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1.命题情境源自生产生活中的与圆周运动相关的情境或科学探究情境，解题时能从具体情境中抽
象出物理模型，正确受力分析，画出受力分析图，运动过程分析，正确分析向心力的来源。
2.命题既有重力场中的圆周运动，也有电场或磁场中的圆周运动，或更加复杂的复合场中的圆周
运动。
3.命题中经常极值、临界问题。抓住关键条件，例如：恰好做完整的圆周运动，刚好不发生相对
滑动。
4.命题中经常抛体运动相结合，结合动能定理或机械能守恒定律、动量守恒定律，注重物理思维
与物理能力的考核。
1．常见的圆周运动
水平面
内的圆周
运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面
内的圆
周运动
轻绳模型
最高点的临界条
件：mg＝m
最高点和最低点间的
过程要用能量观点
(动能定理)
轻杆模型
最高点的临界条件
vmin＝0
倾斜面内的
圆周运动
倾斜转盘上的物体
重难点04 圆周运动
1
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电场、重力
场叠加中的
圆周运动
带电小球在叠加场中的
圆周运动
等效法
关注六个位置的动
力学方程，最高
点、最低点、等效
最高点、等效最低
点，最左边和最右
边位置
磁场中的圆
周运动
带电粒子在匀强磁场中
做匀速圆周运动
qvB＝m
（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示，质量为 m 的小物块开始静止在一半径为 R 的球壳内，它
和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴
一起转动，物块在球壳内始终未滑
动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为
，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2
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D．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
【答案】D
【解析】A．静止时，对物块分析，根据平衡条件有
故A 错误；
B．球壳随转台绕转轴
一起转动，物块做匀速圆周运动，由沿圆周半径方向的合力提供向心力，若物
块所受摩擦力恰好为0 时，角速度为
，对物块进行分析，则有
解得
故B 错误；
C．若转台的角速度为
，由于
可知，物块有沿球壳向下运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向上，故C 错误
D．若转台的角速度为
，由于
可知，物块有沿球壳向上运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向下，故D 正确。
故选D。
2．（2023·安徽·校联考二模）如图所示，某同学设计了如下实验装置研究向心力，轻质套筒A 和质量为
1kg 的小球B 通过长度为L 的轻杆及铰链连接，套筒A 套在竖直杆OP 上与原长为L 的轻质弹簧连接，小
球B 可以沿水平槽滑动，让系统以某一角速度绕OP 匀速转动，球B 对水平槽恰好无压力，此时轻杆与竖
直方向夹角
。已知弹簧的劲度系数为100N/m，弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，
，则系统转动的角速度
为（ ）
3
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A．2rad/s
B．2.5rad/s
C．4rad/s
D．5rad/s
【答案】D
【解析】B 球对槽恰好无压力时，此时弹簧的压缩量为
，对B 分析有
根据牛顿第二定律有
解得
故选D。
3．（2024·全国·校联考一模）如图所示，竖直放置的半径为
的四分之一光滑圆弧轨道
与粗糙绝缘水
平轨道
在B 处平滑连接，
为圆弧轨道的圆心，OB 左侧空间存在竖直向下的匀强电场，场强大小为
。
一质量为
带负电的物块，电荷量
，以一定的初速度从A 点沿切线进入圆弧轨道。物块与水平轨
道
间的动摩擦因数为
。已知重力加速度大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．无论在A 点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B 点
B．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑到B 点，其在B 点的速度最小为0
C．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑过B 点后，最终可停在距B 点
的位置
D．物块沿圆弧轨道滑过B 点后，最终停在
上，因摩擦产生的热量最小值为
【答案】D
【解析】AB．物块带负电，电场力竖直向上且大于重力，故B 点为圆轨道等效最高点，物块不一定能沿圆
弧轨道运动到B 点；物块运动到B 点的临界条件为物块在B 点与轨道的压力为0，由牛顿第二定律
4
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得B 点的最小速度
在
轨道，由动能定理
可得
故
点也存在速度的最小值，故AB 错误；
C．在BC 轨道，由动能定理
得
可知物块停止位置到B 点的最小距离为
故C 错误；
D．根据能量守恒与转化，摩擦产生的热量
故D 正确。
故选D。
4．（2023·四川成都·统考一模）如图，空间存在范围足够大的匀强电场，场强大小
，方向水平向
右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R 的
光滑圆弧
与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD 组成，AB、CD
与水平面夹角均为45°且在B、C 两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m，电荷量为q，从AB 轨
道上与圆心O 等高的P 点以
的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD 轨道间的动摩擦因数
，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
5
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A．滑块在AB 轨道下滑时的加速度大小为g
B．滑块在
轨道中对轨道的最大压力为3mg
C．滑块最终将在
轨道之间做往复运动
D．滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为2R
【答案】AD
【解析】A．根据题意可知
重力与电场力的合力
，方向垂直于AB 面向下，滑块在AB 轨道下滑时，有
解得
加速度大小为g，A 正确；
B．由几何关系可知，
滑块在
轨道的B 点对轨道有最大压力，设此时滑块的速度为，轨道对滑块的支持力为
，有
解得
根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律，滑块在
轨道中对轨道的最大压力为
B 错误；
C．从B 点到C 点，电场力做负功，滑块需克服电场力做功为
6
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所以滑块在到达C 点前已经减速到0，后反向滑回到B 点，滑块从B 点出发到滑回到B 点的过程中，合力
做功为零，所以速度大小不变，仍为，然后沿BA 轨道上向上滑行，由于在BA 轨道只有摩擦力做负功，
所以最后会停在AB 轨道上，C 错误；
D． 由于滑块在
轨道上合力做功为0，所以滑回B 点时，速度依然为
，设在AB 轨道上滑行
后减速为0，有
解得
所以滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为
D 正确。
故选AD。
二、多选题
5．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图所示，一个上表面粗糙、中心有孔的水平圆盘绕轴MN 转动，系
有不可伸长细线的木块置于圆盘上，细线另一端穿过中心小孔O 系着一个小球。已知木块、小球质量均为
m，且均可视为质点，木块到O 点的距离为R，O 点与小球之间的细线长为L。当圆盘以角速度
匀速转动
时，小球以角速度
随圆盘做圆锥摆运动，木块相对圆盘静止；连接小球的细线与竖直方向的夹角为
，
小孔与细线之间无摩擦，木块与圆盘间的动摩擦因数为
，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（
）
A．若
不变，L 越大，则
越大
B．若
，当
时，木块将相对于圆盘发生滑动
C．若
，木块所受摩擦力方向可能指向圆心
D．若
，当
增大时，木块所受摩擦力可能增大
【答案】AD
【解析】A．设，细绳的拉力为T，则
7
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解得
若
不变，L 越大，则
越大，故A 正确；
B．由
木块随圆盘匀速转动所需要的向心力为
当R=L 时细线的张力恰好提供木块做圆周运动的向心力，摩擦力为零，且只与
有关，所以，无论
多大，
木块都不会滑动，故B 错误；
C．若
时木块所需要的向心力小于细绳的张力，所以木块受到指向圆盘边缘的摩擦力，故C 错误；
D．若
时木块所需要的向心力大于细绳的张力，，物块受到指向圆心的摩擦力，随着
增大时，向
心力增大，木块所受摩擦力可能增大，故D 正确。
故选AD。
6．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）如图所示，竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道，
匀强电场的方向平行于轨道平面水平向左，
分别为轨道上的最高点和最低点，
是轨道上与圆
心
等高的点。质量为
、电荷量为
的带正电的小球（可视为质点）在轨道内能做完整的圆周运动，已
知重力加速度为
，电场强度大小
，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置在
之间，且此处小球的电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最小的位置在
点
C．小球经过
两点时所受轨道弹力大小的差值为
D．小球经过
两点时所受轨道弹力大小的差值为
【答案】BC
【解析】本题考查带电物体在重力场和电场中的运动。对于竖直面内的圆周运动，当只处于重力场中时，
最高点、最低点是比较好确定的，本题小球处于重力与电场力的复合场中，合力不沿竖直方向，所以“等
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效最高点”与“等效最低点”的位置就发生了变化，是平行于合力方向的直径与圆的两个交点，在最高点
的动能最小，最低点的动能最大，要想恰好完成完整的圆周运动，在最高点必须恰好满足重力与电场力的
合力提供向心力。
【解答】A．设小球所受重力与电场力的合力与
方向的夹角为
，则有
故等效最低点在
之间，等效最高点在
之间。根据圆周运动的规律，小球在等效最高点时动能最小，
小球从
运动
的过程中电场力做正功，电势能减小，故小球电势能最大的位置在
点，故A 错误；
B．小球在轨道上运动的过程中，总能量守恒，小球在
点的电势能最大，故小球在
点时的机械能最小，
故B 正确；
CD．设圆形轨道的半径为
，在
点有
在
点有
根据动能定理，小球从
运动到
有
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选BC。
三、解答题
7．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图所示，水平地面左侧固定半径R=0.5m 的竖直半圆弧光滑轨道
ABC，A 点为圆弧最高点，B 点与圆心O 等高，C 点与水平地面相切。用三根材料相同、质量分布均匀的
长方木条制成直角三角形框架DEF，斜木条DE 的上表面光滑，倾角为
。在F 点右侧相距较远处有
一P 点，P 点左侧的水平地面光滑，P 点右侧的水平地面与框架底面木条DF 之间的动摩擦因数为μ=0.1.一
可视为质点的小滑块从框架的最高点E 由静止开始释放，滑块恰好能通过半圆弧轨道的最高点A 水平飞出，
落到地面后停止运动。已知滑块质量m=1.0kg，框架质量
滑块从框架进入水平地面时，速度由
沿斜面方向变为水平方向，而速度的大小保持不变，不计其余一切阻力，重力加速度
（1）求滑块经过B 点时对轨道的压力FN；
（2）求框架竖直边EF 的高度h；
（3）求框架停止运动时F 点与P 点的距离s。
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【答案】（1）30N；（2）
；（3）
【解析】（1）设滑块通过最高点A 时的速度大小为v1，由向心力公式
得
设滑块通过B 时的速度大小为v2，由动能定理
得
设在B 点时半圆轨道对滑块的弹力为Fn，由向心力公式
得
则滑块经过B 点时对轨道压力大小为30N，方向向左。
（2）设滑块滑到水平面时的速度大小为v3，由动能定理
得
设滑块滑到水平面时框架的速度大小为v4，由水平方向动量守恒
得
滑块下滑过程中机械能守恒，由能量关系
得
h=1.65m
（3）设三角形框架底边DF 的长度为s1，由几何关系
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设框架经过P 点过程中受到平均阻力为f1，经过P 点后受到阻力为f2，则
得
设框架经过P 点后经过的距离为s2，由动能定理
得
设三角形框架停止运动时F 点与P 点之间的距离为s，则
8．如图所示，有一半圆形区域的半径为R，内部及边界上均存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，直径MN 和NP 处放有一个很薄的接收屏，NP 长为R。有一个位置可以移动的粒子源A 可以向
纸面内各个方向持续均匀发射速度为v（速度大小可调）的同种带电粒子，每秒发射粒子数为N，已知粒
子质量为m，电量为
。粒子打在接收屏上被吸收不反弹，粒子重力及粒子间的相互作用力不计。
（1）若
，粒子源A 位于圆弧MN 的中点，求从粒子源A 发出的粒子射到接收屏O 点所需要的时
间以及接收屏NP 受到带电粒子的作用力大小；
（2）若
，把粒子源A 从N 点沿圆弧逐渐移到M 点的过程中，接收屏MN 能接收到粒子的总长度；
（3）若粒子源A 位于圆弧MN 中点，记从A 点向左侧出射方向与AO 方向夹角为θ，求能被MN 板吸收的
粒子打中板时速度方向与MN 的夹角α 的余弦值（用θ、粒子速度v 以及题目中的已知量表示）。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力
解得
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粒子运动的周期为
由几何关系可知
粒子源A 发出的粒子射到接收屏O 点所需要的时间为
根据几何关系可知，有
的粒子数能被NP 接收，根据动量定理
解得接收屏NP 受到带电粒子的作用力大小为
（2）根据洛伦兹力提供向心力
解得
接收屏MN 能接收到粒子右边界，直径
左边界与屏相切，设
，有
解得
则
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接收屏MN 能接收到粒子的总长度为
（3）水平方向根据动量定理有
根据几何关系有
则
可得
能被MN 板吸收的粒子打中板时速度方向与MN 的夹角α 的余弦值
（建议用时：30 分钟）
一、单选题
1．（2023·四川德阳·统考一模）如图所示，水平地面上放一质量为M 的落地电风扇，一质量为m 的小球
固定在叶片的边缘，启动电风扇小球随叶片在竖直平面内做半径为r 的圆周运动。已知小球运动到最高点
时速度大小为v，重力加速度大小为g，则小球在最高点时地面受到的压力大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据牛顿第二定律，小球
解得
根据牛顿第三定律小球在最高点时对风扇的压力
对电风扇
解得地面对电风扇的支持力
根据牛顿第三定律小球在最高点时地面受到的压力大小为
，故选C。
2．（2023·新疆·统考二模）如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长
的不可伸长的绝缘细线，
一端连着一质量
的带电小球，另一端固定于O 点。把小球拉起至A 点，此时细线水平，把小球从
A 点由静止释放，小球经最低点B 后到达B 的另一侧C 点时速度为零，
与
夹角为
，g 取
。
则（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，机械能先增加后减小
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C．细线所受的最大拉力为
D．小球到达B 点时的动能为
【答案】D
【解析】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A 错误；
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B 错误；
C．对全过程根据动能定理可得
解得
重力和电场力的合力
与水平方向夹角的正切值
可得
如图所示
此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理
在等效最低点，根据牛顿第二定律
联立解得细线所受的最大拉力
C 错误；
D．从A 到B 根据动能定理可得
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D 正确。
故选D。
二、多选题
3．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，两轻绳左端系于竖直细杆上，右端与第三根轻绳在O 点连结，当三
根绳均拉直时，系于细杆上的两轻绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°，上方绳长和第三根绳长均为L，
第三根绳的末端连一质量为m 的小球，小球可在水平面内绕细杆做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加
速度为g，在转动过程中，当第三根绳与竖直方向成45°时（ ）
A．小球运动的加速度大小为
B．小球运动的角速度大小为
C．第三根绳子的拉力大小为mg
D．系于细杆上的两轻绳的拉力大小相等
【答案】BD
【解析】A．小球做匀速圆周运动，故其受到的重力与第三根绳子对其拉力的合力充当向心力，由牛顿第
二定律可得
解得
故A 错误；
B．同理，可得
其中
r=Lsin30°+Lsin45°
解得
故B 正确；
C．对小球受力分析可得，绳子的拉力大小为
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故C 错误；
D．对节点O 受力分析，系于细杆上的二根绳的拉力的合力等于第三根绳上的拉力，根据平行四边行法则，
结合题设条件，可知系于细杆上的两轻绳的拉力大小相等。故D 正确。
故选BD。
4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示，ab 和bc 区域的宽度均为d．ab 区域存在水平向左、电场
强度大小为E 的匀强电场；bc 区域存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向上，电场强度大小
为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小
。今有一带正电的微粒从a 边缘平行电场方向以初速
度
水平向右射入电场，从b 边缘的P 点进入bc 区域时的速度大小不变，方向变为竖直向下。已知重力加
速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．a、P 两点间距离为
B．微粒在ab 区域中做半径为d 的匀速圆周运动
C．微粒在bc 区域中做半径为
的匀速圆周运动
D．微粒在ab、bc 区域中运动的总时间为
【答案】AD
【解析】AB．微粒在
区域中，水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀加速运动，并且平均速度相同，
故竖直位移和水平位移均为
，故
间距离为
，故A 正确，B 错误；
CD．微粒在
区域中运动时间为
且满足
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在
区域，重力与电场力平衡，故微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，半径为
根据几何知识可知，微粒在复合场中转过的角度为
，故运动时间为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
三、解答题
5．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）如图所示，长度l=3m 的水平传送带AB 在右端B 点平滑连接着一个半
径R=0.35m 的光滑半圆弧轨道CEFD，其中C 点为轨道的最低点，E 点和圆心O 等高，FD 段为光滑圆管，
∠EOF=30°。可视为质点的小物块从A 点以v0=5.5m/s 的初速度向右滑动，已知小物块的质量m=1kg，与传
送带之间的动摩擦因数μ=0.3，且小物块尺寸小于光滑圆管内径。重力加速度g 取10m/s2。
（1）若传送带以v=6.1m/s 的速率顺时针方向转动，求小物块第一次运动到C 点的过程中电动机多消耗的
电能；
（2）若传送带以
的速率顺时针方向转动，求：
①小物块第一次运动到C 点时对轨道的压力大小；
②试通过计算判断小物块是否会脱离轨道CEFD；若脱离，求出落点到C 点的距离，若不脱离，求小物块
最终稳定运动时的最大动能。
【答案】（1）3.66J；（2）①45N；②不会脱离，2J
【解析】（1）假设小物块中途会与传送带达到共速，小物块先在传送带上做加速运动，由牛顿第二定律
有
解得
设与传送带共速需要的时间为t，则有
解得
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加速过程中的位移
解得
故假设成立。电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力所做的功，即有
解得
（2）①假设小物块一直减速运动到C，则由动能定理有
解得
由于
故假设成立，在C 点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，小物块第一次运动到C 点时对轨道的压力大小为
②小物块从C 点运动到F 点过程中，由动能定理有
解得，小物块到达F 点的速度大小为
在F 点有
则小物块恰好可以通过F 点，小物块从C 点运动到最高点过程中，由机械能守恒有
解得
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则小物块不会通过D 点，即小物块第一次经过半圆弧轨道CD 的过程中不会脱离轨道，小物块从半圆弧轨
道滑下后，在传送带上做减速运动，设减速到零的过程中发生的位移为
，则有
小物块减速到零后反向向右加速，与传送带达到共速后再做匀速运动，小物块再次经过C 点向右的速度为
则小物块再次通过C 点后上升至速度为0 时有
解得
即小物块第二次冲上半圆时，不会脱离轨道，小物块速度为零后再返回至C 点，进入传送带，如此往复运
动，则小物块不脱离轨道，最终稳定运动时在C 点的动能最大，最大动能为
6．（2024·四川自贡·统考一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m 和半径R2=0.3m 的光滑圆形轨道，
他们轨道弧长分别占圆周的
和
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。某时刻，让
质量为m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，与
静止在C 点的带电小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为m2=0.1kg，电荷量为q=+1C。整个过程中滑块
Q 的电荷量始终保持不变，滑块P、Q 均可视为质点，与水平轨道BC 间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC 间距
x=2m，CD 段光滑。滑块Q 从D 点进入光滑轨道DMN 时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场
强大小
。已知重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块P 刚到
滑道最低点B 时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道DMN 后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N 点的速度大
小；若会，试求Q 离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
【答案】（1）3N，方向竖直向下；（2）
；（3）会，
【解析】（1）设P 从A 到B 点时的速度为v1，A 到B 过程中由动能定理得
20
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代入数据解得
在B 点，由牛顿第二定律得
代入数据解得
由牛顿第三定律得：对圆轨道的压力大小为3N，方向：竖直向下
（2）设P 运动到C 时的速度为v2，B 到C 过程中由动能定理得
设P 与Q 碰撞后的速度分别为v3、v4，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
联立以上方程并代入数据解得碰撞后Q 的速度大小为
（3）假设Q 进入轨道DMN 后不会脱离轨道，并设经过N 点的速度大小为vN，此时受到轨道的弹力为F，
由牛顿第二定律和动能定理得
C 到N 过程中
代入数据解得
则假设不成立；
说明Q 会脱离轨道
设Q 在S 点脱离轨道时的速度大小为v5，
，由牛顿第二定律和动能定理得
C 到S 过程中
联立以上方程并代入数据解得Q 离开轨道时的速度大小为
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7．（2023·山东·模拟预测）如图甲所示，空间直角坐标系
中，界面
均与xOy 平面平行，界面
将空间分为区域Ⅰ、区域Ⅱ两部分，界面M 与xOy 平面和界面N 间的距离均为
轴与界面M 相交
于
与界面N 相交于
。区域Ⅰ中在y>0 的范围内存在着沿y 轴负方向的匀强电场，在
的范围内存
在着沿y 轴正方向的匀强电场，两个电场强度大小相等；区域Ⅱ中，在
的区域里有垂直xOz 平面
的匀强磁场，磁感应强度大小为B，如图乙所示，B 随时间t 的变化规律如图丙所示（
和
均未知），
规定磁场方向沿y 轴负方向为正。有一质量为m、电荷量为
的粒子，初速度为零，经加速器加速后获得
大小为
的速度，然后从y 轴上的
点沿z 轴正方向进入区域Ⅰ，之后经过z 轴后从Q 点垂直穿
过界面M 进入区域Ⅱ。不考虑粒子的重力，求：
（1）加速器的加速电压；
（2）区域Ⅰ中匀强电场的场强大小；
（3）若粒子从
时刻射入区域Ⅱ，在
的某时刻从
平面的点
（以Q 点为坐标原点）射
出磁场，求
的大小；
（4）若粒子的比荷为
，粒子在
的任一时刻射入区域Ⅱ时，粒子离开磁场时的位置都
不在
轴上，求
的取值范围。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）粒子经加速器加速，由动能定理得
解得
（2）设粒子在区域Ⅰ中运动时间为
，区域Ⅰ中匀强电场的场强大小为E，根据题意得
又
解得
（3）粒子进入区域Ⅱ，在
平面内做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示
洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系可得
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联立解得
（4）由题意可得粒子运动的轨迹半径为
临界情况为粒子从
时刻入射，并且轨迹恰好与
轴相切，此时刻进入的粒子不从
轴射出，其他情况
粒子都不会从
轴射出，轨迹如图乙所示
该情况下根据洛伦兹力提供向心力可得圆周运动的周期为
由几何关系可得，
内，粒子转过的圆心角为
，对应运动时间为
故要使粒子离开磁场时的位置都不在
轴上，应满足
联立可得
8．（2023 上·山东威海·高三山东省荣成市第一中学校考期中）如图，圆心为O、半径为r 的圆形区域内没
有磁场，圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，P 是圆外一点，
OP=3r。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从P 点在纸面内垂直于OP 射出。不计重力，
。
求：
（1）若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足怎样的条件？
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间；
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（3）在（2）的情况下粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界所用的时间。（已知
）
【答案】（1）
或
；（2）
；（3）
【解析】（1）若粒子与圆形区域左侧相切时，粒子运动半径为r，则
若粒子与圆形区域右侧相切时，粒子运动半径为2r，则
得
，
若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足
或
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，如图
由几何关系
得粒子运动半径为
根据牛顿第二定律
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又
联立得，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间为
（3）粒子运动轨迹如图
由于
得
由几何关系，粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界的圆心角为
则该段运动所用的时间为
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