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专题7.4 直线、平面垂直的判定与性质
重难点题型1 垂直的性质
1．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.
【详解】解：由
得：
存在
，满足
，
若
，则直线垂直平面
中任意一条直线，
，
，
，
，
，
，
，
是否相交不确定，
不一定成立，
“
，
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B
2．（2025·天津·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
垂直的性质
重难点题型2
证明线线垂直
重难点题型3
证明线面垂直
重难点题型4
证明面面垂直
重难点题型5
垂直关系的综合应用
A．
，
，
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直
【分析】对于A 当
时，则
与
有可能相交即可判断，对于B 当
时即可判断，对于C 由线面位
置关系即可判断，对于D 由线面垂直的判断定理即可判断.
【详解】对于A：当
时，满足
，
，
，
，则
与
有可能相交，故A 错误；
对于B：当
时，则
，
，
，故B 错误；
对于C：满足
，
，则
或
，故C 错误；
对于D：由
，
,故D 正确.
故选：D.
3．（2025·天津·二模）已知a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线平行、线面平行的性质
【分析】ACD 可举出反例；B 选项，利用线面平行的性质定理、平行关系的转化判断即可.
【详解】对于A，若
，
，则
，即垂直于同一个平面的直线平行，故A 错误；
对于B，若
，设
，
，
，则
．
又
，则
．
因为
，
，则
，
所以
，故B 正确；
对于C，若
，
，则
，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C 错误；
对于D，若
，
，则
，
或
，故D 错误．
故选：B．
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
①若
，则
；
②过直线
外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若
，则
必垂直于面
内的无数条直线；
④若
为异面直线且点
，则存在两条直线过点
且与
都相交.
A．④
B．③
C．②
D．①
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】平行公理、异面直线的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直
【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用
面面垂直判定定理及其性质可判断③正确，由异面直线定义以及基本定理可得仅有一条直线过点
且与
都相交，即④错误.
【详解】对于①，若
，则可知
或
，如下图中
所示：
即①错误；
对于②，不妨取正方体为例，如下图所示：
直线
外一点
，此时平面
与
均与直线
平行，
因此过直线
外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误；
对于③，若
，不妨设
，
作
，且
，所以可知
，显然这样的直线
可以作出无数条，
如下图所示：
所以
必垂直于面
内的无数条直线，即③正确；
对于④，在直线
上取两点
，在直线
上取两点
，如下图所示:
因为
为异面直线且点
，所以过三点
有且仅有一个平面，
同理过三点
有且仅有一个平面，此时两平面仅有一条过点
的交线，
所以④错误；
综上可知，仅有③正确.
故选：B
5．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）设m，n 为直线，α，β 为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线
垂直
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【详解】若
，则
，所以A 选项正确；
若
，则
或m 与n 相交或异面，所以B 选项错误；
若
，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得
，所以C 选项正确；
若
，则
或
或
或m 与α 成
的任意角，所以D 选项错误．
故选：AC．
6．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选题）如图，棱长为2 的正方体
，O 为底面
ABCD 的中心，E 为棱
的中点，M 是线段
上的动点，P 为平面
内的动点，则下列说法正确的
是（ ）．
A．
平面
B．
C．
的最小值为
D．OP 的最小值为
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、点面距离的概念及性质、线面垂直证明线线垂直
【分析】用线面平行判定定理判断A 选项；用线面垂直的性质定理判断B；用余弦定理判断C；结合
垂
直平面
时的值最小判断D 选项.
【详解】选项A 中，分别取
，
中点
，
，连接
、
，
，可知
，
又因为
，所以
，所以
平面
不成立，选项A 错误；
选项B 中，取
中点
，连接
，
，
，所以
，
因为正方体
，所以
面
，
因为
平面
，所以
，即
；
因为
，
，所以
，
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，故
，选项B 成立；
选项C 中，要求
的最小值，
面
，
面
，
这两个三角形
和
都是边长为
的正三角形，
将它们置入同一平面可以得到平行四边形
，
为
中点，
在
中，由余弦定理可得
，
∴
，选项C 成立；
选项D 中，
垂直平面
时的值最小，
又
到平面
的距离等于
到平面
距离的
，
设正四面体
的高等于，
因为
，即
，
即
，解得
，
正四面体
的高等于
，所以
的最小值为
．选项D 成立；
故选：BCD．
重难点题型2 证明线线垂直
7．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥
中，
，
．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若
，
，用平面α 将三棱锥
分为两部分，求截面面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化、由线面平行求线段长度
【分析】（1）取
中点
，证得
且
，利用线面垂直的判定定理，证得
平面
，进而证得
；
（2）作
交
于H，证得
平面
，得到
为直线
与平面
所成角，求得
的长，结合
，即可求解；
（3）设平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，证得截面
为矩形，设
，得到矩形
的面积，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，取
中点
，连接
，
因为
，
，可得
且
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：作
交
于H，连接
，
，
由（1）
平面
，
平面
所以平面
平面
，
因为平面
平面
，且
平面
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成角，
又因为
，所以
，
因为
，可得
又因为
，所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）解：如图所示，设平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，平
面
平面
，
因为
，且
平面
，所以
，
同理可证
，
，
，即
，
由（1）知
，所以
，所以截面
为矩形，
设
，其中
，则
，
所以矩形
的面积
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以截面面积的最大值为
.
8．（2025·云南丽江·一模）已知点
是边长为
的菱形
所在平面外一点，且点
在底面
上的
射影是
与
的交点
，已知
，
是等边三角形.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的平面角的正切值；
(3)若点
是线段
上的动点，问：点
在何处时，直线
与平面
所成的角最大?求出最大角的正弦
值，并说明点
此时所在的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当点
在线段
上靠近
点的
处时，直线
与平面
所成的角最大，最大角的正弦值为
【难度】0.65
【知识点】求cosx(型)函数的值域、证明线面垂直、求线面角、求二面角
【分析】（1）由题意得到
平面
，即得
，再由
可证
平面
，由线
面垂直可得
；
（2）过
在平面
内作
于
，连接
，证明
平面
，得到
为二面角
的平面角，在
中，利用三角函数的定义求解即得；
（3）由
平面
得到
到平面
的距离即为
到平面
的距离，利用等体积求得
，
设直线
与平面
所成的角为
，求得
，推得当
时，
最小，从而
的值最
大，由此即得点
的位置.
【详解】（1）因为点
在底面
上的射影是
与
的交点
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
因为四边形
为菱形，所以
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
（2）
如图，过
在平面
内作
于
，连接
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
、
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故
为二面角
的平面角，
因菱形
中，
，则
，
，
又
是等边三角形，故
，
由
，知
，
在
中，
，故二面角
的正切值为
.
（3）因为
，且
平面
平面
，所以
平面
，
所以
到平面
的距离即为
到平面
的距离，
因为
，所以
，
即
，
所以
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
，
，
因正弦函数在第一象限单调递增，故要使
最大，即使
最大，则需使
最小，
此时
，由对称性知，
，
所以
，此时
，
故当点
在线段
上靠近
点的
处时，直线
与平面
所成的角最大，且最大角的正弦值为
.
9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，
，其中O 为AC 中点．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）先证
，推得
在同一直线上，在
中，由余弦定理求得
，进而可证
，利用线线垂直可得
平面
，进而可证结论；
（2）利用余弦定理求得
，可证得
，结合
，得到
平面
，建系后，求
出平面
和平面
的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得．
【详解】（1）因为
，
，所以
，
又因为
，点O 为AC 中点．
所以
，且
，故
在同一条直线上，
在
中，由余弦定理，可得
，
又
，
，故得
，
解得
，又
，
，故
是等边三角形，则
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
；
（2）由（1）可得
，
，
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
又
，
，
，
，
因
，则
，
又
，且
，
平面
，所以
平面
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系如图，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
由（1）已得
，故可知
平面
，
即
是平面
的一个法向量，
所以
，
所以二面角
的正弦值为
．
10．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体
中，
，
记二面角
为
分别为
的中点.
(1)求证：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）取
中点
，连接
，利用三角形中位线的性质及异面直线夹角的概念得
，进而利用线面垂直的判定定理证得
平面
，最后利用线面垂直的性质定理
即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值即可.
【详解】（1）取
中点
，连接
，又
分别为
的中点，
则
，因为
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
.
（2）由（1）知
是二面角
的平面角，所以
.
如图，以
为原点，
分别为
轴，过
作平面
的垂线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，可取
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
重难点题型3 证明线面垂直
11．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形
中，
，
是
的中点，连接
，将
沿直线
翻折，使得平面
平面
（如图2），连接
，
，
是棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）只需证明
，
，再结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取取
中点
，连接
，只需证明平面
平面
，再结合面面平行的性质定理即可得
证；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线
的法向量与平面
的法向量，由向量夹角的余弦公式即
可求解.
【详解】（1）因为在矩形
中，
，
是
的中点，
所以
，即
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）如图所示，取
中点
，连接
，
因为在矩形
中，
，
是
的中点，
所以
，即四边形
为平行四边形，
从而
，又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
分别是
的中点，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
；
（3）取
中点
，因为
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
两两互相垂直，
以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意
，
设
，
因为四边形
为平行四边形，所以
，
即
，所以
，
故
，
又因为
，
解得
，
又因为
是
中点，
所以
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，解得
，
所以平面
的法向量为
，
故所求为
.
12．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，
且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知平面
经过直线
，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求三棱锥
的
体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量
【分析】（1）由平面
平面
，得到
平面
，再结合
即可求证；
（2）建系，设
求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解
，利用体积公式计计
算得出结果.
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，所以
.
又
平面
，
所以
平面
.
（2）记
的中点为
，连接
，
因为
，所以
，
因为平面
平面
，所以
平面
.
因为
分别是
的中点，所以
，又
，所以
.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设
，则
，
所以
.
由题知
，设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，则
.
则
.
化简可得
，解得
或
，
三棱锥
的体积
，所以体积为
或
.
13．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台
中，已知
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)点
在棱
上，当二面角
的正弦值为
时，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、求平面的法向量、已知面面角求其他量
【分析】（1）利用平行四边形性质得到
，再结合全等三角形的性质和给定条件得到
，
，最后由线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，设
，
，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再由二面角
的向量求法求解即可.
【详解】（1）连接
，交
于点
，连接
，
.
由题意得
，且
，
，
为
中点，
所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.①
在
和
中，
，
，
是公共边，
故
，故有
，
又
是
中点，所以
.
结合①可得
. 又
，
且
，
面
，故
平面
.
（2）在梯形
中，取
中点
，连接
，则
，
易证四边形
是矩形，故
，
.
在
中，由勾股定理得
，故
.
以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，设
，
，
则
，
由（1）知
平面
，故
，
又
，故
，又
，且
，
面
，故
平面
，
故可取
为平面
的一个法向量.
设
为平面
的法向量，
则
，即
，可取
.
设二面角
的大小为
，则
，故
，
所以
，
整理得
，解得
或
（舍），故
.
14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，底面
是等腰梯形，且
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）取
的中点
，连接
，在
，
中，运用勾股定理逆定理得到
，
再结合线面垂直判定定理证明；
（2）建系
，求出关键点坐标，应用
计算求解；
（3）求出平面
与平面
的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函
数关系求出正弦值.
【详解】（1）设
，
为
中点，
是以
为斜边的等腰直角三角形
，
取
的中点
，底面
是等腰梯形，
.
连接
，
在
中，
，
在
中，
.
，
，且
平面
，
平面
；
（2）
如图，建系
，则
，
设直线
与
所成角为
，
（3）设平面
的法向量是
，即
，令
，解得
设平面
的法向量是
，即
令
，解得
设平面
与平面
夹角为
故面
与平面
夹角正弦值为
.
15．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，直四棱柱
中，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得
，由勾股定理得
，然后由
得
，最后根据线面垂直的判定定理及性质证明即可；
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，然后利用向量法求解二面角
的余弦值即可.
【详解】（1）因为
为直四棱柱，故
底面
，
又
底面
，所以
，
由
知
，因为
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以
平面
.
（2）以
为原点，以直线
所在方向分别为
轴建立如图的空间直角坐标系，
因为
，且
，
，所以
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，
，
则
取
得
．
设平面
的一个法向量为
．
则
取
得
．
所以
，
由图可知二面角
的平面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
．
重难点题型4 证明面面垂直
16．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
，
且
．
(1)求证：平面
平面BDEF；
(2)求四面体ADEF 的体积；
(3)求直线AD 与平面ABF 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、证明面面垂直
【分析】（1）只需证明
平面BDEF，进一步将线面垂直问题转换为线线垂直问题，只需证明
，
即可；
（2）由锥体体积计算公式即可求解；
（3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AD 的方向向量与平面ABF 的法向量，结合向量夹角公式即
可求解.
【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O，连接FO．
因为四边形ABCD 为菱形，所以
，
且O 为AC 中点，
，
所以
．又
平面BDEF，
所以
平面BDEF．又
平面ABCD，
所以平面
平面BDEF．
（2）由题知
平面BDEF，
．
（3）连接DF，因为四边形BDEF 为菱形，且
，
所以
为等边三角形．因为O 为BD 中点，
所以
．又
，AC，
平面ABCD，
所以
平面
．故OA，OB，OF 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系
，如图所示，
因为
，四边形ABCD 为菱形，
，
所以
．因为
为等边三角形，
所以
．所以
，
所以
．
设平面ABF 的法向量为
，则
令
，解得
．
设AD 与平面ABF 所成角为
，则AD 与平面ABF 所成角的正弦值为
，
，
所以AD 与平面ABF 所成角的余弦值为
．
17．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）根据投影的定义结合已知条件可得
平面
，然后根据面面垂直的判定即可得；
（2）建立空间直角坐标系，通过向量法求解面面夹角的余弦列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）当
时，即
为线段
的中点，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，
又因为
平面
，平面
//平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
且
，
，
平面
，所以
平面
.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
，
为
的中点，所以
，且
平面
，
故以
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，
，
所以
，
，
，
，
可得
，
，
所以
，
.
设平面
的法向量为
，
则
化简得
令
，则
，
，
可得
，
由题意可知，平面
的法向量
，
所以
，
又平面
与平面
夹角的余弦值为
，
所以
，解得
或
，所以
的值为
或
.
18．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)若
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线线垂直证线面垂直，再由面面垂直的判定证面面垂直；
（2）根据垂直关系以
的中点为原点建系，利用向量法求面面夹角的余弦值.
【详解】（1）
，
，
．
，且
，
平面
，
，
平面
．
平面
，
平面
平面
．
（2）设平面
与平面
的夹角为
，
的中点为
，
的中点为
．
由
，
，知
平面
，
又
，
，故以
为原点，
，
，
分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
．
易知平面
的一个法向量为
，
，
，
设平面
的法向量为
，因此
，取
，
故
．
19．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，且
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
所成平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、求二面角
【分析】（1）根据空间中垂直关系的转化可得
平面
，从而可得
，故可证
平面
，结合面面垂直的判定定理可得平面
平面
；
（2）先求出
到棱
的距离，再求出
到平面
的距离，从而可得平面角的正弦值，故可求其余弦
值．
【详解】（1）证明：因为四边形
为直角梯形，且
，故
，
又
，故
，而
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
，
而
，
，
平面
，由梯形
知
，
必定相交，
故
平面
，而
平面
，
故平面
平面
；
（2）连接
，在平面
中过
作
，垂足为
，
由（1）可得
平面
，而
平面
，故
，
而
，
，故
，而
，
所以
，
因为
，所以
，
在平面
中，过
作
，交
延长线于点
，连接
，
则
，故
，且
，
取
的中点为，连接
，由
可得
，
因为
平面
，故
，
而
，
，
平面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
而
，
，
平面
，故
平面
，
故
到平面
的距离为
，且
，
而
，
平面
，
平面
，
故
平面
，故
到平面
的距离即为
到平面
的距离为
，
设二面角
的平面角为
，则
，
由图可知
为钝角，故
．
20．（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段
为圆锥底面
的直径，
点
在线段
上，且
，点
是以
为直径的圆上一动点.
(1)当
时，证明:平面
平面
；
(2)当三棱锥
的体积最大时，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由
垂直于圆锥的底面，所以
，再由
，得到
，利用线面垂直的
判定定理，证得
平面
，进而证得平面
平面
.
（2）当三棱锥
的体积最大时，得到
为弧
的中点，以
为原点，建立空间直角坐标系，求得
平面
的一个法向量
和向量
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为
垂直于圆锥的底面，所以
，
当
时，
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）当三棱锥
的体积最大时，只需
的面积最大，此时
为弧
的中点，如图所示，以
为原点，建立空间直角坐标系，
因为
，所以
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得
，所以
，
设
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角正弦值为
.
重难点题型5 垂直关系的综合应用
21．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
为
中点，理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据题意，得到
，利用线面平行的判定定理，证得
平面
，再由线面平行
的性质定理，即可证得
；
（2）取
的中点
，得到
，再由
，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面
平
面
；
（3）设点
为
中点，取
与
连线交于
点，以
建立空间直角坐标系，设
到平面
的
距离为，令
，分别求得平面
和平面
的法向量
和
，结合
向量的夹角，列出关系式，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为四边形
为矩形，
所以
，因为
平面
，
平面
。
所以
平面
，因为平面
平面
，
平面
，
所以
；
（2）存在
为
中点，使得
平面
，
理由如下：取
的中点
，
因为
，所以
，
因为
且
，
所以
，因为
且
平面
，
所以
平面
；
（3）设点
为
中点，取
、
和
中点为
，
由（2）知
共面且
平面
，
取
与
连线交于
点，连接
，
则
，可得
为等腰梯形，
所以
，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
因为
，所以
，
设
到平面
的距离为，
因为四边形
和四边形
为两个全等的等腰梯形，
所以
，设
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，可得
，
令
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
取
，可得
，
所以
，设平面
的法向量为
，
则
，
取
，可得
，
所以
，所以
，
令
，则
，
则
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，
当
时
，当
时
，
所以
，所以
，
故平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围为
.
22．（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱
中，底面
为平行四边形，
，
在
上，
，
在
上，
,
在
上，
，
为棱
上的
动点，
、
分别是二面角
和二面角
的平面角.
(1)当
为棱
的中点时，
(i)证明:
平面
；
(ii)
为底面
(包括边界)内的一个动点，且
到平面
的距离等于
到直线
的距离，
最大时,确定
的位置；
(2)当
最小时，求
.
【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)
在
上，且
；
(2)
.
【难度】0.4
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、证明线面垂直、求点面距离、求二面角
【分析】（1）(i)建系，通过
可证；(ii)确定
的轨迹为以
为焦点，以
为准线
的抛物线在四边形
内部部分（包括边界），由
，结合
最大时，
最大即
可求解；
（2）作
，连接
，得到
,
.设
，再由两角和的正切公式得到
进而可求解.
【详解】（1）(i)因为
，所以
，
所以
，又底面
为平行四边形，所以底面
为矩形，
因为
为直四棱柱，所以
两两垂直，
以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
,
所以
,
则
，
所以
，又
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
；
(ii)因为
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，过
在底面
内作
，
因为平面
平面
，
所以
平面
，即
到平面
为
，
到直线
的距离为
，由题可知
，
由抛物线定义知
的轨迹为以
为焦点，以
为准线的抛物线在四边形
内部部分（包括边界），
以
中点为原点，
所在直线为
轴，线段
中垂线为
轴，建立平面直角坐标系，易得抛物线方程
为：
，
设
，
，
最大时，
最大，
，当
时，
，当
时，
，
所以
，所以当
时，
最大，即
最大，
此时
在
上，且
.
（2）作
，连接
，
因为
，且
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，又
在平面
内，
所以
，由直角三角形面积易得：
，
因为
，
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，同理
，
所以
，所以四边形
是矩形，
所以
，
因为
，所以
，
所以二面角
的平面角即为
,
同理二面角
的平面角即为
.
当
与
（或
）重合时，
，
，
当当
不与
（或
）重合时，设
，
，
所以
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
最小时，
最小，
此时
，
综上
.
23．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形
是边长为2 的正方形，点
分别在线段
上
运动，且
．将
沿
折起，使得点
到达点
的位置，此时平面
平面
．
(1)当
时，求证：
；
(2)是否存在
，使
？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在
，使得二面角
的平面角为
．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】零点存在性定理的应用、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）通过作辅助线以及证明线面垂直即可证明线线垂直.
（2）首先假设存在
使得
，然后根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的性质可证明
，
然后根据长度关系证明
不是直角，从而与假设矛盾，得出答案.
（3）先以点
为原点建立空间坐标系，设相关量，根据条件求出一些点的坐标和向量. 接着求平面的法向
量，然后根据二面角余弦值与
相等建立等式，再通过令
构造函数，利用零点存在情况判断
是否存在满足条件的
.
【详解】（1）当
时，
为
的中点，
为
的中点，
此时
，
，
．
如图，取
的中点
，连接
．
则
，
．
又
，
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
（2）假设存在
，使
．
过
作
于点
，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
．
所以
平面
．
又
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
．
又
，所以点
重合．
所以
，（*）
设
，则
，
则
．
所以
，
则
，与（*）式矛盾．
所以不存在
，使
．
（3）以点
为原点，以
所在直线为
轴，以过点
垂直于平面
向上的直线为
轴建立空
间直角坐标系.
过点A 在平面
内作
，连接
，
已知
，
，
，
，可得
，所以
，
即
，且
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，且
，根据面面
垂直性质定理得
平面
.
设
，
，则
，
，
又
，所以
，
.
容易得到
，进而
，
，
.
则
和
设平面
法向量
，由
，
，
令
，得
，
容易知道平面
法向量
.
所以
，
又
，则
.
左边平方得
.
右边平方：
.
此时等式为
.
所以
.
移项整理：把含
的项移到一边，得
.
所以
令
令
因为
，
，由零点存在定理知存在
使
，即存在
使二面角
平面角为
.
24．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形
中，
，点
是边
的中点，
将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图②的四棱锥
．
(1)若
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
(2)在图②中画出平面
与平面
的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)作图及理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、平面的基本性质及辨析、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）取
的中点G，通过证明
平面
可求四棱锥
的体积.
（2）延长
和
，设交点为Q，连接
，根据点
均在两个平面内可说明直线
为平面
与
平面
的交线；
（3）分析得到
，建立空间直角坐标系，表示平面PAM 和平面
的法向量，计算两平面夹角的
余弦值，通过分析函数可求出余弦值的最小值.
【详解】（1）取
的中点G，连接
，
因为
，所以
，
，
.
因为三角形
为等边三角形，所以
，
所以
，故
，
因为
平面
，
，所以
平面
，
因为底面四边形
为梯形，所以四边形
的面积为
，
所以四棱锥
的体积为
.
（2）延长
和
交于点Q，连接
，
则平面
与平面
的交线为直线
.理由如下：
因为
，所以直线AM 和BC 必相交，设交点为Q，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以平面
与平面
的交线为直线
.
（3）由（1）得
，
，所以
为二面角
的平面角，
即
，
因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，且平面
平面
.
在平面
中，过点D 作
，则
平面
，
如图，以D 为坐标原点，分别以
所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
.
过P 作
于点H，
因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
.
设
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
设平面PAM 的法向量为
，则
，
令
，则
，
设平面
的法向量为
，
因为
则
，
令
，则
，
设平面PAM 和平面PBC 的夹角为
，
则
令
，则
，所以
，
因为二次函数
图象开口向上，对称轴为直线
，
所以当
时，函数
有最大值，最大值为
，
此时
有最小值，最小值为
，
所以平面
和平面
夹角余弦值的最小值为
.
