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专题一 力与运动
第3 讲 曲线运动
1．平抛运动分解规律：水平方向匀速(x＝v0t)，竖直方向自由落体，合速度偏
角tan θ＝，位移偏角tan α＝，满足tan θ＝2 tan α。
2．斜抛运动对称结论：上升与下落时间相等，射程x＝，θ＝45°时射程最大。
3．水平面内圆周运动核心公式：向心力由合力提供，摩擦力或弹力常作为向心
力。
4．竖直面内圆周运动临界条件：轻绳模型最高点最小速度v＝(重力提供向心
力)，轻杆模型最高点速度可为0(支持力平衡重力)。
5．圆周运动向心力来源：圆锥摆类问题中，重力与拉力的合力提供向心力。
6．抛体运动时间决定因素：平抛运动时间仅由竖直高度决定，与初速度水平分
量无关。
7．圆周运动能量关系：竖直面内圆周运动机械能守恒，最高点与最低点速度关
系：mv＝mv＋mg·2R。
8．离心近心判断结论：F 合>m 时做近心运动，F 合<m 时做离心运动，F 合＝m 时
做匀速圆周运动。
1．思想方法
合运动性质和轨迹的判断
(1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向
与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。
(2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。
2．模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个分量。
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
最高点向心力
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
恰好过最高点
F 弹＝0，mg＝m，v＝，即在
最高点速度不能为零
mg＝F 弹，v＝0，即在最高
点速度可为零
题型1 抛体运动
考法一 平抛运动
(2023·全国甲卷)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙
上。用质量为m 的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小
球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。
小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂
直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的，小球与地面碰撞后，弹起的最大
高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【易错提醒】
(1)不会用运动的分解的方法去分析物体与地面碰撞后的运动；(2)不清楚小球飞
出桌面后的平抛运动与碰撞后的斜抛运动分速度的关系。
考法二 斜抛运动
1.(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，
离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜
向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹
平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ 的值为( )
A.
B．
C．
D．
2.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度
v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P 和落点Q 的连线与水平方
向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程
中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ 连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
题型2 圆周运动
考法一 水平面内的圆周运动
(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r 的卷轴可绕其固定的中心
点O 在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l 的细管，管底在O
点。细管内有一根原长为、劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，
顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v 匀速拉动细绳时，插销做
匀速圆周运动。若v 过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩
擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v 的最大值为( )
A．r
B．l
C．r
D．l
【易错提醒】
(1)不能正确理解该装置的工作原理；(2)弄不清插销向心力的来源。
考法二 竖直面内的圆周运动
3.(2025·湖北武汉模拟)如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形
细管(管道内径极小)，一质量为m 的小球放置于管内顶端A 点，其直径略小于
管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B 点与管道
的圆心O 等高，C 点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是(
)
A．小球不可能回到A 点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A 点运动到C 点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A 点运动到B 点，小球对细管的作用力先减小后增大
4.(2025·东北三省四市二模)如图所示，半径为1 m 的四分之三光滑圆轨道竖
直固定在水平地面上，B 点为轨道最低点，A 点与圆心O 等高。质量为1 kg 的
小球(可视为质点)在A 点正上方0.75 m 处静止释放，下落至A 点时进入圆轨
道，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．小球在B 点的动能为7.5 J
B．小球在A 点受到轨道的弹力大小为10 N
C．小球沿轨道上升过程中距地面的最大高度为1.75 m
D．小球离开轨道后将落至轨道B 点
【基础必刷题】
1．(多选)(2025·福建卷)春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q 两点，圆心为
O，OQ＝OP，手绢做匀速圆周运动，则( )
A．P、Q 线速度之比为1∶
B．P、Q 角速度之比为∶1
C．P、Q 向心加速度之比为∶1
D．P 点所受合外力总是指向O
2．(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在
曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本
次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为
( )
A．90
B．120
C．150
D．180
3．(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在
水平面内沿顺时针方向匀速转动。O′固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所
示位置，杯上A 点与O、O′恰好在同一条直线上。则( )
A．A 点做匀速圆周运动
B．O′点做匀速圆周运动
C．此时A 点的速度小于O′点
D．此时A 点的速度等于O′点
4．(2025·山东联考)猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将
水甩干，于是gs 用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视
作轴线水平，半径为R 的圆柱(其腿长可忽略)，某一次抖动时可看作其绕自身
轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重力加速度
为g，则角速度ω 的最小值为( )
A.
B．
C．
D．2
5．(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg 的发光小球，让
小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m 的圆周运动。在小球经过最低点附
近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长
度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小
为( )
A．11 N
B．9 N
C．7 N
D．5 N
6．(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水
平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R 为0.4 m，小球所在位
置处的切面与水平面夹角θ 为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g 取10
m/s2。关于该小球，下列说法正确的有( )
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
7．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分
别在空中的M 点和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹
在同一竖直平面内，则( )
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N 点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大
8．(2025·四川宜宾模拟)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启
动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空
中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则(
)
A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B．乙水枪喷出的水初速度较大
C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
【巩固必刷题】
9．(多选)(2025·山东Flawless 联考)某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚
与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H 处静止释放
球的同时，海豚以一初速度v0 跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所
示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则
下列选项中可能正确的是( )
A．v0＝
B．v0＝
C．θ＝30°
D．θ＝45°
10．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目
标区域是水平地面上以O 点为圆心，半径R1＝5 m 的圆形区域，OO′垂直地
面，无人机在离地面高度H＝20 m 的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m
的匀速圆周运动，A、B 为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机
无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度
应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A 点时，相对无人机无初速度地释
放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力
加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．ωmax＝ rad/s
B．ωmax＝ rad/s
C．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品尚未落地
11．(2024·辽宁沈阳重点中学联考)如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示
意图。半径为R＝8 m 的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2 m 的水平平台上，
圆轨道与水平平台相切于A 点，A、B 分别为圆轨道的最低点和最高点。过山车
(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后通过多个圆轨
道，然后从A 点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C 点水平飞出落入
水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12
m，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。(结果可保留根号)
(1)若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B 点的速度为多大？
(2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C 点的最大速度为多大？
(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A 对座椅的压力为自身重力的3 倍，随
后进入水平轨道AC 并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小。
12．(2025·安徽卷)如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间
距L＝0.5 m。一根长为3L 的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1
kg 的小球，小球与水平地面接触但无压力。t＝0 时，小球以水平向右的初速度
v0＝10 m/s 开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到
M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球
可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在t＝0 时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不
松弛，求初速度的最小值。
