文档文本内容
01 考情分析.........................................................2
02 知识构架..........................................................3
03 题型突破..........................................................4
一、楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用......................................4
考向一：楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用..................................................................................6
考向二：电磁感应的图像问题.................................................................................................................. 9
二、电磁感应中的动力学、能量和动量.........................................16
考向一：单杆模型+电阻..........................................................................................................................17
考向二：单杆模型+电容..........................................................................................................................22
考向三：双杆模型....................................................................................................................................27
考向四：线框模型....................................................................................................................................35
04 自我提升........................................................48
专题十：电磁感应（解析版）
二轮复习
01 考情分析
往年命题规律
从近3 年以来的高考命题来分析，电磁感应的考查频次逐年上升，楞次
定律和法拉第电磁感应定律的应用常以选择题的形式考查，难度为简答题
和中档题，电磁感应中的动力学、能量和动量以选择题和计算题考查为
主，难度为中档题或压轴题。
考点频次总结
考点
2025 年
2024 年
2023 年
楞次定律
和法拉第
电磁感应
定律的应
用
江西·高考真题
全国卷·高考真题
甘肃·高考真题
北京·高考真题
陕晋青宁卷·高考真题
河南·高考真题
黑吉辽蒙卷·高考真题
浙江·高考真题
福建·高考真题
浙江·高考真题
北京·高考真题
甘肃·高考真题
广东·高考真题
湖南·高考真题
重庆·高考真题
天津·高考真题
北京·高考真题
北京·高考真题
湖北·高考真题
辽宁·高考真题
江苏·高考真题
全国乙卷·高考真题
全国甲卷·高考真题
电磁感应
中的动力
学、能量
和动量
江西·高考真题
浙江·高考真题
重庆·高考真题
广西·高考真题
广东·高考真题
湖南·高考真题
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湖南·高考真题
全国甲卷·高考真题
2026 年向预测
2026 年高考楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用的考查还是以选择题为
主，多会结合现代科技进行考查，例如电磁阻尼和电磁驱动；电磁感应
中的动力学、能量和动量的考查难度较高，多以常见模型进行考查，会结合
电磁炮，电磁刹车，动能回收等现代科技进行考查。
素养目标
1.掌握楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用；
2.掌握三大力学观点在电磁感应中的应用。
核心能力
1.通过图像的特点掌握电磁感应中的各物理量的变化；
2.掌握情景模型化的能力，将题干中的情景转化为物理模型。
02 知识构架
03 题型突破
一、楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
【知识储备】
（一）楞次定律
1．楞次定律
(1)内容：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化．
(2)适用范围：一切电磁感应现象．
2．楞次定律中“阻碍”的主要表现形式
(1)阻碍原磁通量的变化——“增反减同”；
(2)阻碍物体间的相对运动——“来拒去留”；
(3)使线圈面积有扩大或缩小的趋势——一般情况下为“增缩减扩”；
(4)阻碍原电流的变化(自感现象)——一般情况下为“增反减同”．
3．右手定则
(1)内容：如图，伸开右手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心
进入，并使拇指指向导线运动的方向，这时四指所指的方向就是感应电流的方向．
(2)适用情况：导线切割磁感线产生感应电流．
（二）法拉第电磁感应定律
1．求感应电动势的方法
(1)法拉第电磁感应定律：
E＝n
(2)导体棒垂直切割磁感线：E＝Blv.
(3)导体棒以一端为圆心在垂直匀强磁场的平面内匀速转动：E＝Bl2ω.
(4)线圈绕与磁场垂直的轴匀速转动(从线圈位于中性面开始计时)：e＝nBSωsin ωt.
2．通过回路截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝.q 仅与n、ΔΦ 和回路总电阻R 总有关，与时间长短无关，与Φ 是否
均匀变化无关．
【必备能力】
（一）判断感应电流的方向
1．用楞次定律判断
(1)楞次定律中“阻碍”的含义：
(2)应用楞次定律的思路：
2．用右手定则判断
该方法只适用于导体切割磁感线产生的感应电流，注意三个要点：
(1)掌心——磁感线穿入；
(2)拇指——指向导体运动的方向；
(3)四指——指向感应电流的方向．
（二）电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv 或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
（三）电磁感应定律的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类
问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t 图象还是Φ－t 图象，或者E－t 图象、I－t 图象等；对切割磁感线产生感应
电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x 图象和i－x 图象；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图象或判断图象．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象进行分析和判断．
【考向预测】
考向一：楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
（多选）（2025·重庆·模拟预测）电磁俘能器可利用电磁感应原理实现发电，其结构如图甲所示。
把
匝边长为
的正方形线圈竖直固定在装置上。永磁铁可随装置一起上下振动，且振动时磁场分界线不
会离开线圈。图乙为某时刻线圈位置与磁场分布图，此时磁场分界线恰好把线框平分为上下两部分，分界
线上下磁感应强度大小均为
。则（ ）
例1
A．图乙时刻穿过线圈的磁通量0
B．永磁铁上升得越高，线圈中感应电动势越大
C．图乙中当永磁铁相对线圈上升时，线圈中感应电流的方向为逆时针方向
D．图乙中当磁铁相对于线圈的速度大小为时，线圈中产生的感应电动势大小为
【答案】AC
【详解】A．图乙时刻穿过线圈的磁通量为
，故A 正确；
B．永磁铁上升得越快，磁通量变化得越快，线圈中感应电动势越大，故永磁铁上升得越高，线圈中感应
电动势不一定越大，故B 错误；
C．磁铁相对线圈上升时，线圈相对磁场向下运动，根据楞次定律和安培定则，则图乙中感应电流的方向
为逆时针方向，故C 正确；
D．当磁铁相对于线圈的速度大小为时，线圈中产生的感应电动势大小为
，故D 错误。
故选AC。
（2026·云南昭通·模拟预测）如图，光滑水平面上虚线右侧区域内有垂直于纸面向里的范围足够大
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为l 的均质正方形导线框HIJK 沿图示速度方向匀速进入磁场，线
框的速度大小为v，方向与磁场边界成45°角，线框的总电阻为R，图中为对角线IK 刚进入磁场时的情形。
下列判断正确的是（ ）
A．图示位置线框中的感应电流大小为
B．IK 进入磁场后线框中的感应电流逐渐变大
C．图示位置IK 两端的电压为
D．图示位置线框所受安培力大小为
【答案】A
例2
【详解】A．IK 刚进入磁场时有效的切割长度等于l，产生的感应电动势为
感应电流为
，方向沿逆时针，故A 正确。
B．IK 进入磁场后，有效切割长度逐渐减小，感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，故B 错误。
C．图示位置IK 两端的电压为
，故C 错误。
D．图示位置，线框在磁场中的等效长度
，所受安培力
，故D 错误。
故选A。
（2026·四川绵阳·二模）如图所示，粗细均匀金属圆环竖直固定，匀强磁场垂直于环面，长度略大
于圆环直径的导体棒与圆环底部链接，以链接点为轴经水平位置以恒定角速度顺时针转动，转动过程中导
体棒与圆环接触良好，导体棒电阻不计。当转过的角度为
、
时导体棒中的电流分别为
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设圆环的半径为r,整个圆环的电阻为R，导体棒转动的角速度为
由
当转过的角度为
,导体棒切割长度
切割产生的电动势大小为
导体棒将整个圆环分成
份和
份，它们并联的电阻为
例3
根据闭合电路的欧姆定律
当转过的角度为
,导体棒切割长度
切割产生的电动势大小为
导体棒将整个圆环分成相同的两份，它们并联的电阻为
据闭合电路的欧姆定律
故
故选A。
考向二：电磁感应的图像问题
（2026·重庆沙坪坝·一模）某手摇发电机原理简化为题图：正方形导线框abcd 在条形匀强磁场中
左右往复切割磁感线，从而供电。已知导线框电阻均匀，边长大于磁场宽度。某次导线框向右匀速穿过磁
场，以
边刚进入磁场时为零时刻，则
间电势差
随时间变化的图像，可能正确的是（ ）
例4
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设正方形导体框的边长为L，磁感应强度为B，运动速度为v，则cd 边进入磁场时，产生感应电
动势
设导体框的总电阻为R，则有
当cd 边通过磁场的右边界，ab 边还未进入磁场时，导体框中磁通量不变，不产生感应电流，此时
当ab 边进入磁场时，ab 边充当电源，此时
根据以上计算结果，可判断
随时间变化的规律。
故选B。
（多选）（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，在足够大的光滑水平绝缘桌面上，虚线MN
的右侧充满竖直向下的匀强磁场。一个粗细均匀的正方形导线框abcd（其电阻为R）以足够大的初速度从
左边界沿x 轴正方向进入磁场。
时，bc 边与虚线重合，设线框的位移为x，速度为v，电流为I，受到
变4-1
的安培力为F，ad 边两端的电势差为
，通过导线横截面的电荷量为q。在导线框运动的过程中，下列
图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】A．设线框的初速度为
，边长为
，磁感应强度为
，线框进入磁场过程，根据
，
解得
根据动量定理有
解得
可知线框进入磁场的过程，随
均匀减小，
随
均匀减小，线框完全进入磁场后
突变为0，故A 错误；
C．根据
可知，线框进入磁场的过程
随均匀减小，线框完全进入磁场后匀速运动，
突变为0，故C 正确；
B．根据
，
可知
图像的斜率先逐渐减小，再突变为0，故B 错误；
D．线框进入磁场的过程中
可知
是一条倾斜向下的直线；完全进入磁场后线框做匀速直线运动，速度保持不变，则
，
故D 正确。
故选CD。
（多选）（2026·云南·模拟预测）如图甲所示为无线充电技术中使用的受电线圈示意图，线圈匝数
为
，面积为S。匀强磁场平行于线圈轴线穿过线圈，规定向右为磁感应强度的正方向，磁感应强度B 随
时间变化的图像如图乙所示，
、
两点的电势分别用
、
表示。下列说法正确的是（ ）
A．
时刻，
B．
时间内，
始终高于
C．
时间内，
从0 均匀增加到
D．
时间内，
恒为
【答案】D
【详解】B．由楞次定律可知a 点电势低于b 点电势，故B 错误；
ACD．由法拉第电磁感应定律可知，
时间内，磁感应强度的变化率恒定，所以
恒为
例5
，故AC 错误，D 正确。
故选D。
（多选）（2026·河南濮阳·一模）如图甲所示，轻绳吊着匝数
的正方形闭合线圈
，
下方区域分布着匀强磁场，磁感应强度大小
随时间变化关系如图乙所示，线圈始终处于静止状态。
已知线圈的质量
，边长
，电阻
，
取
。则
时（ ）
A．线圈中的感应电流方向为顺时针
B．线圈中的感应电流大小为
C．轻绳中的拉力大小为
D．轻绳中的拉力大小为
【答案】AD
【详解】A．磁感应强度向里并且减小，由楞次定律可得，感应电流产生的磁场垂直纸面向里，线圈中感
应电流的方向为顺时针，即
，故A 正确；
B．结合乙图可知，线圈中的感应电动势为
线圈中的感应电流大小为
故B 错误；
CD．线圈的
部分在匀强磁场中受到安培力，受到安培力的大小等效为
直棒受到的安培力，则t=4s
时线圈受到的安培力大小为
根据左手定则可判断，闭合线圈受到的安培力方向竖直向下，则轻绳中的拉力大小为
故C 错误，D 正确。
变5-1
故选AD。
【直击真题】
1．（2025·江西·高考真题）托卡马克是一种磁约束核聚变装置，其中心柱上的密绕螺线管（
线圈）可
以驱动附近由电子和离子组成的磁约束等离子体旋转形成等离子体电流，如图（a）所示。当
线圈通以
如图（b）所示的电流时，产生的等离子体电流方向（俯视）为（ ）
A．顺时针
B．逆时针
C．先顺时针后逆时针D．先逆时针后顺时针
【答案】A
【详解】由图（b）可知开始阶段流过CS 线圈的电流正向减小，根据右手定则可知，CS 线圈产生的磁场下
端为N 极，上端为S 极，则穿过线圈周围某一截面的磁通量向下减小，由楞次定律可知产生的感应电场方
向为顺时针方向（俯视），则产生的等离子体电流方向（俯视）为顺时针；同理在以后阶段通过CS 线圈
的电流反向增加时，情况与前一阶段等效，即产生的等离子体电流方向（俯视）仍为顺时针。
故选A。
2.（2025·北京·高考真题）绝缘的轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由静止释
放，磁铁开始振动，由于空气阻力的影响，振动最终停止。现将一个闭合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面
上（如图所示），仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，振动最终也停止。则（ ）
A．有无线圈，磁铁经过相同的时间停止运动
B．磁铁靠近线圈时，线圈有扩张趋势
C．磁铁离线圈最近时，线圈受到的安培力最大
D．有无线圈，磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同
【答案】D
【详解】A．有线圈时，磁铁受到电磁阻尼的作用，振动更快停止，故A 错误；
B．根据楞次定律，磁铁靠近线圈时，线圈的磁通量增大，此时线圈有缩小的趋势，故B 错误；
C．磁铁离线圈最近时，此时磁铁与线圈的相对速度为零，感应电动势为零，感应电流为零，线圈受到的
安培力为零，故C 错误；
D．分析可知有无线圈时，根据平衡条件最后磁铁静止后弹簧的伸长量相同，由于磁铁和弹簧组成的系统
损失的机械能为磁铁减小的重力势能减去此时弹簧的弹性势能，故系统损失的机械能相同，故D 正确。
故选D。
3.（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电磁压缩法是当前产生超强磁场的主要方法之一，其原理如图所示，在钢
制线圈内同轴放置可压缩的铜环，其内已“注入”一个初级磁场，当钢制线圈与电容器组接通时，在极短
时间内钢制线圈中的电流从零增加到几兆安培，铜环迅速向内压缩，使初级磁场的磁感线被“浓缩”，在
直径为几毫米的铜环区域内磁感应强度可达几百特斯拉。此过程，铜环中的感应电流（ ）
A．与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相同
B．与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相反
C．远小于钢制线圈中的电流大小且方向相同
D．远小于钢制线圈中的电流大小且方向相反
【答案】B
【详解】当钢制线圈与电容器组连通时，钢制线圈中产生迅速增大的电流，线圈中产生迅速增强的磁场。
根据楞次定律，可知铜环中产生的感应电流的磁场会阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故铜环中的感应
电流与钢制线圈中的电流方向相反。为阻碍铜环中磁通量变化，铜环上感应的电流与钢制线圈的电流大小
几乎相等。因此两个方向相反的大电流之间的作用力使圆环被急速的向内侧压缩。ACD 错误，B 正确。
故选B。
4.（2024·湖南·高考真题）如图，有一硬质导线Oabc，其中
是半径为R 的半圆弧，b 为圆弧的中点，直
线段Oa 长为R 且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O 点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁
场中。则O、a、b、c 各点电势关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，相当于Oa、Ob、Oc 导体棒转动切割磁感线，根据右手定则可知O 点电势最高；根据
同时有
可得
得
故选C。
二、电磁感应中的动力学、能量和动量
【知识梳理】
（一）电磁感应中的三大观点的应用
1．电磁感应综合问题的解题思路
2．求解焦耳热Q 的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况；
(2)功能关系：Q＝W 克安(W 克安为克服安培力做的功)；
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量)．
3.动量在电磁感应定律中的应用
(1)单杆模型
在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙
解决问题
求解的物理量
应用示例
电荷量或速度
－BLΔt＝mv2－mv1，q＝Δt，即－BqL＝mv2－mv1
位移
－＝0－mv0，即－＝0－mv0
时间
－BLΔt＋F 其他Δt＝mv2－mv1
即－BLq＋F 其他Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q、F 其他(F 其他为恒力)
－＋F 其他Δt＝mv2－mv1，
即－＋F 其他Δt＝mv2－mv1
已知位移x、F 其他(F 其他为恒力)
(2)双杆模型
物理
模型
“一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注
意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势
是相加还是相减；系统动量是否守恒
分析
动力学观点
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另
一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以
方法
共同的速度匀速运动
能量观点
两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
动量观点
对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属
杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
【必备能力】
（一）模型构建能力
将情景进行物理模型化，进行解题：
(1)单杆+电阻；(2)单杆+电源；(3)单杆+电容；(4)双杆模型；(5)线框模型。
【考向预测】
考向一：单杆模型+电阻
（2026·贵州贵阳·一模）磁力制动系统是目前大型过山车进站减速的首选制动方式，其原理简化俯
视图如图所示，间距为d 的平行金属导轨固定在水平地面上，其右端连接一可变电阻，过山车可简化为一
根质量为m、垂直于导轨且与导轨接触良好的导体棒，垂直导轨的两虚线与导轨围成的矩形区域内存在磁
感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当可变电阻阻值为R 时，过山车以速度v 进入磁场，离开
磁场时速度为
。除可变电阻外其余电阻不计，忽略摩擦及空气阻力。
(1)求过山车刚进入磁场时所受安培力的大小和方向；
(2)求过山车穿过磁场区域的过程中可变电阻产生的焦耳热；
(3)当可变电阻的阻值为多少时，可使过山车以速度v 进入磁场，以
的速度离开磁场？
【答案】(1)
，方向水平向左
(2)
(3)
例6
【详解】（1）过山车进入磁场时回路电流为
右手定则可知电流方向向上。此时过山车所受安培力大小为
左手定则可知安培力方向水平向左。
（2）过山车从进入磁场到离开磁场的过程满足能量守恒定律，设可变电阻产生的焦耳热为Q，则
（3）当过山车以速度v 进入磁场，以
离开磁场时，设磁场区域长度为x，规定向右为正方向，根据动量
定理有
当过山车以速度v 进入磁场，以
离开磁场时，设可变电阻为
，同理，根据动量定理有
联立解得
（多选）（2026·四川雅安·一模）如图甲，两根足够长的平行金属导轨固定在水平桌面上，左端接
有阻值R=1Ω 的电阻。一质量m=0.1kg 的金属棒垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金
属棒在水平向右的拉力F 作用下向右运动，拉力F 与时间t 的关系式为F=0.3+0.2t（N），t=2s 时撤去拉力，
金属棒在t=2.55s 时停止运动，整个运动过程金属棒速度v 随时间t 变化的图像如图乙所示。导轨和金属棒
电阻不计，重力加速度g 取10m/s2.下列判断正确的是（ ）
A．金属棒与导轨间摩擦力大小为0.3N
B．整个过程中金属棒运动的距离为2.45m
例7
C．撤去拉力后，电阻R 上产生的焦耳热为0.2J
D．撤去拉力后，通过电阻R 的电荷量为
C
【答案】BD
【详解】A．由图像可得
内，导体棒做匀加速运动，加速度
设时刻速度为，导体棒切割磁感线电动势为
感应电流
则安培力
由牛顿第二定律可得
整理得
又因为
所以
，
解得
，
，故A 错误；
B．由法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律得
拉力的冲量
全程由动量定理可得
其中
整理解得
，故B 正确；
C．
内匀加速位移为
则撤去拉力后位移
此过程初速度
，由能量守恒可得
解得
,故C 错误；
D．撤去拉力后，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律得
则电荷量
解得
,故D 正确。
故选BD。
（2026·河北·一模）如图所示，足够长的两平行光滑导轨电阻不计，导轨所在平面与水平面的
夹角为θ，整个空间存在与导轨所在平面垂直的匀强磁场。导轨上部接有两个阻值相同的电阻，开关S 断
开。电阻不计的金属棒垂直导轨放置，与两导轨接触良好。现将棒从静止释放，下滑一段距离后闭合S，
棒恰能匀速下滑，之后棒继续下滑相同的距离。关于下滑相等距离的两个阶段，下列说法正确的是
（ ）
A．刚释放时棒的加速度与开关闭合前瞬间相等
B．第一阶段用时大于第二阶段用时的2 倍
C．第一阶段通过金属棒的电荷量大于第二阶段的
D．第一阶段回路产生的总焦耳热大于第二阶
段的
【答案】D
【详解】A．刚释放时棒的加速度为
设导轨间距为l，开关闭合前瞬间，有
，
变7-1
闭合S，棒恰能匀速下滑，则
，
联立解得
，故A 错误；
B．设棒下滑相同的距离为d，第一阶段棒做加速度减小的加速运动，则
第二阶段做匀速运动，则
联立可得
，故B 错误；
C．第一阶段通过金属棒的电荷量为
第二阶段通过金属棒的电荷量为
由此可知
，故C 错误；
D．由以上分析可知，金属棒先做加速度减小的加速运动，闭合开关后做匀速运动，其v-t 图像如图所示
则金属棒运动过程中安培力随位移变化的图像，如图所示
图线与坐标轴所围区域的面积表示克服安培力做的功，由图可知，第一阶段回路产生的总焦耳热为
第二阶段回路产生的总焦耳热为
所以
，故D 正确。
故选D。
考向二：单杆模型+电容
（2026·云南昭通·模拟预测）工业装配领域常采用电磁驱动的方式驱动机械臂系统。如图所示，水
例8
总结提升
情景示例1
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体
棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度
为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q
－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝
求位移x
－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
求焦耳热Q
根据能量守恒定律，整个回路产生的焦耳热Q = 1
2 mv0
2
情景示例2
间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质
量为m、接入电路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷
量为q 或下滑位移为x 时，速度达到v
求最大速度
vmax
E = BLv；I = E
R ；mgsinθ = BIL
解得vmax = mgRsinθ
B
2 L
2
求运动时间
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt
－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt
求焦耳热Q
根据能量守恒定律：mgxsinθ = 1
2 mv
2+Q
Q =mgxsinθ−1
2 m v
2
平放置的两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为
，电阻忽略不计。导轨左端通过单刀双掷开关
分别
可与电容为
的电容器及阻值为
的定值电阻相连，导轨处在方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大
小为
。质量为
、电阻为的机械臂
垂直导轨放置并接触良好。现使电容器带电荷量为
且上极板带
正电，把开关
拨到
，机械臂
从静止开始先加速后匀速，匀速后再将开关
与
接通，机械臂
做减
速运动并最终静止在导轨上。求：
(1)开关
与
接通后瞬间，流过机械臂的电流及机械臂的加速度大小；
(2)机械臂匀速运动时的速度大小；
(3)机械臂减速运动过程中的位移大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）开关S 与
接通后瞬间，有
，
由牛顿第二定律，有
解得加速度
（2）匀速运动时，机械臂两端与电容器电压相同，设为
，电容器放出的电荷量
，
对机械臂，由动量定理，有
电荷量
解得
（3）减速过程，对机械臂，由动量定理，有
，式中物理量如下
积累的电荷量
平均电流为
平均电动势
联立可得
（25-26 高三上·湖北·开学考试）如图所示，间距d=1m 的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面
上，水平导轨足够长，整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T，长度均为d=1m 的
人工智能金属棒a、b。其电学属性可以自由切换，质量分别为
、
，初始时a、b 均静止，
电容为C=0.25F 的电容器未充电。现对a 棒施加垂直于棒的水平外力F=6N。不计导轨电阻。
(1)开关K 处于断开状态时，若金属棒a、b 电阻分别为
、
，求最终电流稳定时两棒的速度
差为多大？
(2)开关K 一直处于闭合状态时，若将b 棒的电阻切换为很大（可认为它与导轨间始终处于绝缘状态而静止
不动），a 棒电阻仍为
，a 棒在F=6N 作用下做匀加速运动，求其加速度大小？
(3)开关K 一直处于断开状态时，若将a 棒的电阻切换为零；b 棒切换为直流电阻为零的纯电感状态，其自
感系数L=2H，将b 棒锁定不动。a 棒在F=6N 作用下开始运动，已知b 棒产生的自感电动势大小为
。
求a 棒的最大动能。
【答案】(1)3m/s
例9
(2)
(3)9J
【详解】（1）回路电流稳定时，此时a、b 加速度相同，根据牛顿第二定律，对a 有
对b 有
因为
速度差
代入题中数据，联立解得
（2）设电路中电流为
，根据电路特点有
根据电流定义有
联立解得
回路电流稳定时
对a，根据牛顿第二定律有
联立解得
（3）设导体棒a 的位移为x 时，速度为v，产生的动生电动势为e，加速度为a，电流为i，有
整理得
两边求和得
据牛顿第二定律有
联立解得
由
图像，通过求图线与坐标轴围成的面积可求出最大速度为
所以最大动能
总结提升
1.无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器充电
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E 减小，有I＝BLv−UC
R
，电容
器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，棒匀速
运动
运动特点和最终特征
棒做加速度a 减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I
＝0，但电容器带电荷量不为零
最终速度
电容器充电电荷量：q＝CUC
最终电容器两端电压UC＝BLv
对棒应用动量定理：
mv－mv0＝－BIL·Δt＝－BLq
v＝m v0
m ＋B
2L
2C
v－t 图像
2.无外力放电式
基本模
型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电流特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻
碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm
运动特点及最终特做加速度a 减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
考向三：双杆模型
（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，
导轨固定且间距为
。空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截
例10
征
最大速度vm
电容器初始电荷量：
Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CUC＝CBLvm
电容器放电电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm－0＝BIL·Δt＝BLΔQ
vm＝BLCE
m ＋B
2L
2C
v－t 图像
3.有外力式
棒的初速度为零，拉力F 恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－＝ma，其中＝a，
则可得a＝
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝mv2＋E 电
面积不同、长度均为
的金属棒
分别静置在导轨上。现给
棒一水平向右的初速度
，其速度随
时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知
棒的质量为
，
电阻为
。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．
棒刚开始运动时，
棒中的电流方向为
B．
棒的质量为
C．在
时间内，
棒产生的热量为
D．在
时间内，通过
棒的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．金属棒ab 刚开始运动时，根据右手定则可知
棒中的电流方向为c→d，故A 错误；
B．两金属棒组成的系统动量守恒
解得
，故B 正确；
C．由于ab 棒与
棒质量之比为2:1，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为2:1，由
得电
阻之比为1:2，故ab 棒与
棒产生的热量之比为1:2，根据两棒组成的系统能量守恒有
时间内ab 棒产生的热量
，故C 错误；
D．对
棒列动量定理有
又
则在
时间内，通过
棒的电荷量
故D 正确。
故选BD。
（2026·陕西西安·三模）如图所示，足够长、间距为
的平行光滑金属导轨固定在水平面上，
左侧导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场中，
右侧导轨处在垂直导轨平
面向下、磁感应强度大小为
的匀强磁场中，质量均为
的金属
、
分别垂直放置在
右侧与左侧的
导轨上，给金属棒
一个水平向右、大小为
的初速度，此后两金属棒运动过程中始终垂直导轨并接触良
好，两金属棒接入电路的电阻均为
，不计金属导轨的电阻及电磁辐射产生的能量损失。则下列说法正确
的是（ ）
A．金属棒
受到的安培力做负功
B．两金属棒组成的系统动量守恒
C．从开始运动到最终匀速运动，通过金属棒
的电荷量为
D．从开始运动到最终匀速运动，金属棒
中产生的焦耳热为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则及左手定则可知，金属棒
在向左的安培力作用下向左运动，安培力做正功，
故A 错误；
B．由于两金属棒受到的安培力大小不等，且安培力同向，因此系统合外力不为零，系统的动量不守恒，
故B 错误；
C．当
、
两金属棒中感应电动势大小相等时，两金属棒开始做匀速运动，设此时
的速度大小为
，
的速度大小为
，则
变10-1
解得
取金属棒
为研究对象，根据动量定理可得
取金属棒
为研究对象，根据动量定理可得
联立解得
，
，
故C 错误；
D．设金属棒
中产生的焦耳热为
，则
解得
，故D 正确。
故选D。
（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，足够长的光滑平行金属导轨（电阻不计）水平放
置，左右两侧导轨的间距分别为l、2l，导轨间存在竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。把一根质
地均匀的导体棒分成质量分别为m、2m 两段a、b，均垂直导轨放置，回路总电阻为R 且保持不变。a、b
两棒分别以
，
的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a 总在窄
轨上运动，b 总在宽轨上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两棒构成的系统动量守恒，机械能不守恒
B．在此过程中产生总的焦耳热为
C．在此过程中a、b 两棒平均速度相等
D．在此过程中a、b 两棒与导轨围成的面积的变化量为
【答案】BD
【详解】A．由于系统合外力不为0，系统动量不守恒，运动过程中部分机械能转化为电能，机械能也不守
变10-2
恒，故A 错误；
B．以向右为正方向，从开始到稳定速度，根据动量定理，对导体棒a 有
对导体棒b 有
当最终稳定时满足
联立解得
，
在此过程中产生总的焦耳热为
，故B 正确；
C．根据牛顿第二定律，对导体棒a 有
对导体棒b 有
由此可知
，且
，由于a 加速，b 减速，电流减小，a 做加速度减小的加速运动，b 做
加速度减小的减速运动，ab 交换速度，时间相同，由速度时间图像如图所示
由图像可知加速的位移大于减速的位移，因此平均速度不相等，故C 错误；
D．以向右为正方向，在此过程中，根据动量定理，对导体棒a 有
又
，
，
回路中的平均感应电动势
又
联立可得
，故D 正确。
故选BD。
（2025·湖南·模拟预测）如图所示，水平面内ab 和cd 是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属
直导轨，MN 和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg 和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相
同。开始时恒定水平外力F 作用在杆MN 上，使两杆以大小为4m/s 的速度水平向右匀速运动。整个装置处
在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0 时刻将细线烧
断，保持外力F 不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN 速度大小为5m/s 并保持不变，
且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（ ）
A．细线烧断后，流经MN 的电流方向为由M 到N
B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s
C．0~t0时间内MN 和M′N′的位移大小之比大于3 2∶
D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热
【答案】C
【详解】A．细线烧断前两杆做匀速运动，回路中无感应电流，烧断细线后，MN 的速度大于M′N′的速度，
根据右手定则可知MN 切割磁感线产生的感应电动势大于M′N′产生的感应电动势，则回路中电流方向由N
到M，故A 错误；
B．两杆组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，设MN 的质量为
，M′N′的质量为
，
初始速度为
，MN 稳定后的速度大小为
，M′N′稳定后的速度大小为
。规定向右为正方
向，由系统动量守恒定律
代入数据解得M′N′稳定后的速度大小为
，故B 错误；
C．由题意可知
做加速运动，
做减速运动，两者速度差变大，电动势变大，电流变大，安培力变
大，
安培力向左，
安培力向右。根据牛顿第二定律可知
、
的加速度大小都逐渐减小，
则
、
的
图像如图所示
例11
由图可知，
，
则
，故C 正确；
D．根据能量守恒定律
故整个过程中系统动能变化量的大小不等于整个系统产生的焦耳热，故D 错误。
故选C。
（2026·云南昭通·模拟预测）两固定的平行光滑金属导轨，水平部分间距为3L，倾斜部分间距
为L，与水平面的夹角
。导轨的两部分分别处在磁感应强度大小为B、方向垂直各自导轨平面向上
的匀强磁场中，如图所示。将一根长为L、质量为m、电阻为R 的金属棒AB 垂直于倾斜导轨放置，将另一
根材料和粗细与AB 相同、长为3L 的金属棒CD 垂直于水平导轨放置。运动过程中棒与导轨始终垂直且保
持良好接触，导轨足够长且电阻可忽略，重力加速度为g。
(1)将CD 棒锁定，在AB 棒上施加沿倾斜导轨向上的、大小为1.5mg 的恒力
，求AB 棒的最终速度大小；
(2)解除锁定，在对AB 棒施加
的同时对CD 棒施加水平向左的、大小为3mg 的恒力
，使两棒同时由静
变11-1
止开始运动，求AB 棒的最终速度大小；
(3)已知在（2）的条件下，两棒从静止开始运动，经过时间t 后回路达到稳定，求此过程回路中产生的焦耳
热。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设AB 棒匀速运动时回路中的电流为I1，根据平衡条件有
根据闭合电路的欧姆定律有
联立解得
（2）两棒同时运动，根据牛顿第二定律，对AB 有
对CD 有
联立解得
可见在相同时间内，两棒的速度大小相同，则电路稳定时
对AB，根据平衡条件有
联立解得
（3）根据动量定理，对AB 有
其中
两棒速率相同，则在相同时间内的位移大小也相同，设为x，则有
联立可得
对两棒，据功能关系有
可得回路的焦耳热
总结提升
1.无外力等间距双棒模型
模型示意图及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别
为R1、R2，给棒2 一个初速度v0
电路特点
棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速运动，运动后产生反电动势
电流及速度变化
棒2 做变减速运动，棒1 做变加速运动，随着两棒相对速度的减
小，回路中的电流减小，I＝BLv2−v1
R1＋R2 ，安培力减小，加速度减小，
稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
最终状态
a＝0，I＝0，v1＝v2
系统规律
动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v
能量守恒Q＝1
2 m2v0
2－1
2 (m1＋m2)v2
两棒产生焦耳热之比
Q1
Q2
＝R1
R2
扩展
不等间距的双杆的最终状态：v1L1=v2L2
2.有恒定外力等间距双棒模型
考向四：线框模型
（多选）（2026·云南昆明·模拟预测）如图所示，一边长为
的正方形线圈置于光滑绝缘水平面
上，线圈右侧存在竖直方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两磁场的宽度均为
，磁感应强度大小均为
，方向如图
所示。线圈的
边与磁场边界平行。现给线圈一水平向右的初速度
，当线圈全部进入磁场Ⅱ时速度刚好
为零，下列说法正确的是（ ）
例12
示意图(举例)
两平行金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，电阻不计，两导体棒1、2
质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，棒与导轨间的动摩擦因数均为μ，两
棒初速度为零，F 恒定
电路特点
棒2 相当于电源；棒1 受安培力而运动
运动过程分析
棒1：a1＝F安−μm1g
m1
棒2：a2＝F−F安−μm2g
m2
，其中F 安＝B
2L
2(v2−v1)
R1＋R2
最初阶段，a2>a1，只要a2>a1，(v2－v1)↑⇒I↑⇒F 安↑⇒a1↑⇒a2↓
当a1＝a2时，(v2－v1)恒定，I 恒定，F 安恒定；两棒都匀加速
规律
最终状态
稳定时整体由牛顿第二定律得a1＝a2＝F−μm1g−μm2g
m1＋m2
，
两棒以相同的加速度做匀加速运动，Δv 恒定，I 恒定
扩展
不等间距的双杆的最终状态：a1L1=a2L2
A．整个过程中，线圈做的是加速度逐渐减小的减速运动
B．线圈的
边运动到Ⅰ、Ⅱ磁场交界处时的速度大小为
C．线圈的
边在磁场Ⅰ、Ⅱ运动的过程中线圈产生的焦耳热之比为
D．若线圈的初速度增大为
，则线圈的
边刚好运动到磁场Ⅱ右边界时的速度大小为
【答案】BCD
【详解】A．线圈进入磁场I 时，满足
其中
，
，得
线圈在磁场I 与II 中运动时，满足
其中
，
，得
故当线圈由I 进入II 时，加速度突然变大，A 错误；
B．设线圈cd 边刚要进入磁场II 时的速度为
，线圈的cd 边在磁场I 运动的过程，由动量定理得
线圈的cd 边在磁场II 运动的过程，有
联立解得
，B 正确；
C．cd 边在磁场I 运动的过程中线圈产生的热量为
cd 边在磁场II 运动的过程中线圈产生的热量为
可得
，故C 正确；
D．由上述分析可知
线圈的ab 边刚好运动到磁场II 右边界时，对全程运用动量定理得，
解得
，
故D 正确。
故选BCD。
（2026·重庆沙坪坝·一模）某学习小组设计了一台电磁滑梯装置，简化模型如图所示。足够长
倾角为
的光滑绝缘斜面上分布着间隔均匀的水平平行磁场带，内有磁感应强度均为
，方向垂直斜面向
下的匀强磁场，每个磁场带的宽度及相邻磁场带间隔均为
。现将一个质量为
，电阻为
，边长为
的
正方形金属线框
从斜面某处静止释放，已知重力加速度为
，则下滑过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．线框重力做功等于其动能增加、安培力做功、电热能之和
B．线框加速度随时间均匀减小
C．线框匀速时的速度大小
D．若线框从静止到速度为的过程中所用时间为，则正、反向通过导线横截面的电荷量之和
【答案】D
【详解】A．由功能关系可知线框重力做功等于其动能增加以及电热能之和，A 错误；
B．当线框完全在磁场外或完全在磁场内时，磁通量不变，不受安培力，加速度为
变12-1
当线框进入或穿出磁场时，对线框受力分析，由牛顿第二定律有
其中
联立可得
由于速度是变化的，且不是随时间线性变化的，所以加速度
也不是随时间均匀变化的，B 错误；
C．线框匀速时，由受力平衡可得
解得线框匀速时的速度大小为
，C 错误；
D．若线框从静止到速度为的过程中，由动量定理有
其中
由电流的定义式有
联立解得通过导线横截面的电荷量之和
，D 正确。
故选D。
【直击真题】
1.（2024·天津·高考真题）如图所示，两根不计电阻的光滑金属导轨平行放置，导轨及其构成的平面均与水
平面成某一角度，导轨上端用直导线连接，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。具有一定阻
值的金属棒MN 从某高度由静止开始下滑，下滑过程中MN 始终与导轨垂直并接触良好，则MN 所受的安
培力F 及其加速度a、速度v、电流I，随时间t 变化的关系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】ABC．根据题意，设导体棒的电阻为R，导轨间距为L，磁感应强度为B，导体棒速度为v 时，受
到的安培力为
可知
由牛顿第二定律可得，导体棒的加速度为
可知，随着速度的增大，导体棒的加速度逐渐减小，当加速度为零时，导体棒开始做匀速直线运动，则v
− t 图像的斜率逐渐减小直至为零时，速度保持不变，由于安培力F 与速度v 成正比，则F − t 图像的斜率
逐渐减小直至为零时，F 保持不变，故A 正确，BC 错误；
D．根据题意，由公式可得，感应电流为
由数学知识可得
由于加速度逐渐减小，则I − t 图像的斜率逐渐减小，故D 错误。
故选A。
2.（2023·重庆·高考真题）如图所示，与水平面夹角为θ 的绝缘斜面上固定有光滑U 型金属导轨。质量为
m、电阻不可忽略的导体杆MN 沿导轨向下运动，以大小为v 的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强
磁场区域，在磁场中运动一段时间t 后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的
电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N 到M
B．杆沿轨道下滑的距离为
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则，判断知流过杆的感应电流方向从M 到N，故A 错误；
B．依题意，设杆切割磁感线的有效长度为
，电阻为
。杆在磁场中运动的此段时间内，杆受到重力，轨
道支持力及沿轨道向上的安培力作用，根据牛顿第二定律可得
联立可得杆的加速度
可知，杆在磁场中运动的此段时间内做加速度逐渐减小的加速运动；若杆做匀加速直线运动，则杆运动的
距离为
根据
图像围成的面积表示位移，可知杆在时间t 内速度由达到
，杆真实运动的距离大于匀加速情
况发生的距离，即大于
，故B 错误；
C．由于在磁场中运动的此段时间内，杆做加速度逐渐减小的加速运动，杆的动能增大。由动能定理可知，
重力对杆所做的功大于杆克服安培力所做的功，根据
可得安培力的平均功率小于重力的平均功率，
也即流过杆感应电流的平均电功率小于重力的平均功率，故C 错误；
D．杆在磁场中运动的此段时间内，根据动量定理，可得
得杆所受安培力的冲量大小为
故D 正确。
故选D。
3.（2022·上海·高考真题）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度
发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（ ）
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1>W2
C．t1>t2，W1＜W2
D．t1>t2，W1>W2
【答案】B
【详解】设线框刚进入磁场是速度为v1，刚离开磁场时速度为v2，由动量定理得
，
又
可得
线框进入磁场和离开磁场的过程都受向左的安培力作用而减速，进入过程平均速度大于离开过程平均速度，
根据
知
t1＜t2
根据动能定理
，
可知
故选B。
4.（多选）（2024·贵州·高考真题）如图，间距为L 的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左
端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m 的金
属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最
终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属
棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（ ）
A．加速过程中通过金属棒的电荷量为
B．金属棒加速的时间为
C．加速过程中拉力的最大值为
D．加速过程中拉力做的功为
【答案】AB
【详解】A．设加速阶段的位移与减速阶段的位移相等为
，根据
可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得
解得
A 正确；
B．由
解得
金属棒加速的过程中，由位移公式可得
可得加速时间为
B 正确；
C．金属棒在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，加速过程中，安培力逐渐增大，加速度不变，
因此拉力逐渐增大，当撤去拉力的瞬间，拉力最大，由牛顿第二定律可得
其中
联立解得
C 错误；
D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理可知，合外力的功
可得
因此加速过程中拉力做的功大于
，D 错误。
故选AB。
5.（多选）（2024·辽宁·高考真题）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为
L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和
B。将有一定阻值的导体棒ab、cd 放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并
接触良好，ab、cd 的质量分别为2m 和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在
下滑过程中（ ）
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab 中电流趋于
C．ab 与cd 加速度大小之比始终为2︰1 D．两棒产生的电动势始终相等
【答案】AB
【详解】A．两导体棒沿轨道向下滑动，根据右手定则可知回路中的电流方向为abcda；故A 正确；
BC．设回路中的总电阻为R，对于任意时刻当电路中的电流为I 时，对ab 根据牛顿第二定律得
对cd
故可知
分析可知两个导体棒产生的电动势相互叠加，随着导体棒速度的增大，回路中的电流增大，导体棒受到的
安培力在增大，故可知当安培力沿导轨方向的分力与重力沿导轨向下的分力平衡时导体棒将匀速运动，此
时电路中的电流达到稳定值，此时对ab 分析可得
解得
故B 正确，C 错误；
D．根据前面分析可知
，故可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，故产生的
感应电动势不等，故D 错误。
故选AB。
6.（多选）（2025·江西·高考真题）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为
，速率恒为
，宽为
的
区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为
、质量为m、
电阻为R 的正方形线框
置于传送带上，进入磁场前与传送带保持相对静止，线框
边刚离开磁场区域
时的速率恰为
。若线框
或
边受到安培力，则其安培力大于
。线框受到的最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，动摩擦因数
，
边始终平行于
，重力加速度为g。下列选项正确的是
（ ）
A．线框速率的最小值为
B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为
C．线框穿过磁场区域的时间为
D．
边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为
【答案】AD
【详解】A．在
边进入磁场而
边未进入磁场的过程中，线框受到沿传送带平面向上的安培力
和沿
传送带平面向下的重力分力
。若线框相对传送带滑动，则滑动摩擦力为
，而
，
故
已知线框受到的安培力
即
因此线框将相对传送带向上滑动，滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。线框在沿传送带平面的安培力、重
力分力、摩擦力作用下做减速运动。在
边进入磁场到
边离开磁场的过程中，因线框速度小于传送带
速度，故其所受滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。又因线框不受安培力，所以其在沿传送带平面的滑动
摩擦力和重力分力作用下做匀加速直线运动。综上分析可知，当
边刚进入磁场时，线框有最小速度
。
设线框加速度为
，根据牛顿第二定律有
边离开磁场时速度恰好为
，则有
联立解得
，故A 正确；
B．在
边进入磁场到
边进入磁场的过程中，由动能定理有
则该过程产生的焦耳热
在
边离开磁场到
边离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热也为
。因此，线框穿过磁场区域产生的
焦耳热为
，故B 错误；
C．设
边进入磁场到
边进入磁场的时间为
，根据闭合电路欧姆定律得
根据动量定理有
设
边进入磁场到
边离开磁场的时间为
，有
因为
边离开磁场到
边离开磁场所用时间也为
，所以线框穿过磁场区域的总时间
联立解得
，故C 错误；
D．
边从进入到离开磁场区域的时间
该段时间内传送带移动的距离
，故D 正确。
故选AD。
7.（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1 = 0.6，摩擦因数
，足够
长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B = 0.5T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角满足
sinθ2 = 0.8，摩擦因数
。现将质量为m 甲 = 6kg 的导体杆甲从斜面上高h = 4m 处由静止释放，质
量为m 乙 = 2kg 的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l = 2m，两
杆电阻均为R = 1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆
发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g = 10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d 满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y 随时间t 的变化如图（b）所示（t1、t2、
t3、t4、b 均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0 ~ t3时间内未进入右侧倾
斜导轨，求d 的取值范围。
【答案】（1）a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右；（2）d ≥ 24m；（3）
【详解】（1）甲从静止运动至水平导轨时，根据动能定理有
甲刚进入磁场时，平动切割磁感线有
E0 = Blv0
则根据欧姆定律可知此时回路的感应电流为
根据楞次定律可知，回路中的感应电流沿逆时针方向（俯视），结合左手定则可知，乙所受安培力方向水
平向右，由牛顿第二定律有
BI0l = m2a 乙0
带入数据有
a 乙0 = 2m/s2，方向水平向右
（2）甲和乙在磁场中运动的过程中，系统不受外力作用，则系统动量守恒，若两者共速时恰不相碰，则
有
m1v0 = (m1＋m2)v 共
对乙根据动量定理有
其中
联立解得
dmin = Δx = 24m
则d 满足
d ≥ 24m
（3）根据（2）问可知，从甲刚进入磁场至甲、乙第一次在水平导轨运动稳定，相对位移为Δx = 24m，
且稳定时的速度v 共 = 6m/s 乙第一次在右侧斜轨上向上运动的过程中，根据牛顿第二定律有
m2gsinθ2＋μ2m2gcosθ2 = m2a 乙上
根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙上x 上 = v 共
2
乙第一次在右侧斜轨上向下运动的过程中，根据牛顿第二定律有
m2gsinθ2－μ2m2gcosθ2 = m2a 乙下
再根据匀变速直线运动位移与速度的关系有
2a 乙下x 下 = v1
2
且
x 上 = x 下
联立解得乙第一次滑下右侧轨道最低点的速度
v1 = 5m/s
由于两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，则甲乙整体第一次在右侧倾斜轨道上向上运动有
（m1＋m2）gsinθ2＋μ2（m1＋m2）gcosθ2 = (m1＋m2)a 共上
同理有
2a 共上x 共上 = v2
且由图（b）可知
x 上 = 4.84x 共上
解得甲、乙碰撞后的速度
乙第一次滑下右侧轨道最低点后与甲相互作用的过程中，甲、乙组成的系统合外力为零，根据动量守恒有
m1v2－m2v1 = (m1＋m2))v
解得乙第一次滑下右侧轨道最低点时甲的速度为
若乙第一次滑下右侧轨道最低点时与甲发生碰撞，则对应d 的最小值，乙第一次在右侧斜轨上运动的过程，
对甲根据动量定理有
其中
解得
根据位移关系有
dmin′－Δx = Δx1
解得
若乙返回水平导轨后，当两者共速时恰好碰撞，则对应d 的最大值，对乙从返回水平导轨到与甲碰撞前瞬
间的过程，根据动量定理有
其中
解得
根据位移关系有
dmax－Δx－Δx1 = Δx2
解得
则d 的取值范围为
04 自我提升
1.（2023·全国乙卷·高考真题）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验。用图（a）所示
的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接
通。两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，在管内下落至管的下端。实验中电
流传感器测得的两管上流过漆包线的电流I 随时间t 的变化分别如图（b）和图（c）所示，分析可知
（ ）
A．图（c）是用玻璃管获得的图像
B．在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C．在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
【答案】A
【详解】A．强磁体在铝管中运动，铝管会形成涡流，玻璃是绝缘体故强磁体在玻璃管中运动，玻璃管不
会形成涡流。强磁体在铝管中加速后很快达到平衡状态，做匀速直线运动，而玻璃管中的磁体则一直做加
速运动，故由图像可知图（c）的脉冲电流峰值不断增大，说明强磁体的速度在增大，与玻璃管中磁体的
运动情况相符，A 正确；
B．在铝管中下落，脉冲电流的峰值一样，磁通量的变化率相同，故小磁体做匀速运动，B 错误；
C．在玻璃管中下落，玻璃管为绝缘体，线圈的脉冲电流峰值增大，电流不断在变化，故小磁体受到的电
磁阻力在不断变化，C 错误；
D．强磁体分别从管的上端由静止释放，在铝管中，磁体在线圈间做匀速运动，玻璃管中磁体在线圈间做
加速运动，故用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的长，D 错误。
故选A。
2.（2023·上海·高考真题）如图所示，有一光滑导轨处于匀强磁场中，一金属棒垂直置于导轨上，对其施加
外力，安培力变化如图所示，取向右为正方向，则外力随时间变化图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于
E = BLv，E = IR，FA = BIL
联立得
再结合楞次定律，可知金属棒刚开始向右做匀减速直线运动，后向左做匀加速直线运动，且加速度一直为
，方向向左
综上当v = 0 时，即t = t0时
F ≠ 0，且向左
故选C。
3.（2025·浙江·高考真题）新能源汽车日趋普及，其能量回收系统可将制动时的动能回收再利用，当制动过
程中回收系统的输出电压（U）比动力电池所需充电电压（
）低时，不能直接充入其中。在下列电路中，
通过不断打开和闭合开关S，实现由低压向高压充电，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A．该电路中当开关S 断开时，整个电路均断开，则不能给电池充电，选项A 错误；
B．该电路中当S 闭合时稳定时，线圈L 中有电流通过，当S 断开时L 产生自感电动势阻碍电流减小，L 相
当电源，电源U 与L 中的自感电动势共同加在电池两端，且此时二极管导通，从而实现给高压充电，选项
B 正确；
C．该电路中当S 闭合时稳定时，线圈L 中有电流通过，但当S 断开时L 也与电路断开，还是只有回收系统
的电压U 加在充电电池两端，则不能实现给高压充电，选项C 错误；
D．该电路中当S 闭合时稳定时，线圈L 中有电流通过，但当S 断开时电源U 也断开，只有L 产生的自感电
动势相当电源加在充电电池两端，则不能实现给高压充电，选项D 错误。
故选B。
4.（2025·湖北·高考真题）如图（a）所示，相距L 的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均
为L、电阻均为R 的金属棒ab、cd 垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导
轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B 随时间变化的图像如图（b）所示，
时刻，
。
时刻，两棒相距
，ab 棒速度为零，cd 棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T 时间内流
过回路的电荷量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】通过导体的电荷量
而
时，磁感应强度为零，故
联立以上各式，可得
故选B。
5.（2025·广西·高考真题）如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为
，间距为l，
导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R 的定值电阻，形成闭合回路：质量为m 的金属棒垂直导轨放
置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k 的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨
平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能
与形变量x 的关系为
；
将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁
场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a 后静止释放，金属棒沿导轨向下运
动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（ ）
A．金属棒所受安培力冲量大小为
B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为
C．每个定值电阻产生的热量为
D．金属棒的平均输出功率为
【答案】D
【详解】A．根据
而
,
解得
，选项A 错误；
B．该过程中由动量定理
解得每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为
，选项B 错误；
C．由能量关系可知回路产生的总热量
每个定值电阻产生的热量为
，选项C 错误；
D．金属棒的平均输出功率
，选项D 正确。
故选D。
6.（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d 大于
的匀强磁场，其磁感
应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为
，宽均为L，电阻分别为R 和
。两
线框在光滑水平面上以相同初速度
并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（ ）
A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为
C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为
【答案】D
【详解】A．根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，
故A 错误；
B．甲线框刚进磁场区域时，合力为
，
乙线框刚进磁场区域时，合力为
，
可知
；
故B 错误；
CD．假设甲乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有
，
同理对乙有
，
解得
，
故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁
场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为
，
即
；
故C 错误，D 正确。
故选D。
7.（2022·重庆·高考真题）如图1 所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，
导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。
杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系
如图2 所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次
对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大
小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n 可能为（ ）
A．k = 2、m = 2、n = 2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题知杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，则在v = 0 时分别
有
，
则第一次和第二次运动中，杆从静止开始运动相同位移的时间分别为
，
则
第一次和第二次运动中根据牛顿第二定律有
，整理有
则可知两次运动中F—v 图像的斜率为
，则有
故选C。
8.（多选）（2025·重庆·高考真题）如图1 所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d 的正方形金属框efgh
做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d 的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁
场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh 段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F = kv＋b
（k > 0，b > 0），且gh 两端的电压随时间均匀增加；当gh 在无磁场区域运动时，F = 0。gh 段速度大小
v 与运动路程s 的关系如图2 所示，图中
为gh 每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。
则（ ）
A．gh 在任一磁场区域的运动时间为
B．金属框的总电阻为
C．小车质量为
D．小车的最大速率为
【答案】BC
【详解】由题知gh 段在磁场区域运动时，gh 两端的电压随时间均匀增加，则说明gh 在磁场中运动时做匀
变速直线运动，设正方形金属框efgh 运动的速度为v，有
，
，
，
联立有
B．由于gh 段在磁场区域运动时,正方形金属框efgh 做匀变速直线运动，则有
，
解得
，故B 正确；
CD．gh 在无磁场区域运动时，F = 0，正方形金属框efgh 水平方向只受到安培力，有
，
，
根据动量定理有
累加叠加可得
gh 段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh 做匀变速直线运动有
结合ma = b
解得
，
，故C 正确，D 错误；
A．由gh 段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh 做匀变速直线运动，则有vmax = v0＋at
解得gh 在任一磁场区域的运动时间
，故A 错误。
故选BC。
9.（多选）（2024·海南·高考真题）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N
两点绝缘连接，M、N 等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连
接一个阻值R = 0.02Ω 的电阻和C = 1F 的电容器，整个装置处于B = 0.2T 的垂直导轨平面斜向上的匀强
磁场中，两根导体棒ab、cd 分别放在MN 两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab 棒电阻为0.08Ω，
cd 棒的电阻不计，将ab 由静止释放，同时cd 从距离MN 为x0 = 4.32m 处在一个大小F = 4.64N，方向沿
导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N 处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知
碰前瞬间ab 的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（ ）
A．ab 从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab 从释放到第一次碰撞前，R 上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab 的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd 的速度大小为8.4m/s
【答案】BD
【详解】A．由于金属棒ab、cd 同时由静止释放，且恰好在M、N 处发生弹性碰撞，则说明ab、cd 在到达
M、N 处所用的时间是相同的，对金属棒cd 和电容器组成的回路有
Δq = C·BLΔv
对cd 根据牛顿第二定律有
F－BIL－m2gsin30° = m2a2
其中
，
联立有
则说明金属棒cd 做匀加速直线运动，则有
联立解得
a2 = 6m/s2，t = 1.2s
故A 错误；
B．由题知，知碰前瞬间ab 的速度为4.5m/s，则根据功能关系有
金属棒下滑过程中根据动量定理有
其中
，R 总 = R＋Rab = 0.1Ω
联立解得
q = 6C，xab = 3m，Q = 3.9J
则R 上消耗的焦耳热为
故B 正确；
CD．由于两棒恰好在M、N 处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，有
m1v1－m2v2 = m1v1′＋m2v2′
其中
v2 = a2t = 7.2m/s
联立解得
v1′ = －3.3m/s，v2′ = 8.4m/s
故C 错误、D 正确。
故选BD。
10.（多选）（2024·湖南·高考真题）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面
内，导轨左端与一阻值为R 的定值电阻相连，导轨
段与
段粗糙，其余部分光滑，
右侧处于竖直
向下的匀强磁场中，一质量为m 的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度
沿导轨向右经过
进入
磁场，最终恰好停在
处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为
，
。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆经过
的速度为
B．在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
C．金属杆经过
与
区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍
【答案】CD
【详解】A．设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B 区域向右运动的过程中切割磁感线有
E = BLv，
金属杆在AA1B1B 区域运动的过程中根据动量定理有
则
由于
，则上面方程左右两边累计求和，可得
则
设金属杆在BB1C1C 区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C 区域运动的过程中有
解得
综上有
则金属杆经过BB1的速度大于
，故A 错误；
B．在整个过程中，根据能量守恒有
则在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
故B 错误；
C．金属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域，金属杆所受安培力的冲量为
则金属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域滑行距离均为
，金属杆所受安培力的冲量相同，故C 正确；
D．根据A 选项可得，金属杆以初速度
在磁场中运动有
金属杆的初速度加倍，设此时金属杆在BB1C1C 区域运动的时间为
，全过程对金属棒分析得
联立整理得
分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过BB1C1C 区域的速度比第一次大，故
，可得
可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍，故D 正确。
故选CD。
11.（2025·广东江门·二模）如图所示，相距
的平行金属轨道由圆弧轨道和水平轨道两部分组成，
其中圆弧轨道光滑，水平轨道粗糙。足够长的水平轨道区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小
。光滑导体棒ab 的质量
，接入电路的电阻
，另一导体棒cd 的质量
，
放置在水平轨道上，接入电路的电阻
，导体棒cd 与水平轨道间的动摩擦因数
。现让导体
棒ab 从距水平轨道高
处由静止释放，在之后的运动过程中，导体棒ab 未与导体棒cd 接触。两
导体棒始终与轨道垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小
，下列
说法正确的是（ ）
A．导体棒ab 进入磁场后，导体棒cd 受到的摩擦力不变
B．导体棒cd 的初始位置与水平轨道最左侧
间的距离可能为6m
C．整个过程中，通过导体棒cd 某一截面的电荷量为0.6C
D．整个过程中，导体棒cd 中产生的焦耳热为
【答案】D
【详解】A．导体棒ab 从高度
处静止释放，下落到水平轨道上，根据机械能守恒有
解得
根据法拉第电磁感应定律有
解得导体棒ab 下落到水平轨道上时的感应电流为
则导体棒cd 受到的安培力为
导体棒cd 受到的最大静摩擦力为
可知
故导体棒cd 不会运动，一直保持静止状态；根据左手定则，可知导体棒ab 受到安培力水平向左，则导体
棒ab 做减速运动，所以感应电流不断减小，则导体棒cd 所受安培力不断减小，且一直小于最大静摩擦力，
故导体棒cd 处于静止，所以导体棒cd 受到的是静摩擦力，与安培力平衡，大小相等，方向相反，因安培
力不断减小，故导体棒cd 受到的摩擦力不断减小，故A 错误；
B．由题知，导体棒ab 未与导体棒cd 接触，且导体棒cd 一直处于静止状态，故导体棒ab 做减速运动，且
必须在碰撞到导体棒cd 前速度减为零，即当导体棒ab 的速度为零时刚好挨在导体棒cd 左侧但未与导体棒
cd 相碰，设导体棒ab 减速运动的最大位移为
，根据
，
，
，
可得
对导体棒ab，根据动量定理有
又
可得
联立可得
即导体棒cd 的初始位置与水平轨道最左侧
间的距离至少为6.4m，否则两导体棒会碰撞，故B 错误；
C．根据
代入数据解得
，故C 错误；
D．根据能量守恒
根据
联立解得
，故D 正确。
故选D。
12.（多选）（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨
间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。已知导体棒MN 的电阻为
R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的质量是MN 的2 倍。初始时刻两棒静止，两棒中
点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性
限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是
（ ）
A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为
【答案】AC
【详解】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A 正确；
B．任意时刻，设电流为I，则PQ 受安培力
方向向左；MN 受安培力
方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ 质量为2m，则MN 质量为m， PQ 速率为v 时，
则
解得
回路的感应电流
MN 所受安培力大小为
选项B 错误；
C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得
可得则最终MN 位置向左移动
PQ 位置向右移动
因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F 弹，安培力平均
值F 安，则整个过程根据动能定理
可得
选项C 正确；
D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN 向左位置移动
，PQ 位置向右移动
，则
选项D 错误。
故选AC。
13.（2025·山东·高考真题）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线与轨
道垂直，以轨道上O 点为坐标原点，沿轨道向下为x 轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区
域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方
向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随
时间t 均匀增加的匀强磁场和随x 轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R 的匀
质正方形闭合金属框epqf 放置在轨道上，pq 边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且
不可移动，磁场上、下边界均与x 轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自
感。
(1)若金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v 和释放时pq 边与
区域I 上边界的距离s；
(2)金属框沿轨道下滑，当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若
，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef 边移动的距离d。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，根据楞次定
律可得，安培力水平向左，则
切割磁感线产生的电动势
线框中电流
线框做匀速直线运动，则
解得金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程的速率
金属框开始释放到pq 边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得
可得释放时pq 边与区域I 上边界的距离
（2）当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），设线框ef 边到O 点的距离为s 时，线框中产生的感应电
动势
，其中
此时线路中的感应电流
线框pq 边受到沿轨道向上的安培力，大小为
线框ef 边受到沿轨道向下的安培力，大小为
则线框受到的安培力
代入
化简得
当线框平衡时
，可知此时线框速率为0。
则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得
即
对时间累积求和可得
可得
14.（2025·云南·高考真题）如图所示，光滑水平面上有一个长为L、宽为d 的长方体空绝缘箱，其四周紧
固一电阻为R 的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为M。与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截面
图中虚线PQ 所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度大小为B、方向竖直向下。
时刻，箱子在水平向右的恒力F（大小未知）作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁上距
离箱底h 处、质量为m 的木块（视为质点）恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，木块
与箱子分离；箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹（木块下落过程中
与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去F。运动过程中，箱子右侧壁始终与磁场边界平行，忽
略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。木块与箱子内壁间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
(1)求F 的大小；
(2)求
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离；
(3)若
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为s（s 大于（2）问中最小距离），求最终木块与箱子的速
度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）对木块与箱子整体受力分析由牛顿第二定律
对木块受力分析，水平方向由牛顿第二定律
竖直方向由平衡条件
联立可得
（2）设箱子刚进入磁场中时速度为v，产生的感应电动势为
由闭合电路欧姆定律得，感应电流为
安培力大小为
联立可得
若要使两物体分离，此时有
其中
解得
由运动学公式
解得
故
时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离为
（3）水平方向由运动学公式
竖直方向有
其中
可得力F 作用的总时间为
水平方向对系统由动量定理
其中
联立可得
当
时，最终木块与箱子的速度大小为
当
时，最终木块与箱子的速度大小为
15.（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd 为两条足够
长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的
匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1 和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有
电容为C 的电容器。初始时刻，机械臂1 以初速度
向右运动，机械臂2 静止，运动过程中两机械臂不发
生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。
(1)求初始时刻机械臂1 的感应电动势大小和感应电流方向；
(2)系统达到稳定状态前，若机械臂1 和2 中的电流分别为
和
，写出两机械臂各自所受安培力的大小；
若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式；
(3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？
【答案】(1)
，沿机械臂1 向上
(2)
，
，
(3)
，方向向右；
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律可知，初始时刻机械臂1 的感应电动势大小为
由右手定则可知感应电流方向沿机械臂1 向上。
（2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为
和
，两机械臂安培力的大小分别为
，
设电容器所带电荷量为Q，则
（3）达到稳定
时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有
电流结合动量定理
，
其中
，
，
联立解得
，
结合（2）问分析，在任意时刻有
即
对该式两边取全过程时间的累计有
其中
，
,
即
两棒间初始距离的最小值为
16.（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd 的曲面部分是半径为R 的四分之一圆弧，水平部
分位于竖直向上、大小为B 的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将
质量均为m 的金属棒P 和Q 分别置于轨道上的ab 段和cd 段，且与轨道垂直。P、Q 棒电阻均为r，导轨电
阻不计。Q 棒静止，让P 棒从圆弧最高点静止释放，当P 棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q 棒已达到稳定运动状
态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求；
(1)P 棒刚进入磁场时，Q 棒的加速度大小；
(2)Q 棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P 棒的电荷量；
(3)从P 棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P 棒中产生的热量。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）P 棒到达轨道最低点时速度大小设为
，根据机械能守恒定律有
解得
P 棒到达轨道最低点进入磁场时切割磁场产生感应电动势
感应电流
Q 棒受到的安培力
解得Q 棒的加速度
（2）设Q 棒第一次稳定运动时的速度为
，P 棒的速度为
。当稳定时感应电流为零，则两杆产生的感
应电动势相等
解得
从Q 棒开始运动到第一次速度达到稳定过程中，根据动量定理，对P 棒有
对Q 棒有
又通过P 棒的电荷量
联立解得
，
，
（3）从P 棒进入导轨Ⅱ运动后，两棒切割磁场的长度相等，当速度稳定时，两棒的速度相同，设稳定速
度为v。系统所受外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
P 棒进入导轨Ⅱ运动后，接入电路的阻值变为
，故P 棒产生的热量
联立解得
