文档文本内容
秘籍 02 弹簧热点问题
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、实验题、计算题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 结合力的平衡、牛顿第二定律、功、动能定理、动量定理、能量守恒、图像考查
始末态入手、弹性势能、弹簧振子、碰撞
胡克定律、弹性势能、力的合成分解、力的平衡、牛顿定律、功、动能定理、动量定理、能量守恒
弹性势能--能量守恒，位移--始末态形变量，临界--弹簧最长、最短、原长，弹簧振子--对称性。
一、平衡问题
例1、(多选)如图所示，竖直轻质弹簧连接A、B两物体，A放在水平地面上，B的上端通过竖直细线悬挂
在天花板上；已知A的重力为8 N，B的重力为6 N，弹簧的弹力为4 N．则地面受到的压力大小和细线受
到的拉力大小可能是( )
A．18 N和10 N B．4 N和10 N
C．12 N和2 N D．14 N和2 N
答案 BC
解析 A受重力、弹簧的弹力及地面的支持力而处于平衡状态；若弹力向上，则支持力 F＝G －F＝8 N－
A A 1
4 N＝4 N，若弹力向下，则支持力F′＝G ＋F ＝8 N＋4 N＝12 N；对整体分析，整体受重力、拉力及地
A A 1
面的支持力，若支持力为4 N，则拉力F ＝G ＋G －F＝10 N，若支持力为12 N，则拉力F′＝G ＋G －
2 A B A 2 A B
F′＝2 N，故B、C正确，A、D错误．
A
二、动力学临界问题例2、如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m
1
＝6 kg的物体P，Q为一质量为m ＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静
2
止状态.现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前
0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x；
0
(2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a；
(3)力F的最大值与最小值.
答案 (1)0.16 m (2) m/s2 (3) N N
解析 (1)设开始时弹簧的压缩量为x，
0
对整体受力分析，平行斜面方向有(m＋m)gsin θ＝kx
1 2 0
解得x＝0.16 m.
0
(2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度
大小相等，设此时弹簧的压缩量为x，
1
对物体P，由牛顿第二定律得：
kx－mgsin θ＝ma
1 1 1
前0.2 s时间内两物体的位移：
x－x＝at2
0 1
联立解得a＝ m/s2.
(3)对两物体受力分析知，开始运动时F最小，分离时F最大，则
F ＝(m＋m)a＝ N
min 1 2
对Q应用牛顿第二定律得
F －mgsin θ＝ma
max 2 2
解得F ＝ N.
max
例3、如图所示，两个质量均为m的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态.弹簧的下端固定于
地面上，弹簧的劲度系数为k.t＝0时刻，给A物块一个竖直向上的作用力F，使得两物块以0.5g的加速度
匀加速上升，下列说法正确的是( )
A.A、B分离前合外力大小与时间的平方t2成线性关系
B.分离时弹簧处于原长状态C.在t＝时刻A、B分离
D.分离时B的速度大小为g
答案 C
解析 A、B分离前两物块做匀加速运动，合外力不变，选项A错误；开始时弹簧的压缩量为x，则2mg＝
1
kx ；当两物块分离时，加速度相同且两物块之间的弹力为零，对物体 B，有kx －mg＝ma，且x －x ＝at2，
1 2 1 2
解得x ＝，x ＝，t＝，此时弹簧仍处于压缩状态，选项B错误，C正确；分离时B的速度大小为v＝at＝g·
1 2
＝g，选项D错误.
三、动力学对比问题
例4、(多选)如图所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平
面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a 匀加速运动时，弹簧的
1
伸长量为x ；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a 匀
1 2
加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x，则下列说法正确的是( )
2
A.若m>M，有x＝x B.若m<M，有x＝x
1 2 1 2
C.若μ>sin θ，有x>x D.若μ<sin θ，有x<x
1 2 1 2
答案 AB
解析 在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a①
1
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
F －μmg＝ma ②
T 1
联立①②解得F ＝③
T
在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－(m＋M)gsin θ＝(m＋M)a④
2
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
F ′－mgsin θ＝ma ⑤
T 2
联立④⑤解得F ′＝⑥
T
比较③⑥可知，弹簧弹力相等，即弹簧伸长量相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故 A、B正确，C、
D错误.
四、能量问题
1．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
2．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
例5、如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
答案 C
解析 小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压
缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最
大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始减速运动，所以整个过程中小球先加速后减速运动，
根据E ＝mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做了负功，
k
小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，
弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能
之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确．
例6、如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、
BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的
最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．
答案 (1)2R (2)6mg (3)mgR
解析 (1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝m
又x＝v t,2R＝gt2
C
解得x＝2R
即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；
(2)物块由B到C过程中机械能守恒，
则有mv 2＝2mgR＋mv 2
B C
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力大小为F ，
N则有：F －mg＝m，
N
解得F ＝6mg
N
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小为F ′＝F ＝6mg.
N N
(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为
E＝2mgR＋mv 2，解得E＝mgR.
p C p
例7、如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖
直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但
无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为
m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放 A后，A沿斜面下
滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
(1)斜面的倾角α；
(2)弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F；
0
(3)A沿斜面下滑的速度最大值v .
m
答案 (1)30° (2)mg (3)2g
解析 (1)A速度最大时，加速度为零，
对A有4mgsin α＝F，
此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，
对B、C整体有F＝2mg，
解得sin α＝，即α＝30°.
(2)设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a，
对A有4mgsin α－F＝4ma，
0
对B有F－mg＝ma，
0
解得F＝mg.
0
(3)一开始弹簧处于压缩状态，有mg＝k·Δx，
1
压缩量Δx＝，
1
C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，有mg＝k·Δx，
2
伸长量Δx＝Δx＝，
2 1
因而初、末状态弹簧的弹性势能相等，从释放 A球至C球恰好离开地面的过程，对整个系统根据机械能守
恒定律有
4mgsin α·(Δx＋Δx)－mg(Δx＋Δx)＝(4m＋m)v 2，
1 2 1 2 m
解得v ＝＝2g.
m五、碰撞问题
例8、静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为m ＝1.0 kg，m ＝4.0 kg；两者之间有一被压缩的
A B
微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0 m，如图所示．某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬
间分离，两物块获得的动能之和为E ＝10.0 J．释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动．A、B与地面
k
之间的动摩擦因数均为μ＝0.20.重力加速度取g＝10 m/s2.A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰
撞时间极短．
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
答案 (1)4.0 m/s 1.0 m/s (2)物块B先停止 0．50 m (3)0.91 m
解析 (1)设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为v 、v ，以向右为正方向，由动量守恒定律和题给条件
A B
有
0＝m v －m v ①
A A B B
E＝m v 2＋m v 2②
k A A B B
联立①②式并代入题给数据得
v ＝4.0 m/s，v ＝1.0 m/s③
A B
(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为 a.假设A和B发生碰
撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B.设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B
向左运动的路程为s ，则有m a＝μm g④
B B B
s ＝v t－at2⑤
B B
v －at＝0⑥
B
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此
碰撞是否发生，A在时间t内的路程s 都可表示为
A
s ＝v t－at2⑦
A A
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
s ＝1.75 m，s ＝0.25 m⑧
A B
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边
0.25 m处．B位于出发点左边0.25 m处，两物块之间的距离s为
s＝0.25 m＋0.25 m＝0.50 m⑨
(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为v ′，由动能定理有
A
m v ′2－m v 2＝－μm g⑩
A A A A A联立③⑧⑩式并代入题给数据得
v ′＝ m/s⑪
A
故A与B将发生碰撞．设碰撞后A、B的速度分别为v ″和v ″，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
A B
m ＝m v ″＋m v ″⑫
A A A B B
m v ′2＝m v ″2＋m v ″2⑬
A A A A B B
联立⑪⑫⑬式并代入题给数据得
v ″＝ m/s，v ″＝－ m/s⑭
A B
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动．设碰撞后A向右运动距离为s ′时停止，B向左运动距离
A
为s ′时停止，由运动学公式
B
2as ′＝v ″2,2as ′＝v ″2⑮
A A B B
由④⑭⑮式及题给数据得
s ′＝0.63 m，s ′＝0.28 m⑯
A B
s ′小于碰撞处到墙壁的距离．由上式可得两物块停止后的距离
A
s′＝s ′＋s ′＝0.91 m.
A B
例9、如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静止放在离
地面高为H＝5 m的光滑水平桌面上．现有一滑块A从光滑曲面上离桌面h＝1.8 m高处由静止开始滑下，
与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平
桌面上匀速运动一段后从桌面边缘飞出．已知m ＝1 kg，m ＝2 kg，m ＝3 kg，取g＝10 m/s2.求：
A B C
(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小；
(2)被压缩弹簧的最大弹性势能；
(3)滑块C落地点与桌面边缘的水平距离．
答案 (1)2 m/s (2)3 J (3)2 m
解析 (1)滑块A从光滑曲面上h高处由静止开始滑下的过程机械能守恒，设其滑到底面的速度为 v ，由机
1
械能守恒定律有m gh＝m v2，解得v＝6 m/s
A A 1 1
滑块A与B碰撞的过程，A、B系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度，设为v，由动量守恒定律有
2
m v＝(m ＋m )v，
A 1 A B 2
解得v＝v＝2 m/s
2 1
(2)滑块A、B发生碰撞后与滑块C一起压缩弹簧，压缩的过程机械能守恒，被压缩弹簧的弹性势能最大时，
滑块A、B、C速度相等，设为v，由动量守恒定律有
3
m v＝(m ＋m ＋m )v，
A 1 A B C 3解得v＝v＝1 m/s
3 1
由机械能守恒定律有
E＝(m ＋m )v2－(m ＋m ＋m )v2
p A B 2 A B C 3
解得E＝3 J
p
(3)被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，设滑块A、B的速度为v ，滑块C的速度为v ，由
4 5
动量守恒定律和机械能守恒定律有
(m ＋m )v＝(m ＋m )v＋m v
A B 2 A B 4 C 5
(m ＋m )v2＝(m ＋m )v2＋m v2
A B 2 A B 4 C 5
解得v＝0，v＝2 m/s
4 5
滑块C从桌面边缘飞出后做平抛运动s＝vt，H＝gt2
5
解得s＝2 m.
六、图像问题
例10、(多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m 和m 的两物块A、B相连接并静止在光滑的
1 2
水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度—时间图象如图乙，则有( )
A．在t、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
B．从t 到t 时刻弹簧由压缩状态恢复原长
3 4
C．两物块的质量之比为m∶m＝1∶2
1 2
D．在t 时刻A与B的动能之比E ∶E ＝1∶8
2 k1 k2
答案 CD
解析 由题图乙可知t 、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且此时系统动能最小，根据系统机械能守恒可
1 3
知，此时弹性势能最大，t 时刻弹簧处于压缩状态，而t 时刻处于伸长状态，故A错误；结合图象弄清两
1 3
物块的运动过程，开始时m 逐渐减速，m 逐渐加速，弹簧被压缩，t 时刻二者速度相同，系统动能最小，
1 2 1
势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m 仍然加速，m 先减速为零，然后反向加速，t
2 1 2
时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，在t
3
时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从 t 到t 过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故 B
3 4
错误；根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t 时刻系统总动量相等，有mv ＝(m ＋m)v ，其中v ＝3 m/s，
1 1 1 1 2 2 1
v＝1 m/s，解得m∶m＝1∶2，故C正确；在t 时刻A的速度为v ＝－1 m/s，B的速度为v ＝2 m/s，根据
2 1 2 2 A B
m∶m＝1∶2，求出E ∶E ＝1∶8，故D正确．
1 2 k1 k2
例11(多选)如图(a)，质量分别为m 、m 的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力F作用在A上，
A B系统静止在光滑水平面上(B靠墙面)，此时弹簧形变量为x。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的a-t
图像如图(b)所示，S 表示0到t 时间内A的a-t图线与坐标轴所围图形的面积大小，S 、S 分别表示t 到t
1 1 2 3 1 2
时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围图形的面积大小。A在t 时刻的速度为v。下列说法正确的是( )
1 0
A．0到t 时间内，墙对B的冲量等于m v
1 A 0
B．m ＞m
A B
C．B运动后，弹簧的最大形变量等于x
D．S－S＝S
1 2 3
解析：选ABD 将A、弹簧、B看成一个系统，0到t 时间内，重力、支持力对系统的冲量的矢量和为零，
1
墙对系统的冲量等于系统动量的变化量，即墙对 B的冲量等于m v ，A正确；t 时刻之后，A、B组成的系
A 0 1
统动量守恒，由题图(b)可知，t 到t 这段时间内，S＞S，故B物体速度的变化量大于A物体速度的变化量，
1 2 3 2
可知A物体的质量大于B物体的质量，B正确；撤去外力F后，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，B运
动后，A、B具有动能，根据系统机械能守恒可知，弹簧的最大形变量小于 x，C错误；t 时刻，A、B的加
2
速度均最大，此时弹簧拉伸到最长，A、B共速，a-t图像与时间轴所围图形的面积代表速度的变化量，0～
t 时间内，A的速度变化量为S －S ，t ～t 时间内，B的速度变化量为S ，两者相等，即S －S ＝S ，D正
2 1 2 1 2 3 1 2 3
确。
1．（房山区2023年高三年级第一次模拟考试）某同学在研究性学习活动中自制电子秤，原理示意图如图
所示。用理想电压表的示数指示物体的质量，托盘与电阻可忽略的金属弹簧相连，托盘与弹簧的质量均不
计，滑动变阻器R的滑动端与弹簧上端连接。当托盘中没有放物体时，滑片恰好指在变阻器的最上端，此
时电压表示数为0。设变阻器总电阻为R，总长度为l，电源电动势为E，内阻为r，限流电阻阻值为 ，
弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力。则下列说法不正确的是（ ）
A. 电压表的示数U与被测物体质量m成正比 B. 弹簧的形变量x与被测物体质量m成正比C. 被测物体质量m变大，电路中电流变小 D. 改变弹簧劲度系数k，可以改变电子秤的测量范围
【答案】A
【解析】由于金属弹簧的电阻可忽略，则当被测物体质量m变大，连接弹簧的滑片向下移，回路中的总电
阻增大，故电路中电流减小，C正确，不符合题意；
当托盘中没有放物体时，电压表示数为零，当物体质量为m时，设托盘下降x，由平衡条件有
B正确，不符合题意；
根据欧姆定律得
根据电阻定律有
由欧姆定律得
故电压表示数U与所称物体质量m的关系式为
电压表的示数U与被测物体质量m不成正比，改变弹簧劲度系数k，可以改变电子秤的测量范围，A错误，
符合题意、D正确，不符合题意。
故选A。
2.（厦门一中2023届高三）（多选）如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链
用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现将A球由静止释放
并下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度
内，忽略一切摩擦，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）A. 释放A的瞬间，B受到地面的支持力等于1.5mg
B. A的动能最大时，B受到地面的支持力等于1.5mg
C. 弹簧的弹性势能最大值为
D. 自静止释放到A的动能最大时，A球机械能减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【答案】BC
【解析】释放A球瞬间，A球有向下的加速度，处于失重状态，则左右轻杆给A球向上的力小于A球的重
力，左右轻杆作用力大小相等，给A球向上的力均小于0.5mg，则由力的作用是相互的可知，轻杆给B球
向下的作用力小于0.5mg，可得B球对地面的压力小于1.5mg，由牛顿第三定律可得，B球受到地面的支持
力小于1.5mg，故A错误；A球动能最大时，速度最大，受合外力为零，以A、B、C整体为研究对象，在
竖直方向，向下的重力3mg，向上的B、C两球受地面的支持力F ，即2F =3mg 所以B、C受到地面的支
N N
持力等于1.5mg，故B正确；弹簧的最大弹性势能等于A球下降至最低点时减少的重力势能，即
故C正确；自静止释放到A的动能最大时，A球机械能减少量等于弹簧弹性势能的增加量和三个小球的动
能增加量，故D错误。
故选BC。
3.（2023届高三4月大联考）如图所示，在光滑的水平面上静止一质量 的小车B，小车左端固定
一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到小车右端的距离 ，这段车厢板与木块A（可视为质点）之间的
动摩擦因数 ，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度
由小车B右端开始沿车厢板表面向左运动。已知木块A的质量 ，重力加速度 取
。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，小车和木块系统动量守恒，有
由能量守恒，得
联立解得
故选B。
4.（2023届高三年级第二次模拟考试）如图所示，在光滑水平平台上放置可视为质点的质量分别为
的小物块A、B。紧靠平台的光滑地面上放有质量为 的木板C，木板C刚好
与平台等高，C的左端放着一个与小物块B完全一样的小物块D（可视为质点），两者处于静止状态，所
有物块与木板之间的动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。开始时A、B都静止，
A、B间有一锁定的压缩轻质弹簧，弹簧与A、B不拴接，其弹性势能 。现解除锁定，此后B与D
发生碰撞后结合在一起，碰撞过程时间极短。空气阻力不计，重力加速度g取 。
求：
（1）物块A、B被弹开时各自的速度大小；
的
（2）物块B与D相碰后 速度大小；
（3）木板长度L至少为多长时小物块D才不会滑出木板。
【答案】（1）1m/s，4m/s；（2）2m/s；（3）0.4m
【解析】（1）对于物块A、B以及轻质弹簧组成的系统，由于其所处平台水平光滑，所以在弹簧解锁前后，系统动量守恒且能量守恒。取向右为正方向，设物块A、B被弹开时各自的速度大小分别为v 、v ，根据动
A B
量守恒，有
根据能量守恒，有
解得
，
（2）物块D与物块B完全一样，B与D发生碰撞后结合在一起，设二者碰撞后的速度大小为v ，对于B
D
与D组成的系统，根据动量守恒，有
解得
（3）设木板长度为L 时，小物块D滑到木板最右端与木板共速，恰好不掉下来，设共速时它们的速度大
min
小为v ，对于小物块B、D及长木板C组成的系统，根据动量守恒，有
C
根据能量守恒，有
解得
所以，木板长度L至少为0.4m时，小物块D才不会滑出木板。
5.（哈尔滨市第九中学2023届高三第二次高考模拟考试）（多选）如图甲所示，一轻弹簧上端固定在光滑、
固定斜面的顶端，下端与物块相连。先用力使物块沿斜面向下运动一段距离后，由静止释放，物块沿斜面
向上运动的速度—时间图像如图乙所示，弹簧一直处在弹性限度内。则物块沿斜面向上运动的过程中（
）A. 物块的机械能守恒
B. 时刻，系统的势能可能为零
C. 时刻，弹性势能一定最小
D. 时刻的弹性势能可能等于 时刻的弹性势能
【答案】BD
【解析】物块沿斜面向上运动的过程中，弹簧的弹力对物块做了功，物块的机械能不守恒，物块与弹簧构
成的系统的机械能守恒，A错误；根据图乙可知， 时刻，图线的斜率为0，即加速度为0，则弹簧的弹力
与重力沿斜面的分力平衡，弹簧处于拉伸状态，有一定的弹性势能，若选择重力势能的零势能位置为物块
上方的某一位置，此时重力势能为负值，可能使得弹性势能与重力势能的和值为0，即系统的势能可能为
零，B正确；根据题意，弹簧的原长位置不确定，当原长位置在 之间时，在 时刻，弹性势能不是
最小，C错误；根据上述，当原长位置在 之间时， 时刻弹簧处于拉伸状态， 时刻弹簧处于压缩
状态，两时刻弹簧的形变量有可能相等，即 时刻的弹性势能可能等于 时刻的弹性势能，D正确。
故选BD。
6.（湘豫名校联考2023年4月高三第二次模拟考试）（多选）如图所示，倾角为 、足够长的光滑
斜面固定在水平地面上，下端有一垂直斜面的固定挡板。质量均为m的小球a、b用劲度系数为k的轻质弹
簧连接并放置在斜面上，小球b靠在挡板上，两小球均保持静止。现对小球a施加一平行斜面向上、大小
为 的恒力。已知弹簧的弹性势能 与其形变量x满足 ，弹簧与斜面平行且形变始终处于
弹性限度内，重力加速度大小为g。在以后的运动中，下列分析正确的是（ ）A. 小球a先做加速运动，当加速度减小到零后做匀速运动
B. 小球b脱离挡板后，系统的总动量保持不变
C. 小球b刚要运动时，小球a的动能为
D. 小球b脱离挡板以后的运动过程中，弹簧储存的弹性势能可能大于
【答案】BC
【解析】对小球a受力分析，小球 在沿斜面方向上受到拉力、重力沿斜面向下的分力以及弹簧向下的弹
力的作用 随着弹簧伸长，弹力先减小到0后又反向增大，加速度会
逐渐减小，当 时，加速度减为0，速度不为0。对小球b受力分析，此时小球b受到重力的分力
大小为 ，恰好等于弹簧弹力大小。故此状态为小球b恰好要运动的状态。又因为小球 此时速度不
为0，故弹簧会继续伸长，弹力会继续增大。小球 的加速度会沿斜面向下，又会做减速运动。故A错误；
根据分析，小球b脱离挡板后，将小球 ，小球b以及弹簧看做一个整体，则整体受到的合外力为0。符合
动量守恒的条件，即系统的总动量保持不变。故B正确；根据分析，初始状态时，弹簧处于压缩状态
小球b刚要运动时， 解得
且初末状态中弹簧形变量相同，弹性势能相同。则弹力做的总功为0。根据动能定理解得
故C正确；
D．小球b刚要运动时，根据C选项可知小球 的速度为
此时弹簧弹性势能为
弹簧弹性势能最大时是两球共速时取得，系统总动量守恒，则
解得
系统动能的减少量为弹性势能的增加量，则
故弹性势能的最大值为
故D错误。
故选BC。
7.（吉林市普通中学2022-2023学年度高三毕业年级第三次调研测试）（多选）如图甲所示，轻弹簧下端
固定在倾角为θ的光滑斜面底端，上端与物块B相连，物块B处于静止状态，现将物块A置于斜面上B的
上方某位置处，取物块A的位置为原点O，沿斜面向下为正方向建立x轴坐标系，某时刻释放物块A，A
与物块B碰撞后以共同速度沿斜面向下运动，碰撞时间极短，测得物块A的动能E 与其位置坐标x的关系
k
如图乙所示，图像中0~x 之间为过原点的直线，其余部分为曲线，物块A、B均可视为质点，弹簧始终处
1
于弹性限度内，不计空气阻力，已知x，x，x，E，则（ ）
1 2 3A. 物块A、B的质量之比为1：3
B. A与B碰撞后，A在x 位置处加速度最大
3
C. A与B碰撞后，A在x 位置处弹簧压缩量为x-x
2 2 1
D. 弹簧的劲度系数为
【答案】ABD
【解析】由图乙可知，物块A与物块B碰撞前的动能
可得物块A与物块B碰撞前的速度为
物块A与物块B碰撞后的动能
解得物块A与物块B碰撞后的速度
物块A与物块B碰撞时间极短，根据动量守恒定律 解得
故A正确；
根据动能定理有
由上述可知 图像的斜率代表物体所受的合外力，由图乙可知，物块A与物块B碰撞后，在 处合
外力最大，即加速度最大。故B正确；由图乙可知， 处是物块B静止的位置，此时弹簧处于压缩状态，并不是原长，故 位置处弹簧压缩量
大于 ，故C错误；
弹簧上端与物块B相连，物块B处于静止状态，设此时弹簧的形变量为 ，结合图甲，根据平衡条件可知
由图乙可知，当物块A与物块B一起运动到 时，速度最大，根据平衡条件
物块A从O点运动到位置 的过程中，根据动能定理
联立解得 故D正确。
故选ABD。
8.（长春市2023届高三质量监测）如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为 的轻质弹簧一
端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止时位于B点，此时弹簧与
竖直方向夹角 ，已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A. 小球对圆环的弹力方向背离圆心
B. 圆环对小球的弹力大小为
C. 弹簧的劲度系数为
D. 若换用原长相同、劲度系数更大的轻质弹簧，小球静止时一定位于B点下方【答案】C
【解析】以小球为研究对象，由于重力作用，弹簧一定被拉伸， 弹簧弹力F沿弹簧斜向上；由平衡条件，
弹簧弹力F与圆环对球的弹力 的合力跟重力等大反向，画出受力分析如图。所以圆环对球的弹力方向一
定背离圆心，则小球对圆环的弹力方向指向圆心，故A错误；
由相似三角形几何关系可得
解得 ， 故B错误；
由胡克定律得
解得 故C正确；
若换用原长相同、劲度系数更大的轻质弹簧，小球要保持平衡，选项B中式子仍成立；劲度系数变大，则
弹簧形变量变小，小球沿圆环上移，即小球静止时位于B点上方，故D错误。
故选C。
9.（平罗中学2022-2023高三第二学期第二次模拟考试）如图所示，质量为 的三根完全相同的导体棒垂
直于纸面放置，其中 、 两导体棒放置在粗糙的水平面上， 导体棒被竖立的轻质弹簧悬挂，三根导体
棒中均通入垂直纸面向里、大小相等的恒定电流后，呈等边三角形排列，且保持稳定。重力加速度为 ，
下列说法正确的是（ ）A. 弹簧的弹力小于 导体棒的重力
B. 弹簧的弹力大于 导体棒的重力
C. 水平面对 导体棒的摩擦力可能为零
D. 若在地面上对称地缓慢增大 、 导体棒间的距离，弹簧长度将增大
【答案】B
【解析】三根导体棒的电流方向相同，根据同向电流相吸，反向电流相斥可知，导体棒 a和导体棒b对c
导体棒都是吸引力，作用力的合力方向竖直向下，故弹簧的弹力大于c导体棒的重力，故A错误，B正确；
C．b、c导体棒对a导体棒的合力方向垂直bc向上，在水平方向的分力不为零，而a导体棒处于静止状态，
根据受力平衡可知，水平面对a导体棒的摩擦力一定不为零，故C错误；若对称地缓慢增大ab导体棒间的
距离，a导体棒和b导体棒对c导体棒的作用力都在减小，且二力的夹角增大，故二力的合力减小，则弹
簧弹力减小，弹簧的伸长量减小，弹簧长度减小，故D错误。
故选B。
