文档内容
专题强化练(四) 圆周运动的临界极值问题
(40分钟 70分)
一、选择题
1.(6分)(2024·银川模拟)如图所示,某餐桌的水平旋转餐台可绕过 O点的竖直轴转动,旋转餐台
上放有M、N两个完全相同的小碟子,碟子M离O点较近。下列说法正确的是( )
A.若碟子M随餐台一起匀速转动,它受重力、支持力和向心力作用
B.若碟子N随餐台一起匀速转动,它所受合力为0
C.若餐台转速从零缓慢增大,碟子N先与餐台发生相对滑动
D.若碟子M、N随餐台一起匀速转动,M比N的线速度大
2.(6分)(2023·重庆模拟)偏心振动轮广泛应用于生活中的各个领域,如手机振动器、按摩仪、
混凝土平板振动机等。如图甲,某工人正操作平板振动机进行水泥路面的压实作业。平板振
动机中偏心振动轮的简化图如图乙所示,轮上有一质量较大的偏心块。若偏心轮绕转轴 O在
竖直面内转动则当偏心块的中心运动到图中哪一位置时,振动机对路面压力最大( )
1A.P B.Q C.M D.N
3.(6分) (体育运动)(多选)(2024·阜新模拟)如图为杭州亚运会体操赛场场景,“单臂大回环”是
体操运动中的高难度动作,运动员单臂抓杠,以单杠为轴完成圆周运动,不考虑手和单杠之间的
摩擦和空气阻力,将人视为处于重心的质点,将“单臂大回环”看成竖直平面内的圆周运动,等
效半径为L,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.单杠对手臂既可能提供拉力,也可能提供支持力
B.从最高点到最低点的过程中,单杠对人的作用力不做功
C.若运动员恰好能够完成圆周运动,则运动员在最低点受单杠作用力大小为6mg
D.若运动员恰好能够完成此圆周运动,则运动员在最高点时,手臂与单杠之间无作用力
4.(6分)(2024·晋中模拟)如图,一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,圆盘半径为R,甲、乙两
物体的质量分别为M和m(M>m),它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的 μ倍,两物体
用一根长为l(lω,则与以ω
匀速转动时相比,以ω'匀速转动时( )
4A.小球的高度一定降低
B. 弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
【加固训练】
如图所示,洗衣机内的漏斗状容器可以绕竖直对称轴 OO'匀速转动,质量为m的物块B放
在容器倾斜侧壁上,倾斜侧壁的倾角为45°,质量也为m的物块A贴在竖直侧壁上,A、B与容器
侧壁间的动摩擦因数均为μ=0.5,A、B两物块到转轴的距离分别为2r、r,不计物块的大小,最大
静摩擦力等于滑动摩擦力,要使两物块均相对于容器静止,容器转动的角速度ω大小范围为(
)
A.√ g ≤ω≤√g B.√g≤ω≤√3g
3r r r r
√ g √2g √ g √3g
C. ≤ω≤ D. ≤ω≤
3r 3r 3r r
57.(6分)(多选) (2023·哈尔滨模拟)某装置如图所示,两根轻杆OA、OB与小球及一小滑块通过
光滑铰链连接,杆OA的A端与固定在竖直光滑杆上的光滑铰链相连。小球与小滑块的质量均
为m,轻杆OA、OB长均为l,原长为l的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上,弹簧连接在A点与
小滑块之间。装置静止时,弹簧长为1.6l,重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6,以下说法正确
的是( )
5mg
A.轻杆OA对小球的作用力方向沿OA杆向上,大小为
6
5mg
B.轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下,大小为
8
5mg
C.弹簧的劲度系数k=
2l
√g
D.若小球绕杆以角速度ω= 在水平面内做匀速圆周运动,则弹簧将恢复原长
l
二、计算题
8.(12分)(2023·江苏选择考)“转碟”是传统的杂技项目,如图所示,质量为m的发光物体放在半
径为r的碟子边缘,杂技演员用杆顶住碟子中心,使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做
匀速圆周运动。当角速度为ω 时,碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小 v 和
0 0
受到的静摩擦力大小f。
6【加固训练】
(2023·南充模拟)如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板ABCD与水平面所成
夹角θ=37°,面板右侧边缘的直管道AP与四分之一圆弧轨道PQ相切于P点,面板左侧边缘有
垂直板面的挡板,已知圆弧轨道半径R=1.5 m,圆弧轨道最高点Q(切线水平)到水平面的高度
h=1.25 m。控制手柄K可使弹珠(可视为质点)以不同的速度沿直管道AP发射,弹珠与挡板撞
击时间极短且不损失机械能,撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。g 取 10
m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。
(1)求小球通过Q点的最小速度大小v ;
Q
7(2)若小球以最小速度通过最高点 Q,与挡板发生一次撞击,刚好经过面板下边缘M点,M、A两
点相距d=1.5 m,求面板AD边的长度L。
9.(16分)(2023·石景山模拟)如图1所示,一根长为L不可伸长的轻绳一端固定于O点,另一端系
有一质量为m的小球(可视为质点),小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动。已知重力加
速度为g,忽略空气阻力的影响。
(1)若小球经过圆周最高点A时速度大小v =√2gL,求此时绳子对小球施加拉力的大小;
A
8(2)若轻绳能承受的最大拉力F = 9mg,求小球运动到最低点B点时的速度大小在什么范围内,
m
既可以使小球在竖直面内做完整的圆周运动,又可以使绳子不被拉断;
(3)某同学作出了小球经过圆周最高点A点时,绳子上的拉力F与小球速度的平方v2的函数图
像,如图2所示,
①请写出图线的函数表达式。
②若将轻绳换为长为L质量忽略的轻杆,其他保持不变,请在图3中绘出小球经过圆周最高点
A点时,轻杆对小球的作用力F与小球速度的平方v2的函数图线,并且注明图线与坐标轴的交
点坐标。
解析版
一、选择题
91.(6分)(2024·银川模拟)如图所示,某餐桌的水平旋转餐台可绕过 O点的竖直轴转动,旋转餐台
上放有M、N两个完全相同的小碟子,碟子M离O点较近。下列说法正确的是( )
A.若碟子M随餐台一起匀速转动,它受重力、支持力和向心力作用
B.若碟子N随餐台一起匀速转动,它所受合力为0
C.若餐台转速从零缓慢增大,碟子N先与餐台发生相对滑动
D.若碟子M、N随餐台一起匀速转动,M比N的线速度大
【解析】选C。碟子M、N随餐台做匀速圆周运动,受重力、支持力和静摩擦力作用,三个力
的合力即静摩擦力提供向心力,故A、B错误;碟子M、N随餐台做匀速圆周运动时,角速度相
同,由牛顿第二定律可知f =mω2r,碟子M、N完全相同,所受最大静摩擦力相等,由于碟子N离
静
O点较远,其所受静摩擦力先达到最大值,所以碟子N先与餐台发生相对滑动,故C正确;碟子N
离O点较远,由公式v=ωr可知,N比M的线速度大,故D错误。
2.(6分)(2023·重庆模拟)偏心振动轮广泛应用于生活中的各个领域,如手机振动器、按摩仪、
混凝土平板振动机等。如图甲,某工人正操作平板振动机进行水泥路面的压实作业。平板振
动机中偏心振动轮的简化图如图乙所示,轮上有一质量较大的偏心块。若偏心轮绕转轴 O在
10竖直面内转动则当偏心块的中心运动到图中哪一位置时,振动机对路面压力最大( )
A.P B.Q C.M D.N
【解析】选A。对偏心轮边缘的一点,转到最低点P时满足F-mg=mω2r,可得路面对振动机的
支持力F=mg+mω2r,F =Mg+mg+mω2r,此时路面对振动机的支持力最大,根据牛顿第三定律可知
N
振动机对路面压力最大。故选A。
3.(6分) (体育运动)(多选)(2024·阜新模拟)如图为杭州亚运会体操赛场场景,“单臂大回环”是
体操运动中的高难度动作,运动员单臂抓杠,以单杠为轴完成圆周运动,不考虑手和单杠之间的
摩擦和空气阻力,将人视为处于重心的质点,将“单臂大回环”看成竖直平面内的圆周运动,等
效半径为L,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.单杠对手臂既可能提供拉力,也可能提供支持力
B.从最高点到最低点的过程中,单杠对人的作用力不做功
C.若运动员恰好能够完成圆周运动,则运动员在最低点受单杠作用力大小为6mg
11D.若运动员恰好能够完成此圆周运动,则运动员在最高点时,手臂与单杠之间无作用力
【解析】选A、B。运动员在做圆周运动的过程中,单杠对手臂既可能提供拉力,也可能提供支
v2
持力,如在最高点,当运动员的重力恰好提供向心力时,有mg=m
L
可得v=√gL当运动员在最高点的速度大于√gL时,杆对运动员的力为拉力,当运动员在最高点
的速度小于√gL时,杆对运动员的力为支持力,故A正确;从最高点到最低点的过程中,单杠对人
的作用力一直与速度方向垂直,不做功,故B正确;若运动员恰好能够完成此圆周运动,则运动员
在最高点的速度为零,此时手臂与单杠之间支持力大小等于运动员的重力大小,故D错误;从最
1
高点到最低点,根据动能定理有mg·2L= mv2
2
解得v=2√gL
v2
在最低点,有F-mg=m
L
所以F=5mg
故C错误。
4.(6分)(2024·晋中模拟)如图,一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,圆盘半径为R,甲、乙两
物体的质量分别为M和m(M>m),它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的 μ倍,两物体
用一根长为l(l3 m2/s2,小球受到弹力方向向下,有 mg+F= ,则 F= -mg=
L L
0.75×8
N-0.75×10 N=12.5 N,故D错误。
0.3
6.(6分)(多选) (2021·河北选择考)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且
PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。
金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω
匀速转动时相比,以ω'匀速转动时( )
A.小球的高度一定降低
15B. 弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
【解题指南】(1)小球在水平面内做匀速圆周运动,由合外力提供向心力,根据小球在竖直方向
受力平衡,分析小球的高度和弹簧的弹力如何变化。
(2)由向心力公式列式分析杆对小球的作用力如何变化,即可由牛顿第三定律分析小球对杆的
压力变化情况。
(3)由向心力公式F =mω2r分析小球所受合外力变化情况。
n
【解析】选 B、D。设弹簧的原长为 l ,伸长量为 x,与竖直方向的夹角为 θ,则:(l +x)sinθ=MP
0 0
,F cosθ=mg,若小球转动的角速度增大,小球的高度降低,则F 增大,cosθ增大,F cosθ>mg,所以小
k k k
球的高度不会降低,同理可知小球的高度不会升高,x、θ、F 均不变,故A错误,B正确;由圆周
k
运动规律得:F sinθ-N=mω2MP,所以小球转动的角速度增大,小球对杆压力的大小一定先变小,
k
故C错误;由圆周运动规律得:F =mω2MP,小球转动的角速度增大,小球所受合外力的大小一
合
定变大,故D正确。
【加固训练】
如图所示,洗衣机内的漏斗状容器可以绕竖直对称轴 OO'匀速转动,质量为m的物块B放
16在容器倾斜侧壁上,倾斜侧壁的倾角为45°,质量也为m的物块A贴在竖直侧壁上,A、B与容器
侧壁间的动摩擦因数均为μ=0.5,A、B两物块到转轴的距离分别为2r、r,不计物块的大小,最大
静摩擦力等于滑动摩擦力,要使两物块均相对于容器静止,容器转动的角速度ω大小范围为(
)
A.√ g ≤ω≤√g B.√g≤ω≤√3g
3r r r r
√ g √2g √ g √3g
C. ≤ω≤ D. ≤ω≤
3r 3r 3r r
【解析】选B。对于物块A刚好不下滑时
√g
N =m·2rω2,μN =mg,求得ω =
1 1 1 1 r
当物块B刚好不下滑时
N sin45°- μN cos45°=mr
2 2 ω2
2
N cos45°+μN sin45°=mg
2 2
√ g
求得ω =
2
3r
当物块B刚好不上滑时
N sin45°+μN cos45°=mr
3 3 ω2
3
N cos45°=μN sin45°+mg
3 3
√3g √g √3g
求得ω = ,要使A、B均不滑动,则转动的角速度必须满足 ≤ω≤ ,故选B。
3
r r r
177.(6分)(多选) (2023·哈尔滨模拟)某装置如图所示,两根轻杆OA、OB与小球及一小滑块通过
光滑铰链连接,杆OA的A端与固定在竖直光滑杆上的光滑铰链相连。小球与小滑块的质量均
为m,轻杆OA、OB长均为l,原长为l的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上,弹簧连接在A点与
小滑块之间。装置静止时,弹簧长为1.6l,重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6,以下说法正确
的是( )
5mg
A.轻杆OA对小球的作用力方向沿OA杆向上,大小为
6
5mg
B.轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下,大小为
8
5mg
C.弹簧的劲度系数k=
2l
√g
D.若小球绕杆以角速度ω= 在水平面内做匀速圆周运动,则弹簧将恢复原长
l
【解析】选B、C。对球受力分析,受重力,杆OA、OB对球的支持力(沿着杆的方向),根据平行
1.6l
四边形定则,结合几何关系与三角知识,则有:OA 与竖直方向夹角为 θ,即 cosθ= 2 ,解得
l
mg
5mg
θ=37°,轻杆OA与OB对小球的作用力大小F=F = 2 = ,选项A错误,B正确;
A B
8
cos37°
18对于小滑块,根据平衡条件,则有
5mg 3
T=mg+ cos37°,解得T= mg
8 2
T 5mg
再由胡克定律,则有k= = ,选项C正确;当小球在水平面内做匀速圆周运动时,若弹
1.6l-l 2l
簧处于原长,则二者受力分析如图,对滑块列平衡方程 F 'cos60°=mg。对小球有:F cos60°
2 2
+mg=F cos60°
1
F sin60°+F sin60°=mω2lsin60°,且F =F '
2 1 2 2
√6g
解得ω= ,故D错误。
l
二、计算题
8.(12分)(2023·江苏选择考)“转碟”是传统的杂技项目,如图所示,质量为m的发光物体放在半
径为r的碟子边缘,杂技演员用杆顶住碟子中心,使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做
匀速圆周运动。当角速度为ω 时,碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小 v 和
0 0
受到的静摩擦力大小f。
19答案:ω r m r。
0 ω2
0
【解析】发光物体的速度 v =ω r,发光物体做匀速圆周运动,则静摩擦力充当圆周运动的向心
0 0
力,则静摩擦力大小为f=m r。
ω2
0
【加固训练】
(2023·南充模拟)如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板ABCD与水平面所成
夹角θ=37°,面板右侧边缘的直管道AP与四分之一圆弧轨道PQ相切于P点,面板左侧边缘有
垂直板面的挡板,已知圆弧轨道半径R=1.5 m,圆弧轨道最高点Q(切线水平)到水平面的高度
h=1.25 m。控制手柄K可使弹珠(可视为质点)以不同的速度沿直管道AP发射,弹珠与挡板撞
击时间极短且不损失机械能,撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。g 取 10
m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。
(1)求小球通过Q点的最小速度大小v ;
Q
20答案:(1)3 m/s
【解析】(1)小球恰好过Q点,有
mgsinθ=mv2 ,解得v =3 m/s
Q Q
R
(2)若小球以最小速度通过最高点 Q,与挡板发生一次撞击,刚好经过面板下边缘M点,M、A两
点相距d=1.5 m,求面板AD边的长度L。
答案: (2)2.75 m
1 h
【解析】(2)Q→M,沿斜面向下,小球做匀加速直线运动,有y= at2,y= ,a=gsinθ
2 sinθ
5 1 5
解得t= s,水平方向,速度大小不变,碰前与碰后水平位移大小相等,故有t =t = t= s
1 2
6 2 12
M到挡板距离x=v t =1.25 m,则AD边长度
Q 2
L=x+R=2.75 m
9.(16分)(2023·石景山模拟)如图1所示,一根长为L不可伸长的轻绳一端固定于O点,另一端系
有一质量为m的小球(可视为质点),小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动。已知重力加
速度为g,忽略空气阻力的影响。
(1)若小球经过圆周最高点A时速度大小v =√2gL,求此时绳子对小球施加拉力的大小;
A
21答案:(1)mg
【解析】(1)小球经过点A时,有F+mg=mv2
A A
L
解得F=mg
A
(2)若轻绳能承受的最大拉力F = 9mg,求小球运动到最低点B点时的速度大小在什么范围内,
m
既可以使小球在竖直面内做完整的圆周运动,又可以使绳子不被拉断;
答案: (2)√5gL≤v ≤√8gL
B
【解析】(2)小球刚好通过点A,有mg=mv2
1
L
解得v =√gL
1
1 1
由机械能守恒得 mv2+mg·2L= mv2
2 1 2 B1
解得在B点最小速度v =√5gL
B1
由F -mg=mv2
m B2
L
得在B点最大速度v =√8gL
B2
故小球经过B点的速度范围为√5gL≤v ≤√8gL
B
(3)某同学作出了小球经过圆周最高点A点时,绳子上的拉力F与小球速度的平方v2的函数图
像,如图2所示,
①请写出图线的函数表达式。
22②若将轻绳换为长为L质量忽略的轻杆,其他保持不变,请在图3中绘出小球经过圆周最高点
A点时,轻杆对小球的作用力F与小球速度的平方v2的函数图线,并且注明图线与坐标轴的交
点坐标。
m
答案: (3)①F= v2-mg(v≥√gL) ②见解析图
L
【解析】(3)①小球经过最高点A时,有
v2
F+mg=m
L
因F≥0,所以v≥√gL
m
解得F= v2-mg(v≥√gL)
L
②将轻绳换为轻杆,小球经过最高点A的速度小于√gL时,轻杆对小球的作用力为支持力,小球
依然可以在竖直面内做圆周运动,即小球在最高点A的最小速度为0。
m
由F= v2-mg
L
轻杆对小球的作用力F与小球速度的平方v2的函数图线如图所示
23
