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秘籍4 竖直面与水平面的圆周运动问题
做好本类型压轴问题需要用到的相关知识有:受力分析、牛顿运动定律、向心力、功能关系等内
容，常以生活中的一些圆周运动模型，如汽车过弯、火车过弯来来呈现，或者单独水平面或竖直
面上圆周运动来考察。
题型一 有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题（选择题）
题型二 有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题（选择题）
题型三 竖直面内的绳类(轨道内侧)问题（选择题）
题型四 竖直面内的杆类(管类)问题（选择题）
1、圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在
水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为m，只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的
合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图所示（也可以理解为拉力
的竖直分力与摆球的重
1
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力平衡，
的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为l，摆线与竖直方向的夹角为θ的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周
运动的轨道半径是r =lsinθ
向心力 F合=mg tanθ =man=mω
2l sinθ =m v
2/(l sinθ)
摆线的拉力 FT =mg/cosθ
【讨论】：
(1) 当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据
cosθ = g/(ω
2l)
可知，若角速度ω
越大，则θ
越大，摆线拉力FT =mg/cosθ也越大，向心加速度
an= g tanθ也越大，线速度v =ωr
=√glsinθ tanθ
也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若θ越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越
大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当lcosθ为定值时（lcosθ =h为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量
相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力FT =mg/cosθ，向心力
F合=mg tanθ，向心加速度an= g tanθ，角速度ω=√g/h
，线速度v =ωr =√gh tanθ
。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但θ角
大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
2
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2、锥形、球形容器模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着
内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为m，受两个力即竖直向下的重力mg和垂直内壁沿斜向上方向的支持力F N。
两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力
，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角θ，小球的轨道面距地面高度h，圆
周轨道的圆心是O，轨道半径是r =h tanθ, 则有
向心力Fn=mg/ tanθ =man=mω
2h tanθ =m v
2/(h tanθ).
支持力F N =mg/sinθ.
由此得an= g/ tanθ，ω=√
g
h(tanθ)
2
，v =√gh。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大
小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析
正交分解x 轴指向
心
列方程求解
规律
x:FNsinθ=mω2r
y:FNcosθ=mg
r=Rsinθ
an=gtanθω=√
g
Rcosθ
;
F N = mg
cosθ =mω
2 R
①同角同向心加速度（B 和
C）
②同高同角速度（A 和C）
3、圆盘模型
mg
θ
R
FN
mg
FN
θ
x
y
A
B
C
A
B
A
B
A B
A
B
A
B
A
B
·
θ
3
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f 静=mω2r
ω 临= √
μg
r
与质量无关
轻绳出现拉力临界ω1=√
μg
rB
; AB 离心的临界：
隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω2
2rB；
隔离A:μmAg-T=mAω2
2rA；隔离
B:T+μmBg=mBω2
2rB；
隔离A:T-μmAg=mAω2
2rA；隔离
B:T+μmBg=mBω2
2rB；
整体：AB 滑动ω 临2=√
μg
r 质心
（
r 质心= mA r A+mBrB
mA+mB
）
①μA≥μB,
ω 临1=√
μB g
r
①ωmin=
√
mB g- μmA g
r
②μA<μB,
ω 临2=√
μA g
r
②ωmax=
√
mB g+ μmA g
r
3、竖直面绳、杆模型
轻绳模型（没有支撑）
轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的
临界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球能运动即可得v 临＝0
对应最低点速度v 低≥√5 gr
对应最低点速度v 低≥√4 gr
绳不松不脱
轨条件
v 低≥√5 gr或v 低≤√2gr
不脱轨
最低点弹力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
F 低-mg =mv 低2/r
F 低=mg+mv 低2/r，向上拉力
最高点弹力
过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg
向下压力
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支
持力，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力
并随v 的增大而增大
ω2
O
f
μmg
ω2
O
T
出现T
滑动
ω2
O
f
B μmBg
μmAg
A
ω2
O
f
B μmBg
μmAg
A
4
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在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
4、常用公式
物理概念规律名称
公式
动能
= p
2
2m
重力势能
(与零势能面的选择有关)
弹性势能
功
W = Fs cos (恒力做功)
W=Pt（拉力功率不变）
W=f S 相对路程 （阻力大小不变）
功率
平均功率：
即时功率：
动能定理
机械能守恒定律
1
2 m v1
2+mgh1+ 1
2 k x1
2= 1
2 m v2
2+mgh2+ 1
2 k x2
2或者Ep= Ek
1.
（多选）（2024•甘肃模拟）如图所示，可视为质点、质量为M 的物块用长为L 的细
绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方
向的夹角为α。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，假设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
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B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为1
2 μMgLsinα
C．物块能在转台上随转台一起转动的最大角速度为√
g
Lsinα
D．细绳对物块拉力的瞬时功率始终为零
2.
（2023 春•清江浦区校级月考）如图所示，金属环M、N 用不可伸长的细线连接，分
别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转
动时，两金属环相对杆始终不动，下列判断正确的是（ ）
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N 与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度越大，环M 与水平杆之间的摩擦力越大
D．转动的角速度不同，环M 与水平杆之间的弹力仍相等
3.
（2023 秋•桃城区校级月考）如图所示，两个完全相同质量均为m 的橡皮擦a、b（均
可视为质点）放在水平圆盘上，a 与竖直转轴OO′（图中O′点未画出）的距离为l，b 与竖
直转轴的距离为1.5l，橡皮擦与圆盘的最大静摩擦力为橡皮擦所受重力的k 倍，重力加速度大
小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法中正
确的是（ ）
A．a、b 所受摩擦力大小始终相等
B．a 一定比b 先开始滑动
C．ω=√
2kg
3l
是b 开始滑动的临界角速度
D．当ω=√
3kg
4l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg
4.
（2023•桃城区校级开学）如图所示，O 为水平转盘的圆心，物块A 和B 质量均为
m，中间用轻绳连接在一起，A 与竖直转轴之间也用轻绳连接，两绳恰好且能承受的张力足够
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大，A、B 随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止，已知A 与O 点距离为R，B 与O 点距
离为2R，A、B 与转盘之间动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，水平转盘的角速度ω 从零开
始缓慢增大的过程中，有（ ）
A．当ω=√
2 μg
R
时，AB 绳开始有张力
B．当ω=√
μg
R
时，AB 绳开始有张力
C．当ω=√
2 μg
3 R
时，OA 绳开始有张力
D．当ω=√
μg
R
时，OA 绳开始有张力
5.
（2023 春•沙坪坝区校级期末）如图所示，叠放在水平圆形转台上的物体A、B 能随
转台在半径r 的圆周上运动，A、B 质量均为m，A 与B、B 与转台间的动摩擦因数分别为
0.2、0.3。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．B 对A 的摩擦力一定为0.2mg
B．在转台的角速度不断增大的过程中，A 先相对滑动被甩出
C．在转台的角速度不断增大的过程中，A 受到的摩擦力一定指向圆心
D．A、B 能随转台一起转动的最大角速度为√
0.3 g
r
6.
（2023 春•重庆期末）如图所示的装置中，小木块在摩擦力的作用下随水平转盘一起
运动。当转速逐渐增大到某值时木块相对转盘滑动。下列图像中能大致反映小木块离开转盘前
所受摩擦力大小与转盘转速间关系的是（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
7.
（2023 秋•北碚区校级期中）如图所示，固定在竖直面内的粗糙轨道ABC 由直线段
AB 和圆弧段BC 组成，两段相切于B 点，BC 段圆心为O，最高点为C，A 与C 的高度差等于
圆弧轨道的直径2R。质量为m 的小球从A 点以初速度v0=√5 gR冲上轨道，能恰好沿轨道运
动到C 点。若小球所受阻力大小恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小球在C 点受到轨道的支持力大小为0
B．小球从A 到C 的过程中，机械能减少了5
2 mgR
C．小球从A 到C 的过程中，克服了轨道的阻力做功1
2 mgR
D．若要让小球从C 点脱离轨道，则至少要将小球的初速度v0增大到2√gR
8.
（2023 秋•郫都区校级月考）如图所示，一长为0.1m 的轻杆的一端固定在位于O 点
的水平转轴上，另一端固定一质量为0.1kg 的小球（可视为质点），轻杆随转轴在竖直平面内
做圆周运动，P 是圆周上的最高点，Q 为最低点。已知重力加速度g 取10m/s2，不计空气阻力，
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下列说法正确的是（ ）
A．当小球运动到与O 点等高的水平位置时，杆对小球的作用力为零
B．若小球刚好能经过最高点P，则此时杆对小球的作用力为零
C．若小球经过P 点时杆对小球的作用力大小等于0.36N，则此时小球的速度大小一定等于
0.8m/s
D．若小球经过Q 点时杆对小球的作用力大小等于5N，则此时小球的速度大小一定等于2m/s
9.
（2023 秋•郫都区校级月考）如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在
做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N 装有连着数字计时器的光电门，可测
球经过N 点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M 点时对管道作用力F
（竖直向上为正），用同一小球以不同的初速度重复实验，得到F 与v N
2 的关系图像如图乙，c
为图像与横轴交点坐标，b 为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中不
正确的是（ ）
A．若小球经过N 点时满足v N
2 =c，则经过M 点时对轨道无压力
B．当小球经过N 点时满足v N
2 =√2c，则经过M 点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为c
5 g
D．小球质量m=- b
5 g
10. （2023 春•浉河区校级期末）如图，在竖直平面内有一个半径为R 且光滑的四分之一
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圆弧轨道AB，轨道下端B 与水平面CD 相切，BC 光滑且长度大于R，C 点右边粗糙程度均匀
且足够长。现用手捏住一根长为R
4
的匀质细杆的上端，使杆下端与A 点等高，然后由静止释
放杆子，让杆子保持沿轨道内下滑。不计空气阻力及杆与圆弧轨道的撞击，重力加速度为g，
下列说法正确的是（ ）
A．杆子前端到达C 点时的速度大小为√
5 gR
2
B．杆子前端在过C 点后，一直做匀减速运动
C．杆子前端在过C 点后，滑行一段距离后停下来，在此过程中，若将杆子分成任意两段，其前
一段对后一段的作用力大小不变
D．若杆子前端在过C 点后，滑行s 距离后停下，且s＞R，杆子与粗糙平面间的动摩擦因数为
9 R
8 s- R
11. （2023 春•芜湖期末）如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，
相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最低点与最高点各放一个压
力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离x 变化时，测得两点
压力差ΔFN与距离x 的关系图像如右图所示。不计空气阻力，g 取10m/s2。则可判断（ ）
A．小球的质量为1kg
B．相同半圆光滑轨道的半径为0.2m
C．若小球在最低点B 的速度为20m/s，小球沿光滑轨道恰能通过A 点，则x 为15m
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D．若小球在最低点B 的速度为20m/s 且x 为0，则小球运动到A 点时的速度为15m/s
12. （2023•山东模拟）如图所示，水平机械臂BC 固定在竖直转轴CD 上，B 处固定一与
BC 垂直的光滑水平转轴，轻杆AB 套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为
m 的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至
杆与竖直方向的夹角为37°，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为√
5 g
4 L
B．此时小球的线速度大小为√3 gL
2
C．此过程中杆对小球做的功为4
5 mgL
D．此过程中杆对小球做的功为3
5 mgL
13. （2023 春•太康县校级期中）如图所示，质量均为m 的小物块A、B 分别置于正方形
水平薄板abcd 边缘上的a、e 两点，e 为ab 边中点，薄板绕过中心的竖直轴转动。已知薄板边
长为l，A 与B、板与B 间的动摩擦因数为μ，A 与板间的动摩擦因数为√2
3
μ。若两小物块均可
视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若A、B 均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为√μg
3l
B．若A、B 均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为√2 μg
l
C．将B 叠放在a 处的A 上，若A、B 均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
√
√2 μg
l
11
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D．将B 叠放在a 处的A 上，若A、B 均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为√
2 μg
3l
14. （2023 秋•碑林区校级月考）如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直
轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO′重合。转台以定角速度匀速转
动，一质量为m 的小物块（可视为质点）落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转
动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为μ，且它和O 点的连线与OO′之间
的夹角为θ，转动角速度为ω，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．当ω2=
g
Rcosθ
时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcosθ
B．当ω2=
g
Rcosθ
时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mg
cosθ
C．当ω2=
g
Rcosθ
时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力沿罐壁向上
D．当ω2= 2g(sinθ+ μcosθ)
Rsin2θ
时，小物块将向陶罐上沿滑动
15. （2020 秋•南岗区校级月考）如图所示，两个可视为质点的相同的木块A 和B 放在水
平转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k 倍，A
放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无
弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当ω＞√
kg
2 L
时，A、B 相对于转盘会滑动
B．当√
kg
2 L ＜ω＜√
2kg
3 L
时，绳子一定有弹力，且A、B 相对于转盘静止
C．当ω 在√
kg
2 L ＜ω＜√
2kg
3 L
范围内增大时，B 所受摩擦力变大
12
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D．当ω 在0＜ω＜√
2kg
3 L
范围内增大时，A 所受摩擦力大小先增大后减小
16. （2023 春•南昌期末）如图所示，质量为mA、mB的物体A、B 用轻绳连接放在水平
圆盘上，A、B 距圆盘中心转轴距离相等，此时细线伸直且恰无张力，A、B 与圆盘间动摩擦
因数分别为μA、μB。若圆盘从静止开始转动，且在角速度ω 缓慢增大（A、B 与圆盘仍保持相
对静止）的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．无论μA、μB大小关系如何，A、B 一定同时达到最大静摩擦力
B．当μA＝μB，mA＞mB时，A 先达到最大静摩擦力
C．当μA＝μB，mA＞mB时，随角速度的缓慢增大，A、B 将向B 的一侧发生滑动
D．当μA＞μB，mA＞mB时，随角速度的缓慢增大，B 的摩擦力方向先指向圆心后背离圆心
17. （多选）（2023 春•青神县校级期中）如图所示，水平转台两侧分别放置A、B 两物
体，A 质量为m，B 质量为3m，到转轴OO'的距离分别为2L、L，A、B 两物体间用长度为3L
的轻绳连接，绳子能承受的拉力足够大，A、B 两物体与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。开始时绳刚好伸直且无张力，当水平转台转动
的角速度由零逐渐缓慢增大，直到A、B 恰好相对于转台滑动的过程中，下列说法正确的是（
）
A．当转台转动的角速度大于√
μg
2 L
时，细绳上可能没有拉力
B．当转台转动的角速度大于√
μg
2 L
时，A 可能不受摩擦力
C．整个过程中，A 与转台间的摩擦力先增大到最大静摩擦力后保持不变
D．整个过程中，B 与转台间的摩擦力先增大到最大静摩擦力后保持不变
18. （2023 春•玉林期末）伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，
对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。如图1 中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的
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饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如图2 所示，一重物套在光
滑杆上，并与上端固定在A 点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M 与触点N 未接触。当
车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M 与触点N 接触，电路连通，LED 灯就会发光。
关于此灯下面说法中正确的是（ ）
A．停车时也会发光，只是灯光较暗
B．骑行达到一定速度值时灯才会亮
C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮
D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现
14
