一
半径方向放在水平转盘上，两者用长为L 的水平轻绳连接。物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的
k 倍，物块A 与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好
伸直但无拉力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中拉力FT与ω
2的关系如图乙所示，
当ω
2超过3ω1
2时，物块A、B 开始滑动。若图乙中的
、ω1及重力加速度g 均为已知，下列说法正确的是
（ ）
A．L=
F1
m2ω1
2
B．k = F1
m2 g
C．L=
F1
2m2ω1
2
D．m2=m1
【答案】C
【解析】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为2ω1
2时，A、B 间的细绳开始出现拉力，可知此时
B 达到最大静摩擦力，故有k m2 g=m2⋅2 L⋅2ω1
2
当转盘角速度的二次方为3ω1
2时，A 达到最大静摩擦力，对A 有k m1g−F1=m1 L⋅3ω1
2
对B 有k m2 g+ F1=m2⋅2 L⋅3ω1
2
联立以上三式解得L=
F1
2m2ω1
2，k = 2 F1
m2 g ，m2= 1
2 m1
故选C
⏳题型02 竖直
的圆周运动临界问题
面内
6.（2026·湖南永州·三模）如图甲所示，一横截面为圆形的水泥涵管、内截面圆的半径为R。一儿童在最低
点以一定的水平初速度踢出球，球沿管道运动在A 点脱离管道后，恰好落入位于圆心O 处的背兜，简化示
意图如图乙所示。忽略一切阻力和滚动的影响，重力加速度为g，则A 点离水平直径的距离h 为（ ）
A．
❑√3
3 R
B．
❑√6
4 R
C．2
3 R
D．
❑√2
2 R
7.（2026·山东烟台·二模）如图所示，在粗糙水平地面上放置一个质量为M 的支架，支架顶端通过轻
质铰链连接一根长为L 的轻杆，轻杆另一端连接一个质量为m 的小球（小球的半径忽略不计）。开始时小
球静止在底端，现给小球一水平初速度v0= ❑√5 gL，使小球在竖直面内做圆周运动，支架始终保持静止不
动。重力加速度大小为g，运动过程中忽略空气阻力。当小球到达最高点时，支架对地面压力的大小为（
）
A．Mg−mg
B．Mg
C．Mg+mg
D．Mg+2mg
8.（多选）（2026·贵州遵义·期中）如图所示，有一轻质杆长L=0.5m，一端固定一质量m 为0.5kg 的
小球（可视为质点），杆绕另一端在竖直面内做圆周运动，重力加速度g 取10m/ s
2。下列说法正确的是
（ ）
A．若小球恰好可以过最高点，则小球过最高点时速度v = ❑√5 m/s
B．若小球通过最高点时速度v = ❑√2m/ s，则此时杆对小球的弹力大小为3N
C．若小球通过最低点时速度v = ❑√10m/ s，则此时杆对小球的作用力竖直向上
D．由于阻力的影响，小球通过最高点的速度减小，则最高点时轻杆对小球的作用力一定减小
9.（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示，可以把地球看作一个巨大的拱形桥，拱面半径就是地球半
径R，地面上沿地球赤道行驶的汽车，质量为m，地面对它的支持力是F N。已知地球表面的重力加速度为
g，不考虑汽车行驶中空气的阻力和地球自转的影响。以下说法正确的是（ ）
A．F N与车速v 有关，v 越大F N越大
B．F N与车速v 无关，恒等于重力
C．当速度增大到❑√gR，汽车不能再加速
D．随着汽车的不断加速，汽车可以离开地面绕地心做椭圆运动
10.（2026·广西崇左·二模）小明同学用不可伸长的细线系一个质量为0.2kg 的发光小球（视为质点），
让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.5m 的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝
光时间为1
50 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的1
5的圆弧形径迹，取重力加速度大小
g=10m/s2。根据以上数据估算小球在最低点时细线对小球的拉力大小为（ ）
A．9N
B．10N
C．11N
D．12N
⏳题型03
圆周运动的临界问题
斜面上
11.（2026·湖南·二模）某公园内有一种可供游客娱乐的转盘，转盘表面与水平面成θ 角。质量为m、
可视为质点的游客随转盘一起绕转轴做匀速圆周运动。游客到转轴的距离为R，游客与转盘表面之间的动
摩擦因数为μ。如图所示，P、Q 点分别是游客运动的轨迹圆上的最高点和最低点，MN 是轨迹圆上垂直于
PQ 的直径，已知重力加速度大小为g，游客与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是
（ ）
A．游客在M 点受到的摩擦力指向圆心
B．游客在最高点的线速度最小为❑√gR sinθ
C．转盘的最大角速度为❑√
( μcosθ−sinθ)g
R
D．游客从Q 运动到P 的过程中，摩擦力做功mgRsinθ
12.（多选）（2025·广西南宁·二模）如图所示，长为L的细绳一端固定在倾角为α的光滑斜面上的O点
另一端拴接质量为m的小球（可视为质点）。小球在斜面上绕O点做圆周运动，到最高点P时细绳拉力恰
好为零。重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最低点Q时，细绳的拉力大小为
B．小球运动到最低点Q时，细绳的拉力大小为3mgsin α
C．小球运动到与圆心等高的位置时，速度大小为
D．小球运动到与圆心等高的位置时，速度大小为
13（多选）（2026 高三上·河南商丘·阶段检测）如图1 所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，
圆盘上距离转轴R =0.3m处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2 所示为物块在随圆
盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的f
2−t图线，图中t1、t2两时刻的时间间隔Δt =1s。已
知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10m/ s
2，π
2取10。下列判断中正确的是（ ）
A．物块所受向心力大小一定为3N
B．圆盘的倾角α可能为30°
C．物块的质量可能为5
3 kg
D．
时刻摩擦力一定指向圆心
14（多选）（2026·山东济南·期末）一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平
面的夹角分别为α和β，且α > β。转台绕过支架顶点O的竖直轴线以角速度ω匀速转动，两个小物块
、B
随支架转动且与支架相对静止。已知
、B距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A．物块
、B的向心加速度大小相等
B．物块
、B受到的摩擦力不可能同时为零
C．当物块
受到的摩擦力为零时，B受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下
D．若物块B受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下
15.（多选）（2026·全国·课后作业）如图所示，半径为R 的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水
平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴
重合，转台以一定角速度ω匀速旋转。甲、乙两个小物
块（可视为质点）质量均为m，分别在转台的A、B 两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，OA、OB
与
间的夹角分别为α =30
∘和β =60
∘，重力加速度大小为g。当转台的角速度为ω0时，小物块乙受到
的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A．ω0= ❑√
g
R
B．当转台的角速度为ω0时，甲有上滑的趋势
C．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的摩擦力一直增大
D．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的支持力一直增大
重难·创新演练
设题创新:结合生活情景 体育运动
1.（多选）如图甲所示是放在水平地面上的家用滚筒洗衣机运行脱水程序时，滚筒绕水平轴匀速转动的情
形；图乙是简化模型图，可认为某件质量为m 的湿衣物在竖直平面内紧贴筒壁做匀速圆周运动。设滚筒的
半径为R，角速度为ω，A、C 分别为滚筒的最高点与最低点，B、D 为圆心等高点，重力加速度为g。下
列说法正确的是（ ）
A．衣物在C 点对筒壁的压力为mg+mR ω
2
B．衣物在B、D 两点所受摩擦力大小均为mg，方向相反
C．衣物随滚筒运动的过程中洗衣机对地面的压力大小不变
D．滚筒匀速转动的角速度ω≥❑√
g
R
2..(2026·广东省·单元测试)游乐场有一种游乐设施叫“疯狂DISCO”，如图所示。游玩者坐在圆盘上，
圆盘周围有安全栏杆，圆盘启动时游玩者可以感受振动、正转、反转等刺激过程。假设有两位游玩者坐在
水平旋转的圆盘上，其中A游玩者坐在圆盘中间的某位置，B游玩者背靠着栏杆坐在圆盘上，如图乙所示。
现将圆盘的角速度增大到某值后，A、B两位游玩者均未滑动，继续做匀速圆周运动。下列说法正确的是
( )
A. B游玩者的质量一定大于A游玩者的质量
B. B游玩者的动摩擦因数一定大于A游玩者的动摩擦因数
C. 增大角速度后，A游玩者的摩擦力一定增大
D. 增大角速度后，B游玩者的摩擦力一定增大
3.（2026·陕西宝鸡·三模）如图甲所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小
球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点
时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与v
2的关系图线如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可得重力加速度g= a
b
B．根据图线可得小球的质量m= bR
a
C．v
2由2b变为b的过程中，小球克服阻力做功为1
2 mb
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
4.（2026·广东·二模）如图甲，场地自行车的赛车场为盆形，其弯道可简化为图乙所示“内低外高”的斜
坡，斜坡倾角为θ。若运动员经过图示位置时可视为做水平面内半径为R的匀速圆周运动，车轮受到沿斜
坡向下的摩擦力，重力加速度为g，则运动员经过图示位置时（ ）
A．速度大于❑√gRtanθ
B．速度小于❑√gRtanθ
C．加速度等于gtanθ
D．加速度小于gtanθ
【
5.（2026·辽宁朝阳·二模）（多选）如图所示，底面半径为R =0.2m的圆柱形桶固定在水平桌面上，橡皮筋
一端与桶顶部圆心O点相连，另一端从桶内隔板中央的光滑小孔A点穿过后与质量为m=2kg的小球P（可
视为质点）相连。已知橡皮筋的劲度系数为k =100 N/m且原长等于OA。当A点到桶底面距离足够大时，
给小球P 适当的速度，可使其在水平面内做匀速圆周运动（如图甲所示），且运动过程中不与桶壁接触。
当A点到桶底面距离h较小时，在底面圆心O
′点处给小球P 适当的速度，可使小球紧贴着底面沿直径做往
复运动（如图乙所示），若与桶壁碰撞，可视为弹性碰撞。已知橡皮筋的弹性势能Ep= 1
2 k x
2，x为橡皮筋
的形变量，小球P 与桶底面间的动摩擦因数μ=0.5，g取10 m /s
2，下列说法正确的是（ ）
A．当小球P在水平面内做圆周运动（不与桶壁接触）时，速度越大，小球与底面的距离越小
B．当小球P在水平面内做圆周运动（不与桶壁接触）时，最大线速度为❑√2m /s
C．当h=0.1m时，在O
′点给小球P 初动能Ek=5.875J，小球将与桶壁碰撞2 次
D．当h=0.1m时，在O
′点给小球P 初动能Ek=5.875J，小球将停在距离O
′点0.05 m处
【
真题·实战演练
高频考点：圆周运动在水平方向 竖直方向的临界问题
1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险
（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角θ很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为
L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯
半径R。在θ很小时，tanθ≈sinθ≈θ。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过Δx，则
最小过弯半径R 为（ ）
A．2 LD
θΔx
B．LD
θΔx
C．LD
2θΔx
D．LD
4θΔx
【答案】C
2.（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r 的卷轴可绕其固定的中心点O 在水平面内
转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l 的细管，管底在O 点。细管内有一根原长为l
2、劲度系数为k 的
轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v 匀速拉动细绳时，
插销做匀速圆周运动。若v 过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限
度内。要使卷轴转动不停止，v 的最大值为（ ）
A．r ❑√
k
2m
B．l ❑√
k
2m
C．r ❑√
2k
m
D．l ❑√
2k
m
故选A。
3．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面
间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
4．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m 的水平轨道OP 与光滑半圆形轨道
PNM 在P 点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B 两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现
用一水平向右推力F 作用在A 上，使A、B 向右运动。以x 表示A 离开初始位置的位移，F 随x 变化的图
像如图乙所示。已知A、B 质量均为0.2 kg，A 与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B 与水平轨道间的摩擦
不计，重力加速度大小取
。
（1）求A 离开初始位置向右运动1 m 的过程中，推力F 做的功；
（2）求A 的位移为1 m 时，A、B 间的作用力大小；
（3）若B 能到达M 点，求半圆形轨道半径应满足的条件。
