文档文本内容
数列
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
数列
2024 全国新高考I 卷19
2024 全国新高考Ⅱ卷
12、19
2023 全国新高考I 卷7、
20
2023 全国新高考Ⅱ卷8、
18
2022 全国新高考I 卷17、
2022 全国新高考Ⅱ卷3、
17
关于数列的考查，命题比
较灵活.随着整卷题量的减
少，更趋于综合化，难度
有增大趋势.应注意以下几
个方面的问题：
1.等差数列、等比数列基
本量的计算；
2.数列的求和问题；
3.数列的应用、数列与其
它知识的交汇问题；
4.数列与不等式的证明；
5.数列的新定义问题.
1.等差等比数列及求和在高考中主要
考查基本量的基本运算，是常规求和
方法发的基本应用。包括：错位相减
求和，奇偶性求和，列项求和等。
2.情景化与新定义是高考的一个新的
考点，一般采用学过的知识去解决新
定义问题，因加以重视，是高考的一
个方向，并且作为压轴题的可能性比
较大，难度大。
3.知识的综合是未来高考的一个重要
方向，主要是数列与统计概率相结
合，数列作为一个工具与解析几何，
函数结合等，属于中等难度。
题型一 等差数列及其前n 项和
1．已知等差数列
满足
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质，可得答案.
【详解】因为
，解得
.
故选：B.
2．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．0
B．10
C．15
D．30
【答案】C
【分析】利用等差数列的等差中项结合前
项和公式求解即可.
【详解】因为
所以
又因为
故选：C.
3．将数列
中与数列
相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列
，则数列
前10 项的和为（ ）
A．205
B．234
C．239
D．290
【答案】C
【分析】先设数列
中第项与数列
中第
项相同，得
，进而可得数列
的前10
项，进而可得.
【详解】设数列
中第项与数列
中第
项相同，则
，
所以
，即数列
中的第4 项，第6 项，第8 项，…是相同的，均被剔除．
所以数列
的前10 项为：2，5，8，14，20，26，32，38，44，50．
所以数列
前10 项的和为
．
故选：C．
4．（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递减数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
【答案】ACD
【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到
，
，
，
，从而对选
项一一判断，得到答案.
【详解】对于ABD 选项，设
的公差为
，
，故
，
，故
，所以
，
由于
，故
，
，即
是递减数列，A 正确，B 错误，D 正确；
C 选项，由于
是递减数列，
，
，故当
取得最大值时，
，C 正确.
故选：ACD.
5．已知数列
的前n 项和为
，且
，则
= ．
【答案】350
【分析】根据已知及等差数列的定义判断
为奇数、偶数的性质，再应用分组求和、等差数列的前n 项和
公式求
.
【详解】若
为奇数时
，且
，即首项、公差均为1 的等差数列，则
，
若
为偶数时
，
所以
.
故答案为：350
6．在等差数列
中，公差
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
是
与
的等比中项
B．
是
与
的等比中项
C．
是
与
的等比中项
D．
是
与
的等比中项
【答案】A
【分析】根据条件得到
，再利用等比中项的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】因为
，得到
，所以
对于选项A，因为
，
，
，又
，所以
，
则
，
，
构成等比数列，故选项A 正确，
对于选项B，因为
，
，
，又
，但
，所以选项B 错误，
对于选项C，因为
，
，
，所以
，
，
不构成等比数列，故选项C 错误，
对于选项D，因为
，
，
，又
，但
，所以选项D 错误，
故选：A.
7．（多选）已知数列
满足
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则
是等差数列
B．若
，
，则
是等差数列
C．若
，
，则
是等比数列
D．若
，
，则
是等比数列
【答案】BCD
【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断.
【详解】对于A，当
时，若
，则
所以数列
不是等差数列，故A 错误；
对于B，当
时，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
所以数列
是等差数列，故B 正确；
对于C，当
时，有
，
因为
，所以
，即
所以
是等比数列，故C 正确；
对于D，当
时，有
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
所以
是等比数列，故D 正确；
故选：BCD．
题型二 等比数列及其前n 项和
1．记等比数列
的前
项和为
，若
，则公比
（ ）
A．
B．
C．
或1
D．
或1
【答案】A
【分析】利用等比数列片段和性质可求公比.
【详解】由
，得
，解得
，
故选: A．
2．已知
是各项均为正数的等比数列，且
，
，
成等差数列，则
的值是（ ）
A．
B．
C．9
D．16
【答案】A
【分析】设正项等比数列
的公比为
，根据等差中项的性质得到方程，求出
，再根据等比数
列通项公式计算可得.
【详解】设正项等比数列
的公比为
，由
，
，
成等差数列，
可得
，即
，所以
，解得
（舍去）或
，
所以
.
故选：A
3．在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7 这八个数字来表示数值．例如，八进制数
3750 换算成十进制数是
，那么八进制数
转换成十进制数
时，
（ ）
（参考数据：
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】应用等比数列的求和计算得出
，再根据对数的运算与估值计算比较求值．
【详解】由题意，得
，
所以
．
因为
，
所以
，
所以
．
故选:B．
4．已知数列
满足
，
.若数列
是公比为2 的等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由等比数列通项公式求得
，再写出
，相减可求得奇数项前后的差（或偶数项前后
项的差），然后由累加法结合等比数列的前
项和公式计算．
【详解】由已知
，数列
是公比为2 的等比数列，
所以
，
时，
.
两式相减得
，
所以
，
故选：D．
5．已知等比数列
的公比为
，前
项和为
．则下列说法中错误的是（ ）
A．数列
是摆动数列
B．
C．
D．
成等比数列
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式
及前
项和公式
，即可求解.
【详解】对于A，
等比数列
的公比为
，
，
数列
是摆动数列，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
公比为
，
，无法构成等比数列，故D 错误.
故选：D.
6．已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．505
D．1013
【答案】D
【分析】根据
成等比数列，结合等差数列的通项公式可得
，进而得到
，
，进而求和即可.
【详解】设首项为
，因为
成等比数列，
所以
，则
，
解得
或
，当
时，
，此时与
成等比数列矛盾，故排除，
当
时，
，此时令
，
而其前2025 项和为
，
.
故选：D
7．已知
为数列
的前
项和，且
，若
对任意正整数
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
与
的关系可得
，进而可得数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
求通项公式后代入不等式整理可得
恒成立，再根据作差法分析
的单调性求得最大值即
可.
【详解】由
，令
，解得
，
当
时，由
得
，即
，
所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，
由
，即
恒成立，
令
，则
，而
，所以
，
即数列
单调递减，故
，所以
，所以
的最小值为
.
故选：C
题型三 等差、等比数列的性质
1．（多选）已知数列
是公差不为0 的等差数列，前
项和为
，满足
，下列选项正确的
有（ ）
A．
B．
C．
最小
D．
【答案】AB
【分析】由题意可得
，根据等差数列的性质和等差数列前n 项和公式计算，逐一判断选项即可.
【详解】因为
是等差数列，设公差为
，
由
，得
，即
，故A 正确；
又
，故B 正确；
当
，
是单调递增数列，
，
所以当
时
，当
时
，所以
或
最小；
当
，
是单调递减数列，
，
所以当
时
，当
时
，所以
或
最大，故C 错误；
又
，因为
,所以
，故D 错误.
故选：AB.
2．（多选）数列
的前
项和为
，已知
，则（ ）
A．
是递增数列
B．
C．当
时，
D．当且仅当
时，
取得最大值
【答案】BC
【分析】根据
求出数列
的通项公式，结合
可得选项A 错误；利用通项公式可得选项B 正
确；利用通项公式解不等式可得选项C 正确；根据二次函数的性质可得选项D 错误.
【详解】A.当
时，
，
∵
，满足上式，
∴
，
∵
，
∴
是递减数列，故A 错误.
B.由
得
，故B 正确；
C.由
得
，故C 正确；
D.∵二次函数
图象开口向下，对称轴为直线
，
，
∴当
或
时，
取得最大值，故D 错误.
故选：BC.
3．已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】利用
，
，
成等比数列，借助
，可以把
看成一个关于
的二次函数，从而
可求最小值.
【详解】由题意知
，
，
成等比数列，所以
，
即
，所以
，
当
时，
取得最小值3.
故选：D.
4．已知等差数列
、
的前
项和分别为
、
，若
，对
，
，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算得出
，即可得出实数
的取值范围.
【详解】等差数列
、
的前
项和分别为
、
，且
，
则
，
且当
时，
，
因为
，
，
，则
，即
的最小值为
.
故选：C.
5．已知数列
和
都是等差数列，且前n 项和分别为
，
，若
，则
.
【答案】
【分析】利用等比数列的前n 项和的特征设出
，
的表示式，再将所求项的比式拼凑成和的比式，赋值
代入化简即得.
【详解】因数列
和
都是等差数列，且前n 项和分别为
，
，
由
，可设
，
，
则
，
.
故答案为：
.
6．已知数列
的前
项和为
，其中
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，采用构造数列的方法，
，则可以确定数列
为等比数列，然后进行求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
即
，所以
．
故选：C.
7．（多选）已知数列
是等差数列，公差
，前n 项和为
，且
，则（ ）
A．
时，
最小
B．
时，
最小
C．
最小时，
或9
D．
最小时，
或9
【答案】ACD
【分析】由条件推出
，求得
，根据各选项逐一判断即得.
【详解】由
得
，所以
，
对于A， 因
，由
，
，
可得
时
最小，故A 正确；
对于B，由A 可得
，
当
时，
，当
时，
，
故当
时，
，当
时，
，
当
时，
，且
，
故
时，
最小，即B 错误；
对于C，因
，当
时
，
当
时
，当
时
，
所以
最小时
或9，故C 正确；
对于D，因
，当
时
因
，当
时
，
且
，
所以
最小时，
或9，故D 正确．
故选：ACD．
8．（多选）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，若
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
中的最大值是
D．数列
无最大值
【答案】ABC
【分析】根据题中条件，分析出
为单调递减的数列，
，
.A 选项利用
即可判断正确；B 选项利用等比中项即可判断正确；C 选项可分析出数列中多少项比大即可
判断；D 选项，利用C 的判断，可判断D 的正误.
【详解】由
，
，可得
为单调递减的数列且
，
由
可得，
.
A 选项：
，显然A 正确；
B 选项：
，
根据等比中项可得
，显然B 正确；
C 选项：由
，
为单调递减的数列且
，
可知
的前2023 项（包含2023 项）都大于1，从第2024 项（包含2024 项）往后都小于1，
所以数列
中的最大值是
，所以C 正确；
D 选项：由C 正确可知，
有最大值，所以D 错误.
故选：ABC.
9．已知数列
的前
项和
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用
，求出
，进而得到
，结合
的表达式可得答案.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，
，即
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
所以
，
因为
，所以
.
故选：B
10．已知
别为等差数列
的前
项和，
，设点
是直线
外一点，点
是直线
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用三点共线得
，根据等差数列的性质求得
可得答案.
【详解】
，不妨设
，
因为
三点共线，所以
，
所以
，
所以
，
故选：D.
题型四 数列求和
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用递推关系式，结合裂项相消法，即可求得结果.
【详解】因为数列
满足
，
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
．
故选：B
2．记
为等比数列
的前
项和，已知
，
，数列
是公差为1 的等差数列，且
．
(1)求数列
和
的通项公式．
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）设等比数列
的公比为
，根据题意，列出方程组求得
和
，得到数列
的通
项公式，再由
，且公差
，求得
，得到数列
的通项公式；
（2）由（1）得到
，利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案
【详解】（1）解：设等比数列
的公比为
，由
，可得
，
因为
，可得
，
可得
，即
，
整理得
，解得
或
，
当
时，
，不合题意，舍去；
当
，可得
，所以数列
的通项公式为
，则
.
又由
，且数列
是公差为1 的等差数列，
可得
，即
，解得
，
所以故数列
的通项公式为
．
（2）解：由（1）知：
，
，可得
，
因为数列
的前
项和为
，
可得
，
则
，
两式相减，可得
，
所以
．
3．（多选）数列
的前
项和
，且
，
，则（ ）
A．数列
为等比数列
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据
作差求出
的通项公式，即可判断A、B，由等比数列求和公式判断
C，利用裂项相消法判断D.
【详解】因为
①，所以当
时
，可得
，
当
时
②，①
②得
，可得
，
所以数列
是以1 为首项，公比
的等比数列，所以
，故A 正确；
，故B 错误；
因为
，所以
，故C 错误；
因为
所以
，故D 正确；
故选：AD.
4．已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；
（ii）若
成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）等式两边同时除以
可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列
，由不等式组求数列
的最值大即可.
【详解】（1）因为
，即
，
所以数列
是以
为首项，3 为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
.
（ii）因为
，
所以
，
令
，
不妨设
的第
项取得最大值，
所以
，解得
，
所以
的最大值为
，
所以
，即m 的取值范围是
.
5．在①
，
；②
这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横
线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且对任意正整数
，有________.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)选①②，答案均为
；
(2)证明过程见解析
【分析】（1）选①，根据
，得到
，
为首项和公差均
为1 的等差数列，得到
，根据
求出通项公式；选②，
，求出
为首项和公差均为1 的等差数列，得到
，根据
求出通项公式；
（2）求出
，求和得到
，并作差得到
，得到
的最小值为
，证明出结论.
【详解】（1）选①，
，
，
因为
，
所以
，
因为数列
的各项均为正数，所以
，
，
所以
，
又
，
，所以
为首项和公差均为1 的等差数列，
所以
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
显然满足
，
综上，
；
选②，
①，当
时，
，解得
，
当
时，
，
故
，
又因为数列
的各项均为正数，所以
，
故
，即
，
又
，故
为首项和公差均为1 的等差数列，
所以
，解得
，
所以当
时，
，当
时，
，
显然满足
，
综上，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
为递增数列，故
的最小值为
，
所以
.
6．已知数列
的前
项和为
，且满足
，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
（ⅰ）试比较
与
的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列
的前项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用
的关系可求
的通项公式；
（1）（ⅰ）求出
，结合不等式可判断大小；
（iⅰ）利用分组求和的方法求出
，结合不等式放缩可证结论.
【详解】（1）当
时，由题意，
；
当
时，
，两式相减可得
，
所以
，即
，
因为
，所以
.
（2）因为
，所以
；
当
为奇数时，
；当
为偶数时，
；
令
，则
，即
为增函数，则当
时，
；
（ⅰ）因为
，所以
；
（iⅰ）当
为奇数时，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
；
当
为偶数时，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
；
综上，
.
7．已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数列，
，
数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解；
（2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
由题意可得
，则
因为数列
是递减的等比数列，解得
，
所以，
，
因为
，所以，
，
因为
，则
，所以，
，
故
.
（2）当
为奇数时，
，令
，
则
，所以，
，
两个等式作差可得
，化简得
；
当
为偶数时，
令
，
故
.
8．已知正项数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
；
(2)在数列
的每相邻两项
、
之间依次插入
、
、
、
，得到数列
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）当
时，利用累加法可求得
的表达式，结合
可得出
的表达式，再检验
的情形，综合可得出
的通项公式；
（2）由
求出数列
的通项公式，列举出数列
的前
项，即可求得
的值.
【详解】（1）解：对任意的
，因为
，
当
时，
，
因为
，所以
，故
．
当
时，
适合
，
所以
，
．
（2）解：因为
，
，
所以当
时，
，
所以，
，
所以，数列
的前
项分别为：、、
、、
、
、、
、
、
、、
、
、
、
、、
、
、
、
，
所以
的前
项是由
个与
个
组成．所以
．
题型五 数列与不等式综合
1．正项数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，若对于任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当
时，
，与题目式子联立化简得
，从而
，再求出
，根据等差数列的定义求出通项公式即可；
（2）先求出
，然后利用错位相减法求和即可；
（3）由题意得
恒成立，设
，进而得数列
是递减数列，求出数列
的最
大值为
，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
有
，
整理得
，又
，有
，
所以
，
当
时，
，整理得
，得
（舍）或
，
所以数列
是等差数列，首项
，公差为，
，
因此数列
的通项公式
；
（2）由（1）知
，
①
②
①—②得
，
所以
；
（3）若不等式
恒成立，即
，
等价于
恒成立，
设
，则有
，
对
，所以
，即
，
可知数列
是递减数列，
数列
的最大值为
，所以
，
因此实数
的取值范围为
．
2．已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，令
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据已知得到
，应用等比数列的定义判断证明即可；
（2）由（1）得到数列
的通项公式，利用分组求和、等比数列前n 项和公式求和；
（3）由（2）得到数列
的通项公式，对
进行放缩得
，应用裂项相消法
证明结论.
【详解】（1）由题可得，
，所以
，
又
，则
，则
，
故数列
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
.
（3）由（2）
，则
，
所以
．
令
，则
，
其前
项和为
；
令
，则
，
其前
项和为
，
所以
．
3．已知等差数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且
，函数
．
(1)求
；
(2)若
恒成立，求a 的值；
(3)设
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）取
和
可得
，
，进而结合等差数列的通项公式求解即可；
（2）求导，分析函数
的单调性，进而求解即可；
（3）由（2）易得
，进而求证即可.
【详解】（1）由
，
，
当
时，
，解得
或
（舍去）；
当
时，
，解得
或
（舍去），
因为数列
为等差数列，则
，
所以
，
则
.
（2）由
，
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
又
，则
时，
，不符合题意；
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
设
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
由
恒成立，且
，则
.
（3）由（2）知，当
时，
，
即
，
，
令
，则
，
由
，则
，
，
则
，
即
，
.
4．设整数
，
且
，函数
．
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值
，从而
；
（2）构造函数
，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值
，从
而
，所以
；
（3）利用（1）（2）中的结论，
，
，得到
，
放缩证明.
【详解】（1）
．因为
，
，所以
单调
递增．
因此，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，所以
．
（2）设
，则
，所以
在
上单调递减，
故
，从而当
时，
．
（3）由（1）知
，所以
，再利用
，
于是
因此，
．
【点睛】方法点睛：常见的放缩公式
；
；
；
题型六 数列与其他知识综合
1．甲、乙两企业，2019 年的销售量均为p(2019 年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n 年的总销
量为
，乙企业第
年的销售量比前一年的销售量多
．
(1)求甲、乙两企业第n 年的销售量的表达式；
(2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的
，则该企
业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由．
【答案】(1)
；
(2)第2029 年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解
【分析】（1）设甲、乙两企业第n 年的销售量分别为
，根据前n 项和与通项之间的关系求
，利用
累加法求
；
（2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令
，整理可得
，分析求解即可.
【详解】（1）设甲、乙两企业第n 年的销售量分别为
，数列
的前n 项和为
，
则
，
当
时，则
，
且
不满足上式，则
；
又因为当
时，
，
则
，
且
满足上式，所以
.
（2）因为
，即
时不合题意；
当
时，可知
，
即
恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购，
令
，即
，
显然
，整理可得
，
因为
，则
，
可知：当
时，不等式
不成立；
当
时，
，即不等式
不成立；
当
时，
，即不等式
不成立；
当
时，不等式
成立；
综上所述：当
时，等式
成立，
所以第2029 年时，乙企业被甲企业收购.
2．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则
挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为
，派出专识题的概率为
.
已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为
，且各轮答题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第
轮答题结束时挑战依然未终止的概率为
，
（i）求
；
（ii）证明：存在实数
，使得数列
为等比数列.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
（2）（i）将第3 轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互独立事件
的乘法公式求出
，同理求出
；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出递推公式，再利用构造法求
解得证.
【详解】（1）设事件
“一轮答题中系统派出通识题”，事件
“该选手在一轮答题中答对”，
依题意，
，
，
因此
，
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为
.
（2）（i）设事件
“该选手在第
轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
由（1）知，
，
当
时，挑战显然不会终止，即
，
当
时，则第1、2 轮至少答对一轮，
，
由概率加法公式得
；
同理
.
（ii）设事件
“第
轮答题结束时挑战未终止”，
当
时，第
轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
①第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止；
②第
轮答错，且第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止，
因此第
轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为
，
则
，而各轮答题正确与否相互独立，
因此
，
当
时，
，设存在实数
，使得数列
为等比数列，
当
时，
，整理得
，
而
，则
，解得
或
，
当
时
，
因此当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以存在实数
或
，使得数列
为等比数列.
3．ACE 球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分
的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE 球，则换人发球，若未
发出ACE 球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE 球的概率均为
，记
“第
次发
球的人是甲”．
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
,
【分析】（1）根据条件概率的意义可证明
；
（2）利用（1）中的结果可求
，结合全概率公式可得
，利用构造法可求
.
【详解】（1）若第
次为甲发球的条件下第
次还是甲发球，
则第
次甲没有发出ACE 球，故此时
，
若第
次不是甲发球的条件下第
次是甲发球，
（1）乙发ACE 球，则第
次是甲发球；
（2）乙没有发出ACE 球，则有
的概率第
次是甲发球；
故
，
故
.
（2）
，
,
故
，所以
即
，
所以
，
故
而
，故
为等比数列，
故
即
.
4．曲线
的方程
中，用
替换
，
替换
得到曲线
的方程
，把
这种
的变换称为“伸缩变换”，
，
分别称为
轴和
轴的伸缩比.
(1)若曲线
的方程为
，伸缩比
，求
经过“伸缩变换”后所得到曲线
的标准方程；
(2)若曲线
的方程为
，经过“伸缩变换”后所得到曲线
是离心率为
的椭圆，求
的值；
(3)对抛物线
作变换
，得抛物线
；对抛物线
作变
换
，得抛物线
，如此进行下去，对抛物线
作变换
，得抛物线
，若
，记数列
的前
项和为
，
求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由“伸缩变换”的定义计算即可得；
（2）先由“伸缩变换”求得方程，再分
或
，结合离心率定义计算即可得；
（3）由“伸缩变换”求的定义计算可得
，则可得数列
的通项公式，再
利用放缩法及裂项相消法求和即可得证．
【详解】（1）由题意得
，化简得
，
所以曲线
的标准方程为
；
（2）由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为
，化简得
，
①当
时，
，
则
，解得
；
②当
时，
，
则
，解得
；
综上所述，
或
；
（3）对抛物线
作变换
，
得抛物线
，得
，
所以
，
即
，
所以
，
又
，
所以，当
时，
，
当
或
时，
也成立，故
.
【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理
解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．
5．已知函数
．数列
的首项
．以后各项按如下方式取定：记曲线
在
处的切线为
，若
，则记
与
轴交点的横坐标是
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与
轴交点横坐标，从而可得到数列
的递推关系，然后再
利用证明的等比数列后一项
，通过递推代入得到与前一项的关系
，再加以说
明非0，即可得证等比数列；
（2）利用第一问即可求得
，从而利用错位相减法来求数列
的前
项和即可.
【详解】（1）由
，得
，
曲线
在
处的切线方程为
，
根据题意令
可得，
，
由
，
因为
，所以
，且由
得，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）由上式得
，
，
则
，①
两边乘以2 可得：
，②.
由①－②得，
，
所以
．
6．如图所示，
，
，…，
，…是曲线
上的点，
，
，…，
，…是
轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…均为等腰直
角三角形（
为坐标原点）．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，集合
，
，若
，
求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由等腰直角三角形性质可知
，
，由点在抛物线上可得
，由
可得
，
，
，猜测
，再利用数学归纳法证明；
（2）由裂项相消法求
，并求其范围，再由交集的定义求实数的取值范围.
【详解】（1）依题意，有
，
，
由
，得
，即
，
由
可得
，
，
，猜测
．
证明：（i）当
时，可求得
，命题成立；
（ii）假设当
时，命题成立，即有
，
则当
时，由归纳假设得
，
得
，
即
，
解得
［
不合题意，舍去］．
即当
时，命题也成立．
由（i）、（ii），对所有
，
．
（2）
．
因为函数
在区间
上单调递增，所以
．
由
，有
或
，故
．
【点睛】本例是点列问题，是数列中的一个难点，条件中含有
、
以及
、
等诸多因素，而第
（1）问求数列
的通项公式，因此需要找到
、
和
、
之间的等量关系，从而将它们统一到数
列
上，尽管如此，由于条件与解题目标之间关系比较复杂，采取从特殊开始，即通过归纳—猜想—证
明，找到一种解决问题的有效方法．第（2）问，把（1）探求得到的结果代入并运用裂项相消的所得结果
探究其单调性，求出
的取值范围，再由
，求出的取值范围．
