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专题四 圆周运动的综合分析
——精剖细解细备考讲义
高考对于这部分知识点主要以具体事例和科技的最新成果为背景进行命题，以生活中实际物体
的圆周运动和抛体运动为依托，进行模型化受力分析。强化对物理基本概念、基本规律的考核。试
题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖。在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，
抓住问题实质，将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。主要考查的知识点有：圆周运动，
非匀速圆周运动，斜抛运动，不同平面上的圆周运动等。
知识点1：圆周运动
1、描述圆周运动的物理量
物理量
物理意义
表达式
线速度
描述物体圆周运动快慢。
v＝＝
角速度
描述物体转动快慢。
ω＝＝
周期
物体沿圆周运动一周所用的时间，描述物体转动快慢
T＝
频率
单位时间内完成周期性变化的次数，描述物体转动快
慢
f=1/T
转速
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈
数。描述物体做圆周运动的快慢。
n=f=1/T
向心加
速度
指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂
直。反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。
an
＝
rω2
＝
＝
ωv
＝
r
向心力
当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲
率中心）的合外力作用力。作用效果是产生向心加速
度。
Fn＝man＝m＝mω2r＝＝mr4π2f2
2、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
圆周运动的类型
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度的大小不变的圆周运动
线速度的大小和方向不断变化
的圆周运动
性质
①向心加速度、向心力和线速
度的大小不变，方向改变；
②角速度不变
向心加速度、向心力、线速度
和角速度均发生变化。
1
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条件
合力大小不变，方向始终与速
度方向垂直且指向圆心。
①合力沿速度方向分量产生切
向加速度，它只改变速度的大
小；②合力沿半径方向分量产
生向心加速度，它只改变速度
的方向。
3、向心、离心运动
受力特点
图例
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。
当F＝0 时，物体沿切线方向飞出。
当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的
向心力，做离心运动。
当F>mrω2 时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运
动。
4、不同的传动模式
方式
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B 两点在同轴的一
个圆盘上，到圆心的距
离不同。
两个轮子用皮带连接，A、B 两
点分别是两个轮子边缘上的
点。
两个齿轮轮齿啮合，A、B 两
点分别是两个齿轮边缘上的
点。
图例
特点
A、B 两点角速度、周
期相同
A、B 两点线速度相同
A、B 两点线速度相同
转动
方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：
角速度与半径成反比：
，
周期与半径成正比：
角速度与半径成反比与齿轮
齿数成反比∶
，
周期与半径成正比，与齿轮
齿 数成正比：
5、水平面、竖直面和斜面上的圆周运动
类型
描述
方法
水平面
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心
选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；分
析物体受力情况，其合外力提供向心力；由Fn
2
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内的圆
周运动
力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
＝m=mrω2列方程求解。
竖直面
内的圆
周运动
拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无
约束
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2
max，即vmax＝。过
最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝
m，FN＝mg－m<mg（失重）v>时：到达最高点
前做斜上抛运动飞离桥面。
轻绳模型
受力特征：除重力外，物体
受到的弹力方向：向下或等
于零
临界特征：FN＝0 ，mg＝m 即vmin＝。过最高点
条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高
点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生
弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点
前小球已经脱离了圆轨道。[来
轻杆模型
受力特征：除重力外，物体
受到的弹力方向：向下、等
于零或向上。
临界特征：v＝0 即F 向＝0 FN＝mg。
过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分
析：当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径
背离圆心；当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离
圆心，随v 的增大而减小；当v＝时，FN＝0；
当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v 的增
大而增大。
斜面上
的圆周
运动
静摩擦力控制下
的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物
体，因所受的控制因素不
同，如静摩擦力控制、绳控
制、杆控制，物体的受力情
况和所遵循的规律也不相
同。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运
动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力
情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受
力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转
化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻杆控制下的圆
周运动
轻绳控制下的圆
周运动
竖直面内圆周运动的求解思路
确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主
要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
确定临界点：v 临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现
为支持力或者是拉力的临界点。
确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F 合=F
向。
进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
3
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水平面上的圆周运动
1．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，一端固定在O 点，另一端挂接小球，用手把小球拉离最低
点，保持细绳拉直，给小球初速度，第一次小球在甲水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与
竖直轴线夹角为
，第二次小球在乙水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角
为
，重力加速度为g，小球两次做圆周运动的周期之比
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对运动的小球进行受力分析，其受到小球的重力以及细绳的拉力，小球在这两个力的合力
作用下做圆周运动，设其细绳与竖直方向的夹角为
，细绳的长度为L，对其由牛顿第二定定律有
整理有
由题意可知，第一次其夹角为
，第二次其夹角为
，将角度数据带入，整理有
4
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故选D。
竖直面上的圆周运动
2．某名同学看过“水流星”表演后，用一次性杯子和绳子也制作了一个 “水流星”如图所示，他
抡动绳子让杯子在竖直平面内做圆周运动，若杯子和水能做完整的圆周运动，不计空气阻力，下列
说法正确的是（ ）
A．杯子和水经过最低点时处于失重状态
B．杯子和水经过最高点时处于超重状态
C．在最低点时放开绳子，杯子和水做斜上抛运动
D．在最高点时放开绳子，杯子和水做平抛运动
【答案】D
【详解】AB．杯子和水经过最低点时处于超重状态，经过最高点时处于失重状态，故AB 错误；
CD．在最低点和最高点时放开绳子，杯子和水均做平抛运动，故C 错误，D 正确。
故选D。
斜面上的圆周运动
3．如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为
kg 的小球
A、B（均看做质点）系在
点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m 的轻弹簧，两球静止时
两根细线之间的夹角为60°，
，则（ ）
5
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A．系在小球
上细线的拉力为
N
B．斜面对小球
的支持力为15N
C．弹簧的形变量为0.2m
D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球
的加速度大小为
【答案】B
【详解】A．对整体进行受力分析，整体受到重力、支持力和两根细线的拉力，在沿斜面方向，根
据共点力平衡，有
解得
A 错误；
B．对小球B，在垂直于斜面方向，根据共点力平衡有
B 正确；
C．对小球B，在平行于斜面方向，根据共点力平衡有
解得
根据胡克定律，可知弹簧的形变量为
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C 错误；
D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球
的加速度大小
D 错误。
故选B。
4．2022 年3 月23 日的“天宫课堂”上，航天员叶光富用绳子一端系住装有水油混合液体的瓶子，
做如图所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层（水油分层需要判断），以空间站为参考系，
水油分离后的圆周运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．油的线速度大于水的线速度
B．油的向心加速度比水的向心加速度大
C．水对油有指向圆心的作用力
D．水对油的作用力大于油对水的作用力
【答案】C
【详解】A．油和水绕圆心转动的角速度相等，根据
可知，因水在外层，转动半径较大，可知油的线速度小于水的线速度，故A 错误；
B．根据
可知，水的向心加速度大小大于油的向心加速度大小，故B 错误；
C．油做圆周运动的向心力由水提供，故水对油有指向圆心的作用力，故C 正确；
D．水对油的作用力与油对水的作用力是一对相互作用力，等大反向，故D 错误。
故选C。
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5．如图所示，物块在始终沿切线方向的推力F 作用下，沿竖直光滑圆弧轨道以一定速度匀速向上
移动，下列说法正确的是（ ）
A．F 是恒力
B．物块对轨道的压力逐渐减小
C．物块受到的合外力逐渐增大
D．F 与支持力的合力跟物块的重力大小相等
【答案】B
【详解】AB．把圆弧轨道看作斜面，设某位置时斜面倾角为θ，物块匀速移动，沿切线方向处于受
力平衡状态，则
F=Gsinθ
支持力
物块向上缓慢移动，θ 增大，F 增大，FN减小，故A 错误，B 正确。
CD．物体做匀速圆周运动，则合力为
不变，物块并不是平衡状态，则F 与支持力的合力跟物块的重力不是等大反向，故CD 错误。
故选B。
6．“太极球”运动是一项较流行的健身运动，做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，
拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，太极球却不会掉到地上，现将太极球简化成如图所示的
平板和小球，熟练的健身者让小球在竖直面内始终不脱离平板且做匀速圆周运动，则（ ）
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A．小球运动过程中动量保持不变
B．小球运动到B、D 两处的加速度相同
C．小球在B、D 两处一定受到摩擦力的作用
D．小球从C 到A 的过程中，重力的功率先增大后减小
【答案】D
【详解】A．小球在运动过程中速度方向时刻改变，故其动量方向时刻改变，因动量为矢量，所以
动量时刻改变，故A 错误；
B．B、D 两处加速度大小相等，但方向相反，故加速度不相同，故B 错误；
C．如果小球在B、D 两处受到的支持力和重力的合力恰好指向圆心且等于小球转动所需要的向心
力，则小球可以不受摩擦力的作用，故C 错误；
D．小球从C 到A 的过程中，速度大小保持不变，但在竖直方向上的分力先增大后减小，由
可知，重力的功率先增大后减小，故D 正确。
故选D。
7．如图，广州塔摩天轮位于塔顶450 米高空处，摩天轮由16 个“水晶”观光球舱组成，在竖直平
面内做匀速圆周运动，则坐于观光球舱中的某位游客的哪个物理量是不变的（ ）
A．向心加速度
B．机械能
C．动能
D．动量
【答案】C
【详解】A．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度始终指向圆心，即向心加速度始终在发生改变，
故A 错误；
BC．做匀速圆周运动的物体，其速率大小恒定，因此可知其动能不变，但竖直平面内的匀速圆周
运动，虽然其动能不变，但从最低点到最高点的过程中其势能始终增大，而从从高点到最低点的过
程中其势能又逐渐减小，而
则可知竖直平面内做匀速圆周运动的物体机械能始终在发生改变，故B 错误，C 正确；
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D．动量为矢量，根据
可知，虽然匀速圆周运动的速率恒定，但运动过程中速度的方向在时刻发生改变，因此可知动量也
在时刻发生改变，故D 错误。
故选C。
8．图为明代出版的《天工开物》中记录的“牛转翻车”，图中b、c 分别为两个齿轮边缘上的点，
当水牛作用于a 点并绕竖直转轴做匀速圆周运动时，作用点a 与点c 的向心加速度大小始终相等，
则a、b、c 三点的旋转半径满足的条件可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】a、b 两点的角速度相等，则有
根据
可知a、b 两点的线速度大小之比为
b、c 两点的线速度大小相等，则有
则a、c 两点的线速度大小之比为
10
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作用点a 与点c 的向心加速度大小始终相等，则有
则有
联立可得
A．若
，可得
故A 错误；
B．若
，可得
故B 正确；
C．若
，可得
故C 错误；
D．若
，可得
故D 错误。
故选B。
9．内壁光滑的半球形碗中，质量为m 的小球从与球心O 等高的A 点处由静止释放，若忽略空气阻
力，半球形碗相对桌面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
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A．小球从A 点释放后瞬间，小球的加速度为零
B．经过最低点B 时，小球处于失重状态
C．小球下滑的过程中，碗对小球的支持力逐渐减小
D．经过最低点B 时，小球对碗的压力大小为3mg
【答案】D
【详解】A．在A 点时，小球受到的合力等于重力，因此加速度不为零，故A 错误；
B．小球经过B 点时，有向上的向心加速度，小球处于超重状态，故B 错误；
C．设碗对小球的支持力与竖直方向的夹角为θ，则小球由A 点运动到B 点的过程中，θ 逐渐减小，
小球的速度逐渐增大，根据牛顿第二定律可得
所以碗对小球的支持力逐渐增大，C 错误；
D．经过B 点时，有
由A 点运动到B 点的过程中，根据动能定理可得
联立可得小球对碗的压力
故D 正确。
故选D。
10．如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A 端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，
LED 灯就会发光。下列说法正确的是（ ）
12
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A．安装时A 端比B 端更远离圆心
B．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用拉伸弹簧从而使触点接触，电路导通，LED 灯发
光
C．增大重物质量可使LED 灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED 灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
【答案】C
【详解】A．要使物体做离心运动，MN 接触，则，应该A 端靠近圆心，故A 错误；
B．转速越大，所需要的向心力越大，弹簧拉伸越长，MN 接触就会发光，不能说物体受到离心力，
故B 错误；
C．在最低点时
解得
增大质量，可以使LED 灯在较低转速下也能发光，故C 正确；
D．在最高点时
匀速行驶时，最低点弹簧弹力大于最高点弹簧弹力，因此最高点不一定发光，故D 错误。
故选C。
11．图（a）为流水线上的水平皮带转弯机，其俯视图如图（b）所示，虚线ABC 是皮带的中线。中
线上各处的速度大小均为v=1.0m/s；AB 段为直线，长度L=4m，BC 段为圆弧，半径R=2.0m，现将
一质量m=1.0kg 的小物件轻放于起点A 处后，小物件沿皮带中线运动到C 处，已知小物件与皮带间
的动摩擦因数为μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确
的是（ ）
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A．小物件自A 点一直做匀加速直线运动到达B 点
B．小物件运动到圆弧皮带上时滑动摩擦力提供向心力
C．小物件运动到圆弧皮带上时所受到的摩擦力大小为0.5N
D．若将中线上速度增大至3m/s，则小物件运动到圆弧皮带上时会滑离虚线
【答案】C
【详解】A．设小物件自A 点开始做匀加速直线运动的位移为x，则
说明小物件自A 点先做匀加速直线运动后做匀速直线运动到达B 点，故A 错误；
BC．当小物件运动到圆弧皮带上时，有
说明小物件运动到圆弧皮带上时静摩擦力提供向心力，其所受到的摩擦力大小为0.5N，故B 错误，
C 正确；
D．若将中线上速度增大至3m/s，则
说明小物件运动到圆弧皮带上时仍然是静摩擦力提供向心力，不会滑离虚线，故D 错误。
故选C。
12．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块a 和b 放在水平转盘上，两者用细线连接，两木块
与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴
转动，且木块a，b 与转盘中
心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时，烧断细线，关于两木块的运动
情况，以下说法正确的是（ ）
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A．两木块仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
B．木块b 发生滑动，离圆盘圆心越来越近
C．两木块均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
D．木块a 仍随圆盘一起做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】木块a 和b 绕同轴转动，角速度相同；由于
，由
可知木块a 做圆周运动所
需的向心力小于木块b。当圆盘转速加快到两木块刚要发生滑动时，木块b 靠细线的拉力与圆盘的
最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，木块b 所受最大静摩擦力不足
以提供其做圆周运动所需要的向心力，木块b 要与圆盘发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远；但是
木块a 所需要的向心力小于木块a 的最大静摩擦力，所以木块a 仍随圆盘一起做匀速圆周运动。
故选D。
一、多选题
1．小球从触发器的正下方以速率v 竖直上抛，小球恰好击中正上方的触发开关，如图所示，若小
球仍在相同的高度分别沿A、B、C、D 四个不同的光滑轨道以相同速率v 抛出。则小球能击中触发
开关的有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】A．小球恰好击中正上方的触发开关，表明小球运动至触发开关时，速度恰好减小为0，
该图中小球越过四分之一圆弧后做竖直上抛运动，到达最高点速度恰好减为0，小球仍然能击中触
发开关，故A 正确；
B．该图中，小球越过较短斜面轨道后做斜抛运动，根据斜抛运动的规律，其水平方向分运动为匀
速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，可知，其到达最高点时速度不为0，即小球到达的最高点
位置比触发开关的位置要低，即小球不能击中触发开关，故B 错误；
C．由于外轨模型中，小球若能够到达圆弧最高点，则在最高点需要有一个最小速度，即有
根据题意，小球竖直上抛时，到达最高点速度为0，则该图中小球以相同速度进入半个圆弧轨道时，
小球不能够到达最高点位置，小球在到达上侧半个圆弧中间某一位置将脱离圆弧做斜抛运动，即小
球不能击中触发开关，故C 错误；
D．图中轨道连接触发开关，小球冲上轨道后做匀减速直线运动，到达最高点时，速度恰好减为
0，即小球能够击中触发开关，故D 正确。
故选AD。
2．如图所示，MN 为半径为R、固定于竖直平面内的光滑四分之一圆管轨道，轨道上端切线水平，
O 为圆心，M、O、P 三点在同一水平线上，M 的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发
射质量为m 的小钢珠，小钢珠恰好从M 点离开弹簧枪，从N 点飞出落到OP 上距O 点2R 的Q 点。
不计空气阻力，重力加速度为g，则该次发射（ ）
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A．小钢珠在M 点时，处于完全失重
B．小钢珠经过N 点时的速度大小为
C．小钢珠到达N 点时对上管壁的压力大小为2mg
D．小钢珠落到Q 点时的速度方向与OP 间的夹角为45°
【答案】ABD
【详解】A．小钢珠恰好从M 点离开弹簧枪，此时小钢珠只受重力作用，重力加速度方向竖直向下，
处于完全失重，A 正确；
B．小钢珠从N 点到Q 点，做平抛运动，在水平方向则有
在竖直方向则有
联立解得
B 正确；
C．小钢珠到达N 点时，由牛顿第二定律可得
解得
由牛顿第三定律可知，小钢珠到达N 点时对上管壁的压力大小为mg，C 错误；
D．设小钢珠落到Q 点时的速度方向与OP 间的夹角为θ，则有
解得
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D 正确。
故选ABD。
3．越野滑雪运动员利用工作起来似巨型“陀螺”的圆盘滑雪机模拟一些特定的训练环境和场景。
某次训练过程简化为如图模型：圆盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度ω 转动，盘面
上离转轴距离为10m 处的运动员（保持如图滑行姿势，可看成质点）与圆盘始终保持相对静止，运
动员质量为60kg，与盘面间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面
的夹角为15°，g 取10m/s2，已知sin15°≈0.260，cos15°≈0.966。则下列说法正确的是（ ）
A．运动员随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到两个力的作用
B．ω 的最大值约为
C．ω 取不同值时，运动员在最高点所受摩擦力一定随ω 的增大而增大
D．运动员由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功约为3120J
【答案】BD
【详解】A．运动员随圆盘做匀速圆周运动时，在最高点位置可能只受到重力和支持力恰好提供向
心力，其他位置一定受重力、弹力、摩擦力三个力提供向心力，故A 错误；
B．在圆盘最下方，根据
解得
故B 正确；
C．ω 取不同数值时，当摩擦力指向圆心则有
运动员在最高点受到的摩擦力随ω 的增大而增大；
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当摩擦力背离圆心则有
运动员在最高点受到的摩擦力随ω 的增大而减小，故C 错误；
D．运动员运动过程中速度大小不变，动能不变，设Wf、WG分别为摩擦力做功和重力做功的大小，
有
Wf=WG=mg•2rsin15°
代入数据解得
Wf≈3120J
故D 正确。
故选BD。
4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量均为m 的A、B 两物块（均可视为质点）叠放在一起，距轴
心距离为L，随圆盘一起做匀速圆周运动。已知圆盘与B 之间的动摩擦因数为μ，B 与A 之间的动
摩擦因数为0.5μ，假如最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．物块A、B 一起匀速转动过程中加速度恒定
B．物块A、B 一起转动过程中所需向心力大小相等
C．A、B 一起转动的最大角速度为
D．当圆盘越转越快，A 将沿背离圆心的方向离心运动
【答案】BC
【详解】A．两物体做匀速转动的向心加速度大小恒定，但向心加速度方向始终指向圆心，一直在
变化，故加速度不恒定，故A 错误；
B．A、B 两物块质量相同，根据向心力公式
可知物块A、B 一起转动过程中所需向心力大小相等，故B 正确；
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C．对A、B 整体分析，当最大静摩擦力提供向心力，有
解得
对A 进行分析，当最大静摩擦力提供向心力，有
解得
故A、B 一起转动的最大角速度为
，故C 正确；
D．由C 选项分析可知，当圆盘越转越快，到角速度
时，A 将沿与圆心连线的切线方向做离心运动，故D 错误。
故选BC。
二、解答题
5．某商家为了促销推出图甲所示的弹珠抽奖游戏，图乙为游戏的模型示意图，平面游戏面板与水
平面成
角固定放置，面板右侧的直管道与半径为
的
细圆管轨道平滑连接，两者固
定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端水平。顾客游戏时，用外力压缩面板底部连接的小弹簧将
弹簧顶端的小弹珠（可视为质点）弹出，若弹珠直接打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，
若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹珠质量
，直管道长度
，中奖区域AB
长度
，其等分为如图所示的五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，
重力加速度g 取
，求：
（1）弹珠从圆管轨道顶端以
的速度飞出时，弹珠对轨道的压力以及此时顾客的中奖情
况；
（2）顾客获得一等奖时，弹簧初始弹性势能的取值范围。
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【答案】（1）
，方向沿斜面向下，三等奖；（2）
或
【详解】（1）在圆管轨道顶端对弹珠受力分析
解得
根据牛顿第三定律，弹珠对轨道的压力为
，方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律有
解得
根据运动的分解有
联立解得
，
由于
则小球落在三等奖区域，顾客获得三等奖。
（2）根据能量守恒有
对类平抛运动有
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联立得
顾客获得一等奖时
或
解得
或
6．如图所示是一张常见的团圆餐桌。餐桌上放一半径
可绕中心轴转动的圆盘，近似认为
餐桌与圆盘在同一水平面内，忽略两者之间的间隙，如图所示。将质量为
的物体放置在
圆盘边缘，该物体与圆盘的动摩擦因数为
，与餐桌的动摩擦因数为
，设物体与圆
盘及餐桌间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
。
（1）由静止开始缓慢增大圆盘的角速度，求物体从圆盘上刚好甩出时圆盘的角速度和物体速度的
大小；
（2）物体从圆盘上刚好甩出时，圆盘对物体的静摩擦力所做的功多大；
（3）为使物体不滑落到地面，餐桌半径R 的最小值。
【答案】（1）
，3m/s；（2）0.9J；（3）2.5m
【详解】（1）由题意可得，当小物体受到最大静摩擦力时，小物体将滑落，此时物体的速度达到
最大，由牛顿第二定律
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又
联立得
物体的速度为
，得
（2）设圆盘对物体的静摩擦力所做的功为W，由动能定理
代入得
（3）由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在
餐桌上滑动的位移为s，由动能定理
得
因为物体从圆盘边缘滑出时沿圆盘的切线方向，结合几何知识可得餐桌半径的最小值为
代入得
7．如图甲所示为某一玩具汽车的轨道，其部分轨道可抽象为图乙的模型。AB 和BD 为两段水平直
轨道，竖直圆轨道与水平直轨道相切于B 点，D 点为水平直轨道与水平半圆轨道的切点。在某次游
戏过程中，通过摇控装置使小车以一定的速度过A 点同时关闭发动机并不再开启。小车可视为质点，
质量m＝40g。AB＝1.6m，BD＝0.5m，竖直圆轨道半径R＝0.4m，水平半圆轨道半径r＝0.1m。小
车在两段水平直轨道所受的阻力大小均为f＝0.2N，在竖直圆轨道和水平半圆轨道所受的阻力均忽
略不计，水平半圆轨道能够提供的最大径向作用力（向心力）为40N，重力加速度g 取10m/s2．求：
（1）小车能顺利通过C 点，在B 点时对轨道的压力至少为多少？
（2）小车保持沿着轨道运动并通过水平半圆轨道，在A 点时速度的取值范围。
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【答案】（1）2.4N；（2）
【详解】（1）恰好通过C 点时，在B 点压力最小，则有
从B 到C 过程，根据动能定理可得
在B 点，根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，在B 点时对轨道的压力至少为2.4N。
（2）刚好过C 点时，在A 点对应的速度最小；从C 到D 点，根据动能定理可得
在D 点，有
从A 到C 过程，根据动能定理可得
解得
到D 点向心力最大时，在A 点对应的速度最大，则有
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从A 到D 过程，根据动能定理可得
解得
则在A 点时速度的取值范围为
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