第四部分 曲线运动和万有引力 第三节 圆周运动
知识点一 描述圆周运动的物理量
1、线速度 （1）定义：质点做圆周运动通过的弧长Δl 和所用时间Δt 的比值叫做线速度.
（2）大小: v=
,单位为m/s.
（3）方向：线速度是矢量，方向为物体做圆周运动时该点的切线方向，与半径垂直。
（4）物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢.
注:在
中,当Δt 很小时,v 为瞬时线速度.
2、角速度 （1）定义:在匀速圆周运动中,连接运动质点和圆心的半径转过的角度Δθ 跟所用时间
Δt 的比值,就是质点运动的角速度.
（2）大小:ω=
单位：rad/s 或
（3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.
（4）匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
3、转速、周期和频率
（1）转速: 工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢.转速是指物体单位时间
所转过的圈数,常用符号n 表示,转速的单位为转每秒,符号是r/s,或转每分(r/min).
（2）周期: 做匀速圆周运动的物体,转过一周所用的时间叫做周期,用T 表示,单位为s.
（3）频率: 做匀速圆周运动的物体在1 s 内转的圈数叫做频率.用f 表示,其单位为转/秒(或赫兹),
符号为r/s(或Hz),显然f 与T 互为倒数,
即：
频率高说明物体运动得快,频率低说明物体运动得慢.
4、向心加速度
（1）定义:做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心,这个加速度称为向心加速度.
说明:向心加速度方向时刻变化,故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非匀变速
曲线运动).
（2）大小:
（3）方向:沿半径指向圆心.
说明: ①向心加速度总指向圆心,方向始终与速度方向垂直,故向心加速度只改变速度的方向,不改变
速度的大小,向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.
②向心加速度的方向时刻变化,故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动.
③向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度.对于匀速圆周运动,其所受的
合外力就是向心力,只产生向心加速度,因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际
加速度,对于非匀速圆周运动,例如竖直平面内的圆周运动.如图所示,小球的合力不指向圆心,因而
其实际加速度也不指向圆心,此时的向心加速度只是它的一个分加速度.
典例1、(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案：ABD
解：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向
始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加
速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不
指向圆心。故A、B、D 正确，C 错误。
随堂练习：下列说法中正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
答案：B
解：匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A 错误，B 正确；匀速圆周运动中，
向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D 错误。
5、向心力
（1）定义:做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力,叫向心力.
（2）方向:向心力的方向沿半径指向圆心,始终和质点运动方向垂直,即总与圆周运动的线速度方向垂直.
（3）大小: ①向心力与角速度的关系：F=mω2R.
式中m 是运动物体的质量,R 是运动物体转动的半径,ω 是运动物体转动的角速度.
② 向心力与线速度的关系：F=mv2R.
式中m 是运动物体的质量，R 是运动物体转动的半径,v 是运动物体的线速度.
（4）向心力的效果: 向心力只改变线速度的方向,不改变线速度的大小,向心力就是专门使物体做圆
周运动的力.
典例2、(多选)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针
方向做匀速圆周运动，ab 为水平直径，cd 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相
对于木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合外力始终指向圆心
C．在c、d 两个位置，物块所受支持力N＝mg，摩擦力f 为零
D．在a、b 两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
答案：BD
解：物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d 两点物块所受的
向心力由重力和支持力的合力提供，摩擦力为零，重力与支持力不相等，其他时候要受到摩擦力
的作用，故A、C 错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，合外力就是向心力，匀速圆周运动
的向心力指向圆心，故B 正确；在b 位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故合力指向圆心，
支持力N＝mg，摩擦力f 提供向心力，同理可得，在a 位置的情形相同，故D 正确。
随堂练习： (多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
答案 BC
解：由于向心力的作用物体做圆周运动，A 错误；因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速
度的大小，只改变线速度的方向，B 正确；做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，完全提
供向心力，C 正确；变速圆周运动中合外力沿半径方向的分力提供向心力，D 错误。
知识点二 线速度、角速度、周期的关系
如果物体沿半径r 的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s，半径转过的角度是φ,
由数学知识s=rφ,于是有
上式表明：
1、当半径相同时，线速度大的角速度大，角速度大的线速度也大,且成正比.
2、当角速度相同时,半径大的线速度大,且成正比(如图).
3、当线速度相同时,半径大的角速度小,半径小的角速度大,且成反比(如图).
4、线速度与周期的关系.
由于做匀速圆周运动的物体,在一个周期内通过的弧长为2πr,所以有v
上式表明，只有当
半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以，周期与线速度
描述的快慢是不一样的.
5、角速度与周期的关系.
由于做匀速圆周运动的物体,在一个周期内半径转过的角度为2π,则有
上式表明，角速
度与周期一定成反比，周期大的角速度一定小.
典例3、做匀速圆周运动的物体，10 s 内沿半径为20 m 的圆周运动100 m，试求该物体做圆周运动
时，
(1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小。
答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
解：(1)依据线速度的定义式v＝可得： v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr 得：ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。 (3)依据ω＝得：T＝＝ s＝4πs。
随堂练习：如图所示的皮带传动装置,主动轮O1 上两轮的半径分别为3r 和r,从动轮O2 的半径为
2r,A、B、C 分别为轮子边缘上的三点，设皮带不打滑,求:
(1)A、B、C 三点的角速度之比ωA：ωB：ωC=__________.
(2)A、B、C 三点的线速度大小之比vA:vB::vC=__________.
答案：(1)221 (2)311
解：以皮带传动装置为载体考查圆周运动的规律关系，关键是找到与皮带紧密相连的轮子边缘线速
度大小相等这一突破口，即vC=vB,即可利用公式v=ωr 求解
（1）A、B 两点角速度相同ωA=ωB,而vB=vC, 由v=ωr,得，
所以
注：在传动装置中，皮带不打滑是指两轮与皮带相接触的边缘各点的线速度大小相等,同一个轮子上
各点不管轮子大或者轮子小,它们任一点的角速度都相等,在这个前提下熟练应用公式v=rω 即可得
知识点三 匀速圆周运动
1、定义:物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,这种运动叫做匀速圆周运动.
2、特点:线速度的大小恒定,角速度、周期和频率都是恒定不变的,向心加速度和向心力的大小也都
是恒定不变的.
3、性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，“匀速”是指速率不变。
4、对匀速圆周运动的理解
(1)“匀速”的含义： ①线速度v 的大小不变，即速率不变。 ②转动角速度ω 不变。
(2)F 合≠0，a≠0：由于匀速圆周运动是曲线运动，速度的方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是变
速运动，其合外力和加速度一定不为零。
典例4、如图所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C 为皮带轮边缘上的点，B 为
AO 连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、
B、C 三点的角速度大小之比、线速度大小之比。
答案 2∶2∶3 2∶1∶2
解：由题意可知，A、B 两点在同一轮上，因此ωA＝ωB，
又皮带不打滑，所以vA＝vC， 故可得ωC＝＝＝ωA， 所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3。
又vB＝RB·ωB＝RA·ωA＝， 所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2。
知识点四 离心运动
1、定义：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况
下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动.
2、条件分析
（1） 做圆周运动的物体,由于本身具有惯性,总是想沿着切线方向运动,只是由于向心力作用,使它
不能沿切线方向飞出,而被限制着沿圆周运动,如图中B 情形所示.
（2） 当产生向心力的合外力消失,F=0,物体便沿所在位置的切线方向飞出去,如图中A 所示.
（3） 当提供向心力的合外力不完全消失,而只是小于应当具有的向心力,即F<mrω2,即合外力不足
以提供所需的向心力的情况下,物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动,如图中C 所示.
3、离心运动的应用和防止
（1）应用:利用离心运动制成的离心机械,如:离心干燥器\,洗衣机的脱水筒等.
（2）防止:汽车、火车转弯处,为防止离心运动造成的危害,一是限定汽车和火车的转弯速度不能太
大;二是把路面筑成外高内低的斜坡增大向心力.
注：离心运动的理解
(1)若F 合＝mω2r 或F 合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F 合>mω2r 或F 合>，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”也就是“提供过
度”。
(3)若F 合<mω2r 或F 合<，物体远离圆心，做离心运动，即“需要”大于“提供”，也就是“提供不
足”。若F 合＝0，则物体沿切线方向做直线运动。
典例5、(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m 的小球在拉力F 作用下做匀速圆周运动。若小球
运动到P 点时，拉力F 发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb 做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb 做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa 做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc 做近心运动
答案：BC
解：若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc 做近心运动，A 错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，
又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb 做曲线运动，B 正确，D 错误。若拉力突然消
失，小球将沿着P 点处的切线Pa 做离心运动，C 正确。
随堂练习：摩托车比赛转弯时，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超
过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
答案：B
解：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A 错误；摩托车正常转弯时可
看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要
的向心力，B 正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D 错误。
解题思路与方法
一、圆周运动的运动学问题
圆周运动的另一类问题是运动学问题，这类问题中关于传动的问题较多，具体分为两类：
1、 皮带、链条、齿轮或靠摩擦边缘传动类.对于这类传动，皮带、链条、齿轮等传动边缘的线速度
大小相等.例如自行车的轮盘和飞轮靠链条传动时，轮盘、飞轮的边缘以及链条上各点的线速度
大小相等.
2、 同轴的物体在转动时，物体上各点的角速度相等.例如，地球上的各物体在随着地球自转而做匀
速圆周运动时，各个物体的角速度相等.
随堂练习:如图所示，在转轴O1上固定有两个半径为R 和r 的轮，通过皮带传动使O2转动.若O2的半
径r1=r=0.5 m，R=1 m，O1轮每秒转5 圈，则大轮转动的角速度是 ，
A 点的线速度是___________，C 点的线速度是__________________
.
答案：31.4 m/s1 5.7 m/s3 1.4 m/s
解：大轮转动的角速度：
A 点的线速度
B 点的线速度
因为B、C 两点是皮带传动，故
二、竖直平面内做圆周运动的临界条件
在一定束缚条件下竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,对于物体在竖直平面内做变速
圆周运动的问题,中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且经常出现临界问题.
1、如图所示,用绳子拴住或紧贴圆弧内侧轨道的小球,在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况.
（1）临界条件:小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力提供其做圆周运
动的向心力. 即
上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度
（2）能过最高点的条件:v≥v 临界.
（3）不能过最高点的条件:v<v 临界(实际上球还没有到最高点就脱离了轨道).
2、如图所示,用杆或圆形管道束缚住的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况.
（1）临界条件:由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能达到最高点的临界速度v 临界=0.
（2）如图甲所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力的情况:
当v=0 时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,其大小等于小球的重力,即FN=mg.
当
时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：
mg>FN>0.
当v=rg 时，FN=0.
当v>
时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.
（3）如图乙所示的小球过最高点时,光滑硬管对小球的弹力情况:
当0≤v
时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，
其取值范围是：mg≥FN>0.
当v=
时，FN=0.
当
时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.
随堂练习：长度为L=0.50 m 的轻质细杆OA,A 端有一质量m=3.0 kg 的小球,如图所示,小球以O 点为
圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是2.0 m/s,g 取10 m/s2,则此时细
杆OA 受到（ ）
A.6.0 N 的拉力 B.6.0 N 的压力 C.24 N 的拉力 D.24 N 的压力
答案：B
解：方法一:设小球以速度v0通过最高点时,球对杆的作用力恰好为零,即
,
得：
由于v=2.0 m/s<
m/s,可知过最高点时，球对细杆产生压力.如图甲所示,为小球的受力情况
图.
由牛顿第二定律
,得：
方法二：设杆对小球的作用力为FN（由于方向未知，可以设为向下）.
如图乙所示,由向心力公式得
则：
负号说明FN的方向与假设方向相反,即向上.
课 堂 练 习
1、对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是( )
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相同
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
答案：C
解：匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，
转过的角度也相等，A、B、D 正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，C 错误。
2、在探究向心力大小的表达式的实验中，如图所示的情景研究的是( )
A．向心力与质量之间的关系 B．向心力与角速度之间的关系
C．向心力与半径之间的关系 D．向心力与线速度之间的关系
答案：A
解：由题图知，两个小球质量不同，故实验研究的是向心力与质量之间的关系，A 正确。
3、在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O 点为圆心，能正确表示小滑块受到的牵引力F
及摩擦力f 的图是( )
答案：A
解：滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D 错误；
小滑块做匀速圆周运动，其合力提供向心力，故合力方向一定指向圆心，A 正确，C 错误。
4、(多选)如图所示为A、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A 的图线为
双曲线的一个分支，由图可知( )
A．A 物体运动的线速度大小不变 B．A 物体运动的角速度大小不变
C．B 物体运动的角速度大小不变 D．B 物体运动的角速度与半径成正比
答案：AC
解：因为A 的图线为双曲线的一个分支，说明a 与r 成反比，由a＝可知，A 物体运动的线速度大小
不变，故A 正确，B 错误；而B 的图线为过原点的直线，说明a 与r 成正比，由a＝ω2r 可知，B
物体运动的角速度大小不变，故C 正确，D 错误。
5、(多选)一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为r 的匀速圆周运动，则关于老鹰的向
心加速度的说法正确的是( )
A．大小为 B．大小为g－ C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内
答案：AC
解：根据an＝可知A 正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向
心加速度的方向在水平面内，C 正确。
6、如图所示，绳一端系着质量为M=0.6 kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质
量为m=0.3 kg 的物体，M 的中点与圆孔的距离为0.2 m,M 与水平面间的最大静摩擦力为2 N.现使
此平面绕中心轴线转动，问角速度ω 在什么范围内可使m 处于静止状态?(g 取10 m/s2)
答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 解：设物体M 受到的拉力为T、摩擦力为f.
当ω 有最小值时，静摩擦力方向背离圆心方向且最大，根据牛顿第二定律
对m 有T=mg，对M 有T-fm
. 所以
代入数据解得ω1=2.9 rad/s
当ω 有最大值时，水平面对M 的静摩擦力指向圆心且最大，根据牛顿第二定律
对M 有T+fm=
所以
代入数据解得ω2=6.5 rad/s 故2.9 rad/s≤ω≤6.5
rad/s.
课 后 练 习
1、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B，在各自不同的
水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是( )
A.小球的线速度vA＞vB B.小球的角速度ωA＞ωB
C.小球的加速度aA＞aB D.小球对内壁的压力 NA＞ NB
答案:A
解:对A 受力分析如图所示，B 受力图同理因为m 相同，θ 相同，故两球F N，F 合均相同，F 合为小
球做圆周运动的向心力.
由公式
可知：ωA＜ωB,vA＞vB，a A=aB
2、m 为在水平传送带上被传送的小物体（可视为质点），A 为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮
半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑.当m 可被水平抛出时.A 轮每秒的转速最少是( )
A
B.
C.
D.
答案:A 解:当m 可被水平抛出时，在终端皮带轮的最高点处有
又因为v=2πrn,故A 轮
的转速
，A 正确.
3、（多选）用原子级显微镜观察高真空度的空间，结果发现有一对分子甲和乙环绕一个共同“中
心”旋转，从而形成一个“双星”体系，观察中同时发现此“中心”离甲分子较近，如果这两个分
子间距离为r=r0时，其间相互作用力（即分子力）恰好为零，那么在上述“双星”体系中( )
A.甲、乙两分子间距离一定小于r0 B.甲、乙两分子间距离一定大于r0
C.甲的速度一定大于乙的速度 D.甲的质量一定大于乙的质量
答案:BD
解: 因为“双星”分子绕“中心”旋转时的向心力由分子引力提供，所以甲、乙两分子间距离一定
大于r0，B 对；“双星”体系的两个分子的向心力和角速度大小相等，v=ωr,根据题意r 甲＜r
乙，所以v 甲＜v 乙，C 选项错误；由
，得D 选项正确.
4、（多选）甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示.已知M 甲
=80 kg,M 乙=40 kg，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为96 N，下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度相同，约为40 m/s B.两人的角速度相同，为2 rad/s
C.两人的运动半径相同，都是0.45 m D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m,乙为0.6 m
答案:BD
解:两人面对面拉着弹簧秤做圆周运动所需向心力由相互作用力提供，角速度相同，即F=m 甲r 甲ω2=m
乙r 乙ω2，又由r 甲+r 乙=0.9 m，可解得r 甲=0.3 m，r 乙=0.6 m，ω=2 rad/s，再结合v=rω 有v 甲
=0.6 m/s，v 乙=1.2 m/s，B、D 选项正确.
5、（多选）如图所示，P 点与 N 点等高，Q 点有一光滑钉子，Q 点与E 点等高，O 是摆的悬点，O、
N、Q、M 在同一竖直线上.Q 为MN 的中点.将质量为m 的摆球拉到与竖直方向成60°的P 点后无初
速释放.当球摆到最低点时悬线被钉子挡住，球沿以Q 为中心的圆弧继续运动，下列对小球第一
次过M 点后的描述和最终状态的描述中正确的是( )
A.在过M 点后小球向左摆到 N 点后自由下落 B.在过M点后小球将在 NM 之间做自由下落
C.在过M 点的瞬间，绳对小球的拉力为小球重力的5 倍 D.小球最终将绕Q 点来回摆动
答案:CD
解:设摆线长OP 为l，在P 点静止释放后，由机械能守恒定律知，小球通过E 点时的速度为
又由于P 与 N 等高，E N 为圆周的部分轨道，任何一点都具有速
度，所以选项AB 错误.小球在过M 点的瞬间，绳对小球的拉力与球的重力的合力提供其做圆周运动
的向心力，根据牛顿第二定律得：
又据机械能守恒定律得：
联立①②得：FT=5mg,故选项C 正确. 由于小球第一次过E 点后，将在E N 点之间某点做斜抛运动，
在细绳绷紧的瞬间，由于冲击作用使小球的机械能损耗，下一次小球可能摆不到E 点.若下一次小球
仍能通过E 点，将第二次做斜抛运动，直到机械能小于E=
mgl，而绕Q 点来回摆动，所以描述终极
状态的选项D 正确.综合来看，选项CD 正确.
6、如图所示，水平转盘上放一小木块，当转速为60 r/min 时，木块离轴8 cm，并恰好与转盘间无
相对滑动；当转速增加到120 r/min 时，木块应放在离轴___ cm 处才能刚好与转盘保持相对静止.
答案:2
解:木块刚好保持与转盘相对静止时，它们间的最大静摩擦力充当其随转盘做匀速圆周运动的向心
力，则：
ω1=2πn1② ω2=2πn2③
由①②③得：
7、如图所示，半径为R 的圆板做圆周运动，当半径OB 转到某一方向时，在圆板中心正上方高h 处以
平行于OB 的方向水平抛出一个小球，要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为圆盘上的点B，则小
球的初速度与圆板转动的角速度分别为多少？
答案:
(n=0,1,2……)
解:（1）小球做平抛运动落到B 点所用时间为t，则R=v0t,h=
gt2 由上述两式可以得到v0=
.
(2)恰落在B 点，则平抛时间t 与圆周周期T 的关系是：t=nT(n=0,1,2,…)又知
由上述公式可知
(n=0,1,2,……).
8、如图所示，AB 为竖直转轴，细绳AC 和BC 的结点C 系一质量为m 的小球，两绳能承担的最大拉力
均为2mg，当AC 和BC 均拉直时∠ABC=90°,∠ACB=53°,ABC 能绕竖直轴AB 匀速转动，因而C 球在
水平面内做匀速圆周运动，求：
（1）当m 的线速度增大时，AC 和BC（BC=1 m）哪条绳先断？
（2）一条绳被拉断后，m 的速率继续增加，整个运动状态会发生什么变化？
解:(1)当小球线速度增大到BC 被拉直时，AC 线拉力
=1.25mg.当球速再增大些时，TAC 不
变，BC 线拉力随球速增大而增大，由
，可得当
时，TBC=2mg，BC 线先断.
（2）当BC 线断后，AC 线与竖直方向夹角α 因离心运动而增大，同时球速因重力而减小.当使球速
再增大时，角α 随球速增大而增大，根据
，可知当α=60°时，TAC=2mg，AC 也断.再
根据
,可知此时球速
9、在游乐园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏.据《新安晚报》报道，2007 年12 月31 日下午3 时
许，安徽芜湖方特欢乐世界游乐园的过山车因大风发生故障突然停止，16 名游客悬空10 多分钟后
被安全解救，事故幸未造成人员伤亡.游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示的装置演
示.斜槽轨道AB、EF 与半径R=0.4 m 的竖直圆轨道（圆心为O）相连，AB、EF 分别与圆O 相切于
B、E 点，C 为轨道的最低点，斜轨AB 倾角为37°.质量m=0.1 kg 的小球从A 点由静止释放，先后
经B 、C 、D 、E 到F 点落入小框. （整个装置的轨道光滑，取g=10 m/s2,sin37°=0.6 ，
cos37°=0.8）求：
（1）小球在光滑斜轨AB 上运动的过程中加速度的大小；
（2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，A 点距离最低点的竖直高度h 至少多高？
答案:(1)6.0 m/s2 (2)1.0 m
解:（1）小球在斜槽轨道AB 上受到重力和支持力作用，合力为重力沿斜面向下的分力.由牛顿第二定
律得mgsin37°=ma a=gsin37°=6.0 m/s2.
（2）要使小球从A 点到F 点的全过程不脱离轨道，只要在D 点不脱离轨道即可，
物体在D 点做圆周运动临界条件是：mg=mvD2/R
由机械能守恒定律得mg(h-2R)=mvD
2/2
解以上两式得A 点距离最低点的竖直高度h 至少为h=2R+vD
2/2g=2.5R=1.0 m.
提 高 练 习
1、(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺
时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
答案：BC
解：主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A 错误，B 正确；由于两轮边缘线速度大小
相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C 正确，D 错误。
2、(多选)小金属球质量为m，用长L 的轻悬线固定于O 点，在O 点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬
线沿水平方向拉直，如图所示。若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)(
)
A．小球的角速度突然增大 B．悬线的拉力突然减小
C．小球的向心力突然增大 D．小球的线速度突然增大
答案 AC
解：由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线
的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变，运动半径减小，由Fn＝m 可知向心力增大，则
悬线拉力增大，B、D 错误，A、C 正确。
3、(多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则
下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s 内通过的位移大小为 m D．小物块在π s 内通过的路程为零
答案：AB
解：因为an＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，A、B 正确；小物
块在 s 内转过弧度，通过的位移大小为 m，在π s 内转过一周，通过的路程为2π m，C、D 错
误。
4、(多选)如图所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案：BD
解：圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A 错误，B 正确。
小球在水平线ab 以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小
球有作用力，C 错误，D 正确。
5、置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开
始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平
位移的大小s＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。
求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
答案 (1)1 m/s (2)0.2 解：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H＝gt2① 在水平方向上
有s＝v0t ② 由①②式解得v0＝1 m/s。③ (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fmax＝m ④ fmax＝μN＝μmg ⑤ 由③④⑤式解得μ＝0.2。
6、滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，质量为50 kg 的滑板运动员恰好从B 点进入半径
为2.0 m 的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C 点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C 点时的速度大
小为10 m/s。求他到达C 点前瞬间的加速度大小和对轨道的压力大小。(不计各种阻力，g 取10
m/s2)
答案 50 m/s2 3000 N
解：运动员到达C 点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝ m/s2＝50 m/s2，方向在该位置指向圆
心，即竖直向上。重力和轨道的支持力的合力提供向心力，FN－mg＝ma，故FN＝3000 N，由牛顿第三
定律可知，FN′＝3000 N。
7、地球半径R＝6400 km，站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的角速度分别是多大？
他们的线速度分别是多大？
答案 7.3×10－5 rad/s 7.3×10－5 rad/s 467.2 m/s 233.6 m/s
解：画出地球自转示意图，如图所示，设赤道上的人站在A 点，北纬60°上的人站在B 点，地球自
转角速度固定不变，A、B 两点的角速度相同，有：ωA＝ωB＝＝ rad/s＝7.3×10－5 rad/s
依题意可知，A、B 两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为：RA＝R，RB＝Rcos60°，
则由v＝ωr 可知，A、B 两点的线速度分别为：
vA＝ωARA＝7.3×10－5×6400×103 m/s＝467.2 m/s
vB＝ωBRB＝7.3×10－5×6400×103× m/s＝233.6 m/s
即赤道上和北纬60°上的人随地球转动的角速度都为7.3×10－5 rad/s，赤道上和北纬60°上的人
随地球转动的线速度分别为467.2 m/s 和233.6 m/s。
8、长L＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A，A 的质量m＝2 kg。现让A 在竖直平面内绕轻杆另
一端O 点做匀速圆周运动，如图所示。在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小。
(g＝10 m/s2) (1)A 的速率为1 m/s； (2)A 的速率为4 m/s。
答案 (1)16 N (2)44 N
解：以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F， 则有mg＋F＝m。
(1)代入数据v1＝1 m/s， 可得F1＝m＝2× N＝－16 N，
即A 受到杆的支持力为16 N。
根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16 N。
(2)代入数据v2＝4 m/s， 可得F2＝m＝2× N＝44 N，
即A 受到杆的拉力为44 N。 根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
