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专题二 功和能、动量
第6 讲 能量守恒、功能关系
1．机械能守恒：公式为Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，规律是只有重力或弹力做功时机械
能守恒。
2．轻绳连接体机械能守恒时，两物体速度沿绳方向分量相等；抛体运动中机械
能守恒，且任意两点机械能相等。
3．能量守恒定律：公式为ΔE 增＝ΔE 减，规律是能量不会凭空产生或消失，只
会转化或转移。
4．摩擦生热Q＝f·s 相：传送带问题中，传送带消耗的能量等于产生的内能与被
传送物获得的动能之和。
5．功能关系：公式有WG＝－ΔEp、W 合＝ΔEk等，规律是力做的功大小等于对
应能量的变化量。
6．除重力和弹力外的其他力做功等于机械能的变化：弹簧弹力做功W＝－
ΔEp，且同一弹簧形变量相同时弹性势能相等。
1．机械能守恒的判断与应用：思维上紧扣“只有重力/弹力做功”的条件，可
通过“做功判断法”(除重力、弹力外其他力不做功或做功代数和为零)或“能
量转化法”(只有动能与势能相互转化)判断。模型有轻绳连接体(如双球摆动)、
光滑曲面(滑块往返运动)、抛体运动(忽略空气阻力)。关键：明确零势能面选取
不影响守恒结论，优先选初末状态分析势能变化。
2．能量守恒定律的应用：核心是“系统选取与能量形式分析”，确定研究系统
内的动能、势能、内能等能量形式。典型模型包括含摩擦的传送带(机械能转化
为内能)、碰撞问题(动能与内能转化)、电磁感应中的能量转化(机械能与电
能)。需注意：摩擦生热Q＝f·s 相对位移，且能量守恒式需涵盖所有参与转化的能
量。
3．功能关系的应用：思维上建立“力做功与能量变化”的对应关系(如重力做
功对应重力势能变化，合外力做功对应动能变化)。模型涉及弹簧振子(弹力做
功与弹性势能关系)、电场力做功(电势能与机械能转化)。关键：区分“功是能
量转化的量度”与“能量守恒”的逻辑，避免混淆力的做功对象与能量归属。
题型1 机械能守恒的判断与应用
(2025·河北廊坊模拟)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，在斜
面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m 的两小球(均视为质点)
用长为L 的轻质硬杆连接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静
止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为30°，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，
乙的动能为( )
A.mgL
B．mgL
C.mgL
D．mgL
连接体的机械能守恒问题
共速率模型
分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速度模型
两物体角速度相同，线速度与半径成正比
关联速度模型
此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位
移最大时，速度可能为0
轻弹簧模型
①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧
弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等
②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量
最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然
长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
说明：以上连接体不计阻力和摩擦力，系统(包含弹簧)机械能守恒，单个物体
机械能不守恒。
题型2 能量守恒定律的应用
(2025·云南卷)如图所示，质量为m 的滑块(视为质点)与水平面上MN 段的动摩
擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1>μ2。第一次，滑块从Ⅰ位置
以速度v0 向右滑动，通过MN 段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程
中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度
v0向右滑动，通过MN 段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块
的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻力，则( )
A．t1<t2
B．t1>t2
C．x1>x2
D．x1<x2
1．含摩擦生热、焦耳热、电势能等多种形式能量转化的系统，优先选用能量守
恒定律。
2．应用能量守恒定律的基本思路
(1)守恒：E 初＝E 末，初、末总能量不变。
(2)转移：EA 减＝EB 增，A 物体减少的能量等于B 物体增加的能量。
(3)转化：|ΔE 减|＝|ΔE 增|，减少的某些能量等于增加的某些能量。
(2025·浙江绍兴二模)如图所示，质量为2 000 kg 的电梯在缆绳发生断裂后向下
坠落，电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4 m/s，缓冲弹簧被压缩2 m 时电梯
停止了运动，下落过程中安全钳提供给电梯17 000 N 的滑动摩擦力。已知弹簧
的弹性势能为Ep＝kx2(k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量)，安全钳提供的
滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列
说法正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为3 000 N/m
B．整个过程中电梯的加速度一直在减小
C．电梯停止在井底时受到的摩擦力大小为17 000 N
D．电梯从接触弹簧到速度最大的过程中电梯和弹簧组成的系统损失的机械能
约为4 600 J
题型3 功能关系的应用
(2024·山东卷)如图所示，质量均为m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻
木板上，木板通过一根原长为l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为
d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹
性势能E＝kx2(x 为绳的伸长量)。现用水平力F 缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所
坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k 保持不
变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F 所做的功等于(
)
A.＋μmg(l－d)
B．＋μmg(l－d)
C.＋2μmg(l－d)
D．＋2μmg(l－d)
(2025·浙江诸暨模拟)如图所示，儿童沿倾斜的滑梯匀加速下滑。下列关于滑板
与儿童裤料之间的动摩擦因数μ、儿童的速度大小v、重力势能Ep和机械能E
随运动时间t 的变化关系中正确的是( )
【基础必刷题】
1．(2025·广东佛山一模)如图甲为一款网红魔术玩具——磁力“永动机”，小钢
球放入漏斗后从中间小洞落入下面的弧形金属轨道，然后从轨道另一端抛出再
次回到漏斗，由此循环往复形成“永动”的效果。其原理如图乙所示，金属轨
道与底座内隐藏的电源相连，轨道下方藏有永磁铁。当如图乙永磁铁N 极朝上
放置，小钢球逆时针“永动”时，下列分析正确的是( )
A．小球运动的过程中机械能守恒
B．该磁力“永动机”的物理原理是电磁感应
C．轨道a 应接电源的正极，轨道b 应接电源的负极
D．电源如何接都不影响“永动”的效果
2．(2024·北京卷)如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC
在B 点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧
后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是( )
A．物体在C 点所受合力为零
B．物体在C 点的速度为零
C．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能
3．(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电
动机供电，刚好维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为50%。已知
小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k 为常量)，该光伏电池的光电
转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为( )
A.
B．
C.
D．
4．(2025·浙江温州一模)图甲为某游乐场的水滑梯，其简化模型如图乙所示。一
质量为m 的小朋友从a 点沿轨道经b 点滑到最低c 点，已知ab、bc 间高度差均
为h。则小朋友( )
A．a 到b 和b 到c 动能增加量一定相同
B．a 到b 和b 到c 重力势能减少量一定相同
C．a 到b 和b 到c 机械能保持不变
D．a 到c 的运动总时间为2
5．(2025·山东淄博一模)图甲是淄博市科技馆的一件名为“最速降线”的展品，
在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫作最速降线轨
道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨
道的起点M 高度相同，终点N 高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N
点。若将两个相同的小球a 和b 分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止
释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a 先到达终点。下列描述两球速率v 与时间t、速
率平方v2与下滑高度h 的关系图像可能正确的是( )
6．(多选)(2025·山东聊城三模)如图甲所示，半径R＝0.4 m 的光滑圆弧轨道固定
在竖直平面内，轨道的一个端点B 和圆心O 的连线与水平方向间的夹角θ＝
30°，另一端点D 与圆心O 等高，点C 为轨道的最低点。质量m＝1 kg 的物块
(可视为质点)从空中A 点以速度v0水平抛出，恰好从轨道的B 端沿切线方向进
入轨道，物块进入轨道后开始计时，轨道受到的压力F 随时间t 的关系如图乙
所示，重力加速度g 取10 m/s2，则( )
A．物块从D 点离开轨道时速度大小为4 m/s
B．F0大小为70 N
C．v0的大小为2 m/s
D．物块在AC 段运动过程中重力的瞬时功率一直增大
【巩固必刷题】
7．(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在
其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块，小车与物
块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P 拉动小车由静止
开始沿斜面向上运动，经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为
v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小
为g，忽略其他摩擦。则这段时间内( )
A．物块的位移大小为
B．物块机械能增量为
C．小车的位移大小为－
D．小车机械能增量为＋
8．(多选)(2025·哈尔滨模拟)如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻
弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b 点对齐，质量为m 的物块
在斜面上的a 点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c 点时速度刚好为零，
物块被反弹后返回b 点时速度刚好为零，已知ab 长为L，bc 长为，重力加速度
为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
B．物块接触弹簧后，速度先减小后增大
C．弹簧具有的最大弹性势能为0.5mgL
D．物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.6mgL
9．(多选)(2025·宁夏模拟)如图所示，在水平地面上有一固定的挡板，挡板右端
固定一个轻弹簧。有一质量m＝0.2 kg 的滑块(可视为质点)紧压弹簧但不相连，
初始时弹簧的弹性势能Ep＝1.8 J，AB 两点的距离L＝3 m。距离B 点右侧竖直
高度差h＝0.8 m 处有一半径均为R＝0.5 m 的光滑圆弧管道CD、DF，C、D 等
高，E 为DF 管道的最高点，各部分管道及轨道在连接处均平滑相切，已知滑块
与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.15，不计空气阻力，重力加速度大小g＝10
m/s2。现把滑块从A 点由静止释放，经过B 点飞出后，恰能从C 点沿切线方向
进入圆弧管道，滑块略小于管道内径。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
A．滑块离开B 点时的速度大小为3 m/s
B．滑块到达C 点时的速度大小为4 m/s
C．滑块到达E 点时的速度大小为5 m/s
D．滑块在E 点时对管道的作用力大小为6.4 N
10．(2024·海南卷)某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形
滑梯，半径R＝10 m，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度h＝5 m，静止在光滑水
平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量M＝25 kg。一
质量为m＝50 kg 的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑上滑板，当滑板右
端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行s
＝16 m 停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦因数均为μ＝
0.2，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
(2)滑板的长度L。
11．(2025·江苏泰州一模)如图所示，一半径r＝ m 的四分之一光滑圆弧轨道与
一水平固定平台相连，现用一轻绳将质量m＝1 kg 的小球(视为质点)跨过光滑轻
质定滑轮与平台上木板MN 相连，木板与滑轮间轻绳处于水平，木板有三分之
一长度伸出平台，其与平台的动摩擦因数μ＝0.2。小球位于圆弧轨道上的A
点，AC 长也为r，CM 足够长。g 取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力(结
果可保留根号)。
(1)若小球、木板恰能在图示位置保持静止，求木板质量M；
(2)若木板质量M′＝m，从图示位置由静止释放时，木板的加速度大小为a1＝1
m/s2，求此时绳中的张力F 和小球的加速度a2的大小；
(3)接第(2)问，求小球从A 点运动到B 点过程中绳子拉力对小球所做的功W。
