文档文本内容
第14
抛体运动
讲
目录
01 考
解
题
•
情
码命
预警...............................................................................................................2
02 体
思维
•
系构建
可视...............................................................................................................3
03
向
•
核心突破靶
攻坚...............................................................................................................5
考点一 平抛运动的规律及应用 ......................................................................................................5
知识点1 平抛运动的定义、性质及研究方法............................................................................5
知识点2 平抛运动的运动规律........................................................................................................5
知识点3 平抛运动的推论................................................................................................................. 6
知识点4 平抛运动问题的解题思路...............................................................................................7
考向1 单物体(或流体)的平抛运动
.............................................................................................7
考向2 多物体的平抛运动....................................................................................................................9
考点二 平抛运动的临界问题及类平抛运动 ............................................................................10
知识点1 常见的三种临界特征........................................................................................................10
知识点2 平抛运动临界问题的分析方法.....................................................................................10
知识点3 类平抛运动..........................................................................................................................10
考向1 平抛运动的临界问题
.......................................................................................................11
考向2 类平抛运动
......................................................................................................................... 12
【思维建模】 类平抛运动的处理方法............................................................................14
考点三 斜抛运动 .................................................................................................................................14
知识点1 斜抛运动的的定义、性质及研究方法.......................................................................14
知识点2 斜抛运动的基本规律........................................................................................................14
知识点3 逆向思维法处理斜抛问题...............................................................................................15
知识点4 几种抛体运动的比较........................................................................................................15
知识点5 空间抛体问题......................................................................................................................15
考向1 斜抛运动的规律及应用
.................................................................................................. 15
考向2 逆向思维法处理斜上抛运动
.........................................................................................17
考向3 平抛运动与斜上抛运动的比较
....................................................................................19
考向4 空间抛体运动..........................................................................................................................20
考点四 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 ...................................................................................22
知识点1 平抛与竖直面结合问题...................................................................................................22
知识点2 平抛与斜面结合.................................................................................................................22
知识点3 平抛与圆面结合.................................................................................................................24
考向1 平抛与竖直面结合问题........................................................................................................25
考向2 平抛与斜面结合
................................................................................................................26
考向3 平抛与圆面结合
................................................................................................................28
04
题
考向
知
•
真
溯源
感
............................................................................................................30
考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
平抛运动的
规律及应用
综合
应用
高频
2025•云南、
2025•湖北、
2025•湖南、
2025•山东、
2025•北京、
2025•河北
、2024•浙江、2024•海南、
2024•安徽、2024•湖北、
2024•新疆河南、2024•浙江、
2024•广西、2024•北京、
2024•新疆河南、
2023•浙江、2023•全
国甲卷、2023•广东、
2023•全国甲卷
平抛运动的
临界问题及
类平抛运动
综合
应用
中频
2025•甘肃、
2025•安徽、
2025•湖南
2024•福建
2023•新课标卷、
2023•江苏
斜抛运动
综合
应用
高频
2025•黑吉辽蒙
卷
2024•江苏、2024•江西、
2024•山东、2024•河北
2023•湖南、2023•浙
江、2023•山东
与斜面或圆
弧面有关的
抛体运动
综合
应用
低频
\
\
2023•湖北
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：本专题属于热点内容；高考命题以选择题或计算题的形式出现，计算题中大都与其他知识点
结合在一起综合考察；平抛运动的规律及其研究方法，是近几年命题的热点，近年真题中约60%题目考查
平抛运动基本公式（
、
）的直接应用和斜抛运动的基本公式直接应用，实际情境题占比
逐年上升，考察方式常结合斜面倾角设置落点条件，斜面上的平抛运动是常考热点，综合题可能会出
现"平抛+电场"的复合场问题，体现跨模块综合趋势，极限问题涉及二次函数求极值（最远距离）、角度
三角函数变换求极值的题目逐年增加。
3.备考建议：本讲内容备考时候，熟练掌握运动的合成与分解方法，熟悉两个分运动上的运动特征和规
律、合运动的轨迹特征，练习平抛+斜面组合、多体抛射、含空气阻力情景等热点模型。
4.命题情境：
①生活实践类：冬奥会雪车赛道、无人机投送物资等新科技场景、排球扣杀轨迹、铅球投掷角度、导
弹拦截、伞降部队空投、火山喷发物轨迹、瀑布水花、园林喷灌、传送带抛料；
②学习探究类：抛体运动空气阻力影响评估、炮弹轨迹与地转偏向力。
5.常用方法：运动的合成与分解、数学分析工具（二次函数求极值、角度三角函数变换求极值）
复习目标：
1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。
2.掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动。
3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
考点
平抛运动的规律及应用
一
知识点1 平抛运动的定义、性质及研究方法
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.特点:①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度为重力加速度
g 的匀变速曲线运动.
3.性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
4．研究方法：化曲为直
①水平方向：匀速直线运动；
②竖直方向：自由落体运动．
知识点2 平抛运动的运动规律
1. 建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方
向）;
2. 由两个分运动规律来处理.
水平方向：匀速直线运动 竖直方向：自由落体运动
实际运动轨迹（合运动）：
3. 平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速
度变化量Δv=gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
4. 平抛运动物体的变化规律
①相等时间ΔT 内的水平位移相等，即Δx＝v0ΔT。
②连续相等时间ΔT 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔT2。
知识点3 平抛运动的推论
1.飞行时间:由
知,飞行时间取决于下落高度
h ,与初速度v0无关.
2.水平射程:
,即水平射程由初速度
v 0和下落高度h 共同决定,与其他因素无关.
3.落地速度:
,以θ 表示落地速度与x 轴正方向间的夹角,有
,
所以落地速度只与初速度
v 0和下落高度
h 有关.
4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量
相同,方向恒为竖直向下.
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有
.
推导：
特别提醒
平抛运动的速度均匀变化，速率不是均匀变化。
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
如图所示，即
.
推导：
知识点4 平抛运动问题的解题思路
1.若知道速度的大小和方向,则首先考虑分解速度.
2.若知道位移的大小和方向,则首先考虑分解位移.
3.两种分解方法:
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动;
②沿斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的匀减速运动.
考向1 单物体(或流体)的平抛运动
例1
（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，在以加速度a 沿水平方向做匀加速直线运动的高
铁上，距车厢地面h 处，某人以相对于高铁的速度
水平抛出一个小球，若小球落在车厢抛出点的正下方
的车厢地面上（不计空气阻力），已知重力加速度
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以车厢为参考系，小球做水平向右的匀减速运动，和竖直向下的自由落体，由运动学公式得
，
所以
。
故选A。
【变式训练1·变情境】（2025·陕西·模拟预测）环保人员在一次检查时发现，有一根截面为圆形的排污管
正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离地面有一定的高度，如图所示。管道内始终充满
污水，污水不可压缩且没有黏滞性，污水在空中不散开。环保人员随身只携带了一把卷尺，他测出管道口
的截面直径为
，管口离地高度为，污水落点到管口的水平分位移为
，已知
远小于，污水密度为
，
当地重力加速度为
，空气阻力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．污水在空中的轨迹为一段圆弧
B．污水离开管口的速度为
C．空中污水的质量为
D．该管道每秒排出污水的体积为
【答案】D
【详解】ABD．污水从管口排出做平抛运动，轨迹为抛物线，设水流速度为v，根据平抛运动规律，在
水平方向，有
在竖直方向，有
联立解得污水离开管口的速度为
该管道每秒排出污水的体积为
故AB 错误，D 正确；
C．空中污水的质量为
故C 错误。
故选D。
考向2 多物体的平抛运动
例2
（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的
P 点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度
比小球乙的抛出
点到水平地面的高度
大，小球甲、乙的抛出点水平距离为
，小球甲、乙抛出时的速度大小均为
。取重力加速度大小
，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（
）
A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为
B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同
C．小球甲在相遇前运动的时间为
D．小球甲、乙抛出点的高度差
【答案】D
【详解】A．设篮球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为
、
，两球在P 点相遇，则在水平方向上
有
代入数据解得
，故A 错误；
BC．由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设篮球甲落在P 点时速度与竖直方向的夹角为
，
作出速度分析图，如图所示
由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，根据几何关系可得
可得
又
且甲球下落的高度更高，则有
，联立解得
，
，故BC 错误；
D．根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差
，故D 正确。
故选D。
考点
平抛运动的临界问题及类平抛运动
二
知识点1 常见的三种临界特征
1. 有些题目中有刚好
恰好
正好
“
”“
”“
”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
2. 若题目中有取值范围
多长时间
多大距离
“
”“
”“
”等词语,表明题述的过程中存在着起止点
“
”,而这些起止点往
往就是临界点.
3. 若题目中有最大
最小
至多
至少
“
”“
”“
”“
”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点.
知识点2 平抛运动临界问题的分析方法
1. 确定研究对象的运动性质;
2. 根据题意确定临界状态;
3. 确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
4. 应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
知识点3 类平抛运动
1.受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2.运动特点
沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
。
3.求解方法
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方
向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速
度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
考向1 平抛运动的临界问题
例3
（2025·四川成都·模拟预测）如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m 高空悬停着上万
只无人机组成的无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无
死角的以初速度
抛出炸弹，在距离地面2000m 处设置面积为S=3000m2的拦截炸弹区，不计空气
阻力，现以离地2000m 处相应的面积比为拦截炸弹比，取
，则拦截炸弹比约为（ ）
A．0.5
B．0.25
C．0.05
D．0.025
【答案】D
【详解】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律得
，
解得
拦截炸弹比为
故选D。
【变式训练2·变考法】（2025·河北·模拟预测）（多选）如图所示，水平面上有两个光滑竖直墙壁M、
N，两墙壁间的水平距离为
，可视为质点的小球P 从竖直墙壁M 上的a 点水平向右抛出，小球P
与竖直墙壁碰撞后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反。已知a 点距水平面高度为
，重力加速度为
，不计空气阻力，若要使小球P 第一次落至水平面时恰好可以击中竖直
墙壁N 与水平面的交点Q，则小球P 抛出时速度大小可能是（ ）
A．1.2m/s
B．1.5m/s
C．2.4m/s
D．2.5m/s
【答案】BD
【详解】小球抛出后，竖直方向做自由落体，由
解得小球P 从抛出至落在水平面的时间
设小球抛出时的初速度为
，要使小球第一次落至水平面上恰好可以击中竖直墙面
与水平面的交点，
则必须满足
（
取奇数）
代入四个选项验证，BD 符合题意。
故选BD。
考向2 类平抛运动
例4（2024·河南商丘·三模）如图所示，倾角为
的光滑斜面体固定在水平面上，斜面
为正方形。
一小球从斜面的顶点
处以大小
的初速度平行
方向抛出，小球恰好从
边的中点飞出。已
知重力加速度
取
，求：
(1)斜面
的边长；
(2)小球运动到水平面时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，小球在斜面内做类平抛运动，设斜面的边长为
，
沿
方向有
沿
方向有
沿
方向的加速度大小为
联立解得
（2）小球从
运动到底面
所在的水平面，由动能定理可知
解得
【变式训练3·变考法】
（2025·山东·三模）（多选）如图所示，边长为L 的正方形光滑斜面
ABCD 固定在水平地面上，其倾角θ（0°<θ<90°）可以调节，斜面上固定一光滑四分之一圆弧轨道AE，圆
心为AB 的中点O，OE 垂直于AB。将可视为质点的小球从圆弧轨道的A 点由静止释放，重力加速度为g。
下列说法正确的是（ ）
A．只要倾角θ 足够小，小球可能从CD 边离开斜面
B．小球一定会从BC 边离开斜面
C．当θ=30°时，小球离开斜面时的速度大小为
D．小球离开斜面后在水平地面上的落点刚好在DC 的延长线上
【答案】BC
【详解】AB．小球从A 到E，由动能定理可得
解得
假设小球从BC 边离开，平行于DC 方向则有
沿BC 方向则有
假设成立，则小球一定会从BC 边离开斜面，故A 错误，B 正确；
C．当θ=30°时，根据动能定理可得
解得
，故C 正确；
D．小球从BC 边离开后做斜下抛运动，和在斜面上的运动相比较，运动时间变短，沿GC 方向的分速
度不变，故落到在DC 的里面，故D 错误。
故选BC。
【思维建模】 类平抛运动的处理方法
用研究平抛运动的方法处理类平抛运动，将物体的运动沿着初速度方向(x 方向)和垂直于初速度方向(y 方
向)分解，由于物体在初速度方向上做匀速直线运动，满足vx=v0，x=v0t;与初速度垂直的方向上由于受恒力
作用，物体在该方向上做初速度为零的匀加速直线运动，满足vy=at，y=
1
2at2。。
考点三 斜抛运动
知识点1 斜抛运动的的定义、性质及研究方法
1. 定义：将物体以初速度
v 0斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下所做的运动.
2. 运动性质：加速度为g 的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线.
3．研究方法：运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动；
②竖直方向：匀变速直线运动．
知识点2 斜抛运动的基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建立如图
所示的平面直角坐标系xOy。
1）初速度可以分解为v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ
①水平方向:做匀速直线运动,
.
②竖直方向:做竖直上抛运动,
.
2）当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：
②斜抛运动的飞行时间：
③射程：
知识点3 逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还
可根据对称性求解某些问题．
知识点4 几种抛体运动的比较
得分速记：
对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，
1. 共同点：物体均只受重力作用，加速度均为重力加速度g，且保持不变。
2. 不同点：竖直方向上的抛体运动为匀变速直线运动，平抛、斜抛为匀变速曲线运动。
3. 研究方法：对平抛、斜抛运动，通过分解将其转化为直线运动，根据分运动遵循的规律列方程，要注意
区分合运动与分运动。
知识点5 空间抛体问题
在立体空间中解决抛体问题，本质上与平面抛体问题类似，但需要考虑三个维度（通常是x、y、z
轴）上的运动。
考向1 斜抛运动的规律及应用
例5
（2025·河南·模拟预测）如图所示，某公司团建活动中有一娱乐项目：天花板上用长度不等
的细线等间距的悬挂四个小圆环，公司员工处于圆环1 的左侧，将一飞镖斜向上抛出，以飞镖穿过圆环
（与圆环无接触）个数最多为胜。某员工在与圆环4 等高的抛出点
将飞镖斜向上抛出后，飞镖恰好能穿
过全部四个圆环，已知圆环1 相对O 点的高度
，O，
三点等高，
，圆环的
直径略大于飞镖，均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．若抛出点水平向左移动稍许，只要飞镖的初速度恰当，飞镖仍可穿过四个圆环
B．飞镖的初速度大小为12m/s
C．飞镖的初速度方向与水平方向夹角的正切值为
D．圆环2 相对O 点的竖直高度为1.6m
【答案】D
【详解】A．抛出点向左移动稍许时，飞镖的运动轨迹不可能与原轨迹重合，即不可能仍穿过四个圆环，
故A 错误；
BC．因
，表明四个圆环恰在飞镖运动轨迹抛物线上，且圆环1 处于抛物线的最高点，对飞镖
从
到穿过圆环1 的过程，在竖直方向上有
，
在水平方向上有
联立解得
，
，
，故BC 错误；
D．因四个圆环的水平间距相等，表明飞镖从圆环1 处运动至圆环2 处的时间为
圆环1、2 间的竖直高度
故圆环2 相对O 点的竖直高度
，故D 正确。
故选D。
【变式训练4·变考法】
（2025·湖北荆州·三模）地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所
有水珠喷出的速率
相同，设喷射方向与地面夹角为θ，θ 在
到
范围内，若喷出后水束的最高位置距
地面5m，重力加速度g 取
。下列说法正确的是（ ）
A．
时水束落地时的圆半径最大
B．
时水束落地时的圆半径最大
C．水束落地时最大圆半径为10m
D．水束落地时最大圆半径为5m
【答案】C
【详解】喷射角为
时喷射高度最大，有
解得
设某水珠喷射角为θ，水珠喷出到落地时间为
，则水平射程
故
当
时水束落地圆半径最大，有
故选C。
考向2 逆向思维法处理斜上抛运动
例6
（2025·重庆·三模）用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的
、
两个相同高度的位置
发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则
（ ）
A．两次击中横梁的速度相同
B．足球两次运动的速度变化量相同
C．从
位置发射的足球初速度较大
D．从
位置发射的足球在空中的运动时间长
【答案】B
【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律有
，
解得
由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横梁的速度不相同，
故A 错误；
BD．根据
，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间相等，再根据
，则足球两次运动的速度变化量相同，故B 正确，D 错误；
C．足球发射的初速度大小为
，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初速度竖直分量相
等，由于从B 位置发射的足球水平位移较小，则从B 位置发射的足球水平分速度较小，从B 位置发射的
足球初速度较小，故C 错误。
故选B。
【变式训练5·变情境】（2025·山东·模拟预测）（多选）消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，两水柱
的最高点在同一水平线上，不计空气阻力、甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱到达
斜面上A、B 两点时相对于各自刚喷出时速度的偏转角分别为
、
，以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB．水柱在竖直方向运动的最大高度相同，可知竖直方向的初速度vy相同，从喷出点到最高
点，乙的水平方向的位移更大，由平抛运动的规律有
，
，可知水平方向的初速度
又喷出时的速度
可得甲、乙水柱喷出时的速度大小关系为
，故A 错误，B 正确；
CD．喷出点水柱速度与水平方向的夹角
水柱到达A、B 处时，甲水柱竖直速度较大，水平速度较小，此时水柱速度与水平方向的夹角
综上所述，水柱到达A、B 处时相对于刚喷出时速度偏转角的大小关系为
，故D 错误，C 正确。
故选BC。
考向3 平抛运动与斜上抛运动的比较
例7
（2025·山东淄博·三模）酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。
某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P
点，抛出时种子1 和种子2 的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关
于两种子从O 运动到P 的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．种子1 的加速度小于种子2 的加速度
B．种子2 经过最高点时速度为0
C．两种子的运动时间相等
D．种子1 的平均速度大于种子2 的平均速度
【答案】D
【详解】A．由题意，可知种子1 做平抛运动，种子2 做斜上抛运动，抛出的两种子在空中均仅受重力
作用，加速度均为重力加速度，所以种子1 的加速度等于种子2 的加速度，故A 错误；
B．种子2 做斜上抛运动，在最高点时，其竖直方向的速度为零，水平方向的速度不为零，故种子2 经
过最高点时速度不为零，故B 错误；
C．在竖直方向上种子2 做竖直上抛运动，即先向上减速再向下加速，而种子1 做自由落体运动，故种
子2 运动时间较长，故C 错误；
D．两种子从O 点运动到P 点的位移相同，种子2 运动时间较长，根据平均速度等于位移比时间，可知
种子1 的平均速度大于种子2 的平均速度，故D 正确。
故选D。
【变式训练6·变角度】
（2025·上海·一模）我国某些地区的人们用手拋撒谷粒进行水稻播种，如
图（a）所示。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2 同时从O 点抛出，初速度分别为
v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于P 点，如图（b）所
示。已知空气阻力可忽略。
①谷粒1、2 在空中运动时的加速度a1、a2的大小关系为（ ）
A．a1 > a2
B．a1 < a2
C．a1 = a2
D．无法确定
②两粒谷子（ ）到达P 点
A．谷粒1 先
B．谷粒2 先
C．同时
【答案】①．C ②A
【解析】①谷粒只受重力，所以加速度均为重力加速度，即
。
故选C。
②谷粒2 做斜上抛运动，谷粒1 做平抛运动，均从O 点运动到P 点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2
做竖直上抛运动，谷粒1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2 运动时间较长。
故选A。
考向4 空间抛体运动
例8（2025·河北沧州·二模）在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的
历史。如图所示，某次在网前截击中，若郑钦文在球网正上方距地面处的
点将球沿垂直球网的方向击
出，球刚好落在底线上
点。已知底线到网的水平距离为，重力加速度大小为
，不计空气阻力，下列
有关说法正确的是（ ）
A．网球击出后球的运动是加速度和速度都不断增大的曲线运动
B．网球从
点击出至落在底线上
点所用时间为
C．网球从
点击出至落在底线上
点位移的大小等于
D．网球做平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定
【答案】D
【详解】A．网球击出之后网球的运动视作平抛运动，平抛运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，速
度不断增大，故A 错误；
B．竖直方向，根据
，网球从击出至落地所用时间为
，故B 错误；
C．网球从击球点至落地点的位移大小为
，故C 错误；
D．根据
可知平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定，故D 正确。
故选D。
【变式训练7·变考法】（2025·吉林通化·三模）在2024 年巴黎奥运会上，中国女子网球运动员郑钦文获得
单打金牌，取得了历史性突破。郑钦文拥有极高的发球技术，常常发出角度刁钻、速度极快而使对方无法
回接的ACE 球。现将运动员发出的网球在空中的运动视为平抛运动，如图所示，某次在A 点正上方某高度
发出的球擦着球网在对方场地的落点为B，若仍在A 点正上方发球，要求发出的球擦着球网在对方场地的
落点为C，则需要（ ）
A．减小抛出点高度的同时减小初速度的大小
B．增大抛出点高度的同时增大初速度的大小
C．减小抛出点高度的同时增大初速度的大小
D．增大抛出点高度的同时减小初速度的大小
【答案】C
【详解】球做平抛运动，水平方向x=v0t
竖直方向
两次发球，球都擦着球网落地，下落高度相同，可知从球网至落地时间相同，第二次水平位移增大，可
知第二次水平速度增大，即初速度增大，从A 点至球网的水平位移不变，则可知第二次运动时间减小，
下落高度减小，故抛出点高度减小。
故选C。
考点
与斜面或圆
面
的抛体运动
四
弧
有关
知识点1 平抛与竖直面结合问题
通常水平位移确定，竖直位移随初速度变化而变化
知识点2 平抛与斜面结合
1. 与斜面结合的抛体运动分解方法
①水平与竖直分解法
水平方向：匀速直线运动
竖直方向：匀变速直线运动。
②沿斜面分解法
沿斜面方向：加速度为gsin θ 的匀变速直线运动。(θ 为斜面与水平方向的夹角)
垂直斜面方向：加速度为gcos θ 的类竖直上抛运动。
③斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。
2.几种常见情形
(1)已知速度方向
①已知速度方向垂直
情形一：从斜面外平抛，垂直落在斜面上，
处理方法：分解速度
可求得
.
情形二：从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，
处理方法：分解速度
(2)已知位移方向
情形一：从斜面上平抛又落到斜面上
方法：分解位移．
可求得
.
情形二：从斜面上斜抛又落到斜面上
处理方法：分解位移．
情形三：在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，
处理方法：已知位移方向垂直斜面，分解位移．
知识点3 平抛与圆面结合
1.
小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．
处理方法：已知水平位移
x 与半径
R 的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径
R 的平方
：
联立两方程可求t.
2.
从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上
处理方法：已知位移大小等于半径
R ：
3.
小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α 与速度的
偏向角相等．
处理方法：分解速度．
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t= v0tanθ
g
.
4.小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ 与速度的偏向角相等．
处理方法：分解速度．
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t= v0tanθ
g
.
考向1 平抛与竖直面结合问题
例9
（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，水平地面上方有一竖直固定铺有复写纸的足够大硬
纸板M，P 为其左侧正前方的一点，小球从P 点以大小相等的水平速度向右侧各个方向抛出不计阻力，
打到M 上的小球留下的印迹连线可能是（ ）
得分速记
与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水
平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
画俯视图如上图所示，PO 为过抛出点作硬纸板的垂线，O 为垂足，以O 点为原点建立直角坐标系，以
水平方向为x 轴，竖直向下为y 轴，垂线长为L。
打到M 上的点的横坐标为x，从抛出到碰撞的时间
下落的高度也就是纵坐标
y 是x 二次函数，所以图像是抛物线，故C 正确ABD 错误。
故选C。
考向2 平抛与斜面结合
例10（2025·山西·二模）小明坐在倾角为
的斜坡上将质量为
的小球抛出，抛出点可近似认
为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为
，不计空气阻力，
，
，求：
(1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s；
(2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间
。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）小球运动的位移与水平方向夹角为
，由平抛运动知识，则有
解得
小球的水平位移大小
解得
小球的位移大小
解得
（2）由于小球的初速度大小一定，且最终落在斜坡上，可知垂直于斜坡方向抛出运动时间最长
垂直于斜坡方向加速度
解得
小球运动的时间
解得
【变式训练8·变考法】
（2025·山东·模拟预测）科考人员从山岭前坡向山势险峻的背坡投掷追踪
器来跟踪动物活动路径。山岭可简化为如图所示的ABC，
，科考人员在前坡的
同一点M 投掷追踪器。第一次以大小为
的速度投出，追踪器恰好沿背坡表面向下滑动；改变速度
第二次投掷，追踪器刚好水平掠过C 点。重力加速度
，忽略空气阻力，两坡足够长求
(1)第一次掷出时的速度方向与AC 夹角的正切值
；
(2)第二次掷出后，追踪器在背坡落点到C 点的距离L。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设第一次速度与前坡夹角为
，运动时间为
，沿前坡方向分解，根据题意有
垂直于前坡方向分解，则有
联立可得
，
（2）M 点至顶点C 的距离为
第二次掷出后，设追踪器水平掠过顶点
时速度大小为
，从
到
过程中，运动时间为
，水平方
向
竖直方向
联立解得
设追踪器在背坡落点为N，从
到落点
过程中，运动时间为
，有
，
联立解得
考向3 平抛与圆面结合
例11（2025·河南·模拟预测）某跑酷运动员从水平平台跳到右边的曲面，运动过程可以简化如下：运动员
离开平台的初速度水平，速度大小为v0=2m/s，平台离地面高度h=4m，平台边沿正下方水平地面O 点为坐
标原点、水平向右为x 轴、竖直向上为y 轴建立坐标系，右侧曲面在竖直平面内截面曲线满足方程y=x2，
如图所示。已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，运动员可看做质点，则落到曲面的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设落点位置坐标为（
，
），根据平抛运动规律有
，
又
联立解得
，
故选A。
【变式训练9】
（2025·陕西咸阳·模拟预测）水车是中国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史
文化遗产。水车的简易模型如图所示，水流自水平放置的水管流出，水流轨迹与水车车轮的边缘相切，可
使车轮持续转动，切点与所在车轮横截面的圆心的连线与水平方向的夹角
。已知水管出水口距轮轴
O 的竖直距离
，车轮半径
，重力加速度g 取
，
，
，水流到
达车轮边缘时的速度与车轮边缘切点的线速度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．水管出水口距轮轴O 的水平距离为3.2m
B．水管出水口处水流的速度大小为8m/s
C．水流速度的变化量大小为10m/s
D．车轮的周期为5s
【答案】A
【详解】AB．水平出水口到切点的高度
根据速度-位移公式
可得水流到达车轮边缘时的竖直分速度大小
则运动时间
在切点，由几何关系，有
可知
则水管出水口距轮轴
的水平距离
故A 正确，B 错误；
C．水流速度的变化量大小
故C 错误；
D．因为车轮边缘切点的线速度大小
则车轮的周期
故D 错误。
故选A。
1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M 点
和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N 点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有
，由于hM < hN，则tM < tN，要同
时接到鸟食，则在N 点接到的鸟食先抛出，故AB 错误；
CD．在水平方向有x = v0t，如图
过M 点作一水平面，可看出在相同高度处M 点的水平位移大，则M 点接到的鸟食平抛的初速度较大，
故C 错误，D 正确。
故选D。
2．（2024·浙江·高考真题）如图为水流导光实验，出水口受激光照射，下面桶中的水被照亮，则（ ）
A．激光在水和空气中速度相同
B．激光在水流中有全反射现象
C．水在空中做匀速率曲线运动
D．水在水平方向做匀加速运动
【答案】B
【详解】A．光在介质中的速度为
，故激光在水中的传播速度小于在空气中的传播速度，故A 错
误；
B．水流导光的原理为光在水中射到水与空气分界面时入射角大于临界角，发生了全反射，故B 正确；
C．水在空中只受到重力作用，做匀变速曲线运动，速度在增大，故C 错误；
D．水在水平方向做匀速直线运动，故D 错误。
故选B。
3．（2023·新课标卷·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，
俗称打水漂。要使石子从水面跳起产生水漂效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于
“
”
“
”
θ。为了观察到水漂，一同学将一石子从距水面高度为
“
”
h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计
石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为
。
4．（2024·江苏·高考真题）某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b 所示。不计空气阻力，a、b 中的水（
）
A．加速度相同
B．喷出时的初速度相同
C．在最高点的速度相同
D．在空中的运动时间相同
【答案】A
【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A 正确；
D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为
，水平方向速度为
，竖直方向，根据对称性可知在空中运
动的时间
可知
D 错误；
BC．最高点的速度等于水平方向的分速度
由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初
速度的大小，BC 错误；
故选A。
5．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O 点抛出沿轨迹
运动，
其中P 是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小
（ ）
A．O 点最大
B．P 点最大
C．Q 点最大
D．整个运动过程保持不变
【答案】A
【详解】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O 点时速度斜向上方，此时速度最大，
空气阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛
顿第二定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大。
故选A。
6．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角
的屋顶上的
点由静止开始下滑，滑到A
点后离开屋顶。O、A 间距离
，A 点距地面的高度
，雪块与屋顶的动摩擦因数
。
不计空气阻力，雪块质量不变，取
，重力加速度大小
。求：
(1)雪块从A 点离开屋顶时的速度大小
；
(2)雪块落地时的速度大小
，及其速度方向与水平方向的夹角
。
【答案】(1)5m/s
(2)8m/s，60°
【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理
代入数据解得雪块到A 点速度大小为
（2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理
代入数据解得雪块到地面速度大小
速度与水平方向夹角
，满足
解得
