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专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
1．圆周运动的三种临界情况......................................................................................................................................1
2．常见的圆周运动及临界条件..................................................................................................................................1
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论.................................................................................................................2
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好发生滑动
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点：FT＋mg＝m
恰好通过最高点，绳的拉力
恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F＝m
恰好通过最高点，杆对小球
的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周
运动
关注六个位置的动力学方
程，最高点、最低点、等效
最高点、等效最低点，最左
边和最右边位置
恰好通过等效最高点，恰好
做完整的圆周运动
等效法
倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r
最低点Ff－mgsin θ＝mω2r
恰好通过最低点
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由
可得
①
对应C 点的速度有机械能守恒
得
②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
得
③
小结：(1).当
时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
④
(2).当
时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律
。⑤
(3).当
时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为
则
、
(4).当
时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑦
(3)从A 点以初速度
释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑧
【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘
的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙
所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长
，圆盘以恒
定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，
重力加速度g 取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【答案】（1）
；（2）15m
【详解】（1）设乘客和座椅的总质量为m，绳子拉力为FT，对乘客和座椅整体进行分析，有
，
联立，解得
手机滑落瞬间的速度
解得
（2）手机滑落后做平抛运动，竖直方向有
解得
则平抛运动的水平位移为
手机落地点距离中心转轴的距离
解得
【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切，BC 为圆弧
轨道的直径，O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，
，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，
经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受
到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重
力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；
（2）小球到达A 点时动量的大小；
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设水平恒力的大小为
，小球到达C 点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有
①
②
设小球到达C 点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
③
由①②③式联立解得
④
⑤
（2）设小球到达A 点的速度大小为
，作
，交PA 于D 点，由几何关系得
⑥
⑦
由动能定理有
⑧
由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在A 点的动量大小为
⑨
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路
→
→
【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O 点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O 点在竖直
平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点，C 点为最低点，B 点与O 点等高，下列说法正
确的是( )
A．小球经过A 点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B 点时，所受杆的作用力沿着BO 方向
C．从A 点到C 点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A 点到C 点的过程，杆对小球的作用力做负功
【答案】D
【解析】小球经过A 点时，合外力提供向心力，则当小球速度较小时有m<mg，则所受杆的作用力竖直向
上；当小球速度较大时有m>mg，则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度满足m＝mg 时，则杆对小球无
作用力，故A 错误；
小球重力和杆的作用力的合力提供向心力，则小球在B 点所受杆的作用力斜向右上方，故B 错误；
A 点和C 点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B 点处重力与速度共线，故重力功率不为0，
则从A 点到C 点的过程，小球重力的功率先增大再减小，故C 错误；
A 到C 的过程中，重力做正功，根据动能定理可知WG＋W 杆＝ΔEk＝0，故杆对小球的作用力做负功，故D
正确。
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物
体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0 或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A 点的滑块P 接触但不粘连，
滑块P 所在光滑水平轨道与半径为0.8m 的光滑半圆轨道平滑连接于B 点，压缩的弹簧储存的弹性势能为
2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P 被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中
（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B 点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P 能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C 点且在CD 之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【答案】BC
【详解】A．设滑块P 恰能通过最高点D，则有
解得
则滑块P 从B 点到D 点，根据动能定理有
解得滑块在B 点的动能为
所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A 错误；
B．滑块经过B 点时的速度大小为vB，根据功能关系可得
在B 点根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B 正确；
CD．滑块在C 点的重力势能为
则滑块可以通过C 点且在CD 之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v
根据功能关系可得
根据牛顿第二定律可得
联立解得
，
滑块离开轨道后做斜上抛运动
根据功能关系可得
解得滑块P 能到达的最大高度为
故C 正确，D 错误。
故选BC。
1．如图所示，质量为 m 的小物块开始静止在一半径为 R 的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹
角为30°。现让球壳随转台绕转轴
一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（
）
A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为
，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
【答案】D
【详解】A．静止时，对物块分析，根据平衡条件有
故A 错误；
B．球壳随转台绕转轴
一起转动，物块做匀速圆周运动，由沿圆周半径方向的合力提供向心力，若物
块所受摩擦力恰好为0 时，角速度为
，对物块进行分析，则有
解得
故B 错误；
C．若转台的角速度为
，由于
可知，物块有沿球壳向下运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向上，故C 错误
D．若转台的角速度为
，由于
可知，物块有沿球壳向上运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向下，故D 正确。
故选D。
2．如图所示，长度为l 的轻绳一端固定在O 点，另一端系着一个质量为m 的小球，当小球在最低点时，
获得一个水平向右的初速度
，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法
正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
【答案】C
【详解】A．若小球能到达最高点，根据机械能守恒，有
根据小球在竖直面内的圆周运动受力特点，可知恰好做完整的圆周运动，则在最高点时小球重力恰好提供
所需向心力，根据牛顿第二定律可得
在最高时小球的最小速度为
故A 错误；
B．分析小球从最低点运动到最右端的过程，根据机械能守恒，有
根据牛顿第二定律和向心力可得，小球的向心力为
又因为小球受重力作用，根据平行四边形定则可知小球所受的合力为
故B 错误；
C．当轻绳第一次刚好松弛时，绳的拉力为零，设此时的速度大小为v2，轻绳与竖直向上方向夹角为α，如
图所示
由径向合力提供向心力，有
由机械能守恒有
联立解得
，
故C 正确；
D．小球在最低点，根据牛顿第二定律有
轻绳受到的拉力大小为5mg，故D 错误。
故选C。
3．如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
【答案】B
【详解】AB．在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0 时，内管对小
球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A 错误，B 正确；
C．小球在水平线ab 以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力；
当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故C 错误；
D．小球在水平线ab 以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小
球一定有作用力，故D 错误。
故选B。
4．如图所示，一半径为R 的圆环处于竖直平面内，A 是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质
量为m 的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O 的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不
同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω 匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等于
【答案】D
【详解】AB．小球在图示位置时的受力分析如图所示
则小球所受合外力提供向心力，即
以上两式联立，解得
故AB 错误；
CD．若小球在A 点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即
联立，解得
故C 错误，D 正确。
故选D。
5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀
螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R 的磁性圆轨道竖直固定，质量为m 的小铁球视为
质点在轨道外侧转动，A、B 两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且
大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A 点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
【答案】D
【详解】A．铁球在竖直轨道上做圆周运动，受到重力、轨道的支持力和磁性引力的作用，其中铁球受轨
道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与铁球的运动方向垂直，所以
磁力和支持力对铁球都不做功，只有重力对铁球做功，所以铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在
最低点的速度最大，所以铁球不可能做匀速圆周运动，故A 错误；
B．铁球绕轨道转动时，只有重力做功，其机械能守恒，故B 错误；
C．在A 点，轨道可以支撑铁球，所以要使铁球不脱轨做完整圆周运动，铁球在A 点时的速度大于等于零
即可，故C 错误；
D．铁球在最低点时，若恰不脱轨，则满足
从铁球恰在最高点到最低点时，由机械能守恒定律得
解得
F=5mg
即要使铁球不脱轨做完整圆周运动，轨道对铁球的磁性引力大小至少为5mg，故D 正确。
故选D。
6.（多选）如图所示，倾角为
的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为
的滑块，通过轻
绳绕过光滑的滑轮与质量为
的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与
斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为
。斜面体和滑块始终静止，滑块
与斜面的动摩擦因数为
，小球与小孔之间的绳长为
，重力加速度为
，下列说法正确的是
（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析有
解得
将滑块和斜面看成整体，由平衡条件得，斜面体所受摩擦力大小为
故A 正确；
B．设绳与竖直方向的夹角为
，对小球有
可得
又因为
所以随着转速的增大，角速度会增大；拉力会增大，绳与竖直方向的夹角会增大，两绳的夹角会减小，所
以合力会增大；所以绳子对小孔的作用力增大；故B 错误；
C．因为绳对滑块的拉力越大，滑块越容易往上滑动。所以当小球转速最大，即绳的拉力最大时，对滑块
受力分析得
即
可得最大角速度为
所以最大转速为
故C 正确；
D．加上电场后，对小球受力分析知
因为要使转速不变，即角速度不变，所以绳子的拉力大小不变，因为竖直方向绳的分力相对没有加电场时
增大了，所以由以上公式知
减小，即小球到转动中心的距离减小，故D 错误。
故选AC。
7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A 和B，
，
，它们分居在
圆心两侧，与圆心距离为
，
，中间用细线相连，A、B 与盘间的动摩擦因数均为
＝
0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，
，
以下说法正确的是（ ）
A．B 的摩擦力先达到最大
B．当
时，绳子出现张力
C．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
D．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
【答案】AD
【详解】A．若A 达到最大静摩擦力时的临界角速度满足
代入数据解得
同理可得B 达到最大静摩擦力时的临界角速度为
代入数据解得
则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B 先达到临界角速度值，则B 的摩擦力先达到最大，故A 正确；
B．当B 的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当
时，绳子出现张力，故B
错误；
CD．A 与B 的角速度相等，A 的质量是B 的4 倍而A 做圆周运动的半径是B 的
，根据
可知A
需要的向心力大，所以当AB 两物体出现相对滑动时A 背离圆心运动，B 向着圆心运动，此时B 受静摩擦
力方向背离圆心，A 受静摩擦力方向指向圆心，则对A 有：
对B 有：
解得
故C 错误，D 正确。
故选AD。
8.（多选）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动，已知圆轨道
的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速度为g， P、Q 为圆轨道上同一
竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可得
A 错误；
BC．在PQ 两点的受力如图所示
在Q 点，由向心力公式有
在P 点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N 段，在轨道上下关
于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为
，则在A、B 两小段的压力可视为恒力，
摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为
BC 正确；
D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
D 错误。
故选BC。
9．（多选）在X 星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，
现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，
其
图像如图乙所示。已知X 星球的半径为
，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的
是（ ）
A．X 星球的第一宇宙速度
B．X 星球的密度
C．X 星球的质量
D．环绕X 星球的轨道离星球表面高度为
的卫星周期
【答案】CD
【详解】A．小球在最高点时有
所以可得
将图线与横轴交点代入则得
则X 星球的第一宇宙速度为
A 错误；
BC．根据
则X 星球的质量为
X 星球的密度为
B 错误，C 正确；
D．根据
解得
则环绕X 星球运行的离星球表面高度为
的卫星
则代入可得周期
D 正确。
故选CD。
10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R 的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B 点在O 的正上
方，A、C 点关于OB 对称，
。可看成质点的物块自A 点以初速度
沿着轨道切线方向向上运动，
并且能沿轨道运动到B 点。已知重力加速度为g，
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则物块在A 点初速度可能为
B．若
，则物块在A 点初速度可能为
C．若
，则物块在A 点初速度可能为
D．若
，则物块在A 点初速度可能为
【答案】AB
【详解】AB．若
， A 点速度取得最大值时
从A 点运动到B 点，由动能定理，有
得到
满足题意，AB 正确；
C．若
，A 点速度取得最大值时
从A 点运动到B 点，由动能定理，有
得到
不符合题意，C 错误；
D．若物块在A 点的初速度为
，则物块在A 点就离开轨道，不能沿着轨道运动到B 点，D 错误。
故选AB。
11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B 点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C 为
其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平
面上的A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C 点。不计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C 点时速度为0
B．小球到达C 点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A 点的初速度为
D．若小球到达D 点时对内外轨道均无弹力，则
【答案】AD
【详解】A．小球恰好过圆弧轨道最高点C，由于下方有支持物，所以过C 点时速度为0，故A 正确；
B．小球过C 点时速度为0，不能做平抛运动，故B 错误
C．A 到C，由机械能守恒定律可得
解得
故C 错误；
D．由D 到C 根据机械能守恒有
在D 点小球对内外轨道均无弹力，则重力的分力提供向心力，有
解得
故D 正确。
故选AD。
12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段 BC 组成，两段相切于B 点，
AB 段与水平面夹角为
，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从
A 点以初速度
上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A 从到C 的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度
增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为
vC = 0
则小球从C 到B 的过程中，有
联立有
则从C 到B 的过程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，对轨
道的压力逐渐增大，A 正确；
B．由于A 到C 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到C 的过程中重力的功率为
则A 到C 的过程中小球重力的功率始终减小，故B 错误；
C．从A 到C 的过程中有
解得
故C 错误；
D．小球在B 点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度
增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱离轨道，故D 正
确。
故选AD。
13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，
上端是半径
的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴
转动。在转台的边缘固定有一长
的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最
低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴
缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为
时开始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小
g=10m/s2，
，
。求：
(1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小
；
(2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量
。
【答案】(1)800N (2)4000J
【详解】（1）设游客和座椅所受的轻绳拉力大小为
，竖直方向上有
水平方向上有
解得
（2）设游客和座椅稳定转动时的速度大小为，由匀速圆周运动中合力提供向心力有
游客和座椅从开始转动到稳定转动的过程中，由功能关系有
解得
14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为
、
的水平转盘A 与水平转盘B 通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B 上，
半径为
的转盘C 固定在竖直中心轴的顶端，长度为
的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转
盘C 的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C 先向上抬升
，
然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为
。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为
，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速
度
取
，
，
。求：
(1)稳定后缆绳拉力的大小；
(2)转盘A 转动的角速度大小；
(3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对游客和座椅受力分析，由平衡条件得
解得
（2）对游客和座椅受力分析，有
根据几何关系可得
解得
对转盘
与转盘
，具有相同的角速度，即
对转盘
与转盘
，具有相同的线速度，即
解得转盘
转动的角速度大小为
（3）对游客和座椅受力分析，由牛顿第二定律得
由功能关系可得缆绳对游客和座椅做的功为
其中
联立解得
15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R 的光滑竖直半圆轨道在B 点平滑连接，整个空间分布有大小为
、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为质点）从水平
轨道上A 点由静止释放，小球运动到C 点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷
量保持不变，A、B 间的距离为3R，重力加速度为g。求
(1)小球运动到B 点时受到的支持力大小；
(2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm；
(3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。
【答案】(1)7mg (2)
(3)
【详解】（1）小球从A 点运动到B 点过程，由动能定理有
可得
小球在B 点有
解得
（2）如图所示，小球运动到等效最低点D 时速度最大，由于
，可知OD 与竖直线OB 夹角为
，小球从A 点运动到D 点的过程中，根据动能定理有
解得
（3）设小球过C 点时的速度大小为
，小球从A 运动到C 的过程中，根据动能定理有
解得
小球离开C 点后做类斜抛运动，竖直方向自由落体
竖直速度
解得
水平方向匀变速直线
解得
水平速度
解得
（方向水平向右）
由运动的合成可得
解得
16．如图所示，质量为
的小物块从平台的右端A 点以速度
水平飞出后，恰由P 点沿切
线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M 飞出。已知圆轨道半径
，圆心为O，N 点为轨
道最低点，∠PON=53°，重力加速度
，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)小物块在P 点的瞬时速度大小
；
(2)小物块通过M 点的瞬时速度大小
；
(3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小物块进入轨道时，刚好沿P 点切线进入，其分速度与合速度如下图
由图可知
解得
（2）由题意可知，小物块恰好从M 点飞出，对小物块在M 点受力分析，可得
解得
（3）小物块从P 到M 的过程，应用动能定理，可得
解得
17．如图所示，在倾角为
的固定光滑斜面体ABCD 上（CD 为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m
的细线，细线的一端固定在斜面上的O 点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O 点平行于AD 的直
线交CD 于E 点，DE 的长度
。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q 为
轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q 点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，
后经斜面边缘上的M 点飞出，落到地面上的N 点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，
，重力加速度
。求：
(1)小球经过Q 点时的速度大小
(2)小球经过M 点时的速度大小
；
(3)M、N 两点间的距离L。（结果均可保留根号）
【答案】(1)2m/s (2)
m/s (3)
m
【详解】（1）小球刚好能在斜面上做完整的圆周运动，则在轨迹圆的最高点F，由牛顿第二定律
从F 点到Q 点的过程中，由动能定理
联立解得小球经过Q 点时的速度大小
（2）小球在Q、M 间做类平抛运动，沿初速度方向做匀速直线运动
运动时间为
s
沿斜面向下方向做匀加速直线运动a=gsinθ=4m/s2
沿斜面向下的速度v2= at1=2m/s
则小球经过M 点时的速度大小
（3）小球离开斜面后做斜下抛运动，竖直向下方向做匀加速直线运动，有
竖直位移
水平方向做匀速直线运动
水平方向位移
M、N 两点间的距离
18．如图所示，M、N 为固定在同一竖直方向上相距L 的两个钉子，一根长为10L 的轻绳一端系在M 点，
另一端竖直悬挂质量为m 的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，
不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。
(1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M 点正上方，求初速度的最小值；
(2)若给小球大小为
的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M 点正下方时绳子断开，求绳子
断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。
【答案】(1)
(2)
,
【详解】（1）小球，从初始位置到第一次到达M 点正上方，根据动能定理可得
若第一周小球恰能通过最高点，则有
联立解得初速度的最小值为
（2）小球，从初始位置到绳子断裂时M 点正下方，根据动能定理可得
解得绳子断裂瞬间小球的速度大小为
平抛运动竖直方向做自由落体运动，则有
得
水平方向做匀速直线运动，则小球落在地面时水平位移的大小为
19．如图所示，半径为
的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心
的对称轴
重合。转台以一定角速度
匀速旋转，一质量为
的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，
小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和
点的连线与
之间的夹角
为
。重力加速度大小为
。
(1)若
，小物块受到的摩擦力恰好为零，求
；
(2)若
，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【答案】(1)
(2)
，方向沿罐壁向下
【详解】（1）以
为研究对象，当摩擦力恰好为零时，由支持力和重力的合力提供向心力，有
解得
（2）若
，则
滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，
对m 分析，有
解得
20．如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从
位
置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至
点后水平飞出，赛车能从
点无碰撞
地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，
点和
点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道
段运动时受到的恒定阻力为
，赛车质量为
，通电时赛车电动机的输出功率恒为
，
、
两点间高度差为
，赛道
的长度为
，
与圆心
的连线与竖直方向的夹角
，空气阻力忽略不计，
，
，取
，求：
(1)赛车经过
点时的速度大小
；
(2)电动机工作的时间；
(3)要使赛车能通过圆轨道最高点
后沿轨道回到水平赛道
，则轨道半径的最大值
为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）赛车在BC 间做平抛运动，竖直方向有
解得
赛车能从C 点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，则有
解得赛车经过C 点时的速度大小为
（2）赛车通过B 点时的速度大小为
赛车从A 点到B 点过程，根据动能定理得
解得电动机工作的时间为
（3）要使赛车能通过圆轨道最高点D 后沿轨道回到水平赛道EG，当赛车恰好通过最高点D 时，轨道半径
具有最大值，则有
从C 到D，由动能定理可得
联立解得
21．如图所示，半径为
（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，
、
分别为轨道的最高点和最
低点（
和
垂直），
为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为
。质量为
的磁性小球通过
磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为
、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为
的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为
。
(1)若让小球从轨道外侧
点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道；
(2)若让小球从轨道内侧
点以初速度大小
水平向左射入轨道，求：
①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小；
②小球运动到
点时对轨道压力的大小。
【答案】(1)见解析 (2)①
②
【详解】（1）把恒力和重力的合力视为等效重力
设等效重力方向与竖直方向夹角为
，则有
解得
过圆心作
的平行线和圆轨道有两个交点，下方交点为等效最低点，如图
假设小球能到达等效最低点，由动能定理
解得
在等效最低点恰好不脱离轨道时
解得
可知
可知小球不会脱离轨道。
（2）①从
点到等效最低点，由动能定理
解得
在等效最低点压力最大
解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道的最大压力
。
②从
点运动到
点过程，可知合外力做功为0，所以
在
点，受力分析如图
解得
根据牛顿第三定律，小球在
点对轨道的压力
。
22．如图所示，光滑半球半径为
，球心为
，固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨
道
，高度为
，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为
的小球由
点静止滑下，经
过圆弧轨道最低点
，从半球上
点（图中未标出）离开，落在水平地面上。重力加速度为
。求：
(1)小球在
点对轨道的压力；
(2)C 点距离水平地面的高度。
【答案】(1)
，方向竖直向下 (2)
【详解】（1）由动能定理可得
由圆周运动公式
解得
由牛顿第三定律可知，小球在
点对轨道的压力大小
，方向竖直向下。
（2）设C 点距离水平地面的高度为，由动能定理可得
小球在C 点脱离轨道，则有
联立解得
