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专题二 功和能、动量
第7 讲 动量定理、动量守恒定律
1．动量、冲量与动量定理：公式p＝mv，I＝Ft，I＝Δp＝mv2－mv1。规律：动
量是矢量，方向与速度一致；冲量是矢量，方向与力一致。
2．多过程问题，全程动量定理更简便；曲线运动中，动量变化量等于合外力的
冲量。
3．动量守恒定律：公式p＝p′。规律：某一方向合外力为零，该方向动量守
恒。
4．人船模型：m1x1＝m2x2；多个物体碰撞，动量守恒与运动阶段无关。
5．碰撞综合：公式ΔEk＝m1v＋m2v－≥0。规律：碰撞后速度需符合实际(追碰
后前快后慢)。
6．质量相等弹性碰撞，速度互换；完全非弹性碰撞，ΔEk＝。
一、思维方法
1．过程分割与整体法：复杂运动分阶段分析力的冲量(分割法)，或用全程动量
定理规避中间细节(整体法)，尤其适用于多过程直线运动或曲线运动。
2．守恒条件优先判断：对动量守恒问题，先分析系统合外力是否为零(或某方
向为零)，避免盲目套用公式，如爆炸、碰撞问题优先默认动量守恒。
3．能量与动量协同分析：碰撞问题中，用动量守恒定量找速度关系，用能量守
恒(动能不增)限制解的合理性，形成“动量定解＋能量筛选”的双检验逻辑。
二、思维模型
1．人船模型拓展：适用于初动量为零的系统，通过“位移与质量成反比”快速
求解相对位移，可迁移到滑块－木板等模型。
2．碰撞三境界模型：弹性碰撞(动能守恒，速度互换特例)、完全非弹性碰撞(共
速，动能损失最大)、非弹性碰撞(介于两者间)，明确不同碰撞的能量特征与解
题侧重。
3．矢量分解模型：将曲线运动或斜碰中的动量分解到正交方向，利用分方向动
量守恒简化计算，如斜抛运动中水平方向动量守恒分析。
题型1 动量、冲量与动量定理
(2025·浙江卷)有一离地面高度20 m、质量为2×10－13 kg 稳定竖直降落的沙尘
颗粒，在其降落过程中受到的阻力与速率v 成正比，比例系数1×10－9 kg/s，
重力加速度g＝10 m/s2，则它降落到地面的时间约为( )
A．0.5 h
B．3 h
C．28 h
D．166 h
1．冲量的三种计算方法
公式法
I＝Ft 适用于求恒力的冲量
动量定理法
多用于求变力的冲量或F、t 未知的情况
图像法
F－t 图线与时间轴围成的面积表示力的冲量，若F 与t
成线性关系，也可直接用平均力求解
2.动量定理
(1)公式：FΔt＝mv′－mv
(2)应用技巧：
①研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统。
②表达式是矢量式，需要规定正方向。
③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二
定律求解更简捷。
④在变加速运动中F 为Δt 时间内的平均力。
⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移。
(2025·福建宁德三模)温福高铁宁德段正在加速建设中，宁德山区雾气重，假设
列车在水平长直轨道上运行时，列车周围空气静止，车头前方的空气与水雾碰
到车头后速度变为与列车速度相同，空气密度为ρ，空气中单位体积内有n 颗小
水珠，每颗小水珠的质量为m，车头的横截面积为S，列车以速度v 匀速运行。
则列车因与空气和水珠冲击而受到的阻力约为( )
A．(ρ＋nm)Sv
B．(ρ＋nm)Sv2
C．ρSv2＋nmSv
D．ρSv＋nmSv2
题型2 动量守恒定律的应用
(2025·河南卷)两小车P、Q 的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N 沿直线
做碰撞实验，碰撞前后的速度v 随时间t 的变化分别如图1 和图2 所示。小车N
的质量为mN，碰撞时间极短，则( )
A．mP>mN>mQ
B．mN>mP>mQ
C．mQ>mP>mN
D．mQ>mN>mP
(2025·安徽百师联盟联考)如图是一项在长江边举办的大型户外水上游乐活动的
简化图。活动场地设在一个高h＝1.8 m 的倾斜山坡上，一质量m＝50 kg、长L
＝1.8 m 的浮板靠在平滑山坡底部。质量m＝50 kg 的游客从山坡顶端静止滑
下，经过山坡底端后，沿浮板的上表面从左端水平滑上浮板，若游客恰好不会
脱离浮板，安全到达目的地。不计游客与山坡间的摩擦力、空气阻力以及水对
浮板的阻力，不考虑游客通过山坡和浮板连接处的动能损失，游客可视为质
点，重力加速度大小取g＝10 m/s2。则游客与浮板之间的动摩擦因数为( )
A．0.8
B．0.75
C．0.5
D．0.4
题型3 碰撞及其拓展模型
(2025·江苏卷)如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线
放置。每列有n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度v0向右运
动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大
小v1；
(3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n 次碰撞后的动能Ek。
1．两种碰撞的特点
弹性
碰撞
举例：一动碰一静
动量守恒mv1＝m1v1′＋m2v2′
机械能守恒m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝
结论：
(1)m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝
v1，即两球碰撞后交换了速度
(2)当m1>m2时，v1′>0，
v2′>0，碰后两球都沿v1方向运
动，当m1≫m2时v1′＝v1，
v2′＝2v1
(3)m1<m2时，v1′<0，v2′>0，
碰后入射小球反弹，当m1≪m2
时，v1′＝－v1，v2′≈0
完全非
弹性碰撞
碰后两球粘在一起，末速度相同
动量守恒m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，机
械能损失最多
损失的机械能ΔE＝m1v＋m2v－
(m1＋m2)v2
2.碰撞拓展
(1)“保守型”碰撞拓展模型
图例(水
平面光滑)
小球—弹簧模型
小球—曲面模型
小球—小球模型
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0
＝(m＋M)v 共，损失的动能最多，分别转化为弹性势能、重
力势能和电势能
再次分离
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1
＋Mv2，机械能守恒，满足mv＝mv＋Mv
(2)“耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平
面或水平
导轨光滑)
未穿出
未滑离
达到共速
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，满足mv0＝(m＋M)v 共，损失的动
能最多，分别转化为内能或电能
1．(2025·江西上饶模拟)如图所示，质量为M 的四分之一光滑圆弧滑块下端与
光滑水平面相切。给质量为m 的小球一水平向右的初速度，如果圆弧滑块固
定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为R(R 为圆弧的半径)，如果圆弧滑
块不固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为R。重力加速度为g，下列
说法正确的是( )
A．小球的初速度大小为4
B．M＝0.5m
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点的过程中，水平位移为R
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终的速度大小为2
2.(多选)(2025·湖南娄底二模)如图所示在光滑水平面上有两个小木块A 和B，其
质量mA＝2 kg，mB＝4 kg，它们中间用一根轻弹簧相连。一颗水平飞行的子弹
质量为m0＝50 g，初速度为v0＝500 m/s，在极短的时间内射穿两木块，子弹射
穿A 木块后的速度变为原来的，且子弹射穿A 木块损失的动能是射穿B 木块损
失的动能的2 倍，则( )
A．子弹射穿A 木块过程中系统损失的机械能为3 975 J
B．子弹打穿两个木块后的过程中弹簧最大的弹性势能为4.5 J
C．弹簧再次恢复原长时A 的速度为 m/s
D．弹簧再次恢复原长时B 的速度为 m/s
【基础必刷题】
1．(2025·山东济宁二模)我国神话故事中哪吒脚踩风火轮在天空中来去自由，现
在人类穿上涡喷飞翼飞行器(简称飞行器)也能像哪吒一样，在高空中自由地完
成上升、下降、悬停、平飞和翻转等动作，如图所示。飞行器主要由微型喷气
发动机和操纵系统组成，下列说法正确的是( )
A．飞行器水平加速飞行时，需水平向后喷射燃气
B．某段时间飞行器在空中悬停，重力的冲量不为零
C．飞行器在下降过程中，其动量一定越来越大
D．任意时间内燃气对飞行器的冲量与飞行器对燃气的冲量始终相同
2．(2025·湖北省七市州联考)如图(a)所示，为“蹦极”的简化情景：某人用弹性
橡皮绳拴住身体从高空P 处自由下落。质量为60 kg 的人可看成质点，从P 点
由静止下落到最低点所用时间为9 s，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。
第一次下落过程中橡皮绳弹力F 与时间t 的关系图像如图(b)所示，则图像中阴
影部分的面积为( )
A．1 800 kg·m/s
B．5 400 kg·m/s
C．7 200 kg·m/s
D．3 600 kg·m/s
3．(2025·北京西城区二模)如图1 所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连
接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2 所示。
已知重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．小球的质量为0.2 kg，振动的周期为4 s
B．0～2 s 内，小球始终处于超重状态
C．0～2 s 内，小球受弹力的冲量大小为2 N·s
D．0～2 s 内，弹力对小球做的功等于小球动能的变化量
4．(2025·山东名校联考)中国古代连弩采用复合弓结构，驽臂与底座相固定，总
质量为M，通过绞盘拉伸弩弦使其最大形变量为x，弩弦劲度系数为k，其对箭
矢产生的弹力F＝kx，弩弦因形变储存的弹性势能Ep＝kx2，释放后，弩弦将质
量为m 的箭矢水平弹出。不计箭矢与弩臂间的摩擦，弩弦与箭矢作用时间Δt 极
短，底座放置于地面(与地面未固定)，忽略空气阻力。则箭矢弹出瞬间的速度
v( )
A．v＝
B．v＝
C．v＝
D．v＝
5．(2025·广东广州模拟)大型工厂的车间中有一种设备叫作天车如图甲所示，是
运输材料的一种常用工具。此装置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光
滑水平杆上套有一个滑块，滑块M 正下方用不可伸长的轻绳悬挂一小球m。开
始时两者均静止；给小球一水平向右的初速度v0后，小球恰好能摆至与滑块等
高的位置，如图乙所示，之后小球再向下摆动，则( )
A．小球与滑块等高时，小球的速度为零
B．此过程中，小球与滑块组成的系统动量不守恒
C．小球与滑块等高时，滑块的速度达到最大值
D．小球向左摆到物块正下方时，其速度大小仍为v0
6．(2025·广西北海模拟)如图所示，在水平面固定放置的光滑圆环内嵌着质量分
别为m1、m2(m1<m2)的1、2 两个大小相同的小球，AB 连线过环心O。小球可看
作质点，初始时小球2 静止于A 点，小球1 以初速度v0沿圆环切向方向运动，
若小球1 和2 之间发生弹性碰撞，两球第二次在B 点相碰，则小球的质量比
m1∶m2是( )
A．1∶5
B．1∶3
C．1∶2
D．2∶3
7．(2025·安徽滁州二模)质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg 的小球A、B 从地面上
的同一位置先后竖直向上抛出，两球在空中发生正碰，图中曲线a 是小球A 碰
前的位移—时间图像，曲线b 是碰后A、B 一起运动的位移—时间图像，a、b
曲线关于t＝3 s 轴对称。若空气阻力不计，重力加速度g 取10 m/s2，则两球碰
撞中损失的动能为( )
A．400 J
B．300 J
C．200 J
D．100 J
8．(2025·浙江卷)如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑
块C(可视为质点)置于B 的右端，三者质量均为1 kg。A 以4 m/s 的速度向右运
动，B 和C 一起以2 m/s 的速度向左运动，A 和B 发生碰撞后粘在一起不再分
开。已知A 和B 的长度均为0.75 m，C 与A、B 间动摩擦因数均为0.5，则(
)
A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2 s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为12 J
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6 m
9．(2025·甘肃卷)如图，小球A 从距离地面20 m 处自由下落，1 s 末恰好被小球
B 从左侧水平击中，小球A 落地时的水平位移为3 m。两球质量相同，碰撞为
完全弹性碰撞，重力加速度g 取10 m/s2，则碰撞前小球B 的速度大小v 为(
)
A．1.5 m/s
B．3.0 m/s
C．4.5 m/s
D．6.0 m/s
【巩固必刷题】
10．(2025·广东卷)如图所示，光滑水平面上，小球M、N 分别在水平恒力F1和
F2 作用下，由静止开始沿同一直线相向运动在t1 时刻发生正碰后各自反向运
动。已知F1和F2始终大小相等，方向相反。从开始运动到碰掉后第1 次速度减
为0 的过程中，两小球速度v 随时间t 变化的图像，可能正确的是( )
11．(2025·天津一模)如图所示，水平粗糙轨道AB 长为L，竖直面内半径为R 的
四分之一光滑圆弧轨道BC 与轨道AB 相切于B 点，质量为m 的物块P 以初速度
v0从A 点向左运动，与静止于B 点质量为2m 的物块Q 发生碰撞，碰撞时间极
短，碰后两物块粘在一起运动，恰能到达轨道最高点C，已知重力加速度为g，
物块P、Q 均可视为质点，求：
(1)两物块碰后瞬间对轨道B 点的压力FN的大小；
(2)物块P 与水平轨道AB 间的动摩擦因数μ；
(3)碰撞过程中物块P 对物块Q 做的功W 的大小。
12．(2025·江苏泰州一模)如图所示，可视为质点的两个小物块A、B 并排放在
粗糙水平面上，一根轻绳一端固定于水平面上的O 点，另一端系在小物块A
上。已知mA＝1 kg，mB＝3 kg，A、B 与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，轻绳长
l＝0.314 m，g 取10 m/s2，π 取3.14 且π2＝10。现给A 一个向左的初速度v0＝2
m/s，使其绕O 点做圆周运动，运动一周时与B 发生弹性碰撞。求：
(1)A 刚开始运动时所受轻绳拉力的大小FT；
(2)A 与B 碰前瞬间的加速度大小a；
(3)A 与B 碰后B 滑行的距离s。
