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专题20 机械振动
核心考点
考点梳理1 简谐运动的基本特征.........................................................................................................................1
母题考点一 简谐运动的基本特征........................................................................................................................2
考点梳理2 简谐运动的表达式和图像.................................................................................................................7
母题考点二 简谐运动的表达式和图像................................................................................................................7
考点梳理3 单摆及其周期公式...........................................................................................................................11
母题考点三 单摆及其周期公式..........................................................................................................................11
考点梳理4 受迫振动和共振...............................................................................................................................16
母题考点四 受迫振动和共振..............................................................................................................................16
考点梳理1 简谐运动的基本特征
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不
一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变
加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相
反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT(n 为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状
态相同；简谐运动中质点一个周期内路程s＝4A，1
2个周期内路程s＝2A，但1
4个周期内路
程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔T
2 或
(2n+1)T
2
(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、
加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动
能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互
转化，系统的机械能守恒。
母题考点一 简谐运动的基本特征
【母题1】（2024·贵州·高考真题）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长
玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性
良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在
时由静止释放，小球的运动可视为
简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在
时刻（ ）
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
【答案】AC
【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在
时由静止释放，可知此时小球位
于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在
时刻处于最高点位
置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的
加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。
故选AC。
【练1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上，竖直放置时
另一端位于O 点，现将绝缘不带电物块a 和带正电的物块b 叠放在弹簧上，系统稳定时弹簧
上端位于P 点。a、b 的质量均为m，b 的电荷量为q，在空间中加上竖直向上的匀强电场，场
强大小为
，弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．加上电场瞬间，b 的加速度大小为
B．b 运动到最高点时弹簧的压缩量为
C．a、b 物体会分离，且分离时b 的加速度大小为
D．a、b 物体不会分离，两物体将一起做简谐振动，振幅为
【答案】BD
【详解】A．a、b 两物体叠放在轻弹簧上，并处于静止时，此时弹簧弹力等于a、b 的重力，
可得
加电场后，电场力为a、b 整体受到的合力，故
，A 错误；
BC．假设a、b 不会分离，则a、b 将做简谐运动，由对称性知当a、b 运动到最高点时，加速
度向下，大小为
对b 分析
举一反三
得a、b 间弹力
，假设成立，故a、b 不会分离。上升到最高点，对a、b 整体分析
可得
，故B 正确C 错误；
D．根据以上分析可知，ab 一起做简谐运动，故振幅
，D 正确。
故选BD。
【练2】（2025·山东日照·三模）如图所示，真空中两个电荷量均为q 的正点电荷固定在相距
为2l 的a、b 两点，O 是ab 连线的中点，P、Q 在ab 连线的中垂线上，到O 点的距离均为
。现将质量为m、电荷量为
的带电粒子从P 点由静止释放，不计粒子的重力，静电力
常量为k。下列说法正确的是（ ）
A．粒子将在P、Q 之间做简谐运动
B．粒子运动到O 点时电势能最小
C．粒子从P 点释放瞬间，加速度大小为
D．粒子加速度最大的点到O 点的距离为
【答案】BD
【详解】A．简谐运动要求回复力
粒子在P、Q 间受两个正点电荷的库仑力，合力不满足
规律，A 错误；
B．粒子带负电，从P 到O，电场力做正功，电势能减小；从O 到Q，电场力做负功，电势
能增大。故粒子在O 点电势能最小，B 正确；
C．在P 点，单个正点电荷对粒子的库仑力
由几何关系，a 到P 距离
两个库仑力的合力
由牛顿第二定律
得加速度
，C 错误；
D．设粒子到O 点距离为x，单个正点电荷对粒子的库仑力
合力
对
关于x 求导，令导数为0
解得
时合力最大，即加速度最大，D 正确。
故选BD。
【练3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，竖直放置一劲度系数为k 的轻弹簧，其上端
叠放两个处于静止状态，质量均为m 的物体A、B（不粘连），B 与弹簧栓接。某时刻对物体
A 施加一竖直向上的恒力
，已知弹簧弹性势能表达式为
（x 为弹簧形变
量），重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．B 上升的过程中，A、B 弹簧组成的系统机械能守恒
B．施加F 瞬间，物体A、B 间的弹力为
C．施加F 后，物体A、B 会在弹簧处于原长时恰好分离
D．施加F 后，物体A 的最大速度为
【答案】BD
【详解】A．A、B 上升的过程中，拉力做正功，A、B 弹簧组成的系统机械能增加，故A 错
误；
B．施加F 瞬间，对AB 整体根据牛顿第二定律，有F=2ma
解得a=
隔离A，根据牛顿第二定律，有
+F-mg=ma
解得物体A、B 间的弹力为
故B 正确；
C．A、B 恰好分离时的条件，A、B 间无弹力，且加速度相等。若弹簧若处于原长A、B 恰
好分离，对物体A 有
解得
对物体B 有
解得
即
故C 错误；
D．开始时弹簧的压缩量为
因为
，所以物体AB 整体所受合外力为零时，物体A 速度最大，此时弹簧的
压缩量为
解得
根据能量守恒，有
解得
故D 正确。
故选BD。
考点梳理2 简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式
为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨
迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
母题考点二 简谐运动的表达式和图像
【母题2】（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提
起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为
正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（ ）
A．振幅为
B．振动频率为
C．在
时速度为零
D．在
时加速度方向竖直向下
【答案】B
【详解】AB．根据图像(b)可知，振幅为
；周期为
则频率为
故A 错误，B 正确；
C．根据图像可知，
时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C 错误；
D．根据图像可知，
时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故
D 错误。
故选B。
【练1】（2025·福建·模拟预测）一列简谐横波沿x 轴传播，某时刻波的图像如图所示。已知
此时质点a 的振动方向沿y 轴正方向，下列说法正确的是（ ）
A．波沿x 轴负方向传播
B．质点b 将比质点c 先回到平衡位置
C．此时质点b 的速度大小比质点c 的小
D．此时质点b 的加速度大小比质点c 的大
【答案】B
【详解】A．因为此时质点a 的振动方向沿y 轴正方向，所以波沿x 轴正方向传播，A 错误；
B．此时质点b 的振动方向沿y 轴正方向，质点c 的振动方向沿y 轴负方向，所以质点b 将比
质点c 先回到平衡位置，B 正确；
C．质点在平衡位置时速度最大，离平衡位置越近速度越大，所以此时质点b 的速度大小比质
点c 的大，C 错误；
D．质点在平衡位置时加速度最小，离平衡位置越近加速度越小，所以此时质点b 的加速度
大小比质点c 的小，D 错误。
故选B。
【练2】（2025·河北·三模）一列简谐横波沿绳子以0.4m/s 的速度传播，绳上两个质点 A、B
的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．t=4s 时，B 的速度最大，速度方向沿 y 轴负方向
B．该波的波长为1.6m
C．经过2s 的时间，质点A 将运动到质点 B 原来所在的位置
D．从t=2s 时刻起经过10s 时间，A、B 运动的路程均为20cm
【答案】D
举一反三
【详解】A．t=4s 时，B 的速度最大，速度方向沿 y 轴正方向，A 错误；
B．该波的周期为
该波的波长为
，B 错误；
C．质点A 只在平衡位置附近垂直于绳的方向振动，沿着绳的方向不移动，不会运动到质点
B 原来所在的位置，C 错误；
D．质点A、B 的振幅均为
从t=2s 时刻起经过10s 时间间隔为
从t=2s 时刻起经过10s 时间，A、B 运动的路程均为
，D 正确。
故选D。
【练3】（2025·安徽安庆·模拟预测）某质点做简谐振动的位移时间关系图像如图所示。图中
的
未知，已知周期为
、振幅为
，下列说法正确的是（ ）
A．
时刻，质点的加速度最小
B．0 时刻质点的速度为负，加速度为正
C．未知量
为
D．质点的振动方程为
【答案】D
【详解】A．由题图可知，
时刻，质点的位移最大，加速度最大，故A 错误；
B．0 时刻图像的斜率为正，质点的速度为正，加速度为正，故B 错误；
D．设质点的振动方程为
结合
时，
，可得
则质点的振动方程为
，故D 正确；
C．
时刻质点的位移为0，则有
解得
，故C 错误。
故选D。
考点梳理3 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，F＝mg sin θ＝－mg
l x＝－kx，
负号表示回复力F 与位移x 的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F 向＝FT－mg cos
θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F 向＝mv
2
l ＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F 向＝m vmax
2
l ，F 向最大，FT＝mg+m vmax
2
l 。
(4)单摆做简谐运动的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期公式T＝2π❑√
l
g的三点说明
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g 为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g 月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加
速度为等效重力加速度。确定等效摆长l 及等效重力加速度g 效后，利用公式T＝2π❑√
l
g效
或
简谐运动规律分析求解。
母题考点三 单摆及其周期公式
【母题3】（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳
悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球
垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成
2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一
侧最高点。则（ ）
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为
D．小球丙、丁的摆长之比为
【答案】C
【详解】根据单摆周期公式
可知
CD．设甲的周期为
，根据题意可得
可得
，
，
可得
，
根据单摆周期公式
结合
可得小球丙、丁的摆长之比
故C 正确，D 错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过
（
）时间，小球丙到达另一侧最高点，
此时速度为零，位移最大，根据
可知此时加速度最大，故A 错误；
B．根据上述分析可得
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为
（即
）可知此时小球乙经过
平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
【练1】（2024·黑龙江·模拟预测）如图甲所示，一根轻杆和一根轻质细线组成一个“杆线
摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴
来回摆动，轻杆与悬挂轴
垂直，摆线与轻杆的夹角
。其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为
，该杆线摆做简谐运动的x-t 图像如图乙所示，P 是图像上对应
。时刻的某点，
，取重力加速度
。则（ ）
A．
时刻摆球的速度方向沿图像上P 点的切线
B．该杆线摆的细线长约为
C．该杆线摆做简谐运动的振幅是8cm
D．摆球在10s 内通过平衡位置5 次
【答案】B
【详解】A．简谐运动的图像不是摆球的运动轨迹，所以在
时刻摆球的速度方向不沿图像
上
点的切线，应指向平衡位置，故A 错误；
B．由图像可知，周期
结合
解得细线长
，故B 正确；
C．由图可知该杆线摆做简谐运动的振幅是4cm，故C 错误；
D．摆球在一个周期内通过平衡位置2 次，10s 内通过平衡位置10 次，故D 错误。
故选B。
【练2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图甲所示，一摆长为0.99m 的单摆悬挂在天花板上，
举一反三
如图乙所示，将相同的单摆悬挂在光滑斜面上。两情况下将摆球拉离平衡位置相同的小角度
并由静止释放，小球相对平衡位置的位移随时间的关系图像如图丙所示，
取9.87。下列说
法正确的是（ ）
A．图甲、乙中单摆的频率之比为
B．当地的重力加速度约为
C．斜面倾角的正弦值为
D．图甲、乙中摆绳上最大拉力之比为
【答案】BD
【详解】A．由图丙可知图甲、乙中单摆的周期之比为
，所以甲、乙中单摆的频率之比为
，故A 错误；
B．由甲的周期公式可得
解得
，故B 正确；
C．由乙单摆得
解得
，故C 错误；
D．设最大摆角为
，对甲由机械能守恒得
由牛顿第二定律得
解得
同理对乙得
解得
，故D 正确。
故选BD。
【练3】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、
B 之间做简谐运动，O 点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将
小球Q 用轻质细绳悬挂在O 点正上方的O1点，小球Q 静止时恰好未与地面接触，将小球P
从A 点由静止释放，运动到O 点时与完全相同的、静止的小球Q 发生弹性碰撞，碰撞时间极
短，碰后小球P 从A 点至再次回到A 点的时间间隔为6s。小球P、Q 始终在同一竖直面内运
动，小球Q 的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g=9.87m/s2，π2≈9.87，则轻
绳与小球Q 组成的单摆的（ ）
A．周期为2s
B．周期为8s
C．摆长为1m
D．摆长为4m
【答案】D
【详解】根据图乙可知，小球P 的振动周期T1=8s，碰后小球P 从A 点至再次回到A 点的时间
为6s，因为小球P、Q 完全相同且发生弹性碰撞，故小球P、Q 碰后速度发生交换，小球Q 在
相邻两次碰撞之间的时间间隔为2s，恰好为单摆的半个周期，即单摆的周期为T=4s，根据单
摆的周期公式
解得单摆的摆长L=4m
故选D。
考点梳理4 受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0
或固有频率f 0
由驱动力的周期或频
率决定，即T＝T 驱
或f ＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f 0
振动能量
振动物体的机械能不
变
由驱动力提供
振动物体获得的能量
最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机器工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动
力频率对某固有频率为f 0的振动系统做受迫振动时振幅的变化，由图可知，f 与f 0越接
近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行
能量交换。
母题考点四 受迫振动和共振
【母题4】（2025·广东·高考真题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（ ）
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
【答案】C
【详解】A．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A 错误；
B．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B 错误；
CD．根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，
观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以
测量车辆的速度，C 正确，D 错误。
故选C。
【练1】（2025·江苏徐州·二模）台风“贝碧嘉”登陆上海，中国自主研发的千吨阻尼器——
“上海慧眼”（如图所示）摆动明显，保障了上海中心大厦的安全。“上海慧眼”采用了电
涡流阻尼技术，永磁体形成的磁场与质量块一起摆动时，与其下方固定的导体板产生相对运
动，从而在导体板中产生电涡流。关于该阻尼器，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼器的电涡流阻尼技术原理是电流的磁效应
B．振动稳定时，阻尼器的振动频率小于大厦的振动频率
C．阻尼器将机械能最终转化为内能
D．若将阻尼器下方的导体板换成木地板，对使用效果没有影响
【答案】C
【详解】B．阻尼器受迫振动，稳定时阻尼器的振动频率与大厦的振动频率相等，故B 错误；
ACD．根据电磁感应原理可知，永磁体通过导体板上方时会在导体板中产生电涡流，阻碍永
磁体相对导体板的运动，将机械能最终转化为内能，若将阻尼器下方的导体板换成绝缘的木
地板，将不会产生电涡流，影响使用效果，故AD 错误，C 正确。
故选C。
【练2】（2025·甘肃白银·模拟预测）某同学为了探究机械波的特性，往平静的水池中央放入
一个漂浮物，然后在水池边以
的频率均匀敲击水面荡起层层水波（视为机械波），测得
漂浮物到敲击点的距离为
，水波传播到漂浮物所在位置的时间为
，则（ ）
A．水波的波长为
B．敲击频率越高，水波的传播速度越大
C．水波能将漂浮物推向水池的另一边
D．漂浮物做受迫振动的频率小于
【答案】A
举一反三
【详解】A．波速
