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第22 讲 功能关系 能量守恒定律
目
录
01 课标达标练.................................................................................................1
题型01 功能关系的理解与应用............................................................................1
题型02 能量守恒定律的理解与应用....................................................................6
题型03 涉及弹簧的能量问题................................................................................7
题型04 涉及摩擦力做功的能量转化问题.........................................................11
题型05 能量的转化与守恒、效率及能源.........................................................14
02 核心突破练..............................................................................................18
03 真题溯源练..............................................................................................26
01 功能关系的理解与应用
1．
（2025·浙江·模拟预测）如图所示，一只小狗在蹦床上用力向上跳跃去接球，下列说法正确
的是（ ）
A．球在空中上升到最高点时，速度为零，所受合力为零
B．球上升过程中，受到空气阻力，其机械能逐渐减小
C．小狗起跳过程中，狗对蹦床的压力等于自身重力
D．小狗起跳过程中，蹦床的弹性势能全部转化为小狗的动能
【答案】B
【详解】A．球在空中上升到最高点时，竖直方向速度为零，受重力作用，有向下的加速度，所受合力
不为零，故A 错误；
B．球上升过程中，空气阻力做负功，球的机械能逐渐减小，故B 正确；
C．小狗起跳过程初期具有向上的加速度，根据牛顿第二定律有
可得蹦床对小狗的支持力
由牛顿第三定律可知，小狗对蹦床的压力大于自身重力，故C 错误；
D．小狗起跳过程，蹦床的弹性势能转化为小狗的动能和重力势能，故D 错误。
故选B。
2．如图所示，失控车辆紧急避险车道是设置在公路右侧的斜坡，路面通常由沙砾构成。一辆质量为
的
失控货车以某一速度无动力冲上一个倾角为
的避险车道，摩擦力恒为
为重力加速度，
，货车沿斜面上升的最大高度为
，则在这个过程中（ ）
A．货车的重力做功
B．货车克服摩擦力做的功为
C．货车的动能损失了
D．货车的机械能减小了
【答案】B
【详解】A．由重力做功公式可知货车的重力做功为
重力方向与位移方向夹角大于 90°，故重力做负功，大小为
，故A 错误；
B．设货车沿斜面上升的距离为L，由几何关系
可得
则货车克服摩擦力做的功为
，故B 正确；
C．由动能定理
代入数据得
则动能损失为
，故C 错误；
D．机械能变化等于除重力外其他力做的功，此题中对应为摩擦力做的功，即
即货车的机械能减小了
，故D 错误。
故选B。
3．如图所示，一滑板爱好者沿着倾角为
的斜坡从静止开始自由下滑，下滑过程中的加速度大小恒为
，已知滑板爱好者连同滑板的总质量为
，重力加速度为
，滑板爱好者（含滑板）沿斜坡下滑距离
为
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑板爱好者下滑过程中受到的阻力为
B．滑板爱好者减少的重力势能为
C．滑板爱好者增加的动能为
D．滑板爱好者减少的机械能为
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律可知
解得
，故A 错误；
B．滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功，即减少的重力势能为
，故
B 错误；
C．根据动能定理可知，滑板爱好者增加的动能为
，故C 错误；
D．滑板爱好者减少的机械能等于克服摩擦力所做的功，即为
，故D 正确。
故选D。
4．
如图所示，将弹簧跳跳人玩具按压到桌面上，松手后能够弹起一定高度。从压缩状态到上升
至最高点的过程中，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．跳跳人玩具克服重力做的功，小于跳跳人玩具重力势能的增加量
B．弹簧弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧的弹性势能增加量
C．当弹簧恢复到原长时，弹簧上方的头部的动能最大
D．在弹簧恢复到原长之前，弹簧上方的头部的机械能增加
【答案】D
【详解】A．跳跳人玩具克服重力做的功，等于跳跳人玩具重力势能的增加量，故A 错误；
B．弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧弹性势能的减少量，故B 错误；
C．当弹簧的弹力与头部的重力平衡时，速度最大，动能最大，故C 错误；
D．弹簧恢复原长前，弹力对头部做正功，头部的机械能增加，故D 正确。
故选D。
5．（多选）如图所示，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面
上有一带电金属块在力F 的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F 做功50J，金
属块克服静电力做功20J，金属块克服摩擦力做功20J，重力势能改变了25J，则（ ）
A．电场方向水平向左
B．在此过程中金属块电势能增加20J
C．在此过程中金属块动能变化115J
D．在此过程中金属块机械能增加10J
【答案】BD
【详解】AB．由题意，静电力做功-20J，金属块电势能增加20J，电场力方向水平向左，但是由于金属
块电性不确定，则不能确定场强方向，故A 错误，B 正确；
C．由动能定理，有
则动能变化为
，故C 错误；
D．机械能增加为
，故D 正确。
故选BD。
6．（多选）一些地方开设了滑草滑道游乐项目。如图所示，设定某游客（含装备）从滑草滑道的顶端由
静止开始下滑到最低点过程中，该游客（含装备）的重力做功
，克服阻力做功
。则该过程中，该游
客（含装备）的（ ）
A．重力势能减少
B．动能增加
C．机械能减少
D．机械能减少
【答案】AD
【详解】A．游客（含装备）的重力做功
，则重力势能减少
，选项A 正确；
B．合外力做功等于动能增加，即动能增加
，选项B 错误；
CD．机械能减少量等于克服阻力做功，即机械能减小
，选项C 错误，D 正确。
故选AD。
7．（2025·全国·二模）（多选）运动员从水平地面上把质量为400g 的足球踢出后，某人观察它在空中的
运动情况，估计足球上升的最大高度是3m，在最高点的速度大小为10m/s。不考虑空气阻力，以水平地面
为参考平面，取重力加速度大小
。下列选项正确的是（ ）
A．足球在最高点时的重力势能为6J
B．足球在最高点时的重力势能为12J
C．运动员踢球时对足球做的功为32J
D．运动员踢球时对足球做的功为12J
【答案】BC
【详解】AB．以水平地面为参考平面，足球在最高点时的重力势能
故A 错误，B 正确；
CD．根据功能关系可得运动员踢球时对足球做的功为
故C 正确，D 错误。
故选BC。
02 能量守恒定律的理解与应用
8．
（2025·广东广州·模拟预测）“雪地魔毯”是滑雪场常见的一种设备，它类似于机场的传送
带，主要用于将乘客从雪道底端运送到顶端。一名质量m=60kg（包含雪具的质量）的穿戴雪具的游客，从
雪道底端静止站上“雪地魔毯”，“雪地魔毯”长
，倾角
（
，
），
“雪地魔毯”以
的速度向上滑行，经过
游客滑到“雪地魔毯”的顶端。
，人与
“雪地魔毯”间的动摩擦因数为一定值，不计其他阻力，求
(1)“游客在“雪地魔毯”上做匀加速直线运动的时间t0以及游客与“雪地魔毯”间的动摩擦因数
。
(2)“雪地魔毯”将该游客从底端由静止开始运送到顶端需多做多少功？
【答案】(1)
，
(2)22500J
【详解】（1）假设游客在运动过程中先匀加速，后匀速，设匀加速的位移为
，匀速的位移为
由题意得
，
又
联立解得
，
由于
，说明假设成立，故
。
加速过程中，根据牛顿第二定律有
又
联解得
（2）设“雪地魔毯”将该游客从底端由静止开始运送到顶端需多做的功为
由能量守恒得
又摩擦热
代入数据解得W=22500J
03 涉及弹簧的能量问题
9．
（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，倾角为37°的光滑斜面与光滑水平面在B 点平滑相连，
原长为L 的轻质弹簧（劲度系数未知）一端悬挂在O 点，另一端与质量为m 的小球（视为质点）相连，B
点在O 点的正下方。小球从斜面上的A 点由静止释放，沿着斜面下滑，通过B 点时弹簧对小球的弹力等于
小球重力。已知OA 与斜面垂直，A、B 两点间距为3L，重力加速度为g，劲度系数为k 的轻质弹簧的弹性
势能
与弹簧的形变量x 的关系式为
，sin37°=0.6、cos37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在A 点时，弹簧的弹性势能为2mgL
C．小球在A 点时，斜面对小球的支持力为
D．小球到达B 点时的速度为
【答案】D
【详解】A．由几何关系可得
弹簧的原长为L，则小球在B 点时弹簧的伸长量为4L，此位置弹簧的弹力与小球的重力相等，则有
解得
故A 错误；
B．由几何关系可得
小球在A 点时弹簧的伸长量为3L，弹簧的弹性势能为
故B 错误；
C．小球在A 点时受弹簧弹力
把小球的重力分别沿着斜面和垂直斜面分解，垂直斜面方向由三力平衡可得
解得
故C 错误；
D．小球在B 点时弹簧的弹性势能为
小球从A 运动到B，由能量守恒定律可得
解得
故D 正确。
故选D。
10．
（2025·河南·模拟预测）如图所示，两可视为质点的小球
、
分别套在光滑直角型轻杆的
水平杆
和竖直杆
上，球
与轻弹簧拴接，弹簧的另一端固定在
点，球
、
间用一根不可伸长
的细线相连，装置可绕
在水平面内转动。水平杆转动的角速度
时，细线与杆
的夹角为
。现缓慢增大转速至
，使细线与杆
的夹角增大为
，此时弹簧的形变量与转速为
时的
形变量相同。已知细线的长度
，球
、
的质量分别为
，
，重力加速度
取10m/s2，
，
。求：
(1)角速度为
时，杆
对球
的弹力大小
；
(2)角速度
；
(3)装置从角速度
增大到
的过程中，外力对装置做的功
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）角速度为
时，设线中拉力为
，对B 球受力分析，有
，
解得
（2）角速度为
时，设弹簧中弹力为
，对A 球受力分析，有
角速度为
时，设线中拉力为
，对B 球受力分析，有
对A 球受力分析，有
解得
（3）装置从角速度
增大到
的过程中，B 球重力势能的增量为
A 球动能的增量为
外力对装置做的功
解得
11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，半径为R=0.8m 的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，
其下端Q 与地面相切。劲度系数k=160N/m 的水平轻质弹簧右端与固定的竖直挡板相连，左端与质量为
m=1kg 的滑块B 相连，初始时弹簧处于原长。现将质量也为m、可视为质点的滑块A 由轨道顶端P 点静止
释放，A 滑离轨道后与B 发生正碰，此后与B 粘在一起运动。已知A 与轨道、地面间的摩擦忽略不计，B 与
地面间的动摩擦因数μ=0.4，A、B 碰撞时间极短，二者一起运动的过程中未滑上左侧轨道，弹簧的弹性势
能
，其中x 为弹簧的形变量，弹簧未超出其弹性限度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取
g=10m/s2。求：
(1)A、B 碰撞后瞬间B 的速度大小；
(2)弹簧伸长量最大时储存的弹性势能；
(3)A、B 一起运动的路程s。
【答案】(1)2m/s
(2)1.8J
(3)1m
【详解】（1）A 由轨道顶端P 点静止释放，到A、B 碰撞前由动能定理得
解得
A、B 碰撞过程由动量守恒定律得
解得
（2）A、B 碰撞后到弹簧最短，AB 运动的位移大小为x1，则
解得
，
（舍去）
弹簧伸长量最大时弹簧伸长量为x2，则
解得
，
（舍去）
所以弹簧伸长量最大时储存的弹性势能
（3）弹簧第二次被压缩时，其压缩量为x3，则
解得
弹簧第二次被拉伸时，其伸长量为x4，则
解得
因为此时
，所以A、B 仍要向右运动，但此时
，所以A、B 可
能无法回来弹簧的平衡位置，设A、B 停下时，弹簧伸长量为x5，则有
解得
故A、B 一起运动的路程为
04 涉及摩擦力做功的能量转化问题
12．（2025·河北石家庄·模拟预测）如甲图所示，质量为2kg 的物块，以
的初速度在水平地面
上向右运动，水平向左的推力F 随路程x 变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动擦因数为
，重力加速度g 取
，忽略空气阻力，则（ ）
A．物块回到出发点时的速度大小为2m/s
B．整个过程中克服摩擦力做功14J
C．x=3m 时，物块的动能为8J
D．物块运动的位移大小为4m
【答案】A
【详解】A．物块向右运动时受到水平向左的推力和摩擦力，若物块减速到0，根据动能定理有
从
图像可知
则
代入得
再代入数据化简得
解得
或
（舍）
当物块向左运动时受到水平向左的推力与水平向右的摩擦，当
时
，根据动能定理有
代入数据得
故A 正确；
B．回到出发点，克服摩擦力做功
之后
为0，物体减速至0，克服摩擦力做功
则总功
故B 错误；
C．因
，说明物块向左运动1m，而
时
，根据动能定理有
解得
故C 错误；
D．由A 选项，可知物块回到出发点时速度为2m/s，根据动能定理有
解得
故D 错误。
故选A。
13．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，倾角
的斜面与圆心为
、半径
的光滑圆弧轨道相切于
点，且固定于竖直平面内。质量
的滑块从斜面上的
点由静止释放，经
点后沿圆弧轨道运动，
通过轨道最低点
时对轨道的压力大小为17N。已知
为轨道的末端，
水平，
垂直于
，
、
之间的长度
，
取
，
，
。求：
(1)滑块与斜面之间的动摩擦因数
；
(2)滑块释放之后在斜面上运动的总路程。
【答案】(1)0.125
(2)18m
【详解】（1）由牛顿第三定律可知在C 点轨道对滑块的支持力
在C 点，根据牛顿第二定律可知
滑块由A 点运动到C 点，由动能定理有
解得
（2）滑块最终在轨道内做往复运动，最高能到达B 点，设B 点为零势能点，根据能量守恒定律有
解得
14．（2025·陕西·模拟预测）如图所示，AB 为水平路面，B 点右侧有一个壕沟，壕沟可视为由一个曲面BD
和一个半径R=3m 的圆弧面CD 组成，O 点为圆弧面的圆心且与A、B 两点在同一水平面上，B、C 两点的高
度差h=1.8m，一特技表演者骑摩托车从距壕沟左边缘B 点l=8m 处的A 点从静止开始做匀加速直线运动，
刚好能落到壕沟对岸的C 点。已知摩托车和表演者的总质量为m=160kg，O、B 两点间的距离为L=2.4m，
重力加速度g 取
，摩托车及表演者可视为质点，不计空气阻力。
(1)求摩托车在水平面AB 上运动时的加速度大小；
(2)若在A，B 之间加一斜坡，使摩托车到B 点时恰好沿壕沟运动，且速度大小与第一次到达B 点时相等，
测得摩托车从C 点离开后能上升的最大高度为
＝0.8m，求摩托车在壕沟内运动时克服摩擦力所做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设摩托车到达B 点时的速度大小为
，从B 点运动到C 点的时间为t，根据平抛运动规
律，水平方向有
竖直方向有
联立解得
=8m/s
从A 点到B 点的过程，根据匀变速直线运动规律可得
解得摩托车的加速度大小为
（2）设OC 与OD 连线的夹角为θ，则有
设摩托车到达C 点时的速度大小为
，竖直分速度大小为
，则有
根据匀变速直线运动规律可得
联立解得
=5m/s，
从B 点到C 点由能量守恒可得
解得克服摩擦力所做的功为
05 能量的转化与守恒、效率及能源
15．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某瀑布高100m，水的流量50m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效
率为60%，已知重力加速度g=10m/s2，水的密度ρ=1.0×103kg/m3，则发电功率为（ ）
A．3×104W
B．3×105W
C．3×106W
D．3×107W
【答案】D
【详解】Δt 时间内流过水的质量为
重力势能的减小量为
重力势能转化为电能，则发电功率
其中
，
联立可得
故选D。
16．
（2024·浙江·二模）如图所示是潮汐发电示意图，其利用潮水涨落产生的水位差所具有的势
能发电，一昼夜中两次涨、落潮。涨潮时堵住通道，涨至最高水位时打开通道，进水发电。水库水位涨至
最高时，堵住通道，落潮至最低水位时，打开通道放水发电。已知水坝的高为
，涨潮时水库最高
水位
，退潮水库最低水位
，发电机日平均发电量为
，水轮发电机总效率为
10%，海水的密度为
，g 取
，则下列说法正确的是（ ）
A．涨潮时水库水重心上升4m
B．发电机的功率为
C．该发电站所圈占的海湾面积约为
D．若采用
的直流电向某地区输电，输电线路电阻为1000Ω，则线路上损耗功率为输电总
功率的5%
【答案】D
【详解】A．涨潮时水库水重心上升
m
故A 错误；
B．根据电功率的公式有
故B 错误；
C．一次涨潮，发电机发电量
一次涨潮，水的质量为
发电机日平均发电量
解得小型发电站所圈占的海湾面积为
故C 错误；
D．采用U=200kV 直流电向某地区输电时，通过输电线的电流
输电线上损耗的功率为
解得
故D 正确；
故选D。
17．（2024·浙江·模拟预测）嘉兴海盐大风车地区有一风力发电机，它的叶片转动可形成500m2的圆面，
某段时间内风速为12m/s，风向恰好跟圆面垂直，已知空气的密度为1.3kg/m3，假使这个风力发电机能将
30%的风能转化为电能，则风力发电机的发电功率约为（ ）
A．1.4×105W
B．1.7×105W
C．3.4×105W
D．5.6×105W
【答案】B
【详解】1s 中通过的空气体积为
空气质量
这些空气的动能为
30%的动能转化为电能
所以1s 的能量，也就是发电功率
故选B。
18．（2024·浙江金华·二模）某地区常年有风，风速基本保持在5m/s，该地区有一风力发电机，其叶片转
动可形成半径为10m 的圆面，若保持风垂直吹向叶片，空气密度为
，风的动能转化为电能的效率
为20％。现用这台风力发电机给一小区供电，则下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的发电功率约为25.5kw
B．风力发电机一天的发电量
C．假设一户家庭在晚上同时开着两盏40W 的灯，为保证供电正常，则该风力发电机同时能给约64 户
家庭供电
D．若风速变为2.5m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的一半
【答案】C
【详解】AD．单位时间(1s)内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为
，单位时间
内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为
，该风力发电机的发电功率
，解得
，若风速变为2.5m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的
，故AD
错误；
B．风力发电机一天的发电量
，故B 错误；
C．假设一户家庭在晚上同时开着两盏40W 的灯，为保证供电正常，根据
则该风力
发电机同时能给约64 户家庭供电,故C 正确；
故选C。
19．
（2025·山东·模拟预测）如图1 所示为消防员采用的高压水枪，图2 为某次灭火的示意图，
消防员将出水管与水平地面成
角架好，着火点与出水口的竖直距离
，水平距离
，
水落在着火点。已知出水管的横截面积
，灭火过程中水枪机器的效率
，水的密度
，重力加速度
取
，忽略空气阻力
及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（ ）
A．
B．
C．
D．50kW
【答案】B
【详解】设水做斜抛运动的初速度为
，经时间水打到着火点，在竖直方向有
在水平方向有
联立解得
，
设水枪机器消耗的功率为
，经
时间打出水的质量为
根据能量守恒有
解得
故选B。
1．（2025·河北·模拟预测）如图所示，粗糙绝缘斜面（斜面足够长）所在空间有平行于斜面向上的匀强电
场。一质量为m，带电荷量为
的物块自斜面的最底端以初动能
沿斜面向上运动。已知斜面的
倾角
，物块与斜面间的动摩擦因数为
，电场强度的大小为
，重力加速度为g，以斜面的
最低点为电势能零点，该点所在的水平面为零重力势能参考面，则（ ）
A．物体沿斜面上滑的最大距离为
B．当物体向上滑动距离
，物块的电势能和动能相等
C．当物体向上滑动距离
，物块的重力势能和动能相等
D．物块从开始上滑到再次回到斜面底端过程摩擦生热为
【答案】B
【详解】A．由动能定理，有
解得上滑的最大距离为
，故A 错误；
B．由动能定理，有
解得
由功能关系，有电势能
则此时，物块的电势能和动能相等，故B 正确；
C．由动能定理，有
解得
重力势能
则此时，物块的重力势能和动能不相等，故C 错误；
D．由功能关系，摩擦生热为
代入，解得
，故D 错误。
故选B。
2．
（2025·江西·模拟预测）（多选）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个
装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减
为零且不会反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，
弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为
，重力加速度为
。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性
限度内，下列说法正确的是（ ）
A．箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
【答案】BD
【详解】A．箱子静止时，对小球分析有
对箱子分析有
当箱子由静止释放瞬间，弹簧弹力不发生突变，小球在这瞬间仍然平衡，加速度为0，而箱子释放瞬间
固定箱子的力
消失，箱子所受合力为
可得该瞬间箱子的加速度
此后弹簧会恢复原长，在弹簧恢复原长的过程中，弹簧弹力对箱子做正功，若此过程中箱子落地，则此
过程中箱子的机械能增加；若在弹簧恢复原长时箱子还未落地，由于箱子的速度大于小球的速度，弹簧
将被压缩，弹簧弹力将对箱子做负功，箱子的机械能又会减小，但无论何种情况，箱子在运动过程中除
了重力做功外，弹簧弹力也在做功，因此箱子下落过程中，箱子机械能不守恒，故A 错误；
B．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有
弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时
弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点
在最高点
联立解得
而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为
，故B 正确；
C．小球做简谐振动，在平衡位置时有
解得
即弹簧被拉伸时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分
析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处
于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平
衡位置下落的高度
而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能
相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得
解得
故C 错误；
D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具
有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得
解得箱子损失的机械能
故D 正确。
故选BD。
3．（2025·重庆·模拟预测）如图，空间中有一轨道ABCDEF。其中ABC 部分为竖直平面内的轨道，
为水平面内的轨道。AB 段是倾角
的光滑倾斜直轨道，长为
与竖直平面内的光滑圆轨道1 相
切于B 点，圆轨道1 的半径为R，C、C'为轨道最低点且略微错开，
为粗糙水平直轨道，长度为
DE 为光滑半圆形水平弯道，其半径
EF 也为粗糙水平直轨道，长度与
相同。A 点固定一轻弹簧
（弹簧长度相对于L 不计），一小球在外力作用下先挤压弹簧，然后静止释放，弹簧将其弹性势能Ep 全部
转化成小球的动能，小球在运动过程中始终受到水平向右的某种场力，大小为
。已知小球的质量
m，小球与
EF 的动摩擦因数
，重力加速度为g，
空气阻力可忽略不计。
求：
(1)若
小球第一次运动到B 点的速度；
(2)若小球能在圆轨道1 上做完整圆周运动，小球受到轨道的最大弹力和最小弹力的差值；
(3)在F 点固定一面弹性墙，小球碰撞后以原速率反弹，若小球始终不脱离轨道，弹簧弹性势能Ep应满足的
条件。（假设弹簧弹性势能无限制）
【答案】(1)
(2)
(3)0＜Ep≤
mgR
或
mgR≤Ep≤
mgR
或
或
【详解】（1）设小球第一次运动到B 点的速度大小为vB，对小球第一次由A 到B 的过程，根据动能定
理与功能关系得
已知Ep=8mgR
解得
方向沿倾斜直轨道向下；
（2）将重力和该种场力合成为合力F 合，可得F 合的大小为
其方向与水平方向夹角β 满足
解得β=53°
由几何关系可知F 合的方向垂直于倾斜直轨道AB 向下。
小球在圆轨道1 上做完整圆周运动，根据F 合的方向可知，B 点为等效最低点，小球在此位置受到轨道
的弹力最大（设为F1）；B 点关于圆心对称的P 点为等效最高点，在此位置小球受到轨道的弹力最小
（设为F2）。
设小球在B 点的速度大小为v1，在P 点的速度大小为v2，根据牛顿第二定律得
由B 到P 的过程，根据动能定理得
小球受到轨道的最大弹力和最小弹力的差值为ΔF=F1-F2
联立解得ΔF=6F 合=7.5mg
（3）设小球恰好经过P 点的临界速度大小为vP，根据牛顿第二定律得
解得
小球由P 直接运动到D 的过程，合力做功为WPD=mg（R+Rsinβ）-F（s-Rcosβ）-μmgs=-12.75mgR
因
故由动能定理可知小球恰好经过P 点后不能到达D 点。
设水平弯道DE 的中点为G 点，设小球恰好经过G 点的临界速度大小为vG，同理可得
解得
小球由G 点经E 点到达F 点，再被反弹返回到E 点的过程，合力做功为WGFE=FR2-μmg•2s=-12mgR
因
同理可知小球恰好经过G 点后不能返回到E 点。
小球返回的过程，由G 点经D 点到达P 点的过程，合力做功为
WGDP=F（R2+s-Rcosβ）-μmg•s-mg（R+Rsinβ）=0.75mgR
因
可知小球由F 反弹后恰好经过G 点后一定能经过P 点。
由（2）的解答可知小球在AB 段做匀速直线运动，小球向上滑经过B 点与下滑经过B 点速度大小相等。
因
可知小球由弹性墙反弹后恰好经过G 点，再经过P 点后不能到达D 点。
为使小球始终不脱离轨道，有如下几种情况：
①首次由A 点下滑后不越过圆轨道1 的等效圆心等高点Q 点（见上图），弹性势能应满足Ep≤F 合R=
mgR
②首次由A 点下滑后能越过圆轨道1 的等效最高点P 点，而不越过D 点，弹性势能应满足
Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmgs≤0
解得
mgR≤Ep≤
mgR
③在F 点多次反弹后，第n 次由A 下滑后能经过G 点，再由F 点返回不越过E 点，在第n 次由A 下滑之
前，在轨道C′D 与轨道EF 分别共经过2（n-1）次，弹性势能应满足：
Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s+R2）-μmgs-2×2（n-1）μmgs≥
Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmg•3s-2×2（n-1）μmgs≤0
解得[30（n-1）+
]mgR≤Ep≤[30（n-1）+
]mgR，n=1、2、3……
④第n 次由A 下滑后到F 点返回能经过G 点，且经过G 点后经圆轨道1 回到A 点，再次由A 下滑不越过
D 点，弹性势能应满足Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s+R2）-μmg•3s-2×2（n-1）μmgs≥
Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmg•5s-2×2（n-1）μmgs≤0
解得[30（n-1）+
]mgR≤Ep≤[30（n-1）+
]mgR，n=1、2、3……
综上所述，为使小球始终不脱离轨道，弹簧弹性势能Ep 应满足的条件为：0＜Ep≤
mgR
或
mgR≤Ep≤
mgR
或[30（n-1）+
]mgR≤Ep≤[30（n-1）+
]mgR，n=1、2、3……
或[30（n-1）+
]mgR≤Ep≤[30（n-1）+
]mgR，n=1、2、3……。
4．
（2025·北京延庆·一模）国家的高质量发展离不开可靠的能源保障。
(1)风能将成为21 世纪大规模开发的一种可再生清洁能源。风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电
能的装置，其基本外形如图1 所示。风轮机叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可接受风能的面积。已知
风力发电机的输出电功率P 与最大接收功率Pm成正比。2023 年11 月10 日，全新一代总容量18 兆瓦的海
上直驱风电机组下线，该机组的单台风力发电机在风速v1=15m/s 时能够输出的电功率P1=2.7×104kW。我国
某海域全年平均风速不低于v2=10m/s，若每年总时长按6000 小时做估算。该风力发电机在该地区的年最
低发电量大约是多少千瓦时？（需要的物理量可以自行设定）
(2)近年来，我国光伏产业创新发展迅速，某种新型光伏材料的光电转化效率可达32%。设想用该材料制成
的太阳能面板给某型号纯电动客车供电。若该型号纯电动客车在水平路面上以v=72km/h 的速度匀速行驶
时，驱动电机的输入电流I=80A，输入电压U=400V。试求此状态下能够直接驱动该电动客车的太阳能电池
板的最小面积是多大？结合计算结果，简述你对该设想的思考。（已知太阳辐射的总功率P0=4×1026W，太
阳到地球的距离r=1.5×1011m，太阳光传播到达地面的过程中大约有30%的能量损耗，计算结果保留三位有
效数字。）
(3)利用地下密闭盐穴存储“空气能”是最为经济、最为安全的空气储存方式。如图2 所示，某盐穴压缩空
气储能电站在用电低谷时用电网富余的电能带动空气压缩机给地下900 多米深处的巨大盐穴打气，同时利
用换热系统将这些压缩空气的热量存至储热介质中；在用电高峰阶段，让高压气体喷入管道并吸收储热介
质中的热量，最后设法用这些高能空气驱动外界发电机组发电，控制调整后将电能返送回电网，保证电网
的稳定和安全。该“盐穴空气储能电站”完成一次压缩的时间为8 小时，而发电过程可以持续5 小时，发
电量可达30 万千瓦时。若电动机及压缩机组的机械转化效率为90%，被压缩的气体向外界传导的热量占消
耗电能的80%，压缩结束时盐穴内被封闭的空气增加的内能为5 万千瓦时。试求该压缩空气储能站的电能
转换效率η。
【答案】(1)4.8×107kW·h
(2)101m2，见解析
(3)60%
【详解】（1）当风垂直流向风轮机时，提供的风能功率最大，令此时风轮机叶片旋转扫过的面积为
S，则单位时间内垂直流向叶片旋转面积的气体质量
风力发电机的最大功率
解得
由于风力发电机的输出电功率P 与最大接收功率Pm成正比，则风力发电机的输出功率为
则最低年发电量约为
（2）驱动电机的输出功率
当阳光垂直于电池板入射时，所需板面积最小，设其为S，距离太阳中心为r 的球面面积
设太阳能电池板实际接收到的太阳能功率为
，则有
根据题意有
所以电池板的最小面积
我的思考：电池板的面积远远大于电动客车的车顶面积，所以用太阳能电池板直接驱动汽车是困难的。
但可以利用太阳能给具备储能功能的电池充电，待容纳的电量足够时就可以驱动汽车对外做功。
（3）设用电低谷阶段电站消耗的总电能为
，压缩机组对气体做功
气体向外界传递的热量
根据热力学第一定律可知，气体增加的内能
其中
等于5 千瓦时，解得
等于50 万千瓦时。根据题意可知，当完成一次压缩时的发电量
等于
30 万千瓦时，则该电站输入、输出电能转化效率
1．（2025·湖南·高考真题）（多选）如图，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C 是可以在滑轨
上运动的标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h 的水平面上。测量时，将
弹药放入装载台圆筒内，两端用物块A 和B 封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完全
转化为A 和B 的动能。极短时间内B 嵌入C 中形成组合体D，D 与滑轨间的动摩擦因数为
。D 在滑轨上运
动
距离后抛出，落地点距抛出点水平距离为
，根据
可计算出弹药释放的能量。某次测量中，A、
B、C 质量分别为
、
、
，
，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度
大小为g。则（ ）
A．D 的初动能与爆炸后瞬间A 的动能相等
B．D 的初动能与其落地时的动能相等
C．弹药释放的能量为
D．弹药释放的能量为
【答案】BD
【详解】A．爆炸后，AB 组成的系统动量守恒，即3mv1=mv2
B 与C 碰撞过程动量守恒mv2=6mv
联立解得v=0.5v1。
爆炸后瞬间A 的动能
D 的初动能
两者不相等，故A 错误；
B．D 水平滑动过程中摩擦力做功为
做平抛运动过程中重力做的功为
故D 从开始运动到落地瞬间合外力做功为0，根据动能定理可知D 的初动能与其落地时的动能相等，故
B 正确；
CD．D 物块平抛过程有
，
联立可得
D 水平滑动过程中根据动能定理有
化简得
弹药释放的能量完全转化为A 和B 的动能，则爆炸过程的能量为
故C 错误，D 正确。
故选BD。
2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，风光互补环保路灯的主要构件有：风力发电机，单晶硅太阳能板，
额定电压
容量
的储能电池，功率
的LED 灯。已知该路灯平均每天照明
；
标准煤完
全燃烧可发电2.8 度，排放二氧化碳
。则（ ）
A．风力发电机的输出功率与风速的平方成正比
B．太阳能板上接收到的辐射能全部转换成电能
C．该路灯正常运行6 年，可减少二氧化碳排放量约
D．储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正常工作
【答案】D
【详解】A．设
时间，风力发电机的扇叶半径为，假设风的动能全部变成发电机输出，输出功率为
，即风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比，故A 错误；
B．太阳能板上接收到的辐射能不能全部转换成电能，存在能量损耗，转换效率一般在15%~20%左右，
故B 错误；
C．已知路灯的功率为
每天照明
，一年按365 天计算，6 年的总时间
可得总耗电量为
因
标准煤完全燃烧可发电2.8 度，排放二氧化碳
，则减少的二氧化碳排放量为
，故C 错误；
D．已知储能电池的额定电压
，容量
，则电池的电能为
而路灯连续一周的耗电量为
因
，所以储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正常工作。故D
正确。
故选D。
3．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为
，喷水速度约为10m/s，水的
密度为
kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W
B．20W
C．100W
D．200W
【答案】C
【详解】设
时间内从喷头流出的水的质量为
喷头喷水的功率等于
时间内喷出的水的动能增加量，即
联立解得
故选C。
4．（2024·广西·高考真题）（多选）如图，坚硬的水平地面上放置一木料，木料上有一个竖直方向的方孔，
方孔各侧壁完全相同。木栓材质坚硬，形状为正四棱台，上下底面均为正方形，四个侧面完全相同且与上
底面的夹角均为。木栓质量为m，与方孔侧壁的动摩擦因数为
。将木栓对准方孔，接触但无挤压，锤
子以极短时间撞击木栓后反弹，锤子对木栓冲量为I，方向竖直向下。木栓在竖直方向前进了
的位移，
未到达方孔底部。若进入的过程方孔侧壁发生弹性形变，弹力呈线性变化，最大静摩擦力约等于滑动摩擦
力，则（ ）
A．进入过程，木料对木栓的合力的冲量为
B．进入过程，木料对木栓的平均阻力大小约为
C．进入过程，木料和木栓的机械能共损失了
D．木栓前进
后木料对木栓一个侧面的最大静摩擦力大小约为
【答案】BD
【详解】A．锤子撞击木栓到木栓进入过程，对木栓分析可知合外力的冲量为0，锤子对木栓的冲量为
I，由于重力有冲量，则木料对木栓的合力冲量不为-I，故A 错误；
B．锤子撞击木栓后木栓获得的动能为
木栓进入过程根据动能定理有
解得平均阻力为
故B 正确；
C．木栓进入过程损失的动能与重力势能，一部分转化为系统内能另一部分转化为木栓的弹性势能，
故C 错误；
D．对木栓的一个侧面受力分析如图
由于方孔侧壁弹力成线性变化，则有
且根据B 选项求得平均阻力
又因为
联立可得
故D 正确。
故选BD。
