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第四章 曲线运动
（考试时间：75 分钟 试卷满分：100 分）
考试范围：物理必修二第5 章
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题4 分，共32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】曲线运动的合力方向一定指向轨迹的凹侧，汽车沿圆弧从M 向N 行驶，轨迹凹侧在左侧，汽车
减速行驶，说明合外力对汽车做负功，合外力与速度方向的夹角为钝角。
故选B 。
2．如图所示，可以把地球看作一个巨大的拱形桥，拱面半径就是地球半径R，地面上沿地球赤道行驶的汽
车，质量为m，地面对它的支持力是
。已知地球表面的重力加速度为g，不考虑汽车行驶中空气的阻力
和地球自转的影响。以下说法正确的是（ ）
A．
与车速v 有关，v 越大
越大
B．
与车速v 无关，恒等于重力
C．当速度增大到
，汽车不能再加速
D．随着汽车的不断加速，汽车可以离开地面绕地心做椭圆运动
【答案】C
【详解】AB．由牛顿第二定律可得
汽车速度越大，
就越小，故AB 错误；
C．当速度增大到
，可得
此时汽车对地面无压力，轮胎与地面间的摩擦力为零，汽车无法获得牵引力，因此不能再加速，故C 正确；
D．由C 选项分析可知，当速度达到
时，汽车无法继续加速，因此速度无法超过
，汽车无法做离
心运动从而绕地心做椭圆运动，若速度等于
，汽车将绕地心做匀速圆周运动，故D 错误。
故选C。
3．
链球比赛中运动员用链子拉着铁球，可认为手与球近似在同一水平面内做匀速圆周运动，在
此过程中，不计空气阻力。关于手和球的位置关系，下面四幅图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】用链子拉着铁球旋转做匀速圆周运动，链子拉力提供向心力，应指向轨迹圆心，则手、球、轨迹
圆心应在同一直线上，故选B。
4．如图所示，物体
、
放在等高的水平桌面上，用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，重球
用一小段轻
绳拴接后系于水平绳的
点，将重球
由静止释放，发现重球
竖直向下加速运动，某一时刻左侧轻绳与
水平方向的夹角为
，右侧轻绳与水平方向的夹角为
。此时物体A、B 的速度大小之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】绳与水平方向夹角为
，O 点竖直向下的速度沿左绳方向的分速度满足
同理，右绳与水平方向夹角为
，得
计算比值
因此A、B 速度大小之比为
，故C 正确。
故选C。
5．
将一可视为质点的小球从水平地面A 点以
斜向上抛出，小球恰在最高点以越过倾角为
的斜面顶端B 点，然后落在斜面的底端C 点。不考虑空气阻力，以下说法正确的是（ ）
A．小球从A 点到B 点的时间为从A 点到C 点时间的一半
B．保持
不变，改变小球在A 点的抛射角度，则小球不能越过斜面到达C 点
C．小球从A 点到B 点的动能变化量与从B 点到C 点动能变化量相等
D．
【答案】A
【详解】A．设斜面的竖直高度为
。小球从A 点到B 点做斜上抛运动，到B 点时速度沿水平方向，即竖
直方向的速度为零，可反向看成平抛运动，在竖直方向上有
解得
小球从B 点到C 点做平抛运动，在竖直方向上有
解得
故小球从A 点到C 点的时间为
即
，故A 正确；
B．保持
不变，增大小球在A 点的抛射角度
，则竖直方向的分速度为
可知
变大，上升到最高点的高度为
可知
增大，即小球从A 点出发运动到更高的最高点后做平抛运动，落到斜面B 点时的速度方向恰好与斜
面平行，则小球从B 点到C 点沿斜面向下做匀加速直线运动，小球可以到达C 点，故B 错误；
C．小球从A 点到B 点，根据动能定理，可得动能变化量
小球从B 点到C 点，根据动能定理，可得动能变化量
可知
，故C 错误；
D．根据机械能守恒，可知小球落回到C 点的速度大小与从A 点出发的速度大小相等，即为
，小球从B
点到C 点做平抛运动，设小球落到C 点时速度与水平面的夹角为
，由题意分析，可知小球落到C 点时位
移夹角为
，根据平抛运动的规律有
又
可得
在C 点，根据速度的合成规律有
解得
，故D 错误。
故选A。
6．
2026 年3 月国际场地自行车世界杯女子团体竞速赛，中国队夺得金牌。为了平稳过弯，人的
身体会主动向弯道内侧倾斜，保持地面对自行车的作用力恰好通过人车系统的重心。运动员做水平面内的
匀速圆周运动，速度大小
，弯道半径
，车胎与地面间的动摩擦因数0.8，重力加速度
取
，忽略空气阻力。则自行车与地面夹角
的正切值为（ ）
A．0.8
B．1.25
C．2
D．5
【答案】C
【详解】人车匀速过弯，受重力
、地面竖直支持力
、地面水平静摩擦力
，地面对自行车的作用力
恰好通过人车系统的重心；
竖直方向受力平衡
水平方向静摩擦力提供向心力
代入
，
，
故选C。
7．如图所示，长度为、不可伸长的轻质细线一端固定在竖直转轴上的
点，另一端系着质量为
的小球
（可视为质点），使小球以角速度
在水平面内做匀速圆周运动；增大转轴的转速，最终使小球以角速度
在水平面内做匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．最终细线与竖直方向夹角的余弦值为
B．最终小球所受细线拉力的大小为
C．最终小球运动一周所受重力的冲量大小为
D．角速度从
变化到
过程中，细线对小球做的功为
【答案】D
【详解】
A．
当角速度为
时，设细线与竖直方向夹角为
，圆周运动的半径为，对小球分析，由图可知
，
整理后得
，故A 错误；
B．小球所受细线拉力的大小为
解得
，故B 错误；
C．运动一周过程中，小球重力的冲量
，
则
，故C 错误；
D．当角速度为
时，小球线速度大小为
同理当角速度为
时，小球的线速度大小为
角速度为
时，小球到
点的竖直高度
同理当角速度为
时，小球到
点的竖直高度
增大转轴转速前后小球的高度差
由动能定理得
解得
，故D 正确。
故选D。
8．如图所示，水平转盘上静置有两个完全相同的小物块
、
，质量均为
，小物块和转盘间的动摩擦
因数均为
，小物块
、
与转盘圆心
的距离分别为
和
，两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初
始时刻轻绳恰好伸长且无形变。
时刻使转盘由静止开始做角速度缓慢增加的圆周运动，设最大静摩擦
力近似等于滑动摩擦力，重力加速度大小为
，下列关于小物块
、
与转盘间的摩擦力
、
随角速
度平方
变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】CD．初始时轻绳无拉力，物块A、B 的向心力均由静摩擦力提供，则根据牛顿第二定律可知物块
A 的向心力方程为
所以物块A 的摩擦力
随
线性增大；同理根据牛顿第二定律可知物块B 的向心力方程为
所以物块B 的摩擦力
随
也线性增大，且增长的速率是物块A 的2 倍，所以物块B 与转盘间的静摩擦
力先达到最大值。当物块B 的静摩擦力达到最大值时有
解得
之后轻绳开始出现拉力，而之后物块B 的摩擦力将保持最大值
不变，故CD 错误；
AB．当物块B 的静摩擦力达到最大值以后，设轻绳的拉力为
，则根据牛顿第二定律可知物块B 的向心
力方程为
解得
同理根据牛顿第二定律可知物块A 的向心力方程为
解得
故此时物块A 的摩擦力
随
线性减小。当物块A 的静摩擦力为0 时有
解得
当物块A 的静摩擦力反向达到最大值时有
解得
之后两物块开始滑动，故A 错误，B 正确。
故选B。
二、选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分。
9．水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。下图为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小
为
，垂直落在与水平面成
角的水轮叶面上，落点到轮轴间的距离为
。在水流不断冲击下，轮叶受
冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小，忽略空气阻力，已知重力加速度为
，则有关水车及
从槽口流出的水，以下说法正确的是（ ）
A．水流在空中运动时间为
B．水流在空中运动时间为
C．稳定后水车角速度接近
D．稳定后水车角速度接近
【答案】AC
【详解】AB．设经时间，水流垂直落在与水平面成
角的水轮叶面上，水流在空中做平抛运动，根据
几何关系有
在竖直方向上有
联立解得水流在空中运动时间为
，故A 正确，B 错误；
CD．设水流垂直落在与水平面成
角的水轮叶面上的速度为，则有
稳定后水车做匀速圆周运动，则有
解得稳定后水车角速度接近
，故C 正确，D 错误。
故选AC。
10．2025 年11 月29 日，内蒙古自治区首次迎来全国性滑板赛事。某条赛道竖直截面简化设计如图所示，
其中
是倾角为
的斜面，凹圆弧
和凸圆弧
的半径均为
，且
、
和
、
分别等高，整
个路面无摩擦且各段之间平滑连接。用质量为
的小球代替滑板，将小球从斜面上不同的高度
由静止释
放。
，
。在小球的运动过程中（ ）
A．小球可能在某一位置处于完全失重状态
B．若
，小球一定能沿轨道运动到
点
C．若小球能沿轨道运动到
点，则
不能大于0.2R
D．若小球能沿轨道运动到
点，则小球经过
、
两点时对轨道的压力大小之和与
的大小无关
【答案】ACD
【详解】A．如果小球到
点时，其速度足够大，使得指向凸圆弧
圆心的合力不足以提供向心力导致
小球脱离路面，其合力等于重力，加速度等于重力加速度，这种情况小球处于完全失重状态。故A 正确；
B．要保证小球在
段沿轨道运动，则小球运动到
段的任意一点
，其重力沿半径方向的合力能够提
供向心力，有
为重力和
点半径的夹角，等于小球位置
与
点之间圆弧对应的圆心角。从
点运动到
点能量守恒，
有
联立推导得
的最小值为
因此计算得
，故B 错误；
C．由选项B 可知，
才能保证小球在
沿轨道运动。小球运动到
段的任意一点
，为了保证
小球沿轨道运动，同样有其重力沿半径方向的合力能够提供向心力，有
为重力和小球位置
点半径的夹角，等于小球位置
与
点之间圆弧对应的圆心角。从
点运动到
点
能量守恒，有
同样推导出
由选项B 知
，综上为了保证小球能沿轨道运动到F 点，
不能大于0.2R。故C 正确；
D．小球从
点到
点，由能量守恒得
小球经过
点时对轨道的压力
大小满足
推导得
同理，小球从
点到
点，由能量守恒得
小球经过
点时对轨道的压力
大小满足
推导得
因此
因此小球经过
、
两点时对轨道的压力大小之和与
的大小无关，故D 正确。
故选ACD。
三、非选择题：本题共5 小题，共58 分。
11．（6 分）在“研究小球平抛运动”的实验中：
(1)如图甲演示实验中，A、B 两球同时落地，说明______；
A．平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
B．平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动
C．平抛运动的轨迹是一条抛物线
(2)该同学用频闪照相机拍摄到小球做平抛运动的照片如图乙所示，图中背景正方形方格的边长为20cm，
、
、
是小球的三个位置，取
，由照片可知，频闪照相机的频闪周期
______ ，小球经
过B 点时的速度
______
（结果均保留一位小数）。
【答案】(1)A (2) 0.2 5.0
【详解】（1）AB．甲图中A 球做自由落体运动，B 球做平抛运动，两球同时落地，说明平抛运动竖直分
运动是自由落体运动，故A 正确，B 错误；
C．本实验不能直接得出平抛运动的轨迹是一条抛物线，需通过其他实验验证，故C 错误。
故选A。
（2）[1]小球竖直方向有
解得频闪照相机的频闪周期
[2]小球经过B 点时的水平方向速度
小球经过B 点时的竖直方向速度
则小球经过B 点时的速度
12．
（10 分）为验证做匀速圆周运动物体的向心力与其质量、线速度、半径的关系，实验小组
设计了如图甲所示的实验装置。其中
是固定在竖直转轴
上的水平凹槽，
端固定的压力传感器可
测出小钢球对其压力的大小，
端固定一宽度为
的挡光片，速度传感器可测量挡光片每一次经过传感器
时的速度。
实验步骤：
①测出挡光片与转轴的距离为
；
②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为；
③使凹槽
绕转轴
匀速转动，记录压力传感器示数
和挡光片的速度；
④改变凹槽的转速，重复步骤③。
(1)实验时应注意的事项，以下说法正确的是________；
A．挡光片到转轴的距离与小钢球到转轴的距离必须相等
B．凹槽必须保持水平
C．应该尽可能让凹槽光滑
(2)将挡光片向转轴移动，当
时，小钢球的线速度________（填“>”“<”或“=”）速度传感器的读数；
(3)进行实验操作④后，作出对应的
图像，在同一坐标系中分别得到图乙中的4 条图线。对4 条图线
进行分析研究可知图线________（填序号）对应的挡光片到转轴的距离
最大；
(4)要把图乙中的曲线转化成图丙中的直线，应以
为纵轴，________（填“ ”“
”“
”或“
”）
为横轴。若图线斜率为
，不考虑摩擦，小钢球的质量可表示为
________（用
，，
表示）。
【答案】(1)BC (2)> (3)④ (4)
【详解】（1）A．挡光片和小钢球同轴转动，角速度相同，不需要挡光片到转轴的距离与小钢球到转轴的
距离相等，可通过角速度关系推导小钢球的线速度，故A 错误；
B．凹槽必须水平，才能保证小钢球重力与支持力平衡，向心力完全由压力传感器的弹力提供，消除重力
分力对实验的影响，故B 正确；
C．凹槽尽可能光滑，可以消除摩擦力对向心力的影响，保证传感器测得的力F 等于小钢球做圆周运动的
向心力，故C 正确。
故选BC。
（2）小钢球与挡光片同轴转动，角速度相等，根据
，当
时，小钢球的线速度大于速度传感器
的读数。
（3）由向心力公式
挡光片线速度为
联立可得
可知在相同时，
越大，
越小，则图线④对应的挡光片到转轴的距离
最大。
（4）[1]根据
，可知要把图乙中的曲线转化成图丙中的直线，应以
为纵轴，
为横轴。
[2]若图线斜率为
，则有
可得小钢球的质量为
13．（10 分）投喂海鸟是很多游客最喜爱的活动。一只海鸟在距离游客高
处以水平速度
匀
速飞行，游客面向海鸟飞来的方向，以与水平面成
角斜向上抛出食物，海鸟恰好在食物运动到轨迹
最高点时接住食物。飞鸟与食物轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，
，
，
。求：
(1)食物从抛出到升至最高点的时间；
(2)食物抛出时的初速度大小；
(3)游客抛出食物时，海鸟到游客的水平距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）食物竖直方向做竖直上抛运动，上升到最高点时竖直位移
最高点竖直速度为0，则食物从抛出到升至最高点的时间满足
解得
（2）食物抛出时在竖直方向的初速度满足
解得
又食物抛出瞬间，速度与水平面成
角，可知
解得
（3）食物的水平分速度
时间内食物的水平位移
海鸟位移
二者相向运动，故海鸟到游客的水平距离
14．（14 分）2026 年春节期间，“陕北榆林过大年”秧歌展演风靡全国，38 支顶尖秧歌队伍轮番献演，
让榆林成为全国游客心驰神往的新春打卡地。榆林某秧歌演员在台下练习绸带甩球动作，将质量为
的彩球系在不可伸长的轻质绸带一端，手握绸带的另一端，保持手的位置不动，使彩球在水平面
内做半径为
的匀速圆周运动，形成稳定的圆锥摆，绸带与竖直方向夹角为
，彩球距离地面
的高度为
。某时刻彩球与绸带连接处断裂，彩球沿水平方向飞出，与地面碰撞后，彩球第一次弹
起的最大高度为
，与地面碰撞时间为
，最终静止在地面上，忽略空气阻力，重力加速度
取
，
0.6，
。求：
(1)彩球做匀速圆周运动的线速度大小
；
(2)彩球第一次落地的位置到手的水平距离
；
(3)彩球第一次落地至弹起的过程中，地面的支持力对彩球的冲量大小
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）彩球做圆锥摆运动，对彩球受力分析，在竖直方向上，有
在水平方向上，有
联立后解得
（2）绸带断裂后，彩球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向做匀变速直线运动，有
其俯视图如图所示，
彩球落地处到手的水平距离为
联立解得
（3）彩球落地前做平抛运动，落地前瞬间的竖直分速度为
设弹起后瞬间的竖直分速度为
，根据匀变速直线运动规律，有
解得
由题知彩球与地面碰撞时间为
，对彩球受力分析，在竖直方向上根据动量定理，取向上为正方向，
有
地面的支持力对彩球的冲量
15．
（18 分）如图所示，给出一段“S”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2 可看作两个不
同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝40 m，弯道2 比弯道1 低h
＝8 m，有一直道与两弯道圆弧相切。质量m 为1000 kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的
最大径向静摩擦力是车所受重力的1.0 倍，行驶时要求汽车不打滑，已知重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求汽车沿弯道1 中心线行驶时的最大速度v1；
(2)汽车以速度大小v1进入直道，以P＝20 kW 的恒定功率沿直线行驶了t＝10 s，进入弯道2，此时速度大
小恰为通过弯道2 中心线的最大速度，求直道上阻力对汽车做的功；
(3)汽车从弯道1 的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速
安全通过弯道，设路宽d＝10 m，求此最短时间（A、B 两点都在弯道的中心线上，计算时视汽车为质点，
计算结果保留2 位有效数字）。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）汽车沿弯道1 中心线行驶的最大速度为
，有
解得
（2）汽车沿弯道2 中心线行驶的最大速度为
，有
解得
在直道上由动能定理有
代入数据可得
（3）
由
得
可知r 增大v 增大，若r 最大，弧长最小时，则对应时间最短，所以轨迹设计应如图所示
由图可以得到
代入数据可以得到
由
可知，对应的圆心角为
，线路长度
最短时间
