文档文本内容
专题10 圆周运动
核心考点
考点梳理1 圆周运动中的运动学问题.................................................................................................................1
母题考点一 圆周运动中的运动学问题................................................................................................................2
考点梳理2 圆周运动的动力学问题.....................................................................................................................4
母题考点二 圆周运动的动力学问题....................................................................................................................5
考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题.......................................................................................................10
母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题.....................................................................................................10
考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题.......................................................................................................14
母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题.....................................................................................................15
考点梳理1 圆周运动中的运动学问题
1．匀速圆周运动的关系式
(1)线速度与角速度：v＝ωr。
(2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。
(3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。
(4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。
(5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。
2．理解两个公式
(1)对公式v＝ωr 的理解：当r 一定时，v 与ω 成正比；当ω 一定时，v 与r 成正比；当v 一
定时，ω 与r 成反比。
(2)对an＝v
2
r ＝ω2r 的理解：当v 一定时，an与r 成反比；当ω 一定时，an与r 成正比。
3．掌握三种传动方式
类型
模型
模型解读
皮带传动
皮带与两轮之间无相对滑动
时，两轮边缘线速度大小相
等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动
两轮边缘接触，接触点无打
滑现象时，两轮边缘线速度
大小相等，即vA＝vB
同轴传动
绕同一转轴转动的物体，角
速度相同，ωA＝ωB，由v＝
ωr 知v 与r 成正比
母题考点一 圆周运动中的运动学问题
【母题1】（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了
彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝
光时间是
，圆弧对应的圆心角约为
，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（ ）
A．90
B．120
C．150
D．180
【答案】C
【详解】根据题意可知跳绳的转动角速度为
故每分钟跳绳的圈数为
故选C。
【练1】（2025·河南·模拟预测）自行车是常见的代步工具。主要构成部件有前后轮、飞轮、
链条、链轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为
、
和
，假设脚踏板的转速为
，则该自行车前进的速度大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【练2】（2025·河南·模拟预测）2025 年蛇年春晚的舞台上，一群穿着花棉袄的机器人在舞台
上扭起了秧歌。某时刻机器人转手绢使得手绢上各点绕竖直转轴O 在水平面内做匀速圆周运
动，手绢可简化成如图所示，则手绢上质点A、B 的物理量一定相同的是（ ）
A．线速度
B．周期
C．向心加速度
D．向心力大小
【练3】（2024·云南临沧·模拟预测）汕头海湾隧道工程采取的是隧道盾构挖掘技术。盾构机
刀盘直径为15 米，相当于五层楼高。其基本工作原理是：沿隧洞轴线向前推进，同时通过旋
转前端盾形结构，利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后
方。如图所示为某盾构机前端，以下说法中正确的是（ ）
A．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同
B．盾构机前端转动时，各个刀片的线速度随半径的增大而减小
举一反三
C．当盾构机前端转速为3r/min 时，其转动频率为3Hz
D．当盾构机前端转速为3r/min 时，前端外边缘的线速度约为2.4m/s
考点梳理2 圆周运动的动力学问题
1．水平匀速圆周运动模型向心力分析
运动模型
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
物体在光滑水平支撑
面转动
向心力的来源图示
2．非匀速圆周运动
非匀速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心(特例：竖直面内水流星最高点和最低点的合
外力方向指向圆心)，可以分解为如图所示的两个分力。
(1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v 同向时，速度增大，
做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
母题考点二 圆周运动的动力学问题
【母题2】（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水
平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R 为
，小球所在位置处的切面
与水平面夹角
为
，小球质量为
，重力加速度g 取
。关于该小球，下列
说法正确的有（ ）
A．角速度为
B．线速度大小为
C．向心加速度大小为
D．所受支持力大小为
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析可知
解得
故A 正确；
B．线速度大小为
故B 错误；
C．向心加速度大小为
故C 正确；
D．所受支持力大小为
故D 错误。
故选AC。
【练1】（25-26 高三上·湖北·阶段练习）如图所示，一内壁光滑的半球形碗固定在水平地面
上。碗内有A、B 两个小球（可视为质点）在水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是
（ ）
A．A 球的线速度大于B 球的线速度B．A 球的角速度小于B 球的角速度
C．A 球的加速度小于B 球的加速度D．A 球的周期大于B 球的周期
【练2】（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，质量相同的1、2 两个摆球用长度不等的细线拴
在同一悬点，组成具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，若两个摆球在水平面内均做匀
速圆周运动，不计空气阻力。则（ ）
A．两个摆球向心加速度大小一定相等
B．两个摆球周期一定相等
C．两个摆球线速度大小一定相等
D．两个摆球向心力大小可能相等
【练3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）图（a）是某小河的航拍照片，河道弯曲形成的主要原
因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受
到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R 的圆弧的一部分，如图（b）所示，假
设河床水平，河水密度为
，河道在整个弯道处宽度d 和水深h 均保持不变，水的流动速度v
大小恒定，
，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求
在一极短时间
内：（
均为已知量）
举一反三
(1)通过观测截面的流水质量
；
(2)流水速度改变量
的大小；
(3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。
考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题
1．题型概述
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持
力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
2．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆
心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存
在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最
大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
3．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题
【母题3】（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶
屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为
质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
【答案】D
【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最
大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的
距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ 与ω 均一定，故
为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过
，即陶屑只能分布在半径为
的
圆内。故ABC 错误，故D 正确。
故选D。
【练1】（23-24 高一下·北京·期末）如图所示，圆盘在水平面内以角速度
绕中心轴匀速转
动，圆盘上距轴r 处的P 点有一质量为m 的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘减速越转越
慢直至停止，小物体始终与圆盘相对静止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘匀速转动时，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘匀速转动时，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C．圆盘减速至停止的过程中，摩擦力对小物体不做功
D．圆盘减速至停止的过程中，小物体所受摩擦力的冲量大小为
【练2】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的
质量均为m 的A、B 两个物块（可视为质点）， A 和B 距轴心O 的距离分别为rA=R，
rB=2R，且A、B 与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相
对静止。则圆盘转动的角速度从0 逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B 所受合外力大于A 所受合外力
B．A 受到的摩擦力一直指向圆心
C．B 受到的摩擦力一直指向圆心
D．A、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为
【练3】（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量
的小球C 用轻绳AC 和BC 系在
竖直杆AB 上，现在小球绕AB 杆匀速转动，轻绳伸直，OC 垂直于AB，此时
，
。已知轻绳AC 长为1.0m，足够结实，轻绳BC 能承受的最大拉力为1.44N，小
球C 可视为质点，g 取
，
，
。那么小球做圆周运动的角速
举一反三
度（ ）
A．
B．
C．
D．
考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒问
题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形。
2．竖直面内圆周运动的两种模型
轻绳模型
轻杆模型
模型图示
有支撑的小球
弹力特征
小球受到的弹力可能向下，也可能
等于零
小球受到的弹力可能向下，可能向
上，也可能等于零
受力
示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，mg＝m，v＝
F 向＝0，FN＝mg，v＝0
v＝
的意义
v＝，球恰过最高点；
v>，球所受弹力向下；
v<，球不能达到最高点
v＝，球所受弹力为零；
v>，球所受弹力向下；
v<，球所受弹力向上
母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题
【母题4】（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细
钉，间距
。一根长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M 正下方与M 相距L
的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不
计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初
速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机
械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为
R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．若
，则小物块做平抛运动直至落地
B．若
，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地
C．无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等
D．无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态
【练2】（2025·河北·三模）如图，弹簧左端固定，将圆管弯成圆弧轨道分别与水平轨道相切
于M、N 点，质量为M=4kg 的小球B 静止在水平轨道上，将质量为m=2kg 的小球A 压缩弹簧
后由静止释放，小球能从M 点进入圆弧轨道，通过轨道的最高点P 时恰好与圆管无弹力作用，
之后从N 点返回水平轨道，水平轨道足够长，两球间的碰撞为弹性碰撞，已知两球的大小相
同且半径很小，圆弧轨道半径R=0.1m，不计一切摩擦和空气阻力，g 取10m/s²。则（ ）
A．释放小球 A 时弹簧内储存的弹性势能为10J
B．两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2
C．A 小球再次返回轨道运动时与内轨道无弹力
D．两小球至多能发生2 次碰撞
【练3】（2025·江苏徐州·二模）如图所示，一个铁架台静止放置在粗糙的水平桌面上，在其
支架上端的一固定横杆上通过一根不可伸长的轻绳悬挂一个小钢球。现将小钢球拉至水平位
置A 处由静止释放，使其在竖直平面内摆动，铁架台始终保持静止。不计空气阻力，小钢球
的半径可忽略不计，关于小钢球从被释放到运动到最低点
处的过程，下列说法正确的是（
）
举一反三
A．轻绳的拉力一直增大
B．小钢球重力的功率一直增大
C．铁架台对桌面的压力先增大后减小
D．桌面对铁架台的摩擦力先减小后增大
模拟演练
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）图（a）为古代战争中使用的一种投石机。图（b）为投石
机的简化模型，长臂末端的弹袋
与转轴
相距
，短臂末端
处有质量很大的重物，
其重心与
点相距
。在一次投石过程中，将一块可视为质点的石块放在弹袋中，
短臂端重物在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置
时，石块被抛出。
取
。在转动过程中，石块与重物线速度大小之比为
，角速度
大小之比为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·天津·二模）图中滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的
悬点
由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为。开始时，轻绳处于水平拉直状态，滑块右侧
有一表面涂有黏性物质的固定挡板。初始时小球和滑块均静止，现将小球由静止释放，当小
球到达最低点时，滑块刚好向右运动到与固定挡板碰撞，在极短的时间内速度减为零并在之
后始终与固定挡板粘在一起。小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角
时小球
达到最高点。已知小球质量为
，重力加速度为
。求：
(1)小球在最低点的速度大小；
(2)滑块与固定挡板碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力大小；
(3)滑块的质量。
3．（2025·宁夏吴忠·二模）如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋
转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。
旋转门宽度为
，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻
璃门外边缘的最大安全旋转速度为
，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）
在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示在竖直面内有一直角支架，支架的水平杆和竖直杆
上分别穿着质量相同的两小球1、2，两小球之间用不可伸长的轻质细绳连接，细绳与竖直杆
间的夹角为θ，小球1 与水平杆之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球
2 与竖直杆之间无摩擦。现让支架以竖直杆为轴转动，下列说法正确的是（ ）
A．若转动过程中夹角θ 不变，则转动的角速度也一定不变
B．若转动过程中转动的角速度变化，则夹角θ 也一定变化
C．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1 缓慢向外侧滑动，则小球2 与竖直杆
之间的弹力不变
D．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1 缓慢向外侧滑动，则小球1 与水平杆
之间的摩擦力不变
5．（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一固定的挡板，挡板右端固定一个轻
弹簧。有一质量
的滑块（可视为质点）紧压弹簧但不相连，初始时弹簧的弹性势
能
两点的距离
。距离
点右侧竖直高度差
处有一半径均为
的光滑圆弧管道
等高，
为
管道的最高点，各部分管道及
轨道在连接处均平滑相切，已知滑块与水平地面间的动摩擦因数
，不计空气阻力，
重力加速度大小
。现把滑块从
点由静止释放，经过
点飞出后，恰能从
点沿
切线方向进入圆弧管道，滑块略小于管道内径。
。则（ ）
A．滑块离开
点时的速度大小为
B．滑块到达
点时的速度大小为
C．滑块到达
点时的速度大小为
D．滑块在
点时对管道的作用力大小为
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）当做圆周运动的物体角速度
变化时，我们可以引用角加速
度
来描述角速度
的变化快慢，即
。图甲中某转盘自
时由静止开始转动，其
前4s 内角加速度
随时间变化如图乙所示。则（ ）
A．
时刻，
B．
时刻，
C．0~1s 过程中，圆盘转过的角度
D．0~1s 过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加
7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上
点。质量
为
的小球和轻弹簧套在轻杆上，弹簧的劲度系数为
，弹簧原长为
，左端固定在
点，右端与小球相连。长为
的不可伸长且质量不计的细绳一端系住小球，另一端系在转轴
上
点，
、
间距离为
。装置静止时将小球向左缓慢推到距
点
处时松手，小
球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，重力加速度大小为
，不计转轴所受摩擦和空气阻力的影响。下列说法正确的是（
）
A．小球与轻杆间的动摩擦因数为
B．小球与轻杆间恰无弹力时装置转动的角速度
为
C．从开始转动到细绳伸直的过程中，小球克服摩擦力做的功为
D．若从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，小球克服摩擦力做的功为
，则该过
程外界提供给装置的能量
为
8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。
分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装
入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模
拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正
比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内
离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的
关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确
的是（ ）
A．细胞a 相对试管向外侧运动，细胞b 相对试管向内侧运动
B．细胞a 的“模拟重力势能”变小，细胞b 的“模拟重力势能”变大
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．若某时刻a、b 两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a 做功
的功率等于对细胞b 做功的功率
9．（2025·江苏徐州·一模）如图所示，一条长为
的不可伸长细线，上端固定在转
轴
的O 点，下端拴一质量为
的小球，使小球在水平面内随转轴做匀速圆周运动，
细线沿圆锥面旋转，这样就形成了一个圆锥摆。忽略空气阻力，重力加速度g 取
（
，
）。
(1)当细线与竖直方向成
角时，求小球的角速度；
(2)若保持小球轨迹圆的圆心到O 点的竖直距离h 不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的
动能
是否会随之改变？如何改变？写出分析过程。
10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，做匀速圆周运动的质点在时间t=1s 内由A 点运动到B
点，AB 弧长L=1m，其对应的圆心角
。设质点线速度和角速度大小分别为v、ω，
向心加速度大小为a1，该段时间内平均加速度大小
，则（ ）
A．ω=1rad/s
B．v=1m/s
C．
D．
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）一质点从A 点开始做自由落体运动，下落到B 点时受其
他力作用改做匀速圆周运动，质点在圆周运动过程中和自由落体过程中的加速度大小相等。
已知A、B 之间的距离为h，重力加速度为g，则质点做匀速圆周运动的角速度大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一异形漏斗的母线OA 与竖直方向的夹角为30°，母
线AB 与竖直方向的夹角为45°。小朋友将质量为m 的光滑小球放在漏斗中，他先让小球在半
径为r 的1 轨道上做匀速圆周运动，后来通过晃动漏斗让小球在半径为3r 的2 轨道上做匀速
圆周运动，晃动漏斗前后O 点位置没有发生变化。已知OA=4r，重力加速度为g。在他晃动
漏斗的过程中漏斗对小球做功为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，竖直平面内的
圆弧形光滑轨道半径为R，A 端与圆
心O 等高，AD 为与水平方向成45°角的斜面，B 端在O 的正上方，一个质量为m 的小球在A
点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A 点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B 点，
最后落到斜面上C 点，且到达B 处时小球的速度为
（忽略空气阻力）。求：
(1)小球到达B 点时对轨道的压力；
(2)小球从B 点运动到C 点所用的时间t；
(3)小球离开B 后，距离斜面的最远距离d。
14．（2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在
研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动
的一部分，该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的
运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形
轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计了如图2 所示的过山车模型，质量为
的小
球在A 点由静止释放沿倾斜轨道
下滑，经水平轨道BC 进入半径
的圆形轨道，
恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道
进入“水滴形”曲线轨道
，
点的曲率半径
，“水滴形”轨道最高点
与圆形轨道最高点
等高。忽略所有轨道摩擦力，各轨
道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，
取
。
(1)求小球释放点A 距离水平面的高度
；
(2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点
与最高点
的向心加速度大小的差值；
(3)在“水滴形”轨道
上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨
道
上任意一点的曲率半径
随距地面高度
变化的函数表达式（即：用
和
表示
）。
15．（2025·北京西城·三模）如图所示，长为的细绳上端悬于
点，下端拴一个质量为
的
小球（可看作质点）。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为
，不计
空气阻力，重力加速度为g。若细绳的长度增大为
，仍使小球在同一水平面内做匀速圆
周运动（小球距悬点的高度差不变），下列说法正确的是（ ）
A．小球的角速度增大为原来的
倍
B．小球的线速度增大为原来的
倍
C．小球的加速度增大为原来的
倍
D．小球对细绳的拉力变为原来的
倍
16．（2025·河南·模拟预测）如图所示，两可视为质点的小球
、
分别套在光滑直角型轻
杆的水平杆
和竖直杆
上，球
与轻弹簧拴接，弹簧的另一端固定在
点，球
、
间用一根不可伸长的细线相连，装置可绕
在水平面内转动。水平杆转动的角速度
时，细线与杆
的夹角为
。现缓慢增大转速至
，使细线与杆
的
夹角增大为
，此时弹簧的形变量与转速为
时的形变量相同。已知细线的长度
，球
、
的质量分别为
，
，重力加速度
取10m/s2，
，
。求：
(1)角速度为
时，杆
对球
的弹力大小
；
(2)角速度
；
(3)装置从角速度
增大到
的过程中，外力对装置做的功
。
