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专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
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一．平抛运动的运动描述..........................................................................................................................................1
二．平抛与斜面、台阶、圆问题.............................................................................................................................. 2
三．平抛的临界问题..................................................................................................................................................3
四．平抛运动与功能动量..........................................................................................................................................4
五、平抛运动的轨迹..................................................................................................................................................5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由
知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出
；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出
；
α
θ
v0
v
x
h
②推论法：若已知h、x，可求出
；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：
，可求出
。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时
水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水
平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙
所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，y＝gt2，
tan θ＝，可求得t＝。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛
初速度大
小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
x
H-y
H
)θ
v0
)α
)α
θ(
v0
7． 台阶平抛运动问题
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t 或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，
则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
v1=s1√
g
2(h1−h2)
出界的临界速度
v2=(s1+s2)√
g
2h1
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
θ
)θ
v0
v1
s1
h2
s2
v2
h1
s1
h2
s2
h1
根据
h=1
2 g(
s
v0)
2
，可得比值：
h1−h2
h1
=
s
12
(s1+s2)2
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x 和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间
，则竖直速度为v=gt、高度为
.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5． 平抛的相遇问题
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
x:l=vt;
y:空中相遇t<√
2h
g
联立得
l
v <√
2h
g
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1 比球2 先抛
t1>t2、v1<v2；
球3、4 同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=√
2H
g
6． 斜抛运动
水平方向——匀速直线运动
；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
v2
v1
v3
v4
y
v0
o
θ
vx
vy
x
v0cosθ
vx
x
x/2
xv0
x
v0
3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x 及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝gt2，
故v0＝x 。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B 间及B、C 间的水平距离相等，由平抛运动的规
律可知，A、B 间与B、C 间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0
＝＝x 。
【典例1】如图为小球做平抛运动的示意图。发射口距地面高为h，小球发射的速度为v，落地位置到发射
口的水平距离为R，小球在空中运动的时间为t。下列说法中错误的是（ ）
A．h 一定时，v 越大，R 越大
B．h 一定时，v 越大，t 越长
C．v 一定时，h 越大，R 越大
D．v 一定时，h 越大，t 越长
【典例2】在水平地面上的
点将小球1 以初速度与水平方向成
角斜向右上方抛出，轨迹如图中虚线
所示，虚线的最高点
与抛出点
的水平距离为
。若在小球1 抛出的同时，在
点将小球2 以
的速度
水平向右抛出。不计空气阻力，则两球着地的时间差
以及着地点间的距离
分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】如图所示，每一级台阶的高度
，宽度
，将一小球从最上面台阶的边沿以某初速
度水平抛出。取重力加速度大小
，不计空气阻力。若小球落在台阶3 上，则小球的初速度大小
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架
，边长为L，从顶点A 以不
同速率沿不同方向水平抛出同一小球(可视为质点，不计空气阻力)。关于小球的运动，下列说法正确的是
（ ）
A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同
B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大
C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中
、D1点时速度相同
D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
【典例5】图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B 如图（b）所示，最大高度相同，轨迹A
的落点M 恰好在轨迹B 最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B 的说法正确的是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
1．将同一小球从同一高度以不同水平初速度v1、v2（v1＞v2）水平抛出，忽略空气阻力，下列说法正确的
是（ ）
A．小球的落地时间t1＞t2
B．小球的水平位移x1＞x2
C．小球落地时的竖直分速度vy1＞vy2
D．小球落地时的合速度大小v1 合＝v2 合
2．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托
面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水
平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度
为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3 倍
D．若初速度为
，则
3．“高空抛物”是极其危险的行为，监控设备为寻找抛物者提供依据。根据影像中的一段运动轨迹，可
测算出水平抛出物体的初速度
。在已知
和重力加速度g 的情况下，若估算抛出点距地面高度，还需测
量的下列物理量是（ ）
A．楼房整体的高度
B．抛出物体的质量
C．监控设备距地面的高度
D．抛出物体运动全程的水平位移
4．故宫太和殿每逢大雨就会出现“九龙吐水”的壮观景象。一次雨后，某出水口水平喷出的水落地时到
该出水口的水平距离为2m，该出水口到水平地面的高度为5m，出水口的横截面积为
，不计空气
阻力，重力加速度大小
，水的密度
，则这次雨后该出水口“吐”出水柱在空中的
质量约为（ ）
A．0.2kg
B．2kg
C．1kg
D．0.1kg
5.台风“桦加沙”影响期间,一架救援飞机在灾区上空沿水平方向做匀减速直线运动，沿途连续投放救灾物
资。若不计空气的阻力，则下列四幅图中能反映救灾物资落地前排列的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.某同学用无人机练习投弹，无人机在离地高为h 处沿水平直线匀速飞行，某时刻无人机开始沿水平方向
做匀减速直线飞行并实施投弹，当速度为
时释放第一个炸弹，当第一个炸弹击中目标
时释放第二个炸
弹，结果第二个炸弹也击中目标
，重力加速度为g，不计空气阻力，则无人机做匀减速飞行的加速度大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H 的固定点以速
率
水平向右抛球，小孩以速率
水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平
距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。
让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h 时，钢球在木
板上的落点离桌边的水平距离为x，则（ ）
A．钢球平抛初速度为
B．钢球在空中飞行时间为
C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
9．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A 从距离地面
处自由下落，
末恰好被小球B 从左侧水平击
中，小球A 落地时的水平位移为
。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g 取
，则
碰撞前小球B 的速度大小v 为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M 点
和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N 点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大
10．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为
、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后
网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.某一冰雪项目的训练场地，分为覆盖着冰层的平台和雪地两部分，如图所示。运动员从距平台边缘
处收起滑雪杖，保持姿态不变，以
的初速度向平台边缘滑去，离开平台后落至雪地。已
知平台和雪地的高度差
，运动员与冰面间的动摩擦因数
，不计空气阻力，重力加速度
。求运动员：
(1)在平台上收起滑雪杖后加速度的大小a；
(2)滑离平台时速度的大小v；
(3)落至雪地时与平台边缘的水平距离x。
12.如图所示，高为
，横截面直径为
，内壁光滑的圆钢管竖直固定在水平地面上。一只小球从钢管
顶端的A 点以某一初速度沿钢管轴心方向水平抛出，运动过程中先后跟钢管内壁的B、C 两点相碰（碰撞
中没有动能损失，碰撞时间极短可以忽略不计），最后恰好落在底面的圆心D 点。取
，求小球
落在D 点时的速度大小。
13.如图所示，运动员将网球从
点以速度
水平击出，网球经过
点时速度方向与竖直方向的夹角为
,
落到水平地面上的
点时速度方向与竖直方向的夹角为
, 不计空气阻力，重力加速度大小为
，求：
(1)网球从
点运动到
点的时间；
(2)
、
两点间的水平距离；
(3)
点距水平地面的高度。
14.如图所示，将一小球从
点水平抛出，
、
为其运动轨迹上的两点，两点间的竖直距离为
。已知小
球在
点时速度方向与水平方向的夹角为
，小球运动到
点时速度方向与水平方向的夹角为
，不计
空气阻力，重力加速度为
。求：
(1)小球的初速度大小；
(2)
、
两点间的水平距离。
15．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t 到达最高点。在最高点
该物体炸裂成
两部分，质量分别为
和m，其中A 以速度v 沿水平方向飞出。重力加速度为g，不
计空气阻力。求：
(1)该物体抛出时的初速度大小
；
(2)炸裂后瞬间B 的速度大小
；
(3)
落地点之间的距离d。
16．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m 的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg 的小物块
以3m/s 的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，
不考虑空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。
(2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计
1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。
17（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的
小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与
弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；
垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度
大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。
图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg 可视为质点的小球从离水平地面3.2m 高的
P 点水平向右击出，测得第一次落点A 与P 点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高
度为1.8m，第一次落点A 与第二次落点B 之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
20．如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m 的小球在O 点以水平初
速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P 点，O、P 间的距离为L，将风力调大，小球仍由O 点以水平初
速度v0抛出，结果恰好经过P 点正上方的Q 点，P，Q 间的距离为
，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q 点时的速度大小和方向。
21．在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m 的小球放在第二象限的A 点，给小球沿
x 轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y 轴负方向的恒力F 作用，当小球运动到原点O 时，速度方向
与x 轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F 方向变为沿x 轴负方向，大小不变，一段时间后小球经过y 轴
上的B 点。
（1）A 点的坐标；
（2）B 点的坐标。
