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第 40 讲 法拉第电磁感应定律应用一
学习目标
明 确目标 确定方向
1.能应用法拉第电磁感应定律、公式E＝Blv计算感应电动势.
2.理解自感、涡流的产生，并能分析实际应用
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、法拉第电磁感应定律
1．感应电动势
(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断。[注1]
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。[注2]
(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数。[注3]
3．导体切割磁感线的情形
(1)垂直切割：E＝Blv。
(2)倾斜切割：E＝ Bl v si n_θ，其中θ为v与B的夹角。
(3)旋转切割(以一端为轴)：E＝Bl2ω。[注4]
二、自感和涡流
1．自感现象
由于通过导体自身的电流发生变化而产生的电磁感应现象。
2．自感电动势
(1)定义：在自感现象中产生的感应电动势。
(2)表达式：E＝L。
(3)自感系数L：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关，单位为亨利(H)。
3．涡流
当线圈中的电流发生变化时，在它附近的导体中产生的像水中的旋涡一样的感应电流。
第二部分重难点辨析
2.法拉第电磁感应定律应用的几种情况
(1)磁通量的变化是由面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，
则E＝n；
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，
则E＝n；
(3)磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ －Φ ，E＝n≠n。
末 初3．在图象问题中磁通量的变化率是Φ－t图象上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动
势的大小。
3．应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤
(1)分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；
(2)利用楞次定律确定感应电流的方向；
(3)灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
4．应用电磁感应定律应注意的三个问题
(1)公式E＝n是求解回路某段时间内平均电动势的最佳选择。
(2)用公式E＝n求感应电动势时，S为线圈在磁场范围内的有效面积。
(3)通过回路截面的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R 有关，与时间长短无关。推导如下：q＝IΔt＝
总
·Δt＝。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．如图所示，我国直升机在北京上空悬停时，长度为L的螺旋桨叶片在水平面内顺时针匀速转动
（俯视），转动角速度为ω。该处地磁场的水平分量为B，竖直分量为B。叶片的近轴端为a，远轴端为
x y
b。忽略转轴的尺寸，则叶片中感应电动势为（ ）
A． ，a端电势低于b端电势 B． ，a端电势低于b端电势
C． ，a端电势高于b端电势 D． ，a端电势低于b端电势
【答案】B
【详解】我国北京上空地磁场方向有向下的分量，大小为By，当螺旋桨叶片在水平面内顺时针匀速转动
（俯视）时，根据右手定则可知，a端电势低于b端电势，其大小为
故选B。
【例2】．如图所示，水平面内边长为 的正方形MNPQ区域内有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、 分别为MN和PQ的中点。一边长为l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线 匀速穿过
图示的有界匀强磁场，运动过程中bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于
直线上下对称。规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当b点接触MQ前，bc切割磁感线，电动势E=Blv
根据楞次定律，电流方向为逆时针，正方形线框继续向右运动，在ad边进入磁场前的时间内，bc边上下
两部分在方向不同的磁场中运动，在垂直纸面向里的磁场中运动的部分长度越来越短，在垂直纸面向外的
磁场中运动的部分长度越来越长，但在垂直纸面向里的磁场中运动部分的长度一直大于在垂直纸面向外的
磁场中运动部分的长度，所以这段时间内电流方向为逆时针，且电流逐渐减小，当ad边运动至与MN重合
时，电流为0，ad边刚进入时，根据楞次定律，电流方向为顺时针， bc边上下两部分切割磁感线长度相等，感应电动势方向相反，所以此时电流大小为
此后电流一直增大，到bc边运动至整条边都在向外的磁场时，电流最大，最大电流为 ，bc边运
动PQ重合时，电流为 ，此后根据楞次定律，电流逆时针方向，且电流一直增大，当ad边在
磁场中运动时，电流为 。
【例3】．如图甲所示，绝缘轻杆将一个 匝的矩形线圈固定在竖直平面内，悬点P为AB边中点。矩
形线圈水平边 ，竖直边 ，E、F分别为AC边和BD边的中点，在EF下方
有一个范围足够大、方向垂直纸面（竖直平面）的匀强磁场。矩形线圈的质量 、电阻 ，
取垂直纸面（竖直平面）向外为磁感应强度的正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。重
力加速度大小g取 ，求：
（1） 时线圈中的感应电流 ；
（2） 时轻杆对线圈的作用力大小F。
【答案】（1）1A；（2）
【详解】（1） 时线圈中产生的感应电动势
线圈中的感应电流
（2） 时线圈中产生的感应电动势线圈中的感应电流
由图可知当 时 ，则线圈受到的安培力大小
由左手定则知安培力方向向上，对线圈受力分析，根据受力平衡有
解得
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场。若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律
如图所示，则（ ）
A．线圈中D时刻磁通量的变化率最大
B．线圈中0时刻与0.1s时刻电流的方向相同
C．线圈中最大的感应电动势为 0.628V
D．线圈中0到D时间内平均感应电动势为0.314V
【答案】C
【详解】A．线圈中D时刻磁通量的变化率最小为零，故A错误；
B．圈中0时刻与0.1s时刻电流的方向相反，故B错误；
C．由图可知所以
故C正确；
D．线圈中0到D时间内平均感应电动势为
故D错误。
故选C。
2．现代科学研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。如图所
示，上面为侧视图，上、下为电磁体的两个磁极；下面为磁极之间真空室的俯视图。若从上往下看电子在
真空室中沿逆时针方向做圆周运动，改变电磁体线圈中电流的大小可使电子加速。则下列判断正确的是（
）
A．真空室中产生的感生电场场强恒定
B．通入电磁体线圈的电流在增强
C．电子加速后可看成电流，此电流大小恒定
D．电场加速电子的这部分电能是凭空产生的
【答案】B
【详解】A．真空室中产生的感生电场是环形电场，场强方向不是恒定的，故电场强度不是恒定的，A错误；
B．电子沿逆时针方向加速，则电子所受电场力沿逆时针方向，所以感生电场的方向沿顺时针方向，根据
楞次定律，可知通入电磁体的电流增强，B正确；
C．由于感生电场使电子加速，即电子在轨道中加速运动，根据电流的定义式可知此电流逐渐增大，C错
误；
D．能量不能凭空产生，电场加速电子的这部分电能是根据电磁感应产生的，是由磁场能转化来的，D错
误。
故选B。
3．如图，长为L的导体棒MN在匀强磁场B中绕平行于磁场的轴OO＇以角速度ω匀速转动，棒与轴OO
＇间的夹角为α，则U 为（ ）
MN
A．0 B． BωL2 sin 2α
C． Bω(L sin α)2 D． Bω(L cos α)2
【答案】C
【详解】导体棒在匀强电场中切割磁感线产生感应电动势，则有
根据线速度、角速度和半径关系有
解得
故选C。
故选B。4．水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁
场，足够长的金属棒ab置于导轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动
时，金属棒ab产生的感应电动势为 。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨成
，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为 。不计导轨和金属棒ab的电阻，
则通过金属棒ab的电流方向及 和 之比分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】设导轨间的距离为L，如图甲所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向 ；
如图乙所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向 ；
和 之比为
故选C。
5．如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B
的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为R的导体棒AB，AB由水平位
置紧贴环面摆下（与环接触良好），当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则此时AB两端的电压为（
）A．2Bav B．Bav C． D．
【答案】D
【详解】导体棒摆到竖直位置时，产生的电动势大小为
分析可知此时电路相当于金属环左半边和右半边并联后与导体棒串联，两边金属环并联后的电阻为
两端的电压为路端电压，有
故选D。
6．如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD
斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成 。若线框的总电阻为R，则（ ）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【答案】D
【详解】A．AC刚进入磁场时，CD边切割磁感线，而切割磁感线的导体相当于电源，根据右手定则可知 D
点相当于电源的正极，C点相当于电源的负极，而DC两端的等于路端电压，由
可知
，
则可知
故A错误；
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
故B错误；
C．AC刚进入磁场时，只有DC边和DA边在磁场中，根据左手定则可知，DC边和DA边所受安培力大小相
同，且互相垂直，因此可知线框所受安培力为DC边和DA边所受安培力的合力，根据安培力的计算公式有
则线框所受安培力的大小为
故C错误；
D．线框在穿过磁场的过程中，切割磁感线的有效长度始终与磁场边界重合，根据左手定则可知线框所受
安培力始终垂直于磁场边界向下，线框运动的实际速度可分解为垂直于磁场边界向上的分速度和平行于磁
场边界的另一分速度，而平行磁场边界的方向合力为零，由此可知，平行磁场边界的分速度始终不变，即
平行磁场边界的运动为匀速直线运动，因此可知，线框在以后穿过磁场的过程中，速度不可能减小到零，
故D正确。
故选D。
7．将一均匀导线围成一圆心角为90°的扇形导线框OMN，其中OM=R，圆弧MN的圆心为O点，将导线框
的O点置于如图所示的直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。从t=0时刻开始让导线框
以O点为圆心，以恒定的角速度ω沿逆时针方向做匀速圆周运动，假定沿OMN方向的电流为正，则线框
中的电流随时间的变化规律描绘正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在0~t0时间内，线框从图示位置开始（t=0）转过90°的过程中，产生的感应电动势为
由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流为
根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向为逆时针方向（沿ONM方向）。在t0~2t0时间内，线框进
入第三象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向）。回路中产生的感应电动势为
感应电流为在2t0~3t0时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向（沿ONM方向），回路
中产生的感应电动势为
感应电流为
在3t0~4t0时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向），回路中
产生的感应电动势为
由闭合电路欧姆定律得，回路电流为
故选C。
8．如图所示的半圆形闭合回路半径为a，电阻为R。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂
直于半圆形回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边
界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是（ ）
A．感应电动势大小不变 B．感应电动势大小一直增大
C．感应电动势大小一直减小 D．感应电动势最大值Bav
【答案】D
【详解】D．当半圆闭合回路进入磁场一半时，即这时等效长度最大为a，感应电动势最大，为
故D正确；
ABC．半圆闭合回路进入磁场一半前，等效长度越来越大，感应电动势越来越大，半圆闭合回路进入磁场
一半后，等效长度越来越小，感应电动势越来越小，故ABC错误。故选D。
9．三个用相同的细导线制成的刚性闭合线框（相互绝缘）如图所示，正方形线框的边长与内切圆线框的
直径相等，正方形线框的对角线长与外接圆线框的直径相等。将这三个线框放入磁感应强度随时间线性变
化的同一匀强磁场（足够大）中，线框所在平面与磁场方向垂直，外接圆、正方形、内切圆线框中产生的
感应电流分别为 、 和 。下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设内切圆线框的半径为r，则正方形线框的边长为 ，外接圆线框的半径为 ，因此外接圆、
正方形、内切圆线框的周长分别为
、 、
面积分别为
、 、
三个线框的材料和粗细均相同，根据电阻定律可知，外接圆、正方形、内切圆线框的电阻之比为
根据法拉第电磁感应定律有
可得外接圆、正方形，内切圆线框中产生的感应电流之比即有
故选B。
10．在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如
图甲所示，当磁场的磁感应强度B随时间t发生如图乙所示变化时，能正确表示线圈中感应电动势E变化
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 时磁感应强度在增大，根据楞次定律可知此时感应电流方向与图甲中方向相同； 时磁
感应强度不变，磁通量不变，故此时没有感应电流产生； 时磁感应强度在减小，由楞次定律可知此
时感应电流方向与图甲中方向相反。根据法拉第电磁感应定律
由图乙可知 磁感应强度变化率 为 时磁感应强度变化率的两倍，故 时的感应电动势为
时的2倍。
故选A。11．如图所示，两个在a、b点相连的金属环，粗金属环的电阻为细金属环电阻的一半。匀强磁场垂直穿过
粗金属环所在的区域，在粗环里磁感应强度随时间变化关系满足 时，粗环围成面积为S，则a、b
两点间的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】粗环里磁感应强度随时间变化，在粗环中产生感应电流，粗环相当于电源，电动势为
ab两点的电势差就是路端电压，根据串联电路分压特点有
故选C。
多选12．下图是法拉第圆盘发电机的示意图：半径为r的铜质圆盘安装在水平铜轴上，假设圆盘全部处在
一个磁感应强度为B的匀强磁场之中，圆盘平面与磁感线垂直，圆盘做匀速转动的周期为T，圆盘两铜片
C、D分别与转动轴和圆盘的边缘接触，从左向右看，圆盘沿顺时针转动，下列说法正确的是（ ）
A．圆盘边缘的电势比圆心要高，通过R的电流方向由下至上
B．圆盘受到的安培力做正功，将其它能量转化为电能
C．这个发电机的电动势大小为
D．圆盘转动的角速度变为原来的2倍，电流在R上的发热功率也变为原来的2倍
【答案】AC【详解】A．圆盘转动时，根据右手定则可知，圆盘电流方向由圆心流向边缘，则电阻R中电流方向由下
至上，A正确；
B．圆盘受到的安培力做负功，将其它能量转化为电能，B错误；
C．圆盘转动产生的感应电动势为
C正确；
D．根据
角速度变为原来的2倍，感应电动势增大为原来的2倍，感应电流增大为原来的2倍，则R的电功率也将
增大为原来的4倍，D错误。
故选AC。
多选13．如图所示，螺线管中线圈匝数为n，横截面积为S，其a、b两端与电容为C的电容器相连。匀强
磁场沿轴线向上穿过螺线管，其大小随时间变化的关系式 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．a端电势高于b端电势
B．t=0时，通过螺线管的磁通量为nBS
0
C．螺线管产生的感应电动势为nSk
D．电容器极板上所带的电荷量为CSk【答案】AC
【详解】A．根据楞次定律，a端电势高于b端电势，A正确；
B．t=0时，通过螺线管的磁通量为B0S，B错误；
C．螺线管产生的感应电动势为
C正确；
D．电容器极板上所带的电荷量为
D错误。
故选AC。
多选14．在如图甲所示的电路中，电阻 ，单匝、圆形金属线圈的半径为 ，电阻为R，半径
为 （ ）的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线
如图乙所示，其余导线的电阻不计。闭合开关S，在 时刻，电路中的电流已稳定。下列说法正确的是（
）
A．流过电阻 的电流方向自下向上
B．稳定后电阻 两端的电压为
C．0～ 时间内，流过电阻 电荷量为
D．0～ 时间内，电阻 上产生的焦耳热为【答案】BD
【详解】A．由题图乙可知磁感应强度随着时间逐渐增大，根据楞次定律的增反减同，可判断出线圈中感
应电流方向为逆时针，则流过电阻 的电流方向自上向下，故A错误；
B．根据法拉第电磁感应定律有
解得
根据闭合电路欧姆定律，当稳定后电阻 两端的电压
故B正确；
C．根据闭合电路欧姆定律，稳定后电路的电流
根据电流的定义式，在0～ 时间内，流过电阻 的电荷量
故C错误；
D．根据焦耳定律，在0～ 时间内，电阻 上产生的焦耳热
故D正确。
故选BD。
多选15．如图所示，螺线管匝数 匝，横截面积 ，螺线管导线电阻 ，电阻，管内磁场的磁感应强度B的 图像如图所示（以向右为正方向），下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻R的电流方向是从C到A B．电阻R两端的电压为4V
C．感应电流的大小为1A D． 内通过R的电荷量为2C
【答案】ACD
【详解】A．由楞次定律可以判断出螺线管中感应电流产生磁场方向从右向左，那么通过电阻R的电流方
向是从C到A，故A正确；
C．根据法拉第电磁感应定律有
由闭合电路欧姆定律得
故C正确；
B．电阻R两端的电压为
故B错误；
D． 内通过R的电荷量为
故D正确。
故选ACD。
16．将单位长度电阻为 的金属导线折成等腰直角三角形 框架，置于光滑水平面上，直角边长为a。
虚线右侧存在磁场，磁感应强度大小遵循 的规律变化，其中k与 为大于零的常数，方向垂直
水平面向下。从 时刻开始，使三角形框架从磁场左侧虚线以速度v匀速进入磁场，其中一直角边垂直
虚线，当该直角边一半进入磁场时，求：
（1）导线中的动生电动势；（2）若框架中感应电流的方向为俯视逆时针方向，k和速度v大小可变，则k值与速度v的函数关系；
（3）若框架中感应电流的方向为俯视逆时针方向，此时流过导线的感应电流。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由电磁感应定律，可得导线内的动生电动势
又有
B＝B0－kt
联立可得
（2）由电磁感应定律，导线内的感生电动势
其中
解得（3）线框中的总电动势
E＝E1−E2
导线内的电流强度
导线总电阻
以上联立可得
