文档文本内容
传动装置及周期性
模块1
描述圆周运动的物理量
3
模块2
传动装置
6
模块3
圆周运动的周期性
9
向心力应用进阶
模块1
向心力与向心加速度
15
模块2
匀速圆周运动
18
圆周运动模型进阶
模块1
竖直面圆周
27
模块2
生活中的圆周
31
行星运动定律
模块1
开普勒三定律
39
模块2
万有引力定律
42
目录
Contents
万有引力定律进阶
模块1
万有引力与重力
51
模块2
万有引力与环绕天体
54
万有引力与航天
模块1
天体参数的计算
61
模块2
万有引力与变轨
63
曲线运动综合提升
模块1
平抛与圆周
73
模块2
万有引力
77
第1 讲
传动装置及周期
性
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3
1
1
模块
1
描述圆周运动的物理量
知识凝炼
1
定义：圆周运动就是轨迹为圆的运动。
2
圆周运动的描述
(1) 线速度：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来度量。
如图，物体沿圆弧由M 向N 运动，某时刻t 经过A 点。为了描述物体经过A 点附近时运动的快慢，可以
从此时刻开始取一段很短的时间∆t，通过的弧长为∆s。则A 点线速度为v = ∆s
∆t 。
当∆t →0 时，弧AB 与线段AB 几乎没有差别，此时的弧长∆s 就是物体的位移∆l。此时的线速度即为A
点的瞬时速度，其方向与半径OA 垂直，即速度方向与轨迹相切。
(2) 匀速圆周运动：物体做圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(3) 角速度：圆周运动的快慢还可以用它与圆心连线扫过角度的快慢来描述。
做圆周运动的物体，在很短的时间∆t 内转过的角为∆θ，则角速度为ω = ∆θ
∆t 。角速度的单位为“rad/s”(弧
度/秒)。
(4) 周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间。
周期用T 表示，单位是秒(s)。
(5) 转速：转速是指做匀速圆周运动的物体，单位时间内转过的圈数。
技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。
转速用n 表示，单位是转/秒(r/s)，或转/分(r/min)。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
4
1
(6) 几个物理量之间的关系：
如图，设圆周运动半径为r，由A 到B 的时间为∆t，AB 弧长为∆l，AB 弧对应的圆心角为∆θ。当∆θ 以弧
度为单位时，∆θ = ∆l
r 。由于∆l = v∆t，∆θ = ω∆t，所以有v = ωr。
精讲精练
例1
★★
教师在黑板上画圆，圆规脚之间的距离是25cm，他保持这个距离不变，让粉笔在黑板上匀速地画了一个
圆，粉笔的线速度是2.5m/s。关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是0.1rad/s；②角速度是10rad/s；
③周期是10s；④周期是0.628s；⑤频率是10Hz；⑥频率是1.59Hz；⑦转速小于2r/s；⑧转速大于
2r/s；下列哪个选项中的结果是全部正确的（ ）
A. ①③⑤⑦
B. ②④⑤⑦
C. ②④⑥⑦
D. ②④⑥⑧
达标检测1
★★★
某品牌的机械鼠标内部构如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2.0cm，某次操作中将鼠标沿直线匀
速移动12cm 需要1s，则定位球的角速度为（ ）
A. π
12rad/s
B. π
6 rad/s
C. 6rad/s
D. 12rad/s
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5
1
例2
★★★
高明同学撑一把雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径为R，现将雨伞绕竖直伞杆以角速度
ω 匀速转动，伞边缘上的水滴落到地面，落点形成一个半径为r 的圆形，伞边缘距离地面的高度为h，则
当地重力加速度的大小为（ ）
A. 2hω2R2
r2 −R2
B. 2hω2r2
r2 −R2
C. 2hω2R2
(r −R)2
D. 2hω2R2
r2
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6
1
2
模块
2
传动装置
知识凝炼
传动装置中各物理量之间的关系：
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
①同转动轴的各点角速度ω 相等，而线速度v = ωr 与半径r 成正比。
②当皮带不打滑时，与传动皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω = v
r 与半径r 成反
比。
精讲精练
达标检测2
★★
正确率：57%
如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做逆时针转动，转
速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法中正确的是（ ）
A. 从动轮做顺时针转动
B. 从动轮做逆时针转动
C. 从动轮的转速为r1
r2
n
D. 从动轮的转速为r2
r1
n
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7
1
例3
★★★
正确率：32%
在汽车无级变速器中，存在如图所示的装置，A 是与B 同轴相连的齿轮，C 是与D 同轴相连的齿轮，A、
C、M 为相互咬合的齿轮。已知齿轮A、C 规格相同，半径为R，齿轮B、D 规格也相同，半径为1.5R，齿轮
M 的半径为0.9R。当齿轮M 如图方向转动时，下列说法正确的是（ ）
A. 齿轮D 和齿轮B 的转动方向不相同
B. 齿轮D 和齿轮A 的转动周期之比为1 : 1
C. 齿轮M 和齿轮C 的角速度大小之比为9 : 10
D. 齿轮M 和齿轮B 边缘某点的线速度大小之比为2 : 3
达标检测3
★★★
如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1 的大齿轮，Ⅱ是半径为r2 的小齿轮，Ⅲ是
半径为r3 的后轮，假设脚踏板的转速为n (单位是r/s)，则自行车前进的速度大小为（ ）
A. πnr1r3
r2
B. πnr2r3
r1
C. 2πnr1r3
r2
D. 2πnr2r3
r1
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8
1
例4
★★★★
无级变速是指在变速范围内任意连续地变换速度，其性能优于传统的档位变速器，很多高档汽车都应用
了“无级变速”，如图所示为一种“滚轮-平盘无级变速器”的示意图，它由固定在主动轴上的平盘和可随
从动轴移动的圆柱形滚轮组成，由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会
打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r 以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x 之间
的关系是（ ）
A. n2 = n1 x
r
B. n1 = n2 x
r
C. n2 = n1 x2
r2
D. n2 = n1
√x
r
例5
★★★★正确率：88%
如图所示为某一皮带传动装置，M 是主动轮，其半径为r1，M′ 半径也为r1，M′ 和N 在同一轴上，N 和
N′ 的半径都为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑，则下列说法正确的是
（ ）
A. N′ 轮做的是逆时针转动
B. N′ 轮做的是顺时针转动
C. N′ 轮的转速为
(
r1
r2
)2
n
D. N′ 轮的转速为
(
r2
r1
)2
n
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9
1
3
模块
3
圆周运动的周期性
精讲精练
例6
★★★
有一底面半径为r 的筒绕其中心轴线做角速度为ω 的匀速圆周运动，如图所示，今用一枪对准筒的轴
线射击，当子弹穿过圆筒后发现筒上留下两个弹孔，且两弹孔的连线正好位于筒的一条直径上，则子弹
的速度可能值为（ ）
A. ωr
π
B. ωr
2π
C. 2ωr
π
D. 2ωr
3π
例7
★★★★
如图所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距圆周最
高点h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则小球Q 的角速度ω 应满足什么条件？
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10
1
直击高考
考题
正确率：61%
风速仪结构如图(a) 所示，光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸
轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为r，每转动n 圈带动
凸轮圆盘转动一圈。若某段时间∆t 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b) 所示，则该时间段
内风轮叶片（ ）
A. 转速逐渐减小，平均速率为4πnr
∆t
B. 转速逐渐减小，平均速率为8πnr
∆t
C. 转速逐渐增大，平均速率为4πnr
∆t
D. 转速逐渐增大，平均速率为8πnr
∆t
答案
B
解析
据题意，从(b) 图可以看出，在∆t 时间内，探测器接收到光的时间在增长，圆盘凸轮的挡光时间也在增
长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；还可以从图看出在∆t 时间内有4 次挡光，即圆盘转动4 周，
则风轮叶片转动了4n 周，风轮叶片转过的弧长为l = 4n×2πr，叶片转动平均速率为：v = 8nπr
∆t ，故选
项B 正确。
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11
1
随堂测试
测试1
正确率：64%
A、B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA : sB = 2 : 3，转过的角度
之比φA : φB = 3 : 2，则下列说法正确的是（ ）
A. 它们的半径之比rA : rB = 2 : 3
B. 它们的半径之比rA : rB = 4 : 9
C. 它们的周期之比TA : TB = 2 : 3
D. 它们的转速之比nA : nB = 2 : 3
测试2
正确率：83%
如图所示是一个玩具陀螺，a、b 和c 是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω 稳定
旋转时，下列表述正确的是（ ）
A. a、b 和c 三点的线速度大小相等
B. a、b 和c 三点的角速度相等
C. a、b 的角速度比c 的大
D. c 的线速度比a、b 的大
测试3 —位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A 点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛
出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O 点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A 点，下列说法正确的
是（ ）
A. 从飞镖抛出到恰好击中A 点，圆盘一定转动
B. 从飞镖抛出到恰好击中A 点的时间为L
v0
C. 圆盘的半径为gL2
4v02
D. 圆盘转动的角速度为2kπv0
L
(k = 1，2，3···)
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12
1
课堂总结
第2 讲
向心力应用进阶
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15
2
1
模块
1
向心力与向心加速度
知识凝炼
向心加速度的大小
如图丁，当∆t 很小时，有∆v
v = ∆l
r ，所以a = ∆v
∆t = v∆l
r∆t = v2
r = ω2r。
向心力的大小
由牛顿第二定律，F = ma = mv2
r = mω2r。
向心力是做匀速圆周运动的物体所受的合力，是按效果命名的力。它的方向时刻在改变，因此向心力是变
力。
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16
2
精讲精练
达标检测1
★★
一质点做匀速圆周运动，轨道半径为R，向心加速度为an，则质点（ ）
A. 在时间t 内绕圆心转过的角度θ =
√an
R ·t
B. 在时间t 内走过的路程x =
√an
R ·t
C. 运动的线速度v = √Ran
D. 运动的周期T = 2π
√an
R
例1
★★★
共享单车是一种新型、便捷的公共交通方式，如图是某共享单车采用的无链传动系统，杜绝了传统自行
车“掉链子“问题，利用圆锥齿轮90◦轴交，将动力传至后轴，90◦轴交的示意图中，A 是圆锥齿轮转轴上
的点，B、C 分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C 三点的距离分别记为rA、rB
和rC (rA̸ = rB̸ = rC)，下列说法正确的是（ ）
A. B 与C 点的角速度关系为ωC = ωB
B. C 与A 点的线速度关系为vC = rB
rA
vA
C. B 与A 点的角速度关系为ωB = rA
rB
ωC
D. A 与C 点的向心加速度关系为aA = rA
rC
aC
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17
2
例2
★★★
如图所示，一质点沿螺旋线自外向内运动，已知其走过的弧长s 与运动时间t 成正比，关于该质点的运
动，下列说法正确的是（ ）
A. 质点运动的线速度越来越大
B. 质点运动的加速度越来越大
C. 质点运动的角速度越来越大
D. 质点所受的合外力越来越大
例3
★★★
如图所示，压路机大轮的半径R 是小轮半径r 的2 倍，当压路机匀速行驶时，大轮边缘上A 点的向心
加速度为0.12m/s2，那么小轮边缘上B 点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为R
3 的C 点的向
心加速度为多大？
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18
2
2
模块
2
匀速圆周运动
知识凝炼
1
向心力的来源及分析
⑴向心力的来源；
①向心力是按力的作用效果命名的，它可以由某种性质的力来充当，如重力、弹力等；
②向心力可以是几个力的合力或某个力的分力。
⑵分析向心力的一般步骤
①首先确定圆周运动的轨道所在的平面；
②其次找出轨道圆心的位置；
③最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。
2
当物体所受到的合外力等于所需要的向心力，即F合=mω2r 时，物体做匀速圆周运动；
3
当物体所受到的合外力小于所需要的向心力，即F合<mω2r 时，物体做离心运动；
4
当物体所受到的向心力大于所需要的向心力，即F合>mω2r 时，物体做向心运动。
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19
2
精讲精练
例4
★★★
正确率：59%
如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点，设法让两个小
球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1 跟竖直方向的夹角为60◦，L2 跟竖直方向的夹角为30◦，下列
说法正确的是（ ）
A. 细线L1 和细线L2 所受的拉力大小之比为3 : 1
B. 小球m1 和m2 的角速度大小之比为3 : 1
C. 小球m1 和m2 的向心力大小之比为3 : 1
D. 小球m1 和m2 的线速度大小之比为3
√
3 : 1
达标检测2
★★★
正确率：68%
如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则
它们的（ ）
A. 周期相同
B. 线速度的大小相等
C. 角速度的大小相等
D. 向心加速度的大小相等
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20
2
例5
★★★
正确率：65%
如图，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视为质点) 放在水平圆盘上，a 与转轴OO′ 的距离为l，b 与转
轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静
止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A. b 一定比a 先开始滑动
B. a、b 所受的摩擦力始终相等
C. ω =
√
kg
2l 是b 开始滑动的临界角速度
D. 当ω =
√
2kg
3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg
达标检测3
★★★★
水平放置的三个不同材料制成的圆轮A、B、C，用不打滑皮带相连，如图所示(俯视图)，三圆轮的半径之
比为RA : RB : RC = 3 : 2 : 1，当主动轮C 匀速转动时，在三轮的边缘上分别放置一小物块P (可视为质
点)，P 均恰能相对静止在各轮的边缘上，设小物块P 所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块P 与
轮A、B、C 接触面间的动摩擦因数分别为µA、µB、µC ，A、B、C 三轮转动的角速度分别为ωA、ωB、ωC，则
（ ）
A. µA : µB : µC = 2 : 3 : 6
B. µA : µB : µC = 6 : 3 : 2
C. ωA : ωB : ωC = 1 : 2 : 3
D. ωA : ωB : ωC = 6 : 3 : 2
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21
2
例6
★★★★正确率：74%
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度ω 转动，盘面上离转轴距离
2.5m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为
√
3
2 (设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30◦，g 取10m/s2。则ω 的最大值是（ ）
A.
√
5rad/s
B.
√
3rad/s
C. 1.0rad/s
D. 0.5rad/s
例7
★★★★★
如图所示，光滑杆AB 长为L，B 端固定一根劲度系数为k，原长为l0 的轻弹簧，质量为m 的小球套在光
滑杆上并与弹簧的上端连接，OO′ 为过B 点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ。
（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a 及小球的速
度最大时弹簧的压缩量∆l1。
（2）当球随杆一起绕OO′ 轴匀速转动时，弹簧伸长量为∆l2，求匀速转动的角速度ω。
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22
2
直击高考
考题
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航
天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆
柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是
（ ）
A. 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B. 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C. 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D. 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
答案
B
解析
解：旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的旋转舱的支持力提供其圆
周运动所需的向心力，且等于重力，所以FN = mω2r = mg，所以有g = ω2r，旋转舱的角速度与宇航员
的质量无关；旋转舱的半径越大，转动的角速度ω 就应越小。
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23
2
随堂测试
测试1
正确率：65%
如图所示为P、Q 两物体做匀速圆周运动的向心加速度an 的大小随半径r 变化的图象，其中P 为双曲
线的一个分支，由图可知（ ）
A. P 物体运动的线速度大小不变
B. P 物体运动的角速度不变
C. Q 物体运动的角速度不变
D. Q 物体运动的线速度大小不变
测试2
正确率：64%
如图所示，水平转盘上的A、B、C 三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；B、C 处
物块的质量相等且均为m，A 处物块的质量为2m；点A、B 与轴O 的距离相等且为r，点C 到轴O 的
距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C 处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的
是（ ）
A. B 处物块的向心加速度最大
B. B 处物块受到的静摩擦力最小
C. 当转速增大时，最先滑动起来的是A 处的物块
D. 当转速继续增大时，最后滑动起来的是C 处的物块
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24
2
测试3 如图所示，已知两个小物块A、B 的质量分别为2m 和m，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动，它
们的轨道半径之比为rA : rB = 1 : 2，小物块A、B 与圆盘之间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是
（ ）
A. 小物块A 所受摩擦力的方向与轨迹圆相切
B. 小物块A、B 所受向心力大小相等
C. 小物块A、B 的向心加速度大小之比为1 : 2
D. 若逐渐增大圆盘角速度，小物块B 首先相对圆盘滑动
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25
2
课堂总结
第3 讲
圆周运动模型进
阶
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27
3
1
模块
1
竖直面圆周
知识凝炼
在一定的束缚条件下竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周
运动的问题，中学物理只研究通过最高点和最低点的情况，并且经常出现“临界”问题。常见有绳、杆、弹簧、面等
约束物作用下的变速圆周运动，如: 绳只能产生拉力，而杆既能产生拉力，也能产生支持力。
1
用绳子拴住或紧贴圆弧内侧轨道的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点情况(轻绳模型):
临界条件: 小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力) 刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向
心力，即mg = mv临界
2
r
。式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度v=√gr。
2
用杆或圆形管道束缚住的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况(轻杆模型):
临界条件: 由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界= 0。
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28
3
精讲精练
例1
★★★
正确率：58%
如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是
（ ）
A. 小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B. 小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C. 若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D. 小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力
例2
★★★★正确率：36%
如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运
动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F −v2 图象如
乙图所示。则（ ）
A. 小球的质量为aR
b
B. 当地的重力加速度大小为R
b
C. v2 = c 时，小球对杆的弹力方向向上
D. v2 = 2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等
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3
达标检测1
★★★
如图所示，小球m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球通过最高点的最小速度为v = √gR
B. 小球通过最高点的最小速度可以为0
C. 小球在水平线ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
例3
★★★★
“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极
球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图1 所示的
平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图1 中的A、
B、C、D 位置时球与板间无相对运动趋势。A 为圆周的最高点，C 为最低点，B、D 与圆心O 等高。设球
的重力为1N，不计拍的重力。下列说法正确的是（ ）
A. 健身者在C 处所需施加的力比在A 处大3N
B. 健身者在C 处所需施加的力比在A 处大1N
C. 设在A 处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D 位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，作
出的tanθ −F 的关系图象为图2
D. 设在A 处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D 位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，作
出的tanθ −F 的关系图象为图3
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
30
3
达标检测2
★★★★正确率：67%
如图所示，小物体位于半径为R 的半球顶端，若给小物体一水平初速度v0 时，小物体对半球顶端恰无
压力，则（ ）
A. 物体立即离开球面做平抛运动
B. 物体落地时水平位移为
√
2R
C. 物体的初速度v0 = √gR
D. 物体着地时速度方向与地面成45◦角
例4
★★★★
电动打夯机的结构如图所示，由偏心轮(由飞轮和配重物m 组成)、电动机和底座三部分组成，飞轮上的
配重物的质量m = 6kg。电动机、飞轮(不含配重物) 和底座总质量M = 30kg，配重物的重心到轮轴的距
离r = 20cm。在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好
使整体离开地面，g 取10m/s2，求：
（1）在电动机带动下，偏心轮转动的角速度ω。
（2）打夯机对地面的最大压力N。
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31
3
2
模块
2
生活中的圆周
知识凝炼
生活中的圆周运动实例分析
1
火车转弯问题
火车转弯时实际是在做圆周运动，如果铁路弯道的内外轨是一样高的，那么火车转弯时外侧车轮的轮缘将
挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力。但是火车的质量太大，靠这种方法得到向心力，轮缘与外
轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。因此，修筑铁路时，通常根据弯道的半径和规定的行驶速度，适
当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和地面支持力FN 的合力来提供，以减
小对铁轨的挤压(如图所示)。
分析：F合= mgtanθ = m
v2
规定
R
，
2
汽车过拱桥
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
32
3
⑴汽车过桥时的运动也可以看作圆周运动。设汽车的质量为m，在拱形桥上以速度v 前进，桥面的圆弧
半径为R。则汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供汽车运动的向心力
汽车对桥的压力FN = G−mv2
R
⑵汽车通过凹形桥时最低点汽车对桥的压力，
FN′ = G+mv2
R
精讲精练
例5
★★★
正确率：57%
公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0 时，
汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处（ ）
A. 路面外侧高内侧低
B. 车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C. 车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D. 当路面结冰时，与未结冰时相比，v0 的值变小
例6
★★★
火车以安全速率v 通过某一半径的弯道时，内外轨均不受侧压力的作用，若重力加速度为g，下面说法
正确的是（ ）
A. 此轨道的半径为R = v2
g
B. 若火车速度大于v 时，外轨将受到侧压力的作用，其方向平行于轨道平面向外
C. 当火车质量改变时，安全速率也将改变
D. 当轨道轻微结冰时，与未结冰时相比，v 的值不变化
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33
3
达标检测3
★★★
正确率：59%
铁路在弯道处的内外轨道的高度是不同的，已知内外轨道与水平面的倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆
弧半径为R，若质量为m 的火车转弯时的速度小于√gRtanθ，则（ ）
A. 内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B. 外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C. 这时铁轨对火车的支持力等于
mg
cosθ
D. 这时铁轨对火车的支持力小于
mg
cosθ
例7
★★★
如图一辆质量为500kg 的汽车静止在一座半径为50m 的圆弧形拱桥顶部。(取g = 10m/s2)
（1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（2）如果汽车以6m/s 的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
34
3
直击高考
考题
正确率：59%
如图，在竖直平面内，滑道ABC 关于B 点对称，且A，B，C 三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A
滑到C，所用时间为t1，第二次由C 滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程
始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（ ）
A. t1 < t2
B. t1 = t2
C. t1 > t2
D. 无法比较t1、t2 的大小
答案
A
解析
解：在AB 段，根据牛顿第二定律得mg−FN = mv2
R ，速度越大，滑块受到的支持力越小，摩擦力就越小；
在BC 段，根据牛顿第二定律得FN −mg = mv2
R ，速度越大，滑块受到的支持力越大，摩擦力就越大；
由题意知从A 运动到C 相比从C 运动到A，在AB 段速度较大，在BC 段速度较小，所以从A 运动到
C 的过程受到的摩擦力较小，用时短。
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35
3
随堂测试
测试1 如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做
圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是(重力加速度为g)（ ）
A. v 的最小值为gl
B. v 由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C. 当v 由√gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D. 当v 由√gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐减小
测试2
正确率：67%
如图所示，
“小飞侠”科比在带球过人时身体与地面的夹角为60◦，为保持身体稳定，地面对运动员的力
必须与身体平行。若其转弯半径约为5m，重力加速度g = 10m/s2，则“小飞侠”此时运动的速度大小约
为（ ）
A. 2m/s
B. 5m/s
C. 9m/s
D. 12m/s
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
36
3
测试3 如图所示，有些地区的铁路由于弯多、弯急，路况复杂，依靠现有车型提速的难度较大，铁路部门通过引
进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题，摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的
新型高速列车。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，使得车厢受到的弹力FN 与车厢底板
垂直，FN 与车厢重力的合力恰好提供向心力，车翻没有离心侧翻的趋势，当列车行走在直线上时，车厢
又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。它的优点是能够在现有线路上运行，无需对线路等设施进行较大
的改造。运行实践表明；摆式列车通过弯道的速度相比普通列车可提高20%∽40%，最高可达50%，摆
式列车不愧为“曲线冲刺能手”。假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360km/h 的速度转弯，转
弯半径为2km，则质量为50kg 的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力约为（ ）
A. 500N
B. 559N
C. 707N
D. 0
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37
3
课堂总结
第4 讲
行星运动定律
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39
4
1
模块
1
开普勒三定律
知识凝炼
开普勒的行星运动规律
1
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(轨道定律)
2
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(面积定律)
3
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即a3
T 2 = k 其中a 代表椭圆
轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个对所有行星都相同的常量。(周期定律)
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
40
4
精讲精练
达标检测1
★★
如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是（ ）
A. 在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是不变的
B. 太阳系中的所有行星有一个共同的轨道焦点
C. 一个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D. 行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
例1
★★
正确率：68%
某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时，行星的速率
为va，则过近日点时，行星的速率（ ）
A. vb = b
ava
B. vb =
√a
bva
C. vb = a
bva
D. vb =
√
b
ava
例2
★★★
如图，人造卫星M、N 在同一平面内绕地心O 做匀速圆周运动。已知M、N 连线与M、O 连线间的夹角
最大为θ，则M、N 的运动周期之比等于（ ）
A. sin3θ
B.
1
sin3θ
C.
√
sin3θ
D.
√
1
sin3θ
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41
4
达标检测2
★★★
正确率：64%
为了探测引力波，
“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16 倍；另一地球卫星Q
的轨道半径约为地球半径的4 倍。P 与Q 的周期之比约为（ ）
A. 2 : 1
B. 4 : 1
C. 8 : 1
D. 16 : 1
例3
★★★★正确率：57%
某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所
示。该行星与地球的公转半径之比为（ ）
A.
(
N +1
N
)2
3
B.
(
N
N −1
)2
3
C.
(
N +1
N
)3
2
D.
(
N
N −1
)3
2
例4
★★★★
A、B 两地球卫星均在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们运动的轨道半径之比rA : rB = 1 : 4，
A 的周期为T0，某一时刻A、B 两卫星相距最近，则此时刻开始到A、B 相距最远经历的时间可能是
（ ）
A. 4
7T0
B. 8
7T0
C. 12
7 T0
D. 16
7 T0
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
42
4
2
模块
2
万有引力定律
知识凝炼
1
科学家对行星运动原因的猜想
⑴开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比；
⑵伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵从不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的；
⑶笛卡尔：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡。太阳和行星在各自的漩涡中心。行星
漩涡带动卫星运动，太阳的漩涡带动行星和卫星一起运动；
⑷胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比，重力是由地球引力产
生的；
⑸牛顿：以任何方式改变速度(包括方向) 都需要力，因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆
焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力。
2
太阳与行星间的引力
我们把行星的轨道当做圆来处理，简要回顾牛顿对天体的思考过程。
⑴太阳对行星的引力
①牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的答案是：以
任何方式改变速度(包括改变速度的方向) 都需要力。所以行星做圆周运动，必定是受到了太阳的引力。
②设行星质量是m，速度是v，行星到太阳的距离是r，则行星受到太阳的引力F = mv2
r
③天文观测难以观测行星运行的速度，但可观测其公转周期T。将v = 2π r
T
代入，将会
F = 4π 2mr
T 2
④将开普勒第三定律r3
T 2 = k 代入，有
F = 4π 2k m
r2
其中k 与行星无关。
⑵行星对太阳的引力
①根据相互性，行星对太阳的引力应该有
F′ = 4π 2k′ M
r2
其中k′ 与太阳无关。M 是太阳的质量。
②根据牛顿第三定律，有F = F′。这就是说，太阳与行星之间的这个引力，既要与M 成正比，又要与m
成正比，还要与r 的平方成反比。
F = GMm
r2
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43
4
G 与太阳、行星均无关，是一个常量。引力的方向沿着二者的连线。从纷繁的数据到开普勒行星运动定律，
再到一个公式，形式越来越简单，但意义却越来越深刻。
3
万有引力定律的月—地检验
①牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人起跳后又能落回地球是因为人受到地球的引
力，这些力是否是同一性质的力？是否遵循相同的规律？由于当时条件有限，自然想到通过月球来验证。
②月—地检验：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，由于引力与距离的二次方成反比的关系，那么
月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的
1
3600，因为月心到地心的距离是地球半
径的60 倍。
③牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
a = 4π 2r
T 2
= 2.74×10−3m/s2
④一个物体在地面上的重力加速度为g = 9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三
定律，得a =
1
602 g = 2.72×10−3m/s2。
⑤检测结果：月球围绕地做近似圆周运动的向心加速度接近地球地面重力加速度的1/3600，即地球对地
面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循统一规律。
精讲精练
例5
★★
正确率：91%
下列关于万有引力定律的说法中正确的是（ ）
A. 公式F = Gm1m2
r2
中的G 是一个比例系数，它没有单位
B. 公式F = Gm1m2
r2
中的G 是引力恒量，这是由实验得出的而不是人为规定的
C. 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大
D. 两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
例6
★★
两个质点相距r 时，它们之间的万有引力为F，若它们间的距离缩短为r
2，其中一个质点的质量变为原
来的2 倍，则它们之间的万有引力为（ ）
A. 2F
B. 4F
C. 8F
D. 16F
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
44
4
达标检测3
★★★
正确率：56%
两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个
半径是小铁球2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A. 2F
B. 4F
C. 8F
D. 16F
例7
★★★★
一个质量为M 的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R 的球，放在相距为d 的地方，
求：
（1）从球的正中心挖去，如图甲所示，两球之间的引力是多大？
（2）从与球面相切处挖去，如图乙所示，两球之间的引力是多大？
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45
4
例8
★★★
正确率：81%
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从
M 中挖去一半径为R
2 的球体(如图)，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2 倍的物质，如图所
示。则填充后的实心球体对m 的万有引力为（ ）
A. 11GMm
36R2
B. 7GMm
8R2
C. GMm
18R2
D. 13GMm
36R2
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
46
4
直击高考
考题
(1) 开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期
T 的二次方成正比，即a3
T 2 = k，k 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处
理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
(2) 开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测
定月地距离为3.84 × 108m，月球绕地球运动的周期为2.36 × 106s，试计算地球的质量M地。（G =
6.67×10−11N·m2/kg2，结果保留一位有效数字）
答案
(1)k =
G
4π 2 M太
(2)M地= 6×1024kg
解析
(1) 因行星绕太阳做圆周运动，于是轨道半长轴a 即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律
有
Gm行M太
r2
= m行
(
2π
T
)2
r①，
于是有r3
T 2 = G
4π2 M太②，
即k = G
4π2 M太，
(2) 在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T ′，由②式可得
R3
T ′2 = G
4π2 M地，
解得M地≈6×1024kg。
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47
4
随堂测试
测试1
正确率：91%
关于开普勒第三定律的公式R3
T 2 = k，下列说法中正确的是（ ）
A. 公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B. 式中的R 只能为做圆周轨道运行的半径
C. 公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星或卫星
D. 围绕不同星球运行的行星或卫星，其k 值相同
测试2
正确率：78%
长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1 = 19600km，公转
周期T1 = 6.39 天。2006 年3 月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径
r2 = 48000km，则它的公转周期T2 最接近于（ ）
A. 15 天
B. 25 天
C. 35 天
D. 45 天
测试3
正确率：69%
要使两物体间的万有引力减小到原来的1
4，下列办法可以采用的是（ ）
A. 使两物体的质量各减小一半，距离不变
B. 使其中一个物体的质量减小到原来的1
4，距离不变
C. 使两物体间的距离增大为原来的2 倍，质量不变
D. 使两物体间的距离和质量都减小到原来的1
4
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
48
4
课堂总结
第5 讲
万有引力定律进
阶
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51
5
1
模块
1
万有引力与重力
知识凝炼
1
重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的
合力。
如图所示，F引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于
F向= mω2r，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐
增大。但F向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即GMm
R2 = mg，得g = G M
R2 。
在赤道处，物体的F引分解的两个分力F向和mg 刚好在一条直线上，则有F引= F向+mg。
2
重力与纬度关系
①除在赤道和两极外，重力的方向并不指向地心。
②重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而增大。
在赤道上:GMm
R2 = mω2R+mg。
在两极：GMm
R2 = mg
在其他位置：重力的大小mg < GMm
R2 。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
52
5
精讲精练
例1
★★★
正确率：64%
据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4 倍，一个在地球表面重
量为600N 的人在这个行星表面的重量将变为960N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为
（ ）
A. 0.5
B. 2
C. 3.2
D. 4
达标检测1
★★★
正确率：44%
某星球“一天”的时间是T = 6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重
力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来。这时星球的“一天”
是
小时。(结果保留两位有效数字)
例2
★★★
已知月球的质量m1 = 5×1022kg，半径R =
√
3×103km，月球球心到地球球心的距离r = 4×105km，地
球的质量m2 = 6.4×1024kg，(G = 6.67×10−11N·m2/kg2) 求：
（1）地球、月球间的万有引力的值多少？
（2）月球表面的自由落体加速度多大？(结果保留两位有效数字)
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53
5
例3
★★★★正确率：46%
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的
引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A. 1−d
R
B. 1+ d
R
C.
(
R−d
R
)2
D.
(
R
R−d
)2
例4
★★★★
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g
2 向上做匀加速运动，升到某一
高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的17
18。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g
为地面附近重力加速度）
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
54
5
2
模块
2
万有引力与环绕天体
知识凝炼
卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系：天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引
力，即GMm
r2 = mv2
r = mω2r = m
(
2π
T
)2
r = ma。由此得出：
v =
√
GM
r ，即线速度v ∝
√
1
r ；
ω =
√
GM
r3 ，即角速度ω ∝
√
1
r3 ；
T =
√
4π 2r3
GM ，即周期T ∝
√
r3；
a = GM
r2 ，即向心加速度a ∝1
r2 。
1
近地卫星
近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。近地卫星具有：
⑴最大的环绕速度v =
√
GM
R
≈7.9km/s
⑵最短的周期T = 2π
√
R3
GM ≈84min
2
地球同步卫星
同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫同步通
信卫星。同步卫星有以下几个特点：
⑴周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于
地球自转的周期，即T = 24h。
⑵角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
⑶轨道一定：
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期都相同，由r =
3
√
GMT 2
4π 2
知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同一轨道
运动，其确定的高度约为3.59×104 km。
⑷环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08km/s。环绕方向与地
球自转方向相同。
⑸向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都
相同，约为0.23m/s2。
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55
5
精讲精练
例5
★★★
某同步卫星距地面高度为h，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω，则该
卫星的周期为（ ）
A. 2π
√R
g
B. 2π (R+h)
R
√R+h
g
C. 2πh
R
√R
g
D. 2π
ω
达标检测2
★★★
在圆轨道上质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地球表面的重力加速度为
g，则（ ）
A. 卫星运动的线速度为√2Rg
B. 卫星运动的周期为4π
√2R
g
C. 卫星的向心加速度为1
2g
D. 卫星的角速度为1
2
√g
2R
例6
★★★★正确率：69%
已知地球的半径为R，地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，无线电信号的传播速度为c。
如果你用卫星电话通过地球同步卫星中的转发器转发的无线电信号与对方通话，则在你讲完话后，对方
听到你的声音所需的最短时间为（ ）
A. 1
c
3
√
gR2T 2
4π2
B. 2
c
3
√
gR2T 2
4π2
C. 1
c
(
3
√
gR2T 2
4π2
−R
)
D. 2
c
(
3
√
gR2T 2
4π2
−R
)
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
56
5
达标检测3
★★★★正确率：58%
地球同步卫星到地心的距离r 可由r3 = a2b2c
4π2
求出，已知式中a 的单位是m，b 的单位是s，c 的单位是
m/s2，则（ ）
A. a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度
B. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度
C. a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度
D. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度
例7
★★★
如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。
设e、p、q 的圆周运动速率分别为ve、vp、vq，向心加速度分别为ae、ap、aq，则（ ）
A. ae < aq < ap
B. ae > ap > aq
C. ve < vp < vq
D. ve > vp > vq
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57
5
直击高考
考题
正确率：64%
国务院批复，自2016 年起将4 月24 日设立为“中国航天日”。1970 年4 月24 日我国首次成功发射
的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为
2060km；1984 年4 月8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。
设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自
转的加速度为a3，则a1、a2、a3 的大小关系为（ ）
A. a2 > a1 > a3
B. a3 > a2 > a1
C. a3 > a1 > a2
D. a1 > a2 > a3
答案
D
解析
东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同，根据a = ω2r 可知，a2 > a3；根据GMm
r2
=
ma 可知a1 > a2；故选D。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
58
5
随堂测试
测试1
正确率：84%
一个行星，其半径是地球的半径的3 倍，质量是地球的25 倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力
加速度的（ ）
A. 6 倍
B. 4 倍
C. 25
9 倍
D. 12 倍
测试2
正确率：41%
质量为m 的人造地球卫星做匀速圆周运动，它离地面的高度等于地球半径R 的2 倍，已知地面上的重
力加速度为g，则卫星的（ ）
A. 周期为4π
√2R
g
B. 向心加速度为1
4g
C. 向心力为1
9mg
D. 速度为√3gR
测试3 可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道（ ）
A. 与地球表面上某一纬线(非赤道) 是共面的同心圆
B. 与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C. 与地球表面上赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D. 与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地球是运动的
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59
5
课堂总结
第6 讲
万有引力与航天
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61
6
1
模块
1
天体参数的计算
知识凝炼
1
若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力等于向心力，即GMm
r2
=
mr
(
2π
T
)2
，可求得地球质量M = 4π 2r3
GT 2 。
2
利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程
GMm
r2 = m4π 2
T 2 r，ρ =
M
4
3 π R3 ，得ρ =
M
4
3 π R3 =
4π 2r3
GT 2
4
3 π R3 = 3π r3
GT 2R3 。
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R，则ρ = 3π
GT 2 。
精讲精练
例1
★★★
正确率：85%
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力
计测量一质量为m 的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量
为G，则这颗行星的质量为（ ）
A. mv2
GF
B. mv4
GF
C. Fv2
Gm
D. Fv4
Gm
例2
★★★
地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可以估算出地球的平均密度为（ ）
A.
g
GR
B.
3g
4πGR2
C.
3g
4πGR
D.
3g
GR2
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
62
6
达标检测1
★★★
正确率：61%
若某行星自转的周期为T，用弹簧秤在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧秤在赤道上
的读数比两极上读数小1
25(行星视为球体)，引力常数为G，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧秤读数大小等于所测物体随行星自转的向心力
B. 该行星“两极”处的重力加速度是“赤道”上重力加速度的24
25
C. 该行星的密度为75π
GT 2
D. 假设该行星的自转周期变为原来的5 倍，则赤道上的物体会飘起来
例3
★★★★正确率：41%
两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2 绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空
间某位置的引力加速度a，横轴表示某位置到行星中心距离r 平方的倒数，a −1
r2 关系如图所示，卫星
S1、S2 的引力加速度大小均为a0，则（ ）
A. S1 的质量比S2 的大
B. P1 的质量比P2 的大
C. P1 的平均密度比P2 的小
D. P1 的平均密度比P2 的大
例4
★★★★正确率：70%
质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，构成双星
系统。由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G。下列说法正确的
是（ ）
A. 双星系统的平均密度为3π
GT 2
B. O 点离质量较大的星体较远
C. 双星系统的总质量为4π2r3
GT 2
D. 若在O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零
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63
6
2
模块
2
万有引力与变轨
知识凝炼
1 “卫星变轨”及“对接模型”
解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：
(1) 若F供= F求，供求平衡——物体做匀速圆周运动；
(2) 若F供< F求，供不应求——物体做离心运动；
(3) 若F供> F求，供过于求——物体做向心运动。
2 “天体相遇”模型
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面
内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近。两环绕天体与中心天体在同
一直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远。设卫星1（离地球近些）与卫星2 某时刻相距最近，如果经过
时间t，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π 的整数倍，则两卫星又相距最近，即ω1t −ω2t = 2nπ (n = 1，
2，3，···)；如果经过时间t′，两卫星与地心连线半径转过的角度相差π 的奇数倍，则两卫星相距最远，即
ω1t′ −ω2t′ = (2n−1) π (n = 1，2，3，···)。
1
第一宇宙速度
人造卫星围绕地球运动，则有GMm
r2
= mv2
r ，当物体在地球表面附近环绕地球运转时，由rmin ≈R，则
GMm
R2 = mv2
R ，得v =
√
GM
R =√gR ≈7.9km/s ，这便是地球表面附近卫星的运行速度，称为第一宇宙速度。
2
第二宇宙速度
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，那么它绕地球运行的轨迹将是椭
圆。当发射速度等于或大于11.2km/s 时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球，我们把11.2km/s 叫做第二宇
宙速度。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
64
6
3
第三宇宙速度
达到第二宇宙速度的人造卫星还受到太阳的引力。在地面附近发射一颗人造卫星，要使它挣脱太阳引力的
束缚，飞到太阳系外，必须使其速度等于或大于16.7km/s，这个速度叫做第三宇宙速度。
精讲精练
例5
★★★
2013 年6 月13 日，
“神舟十号”飞船与“天宫一号”成功实现交会对接。下列说法正确的是（ ）
A.“神舟十号”先到达和“天宫一号”相同的轨道然后加速对接
B.“神舟十号”先到达比“天宫一号”的轨道半径小的轨道然后加速对接
C.“神舟十号”先到达比“天宫一号”的轨道半径大的轨道然后加速对接
D.“神舟十号”先到达和“天宫一号”相同的轨道然后减速对接
例6
★★★★
北京时间2013 年6 月13 日13 时18 分，
“神舟十号”飞船与“天宫一号”实施自动交会对接。交会对接
前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1 上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2 上运动的“天宫一号”
对接。如图所示，M、Q 两点在轨道1 上，P 点在轨道2 上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简
化为只做一次短时加速，则“神舟十号”（ ）
A. 须在Q 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇
B. 在M 点经一次加速，即可变轨到轨道2
C. 在M 点变轨后的速度大于变轨前的速度
D. 变轨后运行周期大于变轨前的运行周期
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65
6
例7
★★★★
我国原计划在2017 年底发射“嫦娥五号”探测器，实现月球软着陆以及采样返回，这意味着我国探月工
程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成。
“嫦娥五号”探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探
测器从圆轨道1 上A 点减速后变轨到椭圆轨道2，之后又在轨道2 上的B 点变轨到近月圆轨道3。已
知探测器在1 轨道上周期为T1，O 为月球球心，C 为轨道3 上的一点，AC 与AO 最大夹角为θ，则下列
说法正确的是（ ）
A. 探测器要从轨道2 变轨到轨道3 需要在B 点点火加速
B. 探测器在轨道1 的速度小于在轨道2 经过B 点时的速度
C. 探测器在轨道2 上经过A 点时速度最小，加速度最大
D. 探测器在轨道3 上运行的周期为
√
sin3θT1
达标检测2
★★★★
如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r 的圆轨道1 运动。经P 点时，启动推进器短时间向前喷气使其
变轨，2、3 是与轨道1 相切于P 点的可能轨道。则飞行器（ ）
A. 变轨后将沿轨道2 运动
B. 相对于变轨前运行周期变长
C. 变轨前、后在两轨道上经P 点的速度大小相等
D. 变轨前、后在两轨道上经P 点的加速度大小相等
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
66
6
例8
★★★
正确率：80%
1990 年5 月，紫金山天文台将他们发现的第2752 号小行星命名为“吴健雄星”，若将此小行星和地球都
看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同，已知地球与小行星的半径之比为k，则地球与小行
星的第一宇宙速度之比为（ ）
A.
√
k
B. k2
C. 1
k
D. k
达标检测3
★★★
使物体脱离行星的引力束缚，不再绕该行星运行，从行星表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，
行星的第二宇宙速度v2 与第一宇宙速度v1 的关系是v2 =
√
2v1。已知某行星的半径为地球半径的三
倍，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1
6，不计其他行星的影响和地球自转对其表面重力加
速度的影响。已知地球的第一宇宙速度为8km/s，则该行星的第二宇宙速度为（ ）
A. 4km/s
B. 8km/s
C. 4
√
2km/s
D. 8
√
2km/s
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67
6
直击高考
考题
由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万
有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相
同角速度的圆周运动(图示为A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A 星体的质量为2m，B、
C 两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A 星体所受合力大小FA。
（2）B 星体所受合力大小FB。
（3）C 星体的轨道半径RC。
（4）三星体做圆周运动的周期T。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
68
6
答案（1）A 星体所受合力大小FA 为2
√
3Gm2
a2 。
（2）B 星体所受合力大小FB 为
√
7Gm2
a2 。
（3）C 星体的轨道半径RC 为
√
7
4 a。
（4）三星体做圆周运动的周期T 为π
√
a3
Gm。
解析（1）由万有引力定律，A 星体所受B、C 星体引力大小为
FBA = GmAmB
r2
= G2m2
a2 = FCA，方向如图所示：
则合力大小为FA = 2
√
3Gm2
a2 。
（2）同上，B 星体所受A、C 星体引力大小分别为
FAB = GmAmB
r2
= G2m2
a2 ，
FCB = GmCmB
r2
= Gm2
a2 ，力的方向如图所示，
则在x 轴方向受力为
FBx = FAB cos60◦+FCB = 2Gm2
a2 ，
在y 轴方向上受力为
FBy = FAB sin60◦=
√
3Gm2
a2 ，
可得FB =
√
FBx2 +FBy2 =
√
7Gm2
a2 。
（3）由如图所示受力分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，RC =
√(√
3
4 a
)2
+
(
1
2a
)2
=
√
7
4 a。
（4）三星体运动周期相同，对C 星体，由FC = FB =
√
7Gm2
a2 = m
(
2π
T
)2
RC，
解得T = π
√
a3
Gm。
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69
6
随堂测试
测试1 银河系处于本超星系团的边缘。已知银河系距离星系团中心约2 亿光年，绕星系团中心运行的公转周
期约1000 亿年，引力常量G = 6.67×10−11N·m2/kg2，根据上述数据可估算（ ）
A. 银河系绕本超星系团中心运动的线速度
B. 银河系绕本超星系团中心运动的加速度
C. 银河系的质量
D. 本超星系团的质量
测试2 已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为ω，地面重力加速度为g，引力常量为G，地球同步卫星的
运行速度为v，则第一宇宙速度的值不可表示为（ ）
A. √Rg
B.
√
v3/ωR
C.
√
R/GM
D.
4√GMg
测试3 2013 年12 月2 日，探月工程“嫦娥三号”成功发射。
“嫦娥三号”的主要任务有两个，一个是实现月面软
着陆，二是实现月面巡视勘察。如图所示，设月球半径为R，
“嫦娥三号”在半径为4R 的圆形轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时，再次点火进
入近月轨道Ⅲ绕月做匀速圆周运动，则“嫦娥三号”（ ）
A. 在轨道Ⅱ上的A 点运行速率大于B 点速率
B. 在轨道Ⅲ上B 点速率小于在轨道Ⅱ上B 点的速率
C. 在轨道Ⅰ上A 点的加速度等于在轨道Ⅱ上A 点的加速度
D. 在轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ上运行的周期关系TⅠ< TⅡ< TIII
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70
6
课堂总结
第7 讲
曲线运动综合提
升
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73
7
1
模块
1
平抛与圆周
知识凝炼
精讲精练
例1
★★★
如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B 点以某速度v0 水平飞出的小球，恰能从固定在某位置
的凹槽的圆弧轨道的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道，O 是圆弧的圆心，θ1 是OA 与竖直方向的夹
角，θ2 是BA 与竖直方向的夹角，则（ ）
A. tanθ2
tanθ1
= 2
B. tanθ1 tanθ2 = 2
C.
1
tanθ1 tanθ2
= 2
D. tanθ1
tanθ2
= 2
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
74
7
例2
★★
如图为一皮带传动装置，主动轮A 的半径为R，从动轮B 的半径为2R，P 点和Q 点分别位于A 轮和B
轮的边缘上，M 点离B 轮转轴为R，则（ ）
A. P 点的角速度等于M 点的角速度的2 倍
B. M 点的加速度为Q 点加速度的2 倍
C. P 点的加速度为Q 点的加速度的2 倍
D. P 点的加速度为M 点的加速度的2 倍
达标检测1
★★★★
如图所示，金属块Q 放在带小孔(小孔光滑) 的固定水平桌面上，细线下端拴一个金属小球P，小球P 在
某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球P 改到更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P′ 位置)，
两次金属块Q 都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）
A. 细线所受的拉力变小
B. 小球P 运动的角速度变大
C. Q 受到桌面的支持力变大
D. 桌面受到Q 的静摩擦力变大
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75
7
例3
★★★★
如图(甲)，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到
达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx 随时间t 的变化关系如图(乙) 所示。
不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 在t1 时刻小球通过最低点
B. 图(乙) 中S1 面积的数值为0.8m
C. 图(乙) 中S1 和S2 的面积不相等
D. 图线第一次与横轴的交点对应小球的速度为4m/s
达标检测2
★★
火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处设计行驶速度
为v，则下列说法中正确的是（ ）
①当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
②当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力合力提供向心力
③当速度大于v 时，轮缘挤压外轨
④当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ②④
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
76
7
例4
★★★★
如图所示，半径为R 的圆轮在竖直平面内绕O 轴匀速转动，O 轴离地面的高度为2R，轮边缘a、b 两点
与O 点的连线相互垂直，a、b 两点各粘有一小物体，当a 点转至最低点位置时，a、b 两点处的小物体同
时脱落，经过相同时间t 落在水平地面上。
（1）试判断圆轮的转动方向。
（2）求圆轮转动的角速度ω。
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77
7
2
模块
2
万有引力
知识凝炼
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
78
7
精讲精练
达标检测3
★★
正确率：53%
2010 年诺贝尔物理学奖授予英国的安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，表彰他们在石墨烯材料方面
的卓越研究。石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，为“太空电梯”缆线的制造提供了可能。近
日，日本大林建设公司公布了建造“太空电梯”计划，希望到了2050 年，人们不需要搭乘太空船，只要搭
乘电梯就能够圆太空梦。假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星（太空站）的“太空
电梯”。下列说法正确的是（ ）
A.“太空电梯”缆线上各处质点均处于平衡状态
B.“太空电梯”缆线上各处质点都是万有引力刚好提供向心力
C.“太空电梯”沿缆线匀速上升过程中向上的牵引力恒定
D. 重量平衡器通过连接杆对太空站提供一向上的拉力
例5
★★★
正确率：73%
一物体静置在平均密度为ρ 的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物
体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）
A.
(
4π
3Gρ
)1
2
B.
(
3
4π Gρ
)1
2
C.
(
π
Gρ
)1
2
D.
(
3π
Gρ
)1
2
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79
7
例6
★★★★
有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以
认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为
m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A. 太阳的轨道半径为
m2
m1 +m2
L
B. 木星的轨道半径为m2
m1
L
C. 这个“双星系统”运行的周期为T = 2πL
√
L
G(m1 +m2)
D. 若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T = 2πL
√L
Gm1
例7
★★★★正确率：45%
现在人类在不断地探索火星，最终将在火星的上空建造空间站，如图所示为某航天飞机与空间站实现
对接的示意图，关闭发动机后航天飞机在火星引力的作用下经椭圆轨道在B 处与空间站实现对接，已
知空间站绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 航天飞机在椭圆轨道上靠近B 的过程中速度变大
B. 航天飞机在B 处由椭圆轨道可直接进入空间站轨道
C. 航天飞机经过B 处时的加速度与空间站经过B 处时的加速度不相等
D. 根据题中条件可以算出火星质量
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
80
7
达标检测4
★★★★
“北斗”系统中两颗工作卫星1 和2 在同一轨道上绕地心O 沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为
r，某时刻它们分别位于轨道上的A、B 两位置，如图所示。已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径
为R，不计卫星间的相互作用力。以下判断中正确的是（ ）
A. 这两颗卫星的向心加速度大小为a = r2
R2 g
B. 这两颗卫星的角速度大小为ω = R
√g
r
C. 卫星1 由位置A 运动至位置B 所需的时间为t = πr
3R
√r
g
D. 如果使卫星1 加速，它就一定能追上卫星2
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81
7
直击高考
考题
我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018 年5 月9 日发射的“高分五号”轨道高度约
为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”
相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（ ）
A. 周期
B. 角速度
C. 线速度
D. 向心加速度
答案
A
解析
解：设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引
力提供向心力，则得：
GMm
r2 = m4π2
T 2 r = mω2r = mv2
r = ma
得：T = 2π
√
r3
GM ，ω =
√
GM
r3 ，v =
√
GM
r ，a = GM
r2
可知，卫星的轨道半径越小，周期越小，而角速度、线速度和向心加速度越大，
“高分五号”的轨道半径比
“高分四号”的小，所以“高分五号”的周期较小，故A 正确，BCD 错误。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
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随堂测试
测试1 在冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在她将双臂逐渐放下的过程中，她
的转动会逐渐变快，则她肩上某点随之转动的（ ）
A. 周期变大
B. 线速度不变
C. 角速度变大
D. 线速度变小
测试2
正确率：78%
某人造地球卫星在离地面高为h 的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知地球质量为M，地球
半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则卫星的（ ）
A. 线速度v =
√
gR2
h
B. 角速度ω =
√
GM
(R+h)3
C. 运行周期T = 2π
√
R3
GM
D. 向心加速度a = gR3
R+h
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测试3 嫦娥五号探测器预计2019 年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起
飞，返回地球，带回约2kg 月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中所示。根据表格中数据，可
以计算出地球和月球的密度之比为（ ）
A. 3 : 2
B. 2 : 3
C. 4 : 1
D. 6 : 1
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课堂总结
1119091112705
