文档文本内容
01 考情分析.........................................................2
02 知识构架..........................................................4
03 题型突破..........................................................5
一、电场的性质..............................................................5
考向一：电场中的受力分析......................................................................................................................9
考向二：电场强度的合成........................................................................................................................10
考向三：电场能的性质应用....................................................................................................................11
考向四：电场线、等势面和运动轨迹问题............................................................................................14
二、电场中的图像问题.......................................................18
考向一：v-t 图像...................................................................................................................................... 21
考向二：φ－x 图象................................................................................................................................... 21
考向三：E－x 图象...................................................................................................................................22
考向四：Ep－x 图象和Ek－x 图象...........................................................................................................23
三、带电粒子在电场中的运动.................................................24
考向一：带电粒子在电场中的直线运动................................................................................................26
考向二：带电粒子在电场中的偏转........................................................................................................27
考向三：带电粒子电场和重力场中的圆周运动....................................................................................29
考向四：力电综合问题............................................................................................................................29
04 自我提升........................................................37
专题七：电场（原卷版）
二轮复习
01 考情分析
往年命题规律
从近3 年以来的高考命题来分析，电场属于必考知识点，常以选择题、
实验题和简答题的形式考查，电场的性质多以选择题的形式出现，考查
的题目难度中等；电场中的图像问题以选择题的形式出现，考查的频次
较低，带电粒子在电场中的运动会以选择题和简答题的形式出题、出题
方式会以生活情景相结合和前沿科技进行命题
考点频次总结
考点
2025 年
2024 年
2023 年
电场的性
质
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电场中的
图像问题
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带电粒子
在电场中
的运动
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新课标·高考真题
2026 年向预测
2026 年高考考查电场的性质的概率极高，考查对于电场强度、电势、
电势能、电势差、等势面的理解，结合带电粒子在电场的运动进行考
查，会结合科技进行考查，例如高压电线附近的电场、静电应用和电容
器等；
带电粒子在电场中的运动常结合电场、重力场和磁场综合进行考查，会
结合平抛运动、圆周运动进行考查，同时结合前沿科技，例如直线加速
器、回旋加速器、质谱仪等。
往年命题规律
从近3 年以来的高考命题来分析，电场属于必考知识点，常以选择题、
实验题和简答题的形式考查，电场的性质多以选择题的形式出现，考查
的题目难度中等；电场中的图像问题以选择题的形式出现，考查的频次
较低，带电粒子在电场中的运动会以选择题和简答题的形式出题、出题
方式会以生活情景相结合和前沿科技进行命题
考点频次总结
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素养目标
1.掌握电场的基本性质；
2.掌握带电粒子在电场中的运动的基本分析思路。
核心能力
1.应用电场基本特点分析电场和带电粒子的运动的特点；
2.掌握提取题干信息的能力，解决实际的带电粒子的运动问题。
02 知识构架
03 题型突破
一、电场的性质
【知识储备】
（一）电场强度的分析和计算
1．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力与它的电荷量之比．
(2)定义式：E＝；单位：N/C 或V/m.
(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
2．三个计算公式的比较
公式
适用条件
说明
定义式
E＝
任何电场
某点的场强为确定值，大小及方
向与q 无关
决定式
E＝k
真空中点电荷的电场
E 由场源电荷Q 和场源电荷到某
点的距离r 决定
关系式
E＝
匀强电场
d 是沿电场方向的距离
3.电场强度的叠加
(1)电场强度的叠加(如图所示)
(2)“等效法”“对称法”和“填补法”
①等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图
甲、乙所示．
②对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O 点产生的场强，等效为弧BC 产生的场强，弧BC 产生的场强方向，
又等效为弧的中点M 在O 点产生的场强方向．
③填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
(3)选用技巧
①点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
②均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
③计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
（二）电场能的性质
1．电场力做功的特点
电场力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远
处
或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝.
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．电场力做功与电势能变化的关系
(1)电场力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.电场力对电荷做多少正功，电荷电势能就减
少多少；电荷克服电场力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势
能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中电场力所做的功．
5．电势差
(1)定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差．
(2)定义式：UAB＝.
6．电势差与电势的关系
UAB＝φA－
φ B，UAB＝－UBA.
7．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d 为A 、
B 两点沿电场方向的距离
．
(2)沿电场方向电势降低得最快．
8．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
(3)几种常见等势面的比较
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最
低；在中垂线上，中点电势最
高
【必备能力】
（一）电场强度的合成
常用方法：对称法、等效法、微元法、类比法
（二）电场力做功、电势能的变化判断和电势高低判断
1．求电场力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q 的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ 的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；
靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
（三）带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)
的交点更方便．
2．判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，
而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向．
若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能
减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
【考向预测】
考向一：电场中的受力分析
（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方
C 处固定一个正点电荷，不带电的小球a、带正电的小球b 分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始
时系统在图示位置静止，已知
。若b 球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b 球到达定滑
轮O 正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．a 球的质量可能等于b 球的质量
B．b 球的轨迹是一段以
点为圆心的圆弧
C．此过程中点电荷对b 球的库仑力增大
D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力减小
例1
（2026·河北·一模）如图所示，小球A、B 由一根绝缘细线连接后再被一根绕过光滑定滑轮的轻
质绝缘细线连接，A 的质量为m，两小球中只有一个带电，其带电荷量为q（q>0），空间存在平行于纸面
的匀强电场（图中没有画出），定滑轮左侧细线恰好沿竖直方向，右侧细线与竖直方向的夹角θ=60°，细
线均处于伸直状态，已知重力加速度为g。调整匀强电场的电场强度的大小和方向以及B 的质量，要使整
体处于图示位置并保持静止状态，当该匀强电场的电场强度最小时（ ）
A．电场强度的最小值为
，B 的质量为
B．电场强度的最小值为
，B 的质量为
C．电场强度的最小值为
，B 的质量为
D．电场强度的最小值为
，B 的质量为
（2025·广西柳州·二模）光滑绝缘水平面上方存在一水平向左的匀强电场
，场强大小未知，
将带电量分别为
、
的两小球
、
锁定在水平面上的
、
两点，两小球间距为，如图所示，已
知
连线中点
处的场强为0，两小球的质量均为
，可视为点电荷。现将小球
解除锁定，则解锁
瞬间小球
的加速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
变1-1
变1-2
考向二：电场强度的合成
（2025·河南·一模）如图，
、
、
三个点位于以
为圆心的圆上，直径
与弦
间的夹角
为
。
、
两点分别放有电荷量大小为
、
的点电荷时，
点的电场强度方向恰好沿圆的半径
方向指向
点。已知
，
。下列说法正确的是（ ）
A．
为正电荷，
为负电荷，且
B．
为负电荷，
为负电荷，且
C．
为正电荷，
为正电荷，且
D．
为负电荷，
为负电荷，且
（2026·河北·一模）如图甲所示，一绝缘半圆弧AC 上均匀分布正电荷，在圆弧的圆心O 处激
发的电场强度大小为E，若截走右侧的
，如图乙所示，则剩余圆弧AB 在圆心O 处激发的电场强度大小
E'为（ ）
例2
变2-1
A．
B．
C．
D．
（多选）（2026·山东泰安·一模）如图所示，真空中固定着一个半径为
的绝缘细圆环，圆环
均匀带电。以圆心
为坐标原点，沿圆环中轴线建立
轴，在
处固定着一个电荷量大小为
的负点
电荷。已知
处场强为零，静电力常量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环所带电荷量大小为
B．圆环所带电荷量大小为
C．
处场强大小为
D．
处场强大小为
考向三：电场能的性质应用
（2026·云南昭通·模拟预测）如图所示，空间中有正方体
，点
是
中点，
点处固定一正点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．
两点处的电场强度相同
B．若
点处的电势为
，
点处的电势为
，则
点处的电势为
C．平面
为等势面
D．将带负电的试探电荷从
点沿直线
移动到
点，静电力先做正功后做负功
变2-2
例3
（2026·广西贵港·一模）如图所示，在边长为
的正三角形
三个顶点固定三个点电荷，其
中
、
两处的点电荷带等量正电荷
，
处的点电荷带负电荷
，
为
边的中点，
、
为
边的四等分点。下列说法正确的是（ ）
A．
、
两处的点电荷所受的静电力大小之比为
B．
、
两点的电场强度和电势都相同
C．将试探电荷
从
点沿
直线移到
点，其电势能一直减小
D．试探电荷
在
点的电势能小于在
点的电势能
（25-26 高三上·甘肃临夏·期末）雷雨天，高层建筑顶部的避雷针起到主动吸引闪电的作用，叫
“接闪”，以此保护周边建筑和行人的安全。某次“接闪”前积雨云的底部积聚负电荷，积雨云与避雷针
附近产生的电场的等差等势面如图所示。避雷针上方等间距的
、
、
三点的电场强度大小分别为
、
、
，电势分别为
、
、
，则（ ）
A．
点电势最低
B．带负电的雨滴从
点下落至
点，电势能增大
变3-1
例4
C．
D．
、
两点电势差小于
、
两点电势差
（多选）（2025·湖南·模拟预测）如图所示，△ABC 是一圆的内接直角三角形，∠BAC=60°，空间
存在着平行于圆面的匀强电场，取圆心O 点的电势为零，则C 点电势为－10V。把电子从A 点移动到B 点，
电场力做功为－10eV。现在A 点放一质子源，向各个方向发射动能均为4eV 的质子。已知电子的电量为－
e，质子的电量为＋e，不考虑质子源产生的电场，不计各种粒子的重力和粒子间的相互作用力，下列说法
正确的是（ ）
A．C、B 两点间的电势差
B．电场方向由A 指向B
C．当质子的电势能为4eV，其动能为1eV
D．沿场强方向发射的质子到达圆周边界时，其动能为24eV
（多选）（2025·云南红河·一模）如图所示，在匀强电场中有一正四面体，A、B、C、D 分别
是正四面体的四个顶点，正四面体的棱长
，E、F、G、H 分别为棱AB、AC、AD、BC 的中点，其
电势分别为
，
，
。下列说法正确的是（ ）
A．A 点电势为零
B．电场强度大小为8V/m
例5
变5-1
C．电场强度方向由B 指向A
D．将一电子从A 点移到C 点，电势能增加4eV
考向四：电场线、等势面和运动轨迹问题
（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）如图为一带电粒子在稳定的电场中运动的示意图，虚线为该
粒子的运动轨迹，实线、
、
和
分别为
、
、
和
的等势线，其中
、
为该粒子
的运动轨迹与IV 等势线和II 等势线的交点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带正电
B．该粒子在
点的速度大小大于在
点的速度大小
C．该粒子在
点所受的电场力大小小于在
点所受的电场力大小
D．该粒子在
点的电势能大于在
点的电势能
例6
总结提升
1．由E＝可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC＝，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所
示．
2．E＝在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E 越大，U 越大，进而判断
电势的高低．
(3)利用φ－x 图象的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强
度的大小，正负表示电场强度的方向．
（2025·湖北·模拟预测）已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂
线一侧的电场分布相同。如图所示，无限大接地金属板
的垂线
上
、
、三点恰将
均分为四
段，每段长度均为
。在
点固定一电荷量为
的正点电荷，虚线分别为过
、
、三点的等势线，实线
为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹，轨迹与等势线分别交于、
、、
、点。当该试探电荷
运动到点时，其电势能
、动能
。已知单个点电荷
周围某点的电势
，为该
点到点电荷
的距离。下列说法正确的是（ ）
A．该试探电荷分别从到
和从
到的运动过程中，电场力做的功相等
B．该试探电荷带正电
C．该试探电荷运动到
点时的动能为
D．
点的场强大小为
（多选）（2026·湖南株洲·一模）如图所示，实线为方向未知的三条电场线，其中一条电场线上依
次标有M、N、Q 点，已知
，一带正电的粒子（重力不计）从O 点以一定的初速度v 进入电场，
其运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A．M、Q 两点的场强大小关系是
变6-1
例7
B．M 与N 和N 与Q 间的电势差相等，即
C．在粒子沿图中轨迹运动的过程中，其电势能逐渐增大
D．在粒子沿图中轨迹运动的过程中，其动能逐渐增大
【直击真题】
1．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·江西·高考真题）超级电容器可集成到太阳能发电系统中，通过超级电容器储存和释放能量，优化
功率输出，提升电网稳定性。关于超级电容器储存能量过程中所带电荷量Q 和两极板间电压U 的变化，下
列说法正确的是（ ）
A．Q 增大，U 增大
B．Q 减小，U 减小
C．Q 减小，U 增大
D．Q 增大，U 减小
3.（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为
电场线，虚线表示等势面。M、N 点在同一等势面上，N、P 点在同一电场线上。下列说法正确的是（ ）
总结提升
1.电场线、等势面和运动轨迹问题解题思路：
(1)找轨迹和电场线或等势面的交点；
(2)判断交点处带电粒子的受力方向——做曲线运动的物体合外力指向凹侧；
(3)判断带电粒子的电性和电场方向；
(4)判断电势、电势能、动能的变化。
A．M 点的电势比P 点的低
B．M 点的电场强度比N 点的小
C．负电荷从M 点运动到P 点，速度增大D．负电荷从M 点运动到P 点，电场力做负功
4.（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，
逐渐增大施加于两极板压力F 的过程中，F 较小时弹性结构易被压缩，极板间距d 容易减小；F 较大时弹
性结构闭合，d 难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U 与F 的关系曲线可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.（2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A 用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小
球B 用固定的绝缘轻杆连接。A 球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为
，两球连线与轻绳的夹角为
，
整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．A 球静止时，轻绳上拉力为
B．A 球静止时，A 球与B 球间的库仑力为
C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A 球加速度大小为g
D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B 球的作用力变小
6.（多选）（2025·湖北·高考真题）如图所示，在xOy 平面内有一以O 点为中心的正五边形，顶点到O 点
的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q 的正点电荷，且电荷
量为3q 的电荷在y 轴正半轴上。静电力常量为k，则O 点处的电场强度（ ）
（ ）
A．方向沿x 轴负方向
B．方向与x 轴负方向成
夹角斜向下
C．大小为
D．大小为
二、电场中的图像问题
【知识梳理】
（一）v-t 图像
1.根据v－t 图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的
大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
（二）φ－x 图象(电场方向与x 轴平行)
1．沿x 轴方向电场强度的大小等于φ－x 图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；
如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x 轴方向电场强度为零．
2．在φ－x 图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以
判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x 图象
(1)点电荷的φ－x 图象(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x 图象，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x 图象，如图．
（三）E－x 图象
1．E－x 图象为静电场在x 轴上的电场强度E 随x 的变化关系，若规定x 轴正方向为电场强度E 的正方向，
则E>0，电场强度E 沿x 轴正方向；E<0，电场强度E 沿x 轴负方向．
2．E－x 图线与x 轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒
子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x 图象
(1)点电荷的E－x 图象
正点电荷及负点电荷的电场强度E 随坐标x 变化关系的图象大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x 图象，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x 图象，如图．
（四）Ep－x 图象和Ek－x 图象
1．Ep－x 图象
由电场力做功与电势能变化关系F 电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x 图象的切线斜率k＝，其大小等于电场力，
斜率正负代表电场力的方向．
2．Ek－x 图象
当带电体只有电场力做功，由动能定理F 电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x 图象的切线斜率k＝，其大小表示电场
力．
【必备能力】
（一）从图像获取电场信息
1.v-t 图像：斜率表示加速度a；
2.φ－x 图象：斜率表示电场强度E；
3.E－x 图象：面积表示电势差U；
4.Ep－x 图象：斜率表示电场力；
5.Ek－x 图象：斜率表示合外力。
【考向预测】
考向一：v-t 图像
（多选）（2026·湖南永州·二模）如图甲所示，AB 是电场中的一条直线，质子以某一初速度从A
点出发，仅在静电力作用下沿AB 直线运动到B 点，其速度—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（
）
A．电场线的方向由A 指向B
B．A、B 两点的电场强度大小相比
C．A、B 两点的电势相比
D．质子由A 点运动到B 点的过程中，静电力做负功
考向二：φ－x 图象
（多选）（2025·安徽淮北·一模）在x 轴的坐标为0 和6cm 的位置上分别固定两个点电荷。电荷
例8
例9
量
，
。电荷
的右侧各点电势
随x 变化的关系如图中曲线所示，其余部分
的电势变化情况没有画出。其中A 点为两电荷连线的中点，坐标位置为8cm 的B 点的电势为零，BD 段中
的电势最低点为C 点，则下列说法正确的是（ ）
A．C 点位置坐标为12cm
B．A 点电势一定大于零
C．把一个负电荷从B 点移到D 点，电场力一直做负功
D．在B 点静止释放一个正电荷，该电荷将一直沿x 轴正方向运动
（2026·黑龙江辽宁·一模）真空中存在着平行
轴方向的电场，
轴上各点的电势
随位置
变
化的关系图像如图所示。一个带负电的粒子从
处由静止释放，不计粒子重力，则下列说法正确的
是（ ）
A．
处的电势为零，电场强度大小也为零
B．
处的电场强度大于
处的电场强度
C．粒子沿
轴正方向运动过程中，电势能先变大后变小
D．粒子沿
轴正向运动的最远位置处坐标为
考向三：E－x 图象
（多选）（24-25 高三下·黑龙江哈尔滨·月考）沿电场中某条直线电场线方向建立
轴，该电场线
变9-1
例10
上各点电场强度
随
的变化规律如图所示，以
轴正方向为电场强度的正方向，坐标点
和
分
别与
轴上
四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从
轴上
点由静止释放，运
动到
点的动能为
，仅考虑电场力作用，则（ ）
A．从
点到
点，电势逐渐降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子在
段电势能变化量大于
段的电势能变化量
D．粒子运动到
点时动能大于
考向四：Ep－x 图象和Ek－x 图象
（多选）（2024·广西柳州·一模）绝缘的水平面上存在着沿水平方向的电场，带负电滑块（可视
为质点）在水平面上不同位置所具有的电势能Ep如图甲所示，P 点是图线最低点。现将滑块由x=1m 处以
v=2m/s 的初速度沿x 轴正方向运动（如图乙），滑块质量m=1kg、与水平面间的动摩擦因数μ=0.1，g 取
10m/s²，则（ ）
A．电场中x=3m 处的电势最低
B．滑块沿x 轴正方向运动过程中，速度先增加后减少
C．滑块运动至x=3m 处，速度大小为2m/s
例11
D．滑块不可能到达x=4m 处
【直击真题】
1.（2024·湖南·高考真题）真空中有电荷量为
和
的两个点电荷，分别固定在x 轴上
和0 处。设无
限远处电势为0，x 正半轴上各点电势
随x 变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（多选）（2024·天津·高考真题）某静电场在x 轴正半轴的电势
随x 变化的图像如图所示，a、b、c、
d、为x 轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d 点开始沿x 轴负方向运动到a 点，则
该电荷（ ）
A．在b 点电势能最小
B．在c 点时速度最小
C．所受静电力始终做负功
D．在a 点受静电力沿x 轴负方向
三、带电粒子在电场中的运动
【知识梳理】
（一）带电粒子在电场中的偏转
1.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿电场力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝
（二）带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”．
2.
3．举例
【必备能力】
（一）处理带电粒子在周期性电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形．
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周
期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子
的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子
运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认
为是在匀强电场中运动．
（二）处理带电粒子在电场中运动的基本思路
1.分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，
然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题．
2.受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力
相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子
的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用．
（三）用能量的观点处理带电体运动
1.对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用能量观点处
理也常常更简捷．具体方法有：
(1)用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程．
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)．
④根据W＝ΔEk列出方程求解．
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程．
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
(3)两个结论
①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
【考向预测】
考向一：带电粒子在电场中的直线运动
（2025·全国·模拟预测）一束含有氢同位素
、
、
原子核的粒子流，由静止进入水平匀强
电场加速后，在运动某一水平距离L 时，三种原子核的速度大小之比为（ ）
A．6 3 2
∶∶
B．
C．3 2 1
∶∶
D．
（2025·浙江·一模）如图甲为直线加速器原理图。多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，
其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极
相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在
时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央
的一个电子，在圆板和圆筒1 之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。若已知电子的质量
为
、电子电荷量为、电压的绝对值为
、周期为
，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。为使电
子能量不断增大，则（ ）
例12
变12-1
A．圆筒内的电场强度与其长度成反比
B．圆筒的长度
与序号
的平方根成正比
C．此加速器输出电子流的功率与圆筒总数
的平方成正比
D．若圆筒间隙均为
，考虑电子通过圆筒间隙的时间，则
时刻进入的电子能达到的最大动能为
考向二：带电粒子在电场中的偏转
（2026·福建漳州·二模）如图，水平正对放置的平行金属板
、
长度均为
，间距为
，两板
间存在方向竖直向上的匀强电场。大量电子以相同的水平初速度从两板上半区域的左侧射入电场，入射点
在该区域均匀分布。已知靠近
板左侧边缘入射的电子恰好打在
板右侧边缘，电子重力及相互作用均可
忽略，不计边缘效应。则（ ）
A．每个电子在两板间的运动时间相等
B．每个电子击中
板时的速度大小相等
C．电子击中
板时速度偏转角的最大正切值为
D．电子击中
板的区域长度为
例13
（多选）（2026·重庆·一模）如图所示，竖直平面内平行正对的两水平金属板A1B1、A2B2的间
距和板长均为d，上极板接地，下极板不带电。一发射源从A1点沿A1B2方向以相同速度持续喷射出质量为
m、电荷量为+q（q 很小）的油滴（视为质点），第1 滴油滴落在下极板中点C 处，油滴落在极板上立即
被吸收且电荷均匀分布在极板上。已知重力加速度为g，不计空气阻力，忽略油滴间的相互作用，则（
）
A．油滴喷射的初速度大小为
B．最终稳定时，油滴沿A1B2方向做匀速直线运动
C．油滴在平行板间运动的最短、最长时间之比为1 2∶
D．油滴在平行板间运动时电势能最多减少
（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为
，大量电子由静止加速后，
不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为
，当在两板间
加如图乙所示的周期为
最大值为
未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射
出。
时刻，上极板带正电，两极板间距为
，电子的电荷量为
，质量为
，不计电子重力和它们
之间相互作用力。
变13-1
变13-2
(1)求偏转电场的板长。
(2)求偏转电压的最大值
；
(3)在
时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。
考向三：带电粒子电场和重力场中的圆周运动
（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，一根长度为l
的绝缘细线一端固定在O 点，另一端与质量为m、带有正电荷的金属小球（可视为质点）相连，小球静止
在B 点时细线与竖直方向的夹角为
。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，重力加速度为g。
不计空气阻力，求：
(1)小球通过最低点C 时细线对小球的拉力F 大小；
(2)如果要使小球能绕O 点恰好做完整的圆周运动，则在A 点时沿垂直于OA 方向上施加给小球的初速度
的大小。
考向四：力电综合问题
（2026·四川广安·一模）如图，光滑的固定斜面倾角为
，斜面长为
，底端
点固定一带
正电的点电荷（电荷量未知）；一质量为
带电荷量为
的小球从斜面顶端
点静止释放，小球沿斜面
例14
例15
向下运动的最远点为
、
间距离为
。
(1)求
、
两点的电势差
；
(2)已知两点电荷组成的系统电势能
（
为静电力常量，为两电荷间距离），求
点固定正点电
荷的电量
；
(3)在（2）问的基础上，求小球在
、
之间运动的最大速度大小
。
（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）如图所示，在固定光滑直杆上套有一个质量为
、电荷量
为
的小球和两根原长均为
的完全相同的绝缘轻弹簧，两根轻弹簧的一端分别与小球相连，另一端分
别固定在杆上相距为
的A 、B两点，空间中存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小
，已知直
杆与水平面的夹角
，小球在距
点
的
点处于静止状态。现将小球拉至距
点
的
点由静止
释放，小球可视为质点，运动过程中小球所带电荷量保持不变，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为
，
弹簧弹性势能为
。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球运动至最低点时的加速度大小为
例16
C．小球从开始运动至最低点的过程中，小球的电势能减小量为
D．运动过程中小球的最大速率为
（25-26 高三上·山西·月考）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C 处于同一竖直平面内，
质量均为
，电荷量均为
，小球A、C 在光滑绝缘水平面上，小球A、B 之间与小球B、C 之间各用一根
长为
的轻杆连接，小球A、C 用绝缘装置固定，小球A、B、C 恰构成正三角形并锁定，如图所示。现解
除绝缘装置对小球A、C 的锁定，小球B 将向下运动落到地面。已知以无限远处为零电势点，距离电荷量
为
的点电荷处的电势为
，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻，小球A、B、C 系统所具有的电势能为
B．解除小球A、C 的锁定后，小球A、B、C 组成的系统动量守恒
C．小球A 速度最大时，小球B 的加速度大小为
D．小球B 刚落到地面时，速度大小为
【直击真题】
1.（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域
OMPQ 内分布有平行于OQ 的匀强电场，N 为QP 的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b 分别从Q 点和O
点垂直于OQ 同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，K 为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒
子间的相互作用，则可推断a、b（ ）
例17
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N 的速度大小相等
D．到达K 所用时间之比为
2.（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1 所示。从离子源
S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平
行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
3.（2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球
极板。垂直半球底面儿且过球心O 的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O 为圆
心的半圆。电子A 以初动能
，从入口M 点垂直半球底面入射，从N 点射出，电子b 也从M 点垂直半球
底面入射，经P 点后从Q 点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a 轨迹为一以O 为圆心的半圆，
与OP 交于H 点，H、P 两点间的电势差为U，
，
，电子电荷量大小为，重力不计。则
（ ）
A．P 点的电场强度
B．电子a 在H 点儿受到的电场力大小为
C．电子b 在P 点动能小于在Q 点动能
D．电子b 从M 点运动到Q 点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU
4.（多选）（2025·安徽·高考真题）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，
空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高
度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、
，质量分别为m、
，静电力常量为k，重力加
速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为
、
，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻
力，则（ ）
A．
B．
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小
5.（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝
缘轻质细线，连接成边长为d 的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为
，可视为点电荷。初
始时，小球均静止，细线拉直。现将球1 和球2 间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度
大小分别为
、
、
，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了
，k 为静电力常量，
不计空气阻力。则（ ）
A．该过程中小球3 受到的合力大小始终不变B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C．在图乙位置，
，
D．在图乙位置，
6.（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平
面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
7.（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，有两个电性相同且质量分别为m、
的粒子A、B，初始时刻相距
，粒子A 以速度
沿两粒子连线向速度为0 的粒子B 运动，此时A、B 两粒子系统的电势能等于
。
经时间
粒子B 到达P 点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B 施加一恒力，方向与速度方向相同。
当粒子B 的速度为
时，粒子A 恰好运动至P 点且速度为0，A、B 粒子间距离恢复为
，这时撤去恒力。
已知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：（m、
、
、
均为已
知量）
(1)粒子B 到达P 点时的速度大小
；
(2)
时间内粒子B 的位移大小
；
(3)恒力作用的时间
。
8.（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平
行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A 点处，由静
止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B 点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，
颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k 倍（
）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B 点与左平板的距离为l，
电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B 点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A 点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
9.（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电荷
量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间
存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹簧
未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A 的速
度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均
为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为
真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
04 自我提升
1.（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c 三点，其电势分别为
；
a、b、c 分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a 点电场的方向，则正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d
四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V 的等势线上，则（ ）
A．a、b、c、d 中a 点电场强度最小
B．a、b、c、d 中d 点电场强度最大
C．一个电子从b 点移动到c 点电场力做功为2eV
D．一个电子从a 点移动到d 点电势能增加了4eV
3.（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB 与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC 在B 点相
切，轨道半径为r，圆心为O，O、A 间距离为
。原长为
的轻质绝缘弹簧一端固定于O 点，另一端连
接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A 点左侧
释放后，依次经过A、B、C 三点时的动能分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2024·贵州·高考真题）如图，A、B、C 三个点位于以O 为圆心的圆上，直径
与弦
间的夹角为
。A、B 两点分别放有电荷量大小为
的点电荷时，C 点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
5.（2024·甘肃·高考真题）一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S 接1，电源E 给电容器C 充电；开
关S 接2，电容器C 对电阻R 放电。下列说法正确的是（ ）
A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增加
B．充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由M 点流向N 点
C．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流减小
D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R 的电流由N 点流向M 点
6.（2024·浙江·高考真题）如图所示，金属极板M 受到紫外线照射会逸出光电子，最大速率为
。正对M
放置一金属网N，在M、N 之间加恒定电压U。已知M、N 间距为d（远小于板长），电子的质量为m，电
荷量为e，则（ ）
A．M、N 间距离增大时电子到达N 的动能也增大
B．只有沿x 方向逸出的电子到达N 时才有最大动能
C．电子从M 到N 过程中y 方向位移大小最大为
D．M、N 间加反向电压
时电流表示数恰好为零
7.（2024·广西·高考真题）如图，将不计重力、电荷量为q 带负电的小圆环套在半径为R 的光滑绝缘半圆弧
上，半圆弧直径两端的M 点和N 点分别固定电荷量为
和
的负点电荷。将小圆环从靠近N 点处静
止释放，小圆环先后经过图上
点和
点，已知
，则小圆环从
点运动到
点的过程中（ ）
A．静电力做正功
B．静电力做负功
C．静电力先做正功再做负功
D．静电力先做负功再做正功
8.（2023·河北·高考真题）由点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量、相对位置有关。如图1，a、b、
c，d 四个质量均为m、带等量正电荷的小球，用长度相等、不可伸长的绝缘轻绳连接，静置在光滑绝缘水
平面上，O 点为正方形中心，设此时系统的电势能为
。剪断a、d 两小球间的轻绳后，某时刻小球d 的
速度大小为v，方向如图2，此时系统的电势能为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（多选）（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上，竖直放置时另一端位于
O 点，现将绝缘不带电物块a 和带正电的物块b 叠放在弹簧上，系统稳定时弹簧上端位于P 点。a、b 的质
量均为m，b 的电荷量为q，在空间中加上竖直向上的匀强电场，场强大小为
，弹簧的劲度系数为k，
弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．加上电场瞬间，b 的加速度大小为
B．b 运动到最高点时弹簧的压缩量为
C．a、b 物体会分离，且分离时b 的加速度大小为
D．a、b 物体不会分离，两物体将一起做简谐振动，振幅为
10.（多选）（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、
带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标
系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷
的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力
加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
11.（多选）（2023·湖北·高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压
加速后，射入水平放置的平行板电
容器，极板间电压为
。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为
，微粒运动轨迹的最高
点到极板左右两端的水平距离分别为
和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
12.（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电
粒子a、b 同时从O 点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为
。已知粒子的质量为m。电荷量为
q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1) a 运动到最高点的时间t；
(2) a 到达最高点时，a、b 间的距离H。
13.（2026·云南·模拟预测）匀强电场中，质量为
、带电荷量为
且可视为质点的小球在长为
的
绝缘轻绳拉力作用下绕固定点
在竖直平面内做圆周运动，
点为圆周上的最低点，电场方向平行于圆周
平面。已知运动过程中小球速度最小值为
（
为重力加速度），此时绳子拉力恰好为零。小球运动
到
点时速度大小为
，不计空气阻力。求：
(1)电场力和重力合力的大小；
(2)绳子对小球拉力的最大值；
(3)匀强电场的电场强度大小。
14.（2025·广西南宁·一模）如图所示，相距为d 的带电小球A、B 固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，所带
电量分别为
和
，
。若杆上还套有一质量为m 的带电小环C，带电体A、B 和C 均可视为点电荷。
(1)求小环C 的平衡位置；
(2)若小环C 带电量为
，将小环拉离平衡位置一段距离后由静止释放，且该距离远小于d。试证明小环C
受到的电场力大小F 与偏离平衡位置的位移大小x 成正比；
[提示：数学公式
；当
时，则
]
(3)将小环C 拉离平衡位置一小段远小于d 的距离l 后由静止释放，求小环C 运动过程的最大速率。
