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专题06 “圆周运动中的临界问题”系统性答题模板与思维
建模
核心思想与原则
一个核心关系：向心力供需平衡方程
供：物体所受的合力沿半径方向的投影（即实际提供的向心力）。
需：物体以半径r、角速vv 做圆周运动所需的向心力F 需=mω2r。
临界状态发生在
供
恰好等于
需
的极限情况下，通常伴随某些物理量（如弹力、
“
”
“
”
摩擦力）达到极值。
两个关键分析点：
受力分析：明确哪些力可以提供向心力（如重力、弹力、摩擦力、绳的拉力、杆的支持
力等）。
运动状态：明确物体是匀速圆周运动还是变速圆周运动，最高点、最低点速度不同。
三大典型临界情境：
绳模型（无支撑）：最高点速度有最小值vmin
2=gr。
杆模型（有支撑）：最高点速度可为0，弹力方向可上可下。
水平面内临界：由静摩擦力、接触面弹力等提供向心力时的最大角速度或最大速度。
重要拓展：
等效重力场：在电场、复合场中，可将重力与其他恒力合成等效重力，转化为基本模
型。
多体关联：连接体的圆周运动需考虑相互作用的约束。
标准化答题步骤模板（五步法）
第一步：审题建模，画图标注
明确对象：做圆周运动的物体，确定轨道半径r（可变或固定）。
提取条件：质量m，角速度ω 或线速度v，接触面性质（光滑/粗糙），连接方式
（绳/杆/轨道）。
画受力图：在临界位置（如最高点、最低点、即将滑动点）进行受力分析，标出所有
力，并设定正方向（通常指向圆心为正）。
第二步：写出供需关系方程
沿半径方向：∑F 向=mv2/r=mω2r
注意：向心力是效果力，不是独立存在的力，必须由实际力或其分力提供。
第步：确定临界条件
根据题目描述的
刚好
恰好
最大
最小
等关键词，将临界状态转化为具体的物
“
”“
”“
”“
”
理条件：
绳松弛：T=0
杆无弹力：FN=0
脱离轨道：FN=0（内侧轨道）
最大静摩擦力：f=μN
滑动趋势：摩擦力方向明确，大小达到最大值
线断：T=Tmax
第四步：列方程求解
将临界条件代入供需方程，解出待求量。
若涉及变速圆周运动，还需结合动能定理或机械能守恒定律（如竖直平面内从最低点到
最高点）。
注意矢量方向：弹力可正可负（拉力为正，支持力为负需统一约定）。
第五步：检验合理性
检查解是否符合物理实际（如速度不能为虚数）。
验证临界状态是否在题目给定的范围内（如角度是否小于90°）。
经典模型分类与特征识别（审题建模关键）
模型类型
特征描述
典型临界
绳模型
轻绳连接，只能提供拉力，方向沿绳指
向圆心
最高点v2≥gr；绳恰好松弛
（T=0）
杆模型
轻杆（或管壁）连接，可提供拉力或支
持力
最高点v≥0；杆恰好无弹力
（F=0）
环内侧/外侧
物体在圆环内侧运动，轨道提供弹力
最高点脱离条件v2=gr
水平转盘
物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力
最大静摩擦力对应最大角速度
圆锥摆
细线+小球，在水平面内匀速圆周运动
线与竖直方向夹角达到某值，或
线断
汽车过桥
凸桥、凹桥，支持力与重力差提供向心
力
凸桥最高点恰好脱离v2=gr
复合场等效
存在匀强电场，等效重力场
等效最高点、最低点
真题体验
1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不
考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角
很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，
正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径
R。在
很小时，
。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过
，则最小
过弯半径R 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移
，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为
，根
据几何关系有
同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为
，则有
设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为
，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运
动的距离为
，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有
由于
则有
转弯过程俯视图，如图所示
由几何关系有
联立解得
故选C。
2．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
3．（2023·湖南·高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组成，两段
相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C，A 与C 的高度差等于圆弧轨道的直径
2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为
vC = 0
则小球从C 到B 的过程中，有
联立有
FN= 3mgcosα－2mg
则从C 到B 的过程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，对轨
道的压力逐渐增大，A 正确；
B．由于A 到B 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到B 的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A 到B 的过程中小球重力的功率始终减小，从B 到C 速度减小，速度的竖直分量减小，则重力的功率也
减小，则B 错误；
C．从A 到C 的过程中有
解得
C 错误；
D．小球在B 点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱离轨道，D 正确。
故选AD。
4．（2025·浙江·高考真题）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R 的竖直螺旋轨道、
水平轨道BC 和
、倾角为
的倾斜直轨道EF 平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF 段轨道粗糙外，
其余各段均光滑，F 点与水平高台GHI 等高。游戏开始，一质量为m 的滑块1 从轨道AB 上的高度h 处静
止滑下，与静止在C 点、质量也为m 的滑块2 发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3
落在GH 段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H 点右侧，立即停止运动。已知
，EF 段长度
，FG 间距
，GH 间距
，HI 间距
，EF 段
。滑块1、2、3 均可视为质点，不计空气阻力，
，
。
(1)若
，求碰撞后瞬间滑块3 的速度大小
；
(2)若滑块3 恰好能通过圆轨道
，求高度h；
(3)若滑块3 最终落入I 点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。
【答案】(1)
(2)2m
(3)2.5m 或2m
【详解】（1）对滑块1 由动能定理
解得滑块1 与滑块2 碰前的速度大小为
滑块1 与滑块2 碰撞过程中，由动量守恒定律
解得碰撞后瞬间滑块3 的速度大小为
（2）在轨道D 点，由牛顿第二定律
解得
滑块3 从D 点到C＇点，由机械能守恒定律
解得
结合
，
联立解得
（3）滑块3 从C＇点到F 点的过程中，由动能定理
若滑块3 直接落入洞中，则竖直方向
水平方向
结合
，
联立解得
若经一次反弹落入洞中，则
水平方向
结合
，
联立解得
由计算结果
，可知滑块在斜轨道上高度为
处开始下滑，是滑块能通过圆轨道最高点的最小
高度，因此
是滑块开始下滑到在GH 经一次反弹落入洞中。因此小问3 的答案是
或
。
5．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为
俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O 的竖直轴匀速转动，转动
时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用秒表测圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = rad/s（π 取3.14）
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = mm，多
次测量后，得到平均值恰好与d 相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = （用D、m、ω、d 表示），其大小为 N（保留2 位有效
数字）
【答案】(1)1
(2)16.2
(3)
6.1 × 10－3
【详解】（1）圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的周期为
根据角速度与周期的关系有
（2）根据游标卡尺的读数规则有
1.6cm＋2 × 0.1mm = 16.2mm
（3）[1]小圆柱体做圆周运动的半径为
则小圆柱体所需向心力表达式
[2]带入数据有
F = 6.1 × 10－3N
巩固训练
6．（2025·广东湛江·一模）下图可视为室内自行车比赛场地的模型图，自行车选手在近似球面的曲面上的
一定高度处进行匀速圆周运动，且曲面边界的切线与水平地面夹角θ=37°，水平面半径R 为0.3m，自行车
选手与自行车及装备总质量为200kg，自行车和曲面之间动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
关于该运动，下列说法正确的有（ ）
A．若自行车恰好不受沿竖直曲面切线的摩擦力，则速度最大值为2m/s
B．自行车能保持在曲面运动的最大速度为3.6m/s
C．自行车手在同一高度处匀速骑行一周，摩擦力的冲量方向竖直向上
D．自行车手可以在不同高度上以相同速率在曲面上做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．当自行车恰好不受沿竖直曲面切线的摩擦力时，自行车做匀速圆周运动的向心力由曲面的支
持力的水平分力提供，此时有
解得
，故A 错误；
B．自行车加速将会有离心的趋势，定性判断可知自行车将要完全脱离曲面时速度有最大值。假设此时静
摩擦力完全沿着曲面向下，则沿着圆心方向有
竖直方向有
联立解得
实际上由于摩擦力的分量恰好抵消了运动切线方向所受力，方向不能完全沿着曲面向下，即静摩擦力沿曲
面向下的分量一定不是
，故最大速度小于
m/s，故B 错误；
C．由上述分析，在运动一个圆周的过程中，沿曲面向下的摩擦力分量的冲量在水平方向上抵消，只在竖
直方向上积累，由于摩擦力方向不确定，同时运动轨迹切向分量完全抵消，故相应冲量是否竖直向上不确
定，故C 错误；
D．由于存在摩擦力，可满足相同的向心力需求，自行车手可以在不同高度上以相同速率在曲面上做匀速
圆周运动，此时自行车手所受摩擦力一定不相同，故D 正确。
故选D。
7．（24-25 高一下·福建莆田·开学考试）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，
两者用长为L 的水平细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k 倍，A 放在距离转轴L 处，
整个装置能绕通过转盘中心的转轴
转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，
使角速度缓慢增大，在B 相对圆盘滑动前，重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．当
，绳子没有弹力
B．ω 在
范围内增大时，B 所受摩擦力不变
C．当
时，A、B 相对于转盘即将滑动
D．在绳子产生张力后，两木块还未与圆盘相对滑动时，若突然剪断细线，A 将逐渐靠近圆心，B 将做
离心运动
【答案】BC
【详解】A．当B 受到的静摩擦最大时，绳子刚好产生弹力，根据牛顿第二定律可得
解得
因此当
，绳子一定有弹力，故A 错误；
BC．当A、B 所受到的摩擦力均达到最大时，A、B 相对转盘即将滑动，对A 则有
对B 则有
解得
结合上述分析可知，当
时B 受到的静摩擦达到最大，因此当
时，B 受到的摩擦力
不变，故BC 正确；
D．细线产生张力后剪断细线，A 受到的静摩擦力减小，随圆盘继续做圆周运动，B 不再受拉力的作用，最
大静摩擦力不足以提供其做圆周运动的向心力，因此B 做离心运动，故D 错误。
故选BC。
8．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）游乐场中有一种娱乐设施叫
魔盘
，人坐在转动的大圆盘上
“
”
，
当大圆盘转速增加时，人就会自动滑向盘边缘。现有一同学周末去游乐场玩魔盘，随着转速的增加，该同
学背靠魔盘的侧壁，脚恰好和魔盘底面之间无弹力。已知人与侧壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g，人做圆周运动的半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．当魔盘转速增加，脚和魔盘底面无弹力时，人与魔盘的侧壁弹力减小
B．当魔盘转速增加，脚和魔盘底面无弹力时，人与魔盘之间的摩擦力提供做圆周运动的向心力
C．当脚恰好和魔盘底面之间无弹力时，魔盘的角速度为
D．当魔盘转速增加时，人始终受四个力
【答案】C
【详解】C．当魔盘转速增加到脚与底面无弹力时，受力分析如下：竖直方向：重力
由静摩擦力
平衡，
即
水平方向：侧壁弹力
提供向心力，即
静摩擦力最大值
当
时，有
解得
，故C 正确；
A．转速增加时，弹力
随
增大而增大，故A 错误；
B．向心力由侧壁弹力提供，摩擦力仅平衡重力，故B 错误；
D．当底面无弹力时，人仅受重力、弹力和摩擦力（三个力），故D 错误。
故选C。
9．（2025·甘肃白银·二模）如图所示，质量为
的小球套在与竖直方向成
角的倾斜光滑轻杆上，原长
为
的轻质弹簧一端固定于
点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，图中
水平，
间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，
距离等于
距离，小球在
点时弹簧弹力大小恰好等
于小球重力。轻杆绕竖直轴
做匀速圆周运动，且小球随轻杆稳定转动时轨迹平面水平，重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．当小球在
点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为
B．当小球在
点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为
C．小球在
点与轻杆相对静止，小球对轻杆的弹力可能为零
D．小球在
点与轻杆相对静止，缓慢增大角速度，小球可能仍在
点相对轻杆静止
【答案】AB
【详解】A．当小球在
点与轻杆相对静止，受力分析后由轻杆的弹力的水平分量充当向心力
即
，
解得此时的角速度为
，故A 正确；
B．当小球在
点与轻杆相对静止时，弹簧弹力与轻杆弹力的水平分量充当小球的向心力，
有
，且
解得
，故B 正确；
C．小球在
点与轻杆相对静止，由于对称性，此时弹簧的长度与A 处时相等，弹力大小也为
。小球竖
直方向上
，轻杆弹力不为0。故C 错误；
D．小球在
点与轻杆相对静止，缓慢增大角速度，所需要的向心力增加，轻杆弹力不足以提供小球的加
速度，故小球会向上运动，不能在B 处静止，故D 错误。
故选 AB。
10．（24-25 高一下·北京东城·期中）如图所示，倾角
的传送带
与半径为
的光滑半圆形圆弧
相切于
点，传送带
长为
，传送带以
逆时针匀速转动。现将一质量为
的
小物块
从传送带上端A 处无初速度释放，物块与传送带之间的动摩擦因数
，物块
到达圆轨道的
点时，对圆轨道的压力恰好为零。不计空气阻力，不考虑物块经过
点后的运动，重力加速度大小取
，
，
，求：
(1)物块
到达
点时的速度大小
；
(2)圆轨道的半径
；
(3)物块与传送带之间因摩擦产生的热量
。
【答案】(1)7m/s
(2)1.225m
(3)9J
【详解】（1）设物体与传送带共速前加速度为
，由牛顿第二定律
代入题中数据，解得
故物块与传送带共速时，物块位移
以上分析可知
故物块与传送带共速后，还要继续加速运动，设加速度为
，由牛顿第二定律得
代入题中数据，解得
则由速度位移公式可得
联立以上，解得物块
到达
点时的速度大小
（2）设物块在D 点速度为
，从B 到D 过程，由动能定理得
又因为物块到达圆轨道的D 点时，对圆轨道的压力恰好为零，则有
联立解得，圆轨道的半径
（3）结合第1 小问分析可知，物块与传送带共速所需时间
该过程传送带位移
物块运动的位移为
则在此过程中，物块与传送带之间因摩擦产生的热量为
共速到物块运动到B 点所需时间
该过程传送带位移
物块运动的位移为
则在此过程中，物块与传送带之间因摩擦产生的热量为
故整个过程中物块与传送带之间因摩擦产生的热量为
11．（2025·四川成都·一模）如图所示，半径为R 且足够高的圆柱形桶固定在水平桌面上，橡皮筋一端与
桶顶部圆心O 点相连，另一端从桶内隔板中央的小孔A 点穿过后与质量为m 的小球P（可视为质点）相连。
已知橡皮筋的劲度系数为k 且原长等于
。若小球在水平面内做匀速圆周运动，且运动过程中不与桶壁接
触。不计一切摩擦阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球线速度越大，轨迹平面与A 点的距离越小B．小球线速度越大，运动周期越小
C．小球运动的最大线速度为
D．小球运动的最大加速度为
【答案】C
【详解】A．对小球P 受力分析，设小球做圆周运动的半径为r，由相似关系可得
解得
，故小球在水平面内做匀速圆周运动的过程中角速度
大小不变
设A 点到轨迹平面的高度为h，由相似关系可得
解得
，故h 不变
由
可知，角速度不变的情况下，线速度越大，半径r 越大
由几何关系可得
，故h 不变，r 变大时故轨迹平面与A 点的距离AP 越大，A 错误；
B．由
可知周期不变，B 错误；
C．由
可得，当r 取最大值R 时，线速度最大，最大值为
，C 正确；
D．由
可得，小球运动的最大加速度为
，D 错误。
故选C。
12．（25-26 高三上·河北唐山·期中）如图，质量为
的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，
其中
三点共线，
三点在圆盘边缘上均匀分布，
等长且与
的夹角均
为
为悬点，
与竖直方向夹角为
所能承受的最大拉力均为
。下
列说法正确的是（ ）
A．
绳上拉力大小为
B．
绳上拉力大小为
C．若角速度增大，
绳先断
D．若角速度增大，
比
绳先断
【答案】AC
【详解】AB．对圆盘整体分析，竖直方向则有
对结点
受力分析，沿
方向则有
联立解得
，故A 正确，B 错误；
CD．当角速度增大时，根据向心力
可知，圆盘所需的向心力增大，因此
和
水平方向的分
力都随之增大，但
竖直方向需要承担
在竖直方向的分力（即圆盘的重力），因此
首先达到绳
子能承受的最大拉力，即角速度增大时，
绳先断，故C 正确，D 错误。
故选AC。
13．（25-26 高三上·河北·期中）如图所示，T 形杆固定在竖直面内，AB 部分水平，B 端固定一光滑小滑轮，
轻绳一端固定在竖直杆上C 点，另一端D 连接质量为m 的小球，将轻绳拉直且轻绳刚好与滑轮接触，此时
轻绳与水平杆AB 的夹角为37°，绳长大于CB 间距离，不计小球及滑轮的大小，重力加速度为g，
，
。由静止释放小球，则在小球运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．释放小球的一瞬间，小球的加速度大小为0.6g
B．轻绳对C 点的最大拉力为1.8mg
C．小球运动到最左端时，轻绳对滑轮的作用力大小等于mg
D．仅将绳长变长重新释放小球，轻绳对C 点的最大拉力变大
【答案】B
【详解】A．释放小球的一瞬间，设小球的加速度为
，则根据牛顿第二定律有
解得
，故A 错误；
B．小球运动到最低点时，轻绳对C 点的拉力最大，设BD 段轻绳长为L，设小球运动到最低点时速度大小
为v，小球由静止运动到最低点的过程中，根据机械能守恒可得
小球运动到最低点时，设绳的拉力为
，则根据牛顿第二定律可得
联立，解得
，故B 正确；
D．由B 分析可知，绳的拉力
与绳长L 无关，仅将绳长变长重新释放小球，轻绳对C 点的最大拉力不变，
故D 错误；
C．小球运动到最左端时，轻绳上的拉力大小为
则轻绳对滑轮的作用力
，故C 错误。
故选B。
14．（25-26 高三上·四川·期中）如图所示，半径为
（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，
、
分别为轨道的最高点和最低点（
和
垂直），
为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为
。
质量为
的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为
、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加
水平向左、大小为
的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为
。
(1)若让小球从轨道外侧
点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道；
(2)若让小球从轨道内侧
点以初速度大小
水平向左射入轨道，求：
小球运动过程中对轨道的最大压力的大小；
①
小球运动到
②
点时对轨道压力的大小。
【答案】(1)见解析
(2)①
②
【详解】（1）把恒力和重力的合力视为等效重力
设等效重力方向与竖直方向夹角为
，则有
解得
过圆心作
的平行线和圆轨道有两个交点，下方交点为等效最低点，如图
假设小球能到达等效最低点，由动能定理
解得
在等效最低点恰好不脱离轨道时
解得
可知
可知小球不会脱离轨道。
（2）
从
①
点到等效最低点，由动能定理
解得
在等效最低点压力最大
解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道的最大压力
。
从
②
点运动到
点过程，可知合外力做功为0，所以
在
点，受力分析如图
解得
根据牛顿第三定律，小球在
点对轨道的压力
。
15．（24-25 高一下·山东济宁·期末）如图所示，半径为
的倾斜圆盘倾角为
，绕过圆心O 且垂直于盘面
的转轴匀速转动。将一质量为m 的小物块（可视为质点）放在圆盘边缘，并能随圆盘一起转动。已知小物
块与圆盘间的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
。则圆盘匀速转动的
最大角速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】物块随圆盘做匀速圆周运动，在最低点时受到的摩擦力最先达到最大，小物块与圆盘间的动摩擦
因数为
，则有
解得
故选B。
16．（2025·贵州六盘水·一模）如图甲所示，竖直平面内半径为
的光滑圆轨道保持不动，质量为
可视
为质点的小球静止在圆轨道最低点
。现给小球施加一水平向右的恒力，小球动能
随转过圆心角
变化
的图像如图乙所示，取轨道最低点小球重力势能为零，重力加速度为
，则（ ）
A．小球对轨道的最小压力为0
B．小球对轨道的最小压力为
C．小球最大机械能为
D．小球最大机械能为
【答案】BD
【详解】AB．由图乙可知，在小球转过圆心角为
时动能最大，即重力与恒力
的合力与竖直方向成
角，如下图有
当小球速度为0 时，小球对轨道压力最小，在
点小球对轨道压力大小为
，故A 错误，B 正确；
CD．根据机械能变化与除重力、弹力以外的其他力做功有关，即
，当小球转过圆心角为
时，
恒力
做功最多，此时机械能的增加量最大，机械能最大，有
解得最大机械能
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
17．（24-25 高三上·山东青岛·期中）平面内有一沿斜面方向的特殊电场，电场起始方向沿斜面向上，当进
入电场区域内的带电体有沿斜面向上的速度时，电场立刻反向沿斜面向下，其余时刻电场方向均沿斜面向
上，电场强度的大小不变，E=800N/C，Oc 和Of 是电场的边界。斜面足够长且绝缘，与水平面的夹角
，a 点与b 点的竖直高度
。半径为
的光滑圆弧轨道在c 点与斜面相切，b 点与e 点均
与圆心O 处在同一高度，d 是轨道的最低点，e 点的切线竖直向上。现将光滑的绝缘物体A 在a 点静止释放，
与静止在b 点的带电体B 发生碰撞（碰撞不改变B 的电量），碰后一起匀速从c 点滑到圆弧轨道上。
，带电体B 的电荷量
，Oc、Od、Oe 均为半径，A 和B 不粘连，碰撞时间忽略
不计，重力加速度
。求：
(1)B 与斜面的动摩擦因数
；
(2)两物体对d 点的最大压力和最小压力；
(3)B 物体摩擦产生的最大热量Q。
【答案】(1)0.5
(2)76N，方向竖直向下，56N，方向竖直向下
(3)
【详解】（1）A、B 碰撞后一起匀速，根据平衡有
解得B 与斜面的动摩擦因数
（2）物体A 碰前的速度
，碰后的速度
，a 到
，根据机械能守恒有
解得
根据动量守恒有
解得
第一次向下滑动时，到d 的速度为
，在d 点的支持力为
从c 到d 根据动能定理有
第一次经过d 点，根据牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律，压力的大小为76N，方向竖直向下。
两物体经过多次碰撞后，最终将在c 点及关于Od 的对称点之间做往复运动，此过程中经过d 点时的支持力
最小为
，速度为
，由动能定理得
根据牛顿第二定律可得
解得
由牛顿第三定律，压力的大小为56N，方向竖直向下。
可得两物体对d 点的最大压力76N，方向竖直向下；最小压力56N，方向竖直向下。
（3）A、B 沿斜面向上运动时，对A，根据牛顿第二定律可得
解得
对B，有
解得
，A、B 分离，B 先减速到0 后静止在斜面上，A 向上减速至0 后，反向匀加，与B 碰撞后一起匀速
向下再次到圆弧轨道。
设B 第一次沿斜面向上减速到0 时的路程为
，A 第二次与B 碰前的速度为
，碰后一起向下运动的速度
为
，有
根据运动学公式有
根据动量守恒有
解得
，
设B 第二次沿斜面向上，以
的速度减速至0 时的路程为
，有
可知：B 第1 次，第2 次
返回斜面减速至
……
0 时的路程为公比是
的等比数列，由此可求B 在整个运动过
程中，沿斜面的最大路程
解得
B 物体摩擦产生的最大热量
解得
18．（2025·安徽·二模）如图所示，质量为M、半径为R、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨
道圆心为O，P、Q 是轨道上与圆心O 等高的两点。一质量为m 的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨
道最高点，运动过程中轨道始终在地面保持静止状态。已知重力加速度为g，求：
(1)小球经过轨道最低点时的速度大小；
(2)小球经过P 点时，地面对轨道的摩擦力；
(3)轨道对地面的最小压力的大小。
【答案】(1)
(2)
，方向水平向右
(3)
【详解】（1）由题意可知，小球恰好通过轨道最高点时，小球的重力恰好提供向心力，则有
解得
小球从最高点运动到最低点，设小球在最低点的速度为
，由动能定理可得
解得
（2）小球经过P 点时，轨道的支持力提供向心力，设速度为
，小球由最高点运动到P 点过程中，由动
能定理得
又
解得
方向水平向右。
由牛顿第三定律得，小球对轨道压力
方向水平向左。
由二力平衡得，地面对轨道摩擦力
方向水平向右。
（3）如图所示
设小球经过A 点时速度大小为v，
连线与竖直方向夹角为
，由动能定理有
又
解得
又有
根据牛顿第三定律，轨道对地面压力等于地面对轨道的支持力，结合轨道受力平衡可知
由数学知识得，当
时，
取最小值
19．（2025·湖南·一模）如图所示，在竖直面内有一半径为R 的光滑圆轨道，空间中存在平行于圆轨道所
在平面的匀强电场。小球质量为m，电荷量为
，将小球从A 点以大小为
的速度沿任意方向抛出，小球
落至B、C 两点时速度大小相等，其中A 点和C 点与圆心等高，B 点在圆心正下方，已知小球与轨道碰撞
后沿半径方向速度变为0，沿切线方向速度不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小可能为
B．小球在圆弧上运动至圆弧BC 中点时，势能最小
C．若电场方向水平向右，在A 点给小球竖直向下的速度，要使小球能在竖直平面做完整的圆周运动，
则其在A 点的速度应不小于
D．若电场方向水平向右，将小球从A 点由静止释放，小球与轨道碰撞后不会再次脱离圆轨道
【答案】BD
【详解】A．由动能定理知，小球由A 点运动到B 点过程和由A 点运动到C 点过程电场力和重力的合力做
功相等，且做正功，则电场力和重力的合力方向垂直BC 连线向下，与水平方向和竖直方向的夹角均为
45。作出重力、电场力及其合力关系图如图所示
可见当电场力与合力垂直时，电场力最小，场强最小，为
匀强电场的电场强度大小不可能为
，故A 错误；
B．电场力和重力的合力即为等效重力，可见圆弧BC 中点N 点为等效重力最低点，如图所示
则小球在N 点势能最小，故B 正确；
C．电场方向水平向右时，电场力和重力的合力
要使小球能在竖直平面做完整的圆周运动，小球应过等效重力最高点D 点，小球恰好经过D 点时，由牛顿
第二定律
解得小球经过D 点的最小速度
小球由A 点运动到D 点过程，由动能定理
解得
，即小球在A 点时的速度应不小于
，故C 错误；
D．电场方向水平向右，小球从A 点静止释放时，小球将沿AB 连线做直线运动，由动能定理
解得小球与轨道碰撞前的速度大小
则碰后小球的速度大小
小球由B 点恰好运动到等效水平线OM 过程，由动能定理
解得小球经过B 点时速度大小
可见小球经过B 点后恰好运动到M 点，此后小球不会再次脱离圆轨道，故D 正确。
故选BD。
20．（2025·山东青岛·三模）如图所示，半径为R 的光滑球固定在水平面上的A 点，球上B 点与球心O 等
高，C 点位于A 点正上方，水平面上距A 点x 处的P 点与O、A 在同一竖直面内。在POA 面内将小球从P
点以某一速度抛出，要使小球能够到达球的右侧，下列说法正确的是（ ）
A．小球抛出的最小速度为
B．若小球恰好从C 点掠过球面，则抛出的最小速度为
C．若
，小球恰好从C 点掠过球面，则抛出速度大小为
D．小球抛出后可从圆弧B 点以上任一点切入球面，沿球面到达右侧
【答案】ABC
【详解】A．当小球与球面相切，且恰好到达C 点时，速度最小为零，根据动能定理有
因小球恰好到达C 点时有水平速度，解得
，故A 正确；
B．若小球恰好从C 点掠过球面，则在C 点有
根据动能定理有
解得此时抛出的最小速度为
，故B 正确；
C．若x=3R，小球恰好从C 点掠过球面，则竖直初速度大小为：
上升到最高点的时间为：
水平速度
则抛出速度大小为
，故C 正确；
D．小球抛出后可从圆弧B 点以上任一点切入球面，若小球所受合力不足以提供向心力，则小球不能沿球
面到达右侧，故D 错误。
故选ABC。
