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专题07 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（一）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，
记
的前n 项和为
，求
.
16．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的
两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03．
(1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1 件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲
工厂生产的概率；
(2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3 件，记这3 件中正品与次品的
个数分别为X，Y，记随机变量
，求
的期望值；
(3)甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1 个月开始，第
个月的次品率y
（单位：%）如表：
x 1
2
3
4
5
y
5
.
8
5
.
4
4
.
8
4
.
5
4
.
0
根据上表数据求得y 关于x 的回归直线方程为
，求相关系数r（要求保留到小数点后两
位），并判断该回归直线方程是否有价值.
附公式：
，
，
，
．若
，则认为回归直线方程有价值.
1
3
P
0.0001
25
0.0071
25
0.1353
75
0.8573
75
17．已知点
为抛物线
上的点，
，
为抛物线
上的两个动点，
为抛物线
的准线与
轴的交点，
为抛物线
的焦点．
(1)若
，求证：直线
恒过定点；
(2)若直线
过点
，
，
在
轴下方，点
在
，
之间，且
，求
的面积和
的面积之比．
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
成等差数列，求
的面积；
(2)若
，求
.
16．某新能源汽车公司对其销售的
、
两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽
车的消费者中各随机抽取了
名，调查结果统计如下表：
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
(1)补全
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为消费者对A、B 两款汽车的售后
服务的满意度有差异？
(2)用频率估计概率，现从购买
、
款汽车的消费者中随机抽取
人，
表示这
名消费者中对
款汽车
的售后服务持满意态度的人数，求
的分布列和数学期望．
附：
，
.
17．如图，四边形
为菱形，
平面
，过
的平面交平面
于
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，且四棱锥
的体积是
．
①求
的长；
②求直线
与平面
所成角的正弦值．
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在
中，内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小：
(2)若
的周长为
，求
的边
上的高.
16．已知函数
在
处有极值.
(1)求
的值；
(2)若函数
恰有3 个零点，求实数
的取值范围.
17．随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为
年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
4.1
4.4
4.8
5.5
6.3
(1)由上面数据可知，可用指数型函数模型
拟合
与
的关系，请建立
关于
的回归方程（
，
的值精确到
）；
(2)数据显示2024 年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为
，用频率估计概率，
现从2024 年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3 人，记购买过运动防护类的消费者人数为
，
求
的分布列与数学期望
.
参考数据：
其中
.
参考公式：对于一组数据
，
，
，
，其经验回归直线
的斜率与截距的最
小二乘法公式为：
，
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知数列
的首项
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)令
，求数列
的前
项和
．
16．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这
是2016 年至2025 年该果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单位：万元）的散点图．
模型①由最小二乘法可求得
与
的经验回归方程为
；
模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近，令
，则
，且
有
．
(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于
的经验回归方程；
(2)已知2025 年的投资金额为20 万，年利润增量为40 万，分析这两种模型在2025 年时哪个模型的预报效
果更好．
参考公式与数据：
．
17．如图，四棱锥
的底面
是菱形，
是
的中点，
是
的中点，
．
(1)证明：
平面
．
(2)证明：
平面
．
(3)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．某物流公司为评估派送时效，从全部订单中随机抽取200 单作为样本，得到订单从入库到送达的时长
（单位：小时），并整理得下表：
从入
库到
送达
的时
长/
小时
频率
0.04
0.24
0.20
0.18
0.12
0.06
(1)求表中
的值并估计样本时长的中位数.
(2)公司拟在从入库到送达的时长位于
，
，
的这三组订单中，采用按比例分配的分层
随机抽样的方法共抽取24 单，求分别从这三组订单中各抽取多少单.
(3)已知落在
的样本从入库到送达的平均时长为7.2 小时，方差为0.49；落在
的样本从入库到
送达的平均时长为8.7 小时，方差为0.64.求这两组样本从入库到送达的时长的总平均数
与总体方差
.
参考公式：
，其中
为总样本平均数.
16．如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，
，
是
的中点，
，
是
上的点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
17．已知正项数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)证明：
为等差数列，并求所有满足条件数列
的通项公式；
(2)把所有满足条件的项
从小到大依次排列，组成新的数列
，记数列
的前
项和为
，求
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
16．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009 年至2024 年居民存款余额进行统计分析，将
2009 年看成第1 年，依次类推，得到第1~16 年的居民存款余额
（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
(1)已知从2021 年开始，居民存款余额超过100 万亿元，若从2009 年至2024 年中任取2 年，求这2 年中
恰有一年居民存款余额超过100 万亿元的概率；
(2)由散点图知，
和的关系可用经验回归模型
进行拟合，求
关于的经验回归方程.
参考数据：设
，则
.
参考公式：对于一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
.
17．如图，在正四棱锥
中，点
在棱
上，点
在棱
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
分别为所在棱的中点，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
