文档文本内容
专题5.2 平面向量的最值范围问题
重难点题型1 平面向量数量积的最值与范围
1．（2025·安徽·模拟预测）向量
与
在
上的投影向量均为
，
，当
最大时，
则
（ ）
A．
B．6
C．12
D．16
2．（2025·广东茂名·一模）向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹角
最大时，
（ ）
A．8
B．5
C．
D．
3．（2023·河南安阳·二模）如图，2022 年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆
和
外切也形成一个8 字形状，若
，
为圆M 上两点，
B 为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则
的最大值为（ ）．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平面向量数量积的最值与范围
重难点题型2
平面向量模长的最值与范围
重难点题型3
平面向量夹角的最值与范围
重难点题型4
平面向量系数的最值与范围
A．
B．
C．
D．
4．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
5．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知平面向量
，
，满足
与
的夹角为锐角，
，
，
，且
的最小值为
，向量
的取值范围是 ．
6．（2025·江苏·三模）设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别是与
、
同
向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.已知在如图所示的
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，且
，点
、
、
分别为
、
、
的中点，则
的最大值为 .
重难点题型2 平面向量模长的最值与范围
1．（2025·重庆·模拟预测）已知
，
都是平面向量，
，若
，
，
，则
取得最大值时，
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
2．（2024·全国·模拟预测）已知
为单位向量，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
3．（2025·北京·高考真题）已知平面直角坐标系
中，
，
，设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·北京丰台·三模）已知
、
、都是平面向量，且
，若
，则
的最小
值为（ ）.
A．1
B．
C．2
D．3
5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面向量
满足
，且
，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知
是平面内的任意一个向量，向量
、满足
，且
，
，
则
的最小值为 .
7．（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量
，
满足
，
，则
的最大值为 .
重难点题型3 平面向量夹角的最值与范围
1．（24-25 高三上·湖北黄冈·一调）已知向量
，且
，则
与夹角的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量
满足
，设
与
的夹角为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·河北石家庄·二模）在平行四边形
中，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·天津滨海新·月考）在梯形
中，
，且
，
，
分别为线段
和
的中点，若
，
，用
，
表示
.若
，则
余弦值的最小值
为 .
重难点题型4 平面向量系数的最值与范围
1．（2023·全国·模拟预测）已知
中，
，且
为
的外心．若
在
上
的投影向量为
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知
是
的重心，过点
作一条直线与边
分别交于点
（点
与所在边的端点均不重合），设
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
3．（24-25 高三上·江西·月考）在平行四边形
中，
，
是平行四边形
内（包括边
界）一点，
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东·模拟预测）已知
为
的外接圆圆心，且
．设实数
满足
，则
的取值范围为 ．
5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知
外接圆的圆心为O，
，
，若
有最大值
，则参数t 的值为
．
