文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 平面向量的基本定理...........................................................................................4
知识点2 平面向量的正交分解...........................................................................................4
知识点3 平面向量的坐标运算...........................................................................................4
知识点4 向量坐标的坐标表示...........................................................................................5
题型破译................................................................................................................................................5
题型1 对基向量概念的理解...............................................................................................5
题型2 用基底表示向量
................................................................................................6
题型3 利用平面向量基本定理求参数
.........................................................................7
【方法技巧】对应系数相等求参数
【易错分析】向量的分解易错
题型4 平面向量的坐标运算...............................................................................................8
题型5 向量共线的坐标表示...............................................................................................9
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................10
05
本
课
典例·
考
高
素材........................................................................................................................11
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）理解平面向量基本定
理及其意义，在平面内，当
一组基选定后，会用这组基
来表示其他向量；
（2）借助平面坐标系，掌
握平面向量的坐标表示；
（3）理解向量坐标的运算
及中点坐标公式；
（4）掌握平面向量平行的
坐标表示．
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，
12 题，5 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
全国甲卷，第9 题，5
分
上海卷，第5 题，4 分
新课标I 卷，第3 题，5
分
考情分析：
掌握平面向量的正交分解及其坐
表示；
标
会用坐
表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
标
理解用坐
表示的平面向量共
的条件。
标
线
复习目标：
（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平
面向量的计算问题；
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
知识点1 平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个
.
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝
.
基底
若e1，e2 .，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
自主检测在
中，点
满足
，点
满足
，
，
分别是
，
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及标准正交基
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为
. ．
（4）把一个向量分解为两个
. 的向量，叫做把向量作正交分解.
自主检测已知平行四边形
的三个顶点
的坐标分别是
．
(1)用坐标表示
；
(2)求
的模长；
(3)求顶点A 的坐标．
知识点3 平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为标准正交基．对于坐
标平面内的任意向量a，以坐标原点O 为起点作OP＝a（通常称OP为位置向量）．
由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使OP＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我们把(x，y)称为向量a 在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a 可以表示为a＝(x，
y)．
2、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点
的位置被它的位置向量
所唯一确定，设点
的坐标为
，容易看出
，即点
的位置向量
的坐标
也就是点
的坐标；反之，点
在平面直角
坐标系中的坐标也是点
所决定的位置向量
的坐标．
3、平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝
.
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝
.
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘
λa＝
.
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相
应坐标的乘积
自主检测若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 向量坐标的坐标表示
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量
，
即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
自主检测已知向量
，
，若
，则y 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
题型1 对基向量概念的理解
例1-1 若已知
、
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
例1-2（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
方法技巧
向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【变式训练1-1】若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量
方向相同的单位向量的坐标为
B．
为非零向量，则向量
在向量
上的投影向量为
C．
为非零向量，且相互不共线，则
D．若
与
共线，则
【变式训练1-3】若
是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①
和
②
和
③
和
④
和
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
题型2 用基底表示向量
例2-1 已知点
为
的重心（
三条中线的交点），记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 在
中，
为
边上的中线，
为
上靠近
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共
线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb 成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练2-1】若点O 是平行四边形
两条对角线的交点，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2·变考法】（多选）在
中，已知
是
的中点，若P 是
上
的一点，且满足
与
交于点E，则（ ）
A．
B．
在
上的投影向量为
C．
D．
【变式训练2-3·变载体】在平行四边形
中，
，
，若
为线段
上靠近
的三等分点，
交
于
，则
.（用
，
表示）
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1
在
中，点
是
边的中点，点
是
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026 高三·全国·专题练习）已知点M 为
中
边上的中点，点N 满足
，过点N
的直线与
分别交于P，Q 两点，且设
，则
的值为（ ）
A．5
B．6
C．9
D．10
例3-3 如图所示，
中，点
是线段
的中点，
是线段
上的动点，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
方法技巧
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表
示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，
解方程或方程组即得．
【变式训练3-1】在平行四边形
中，
，
交
于点
，若
，则
.
【变式训练3-2】如图所示，在
中，
是BN 上的一点，若
，则实数m
的值为 ．
题型4 平面向量的坐标运算
例4-1 与向量
平行的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
例4-2 在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
方法技巧
求向量的坐标的一般方法
1、数形结合法：根据正交分解，求向量在
轴、
轴上的坐标分量；
2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；
3、若已知
、
，则
．
【变式训练4-1】已知向量
，
，则
与
（ ）
A．互为相等向量B．互为相反向量
C．相互垂直
D．均为零向量
【变式训练4-2·变载体】已知点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 向量共线的坐标表示
例5-1 已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
例5-2 已知平面向量
，
，且
，则
.
例5-3 已知点
，点
，且
，则点
的坐标为 ．
方法技巧
1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量
平行的坐标来判断，即先求出
，
，若
，则
．
2、由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知
两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的
方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知
，
，若线段
的一个三等分点为
，则
的坐标为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【变式训练5-2】设向量
其中
为坐标原点，
，若
三点共线， 则
的最小值为 .
【变式训练5-3 已知向量
，
，
，若
与平行，则实数
.
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
是
”
“
的必要条件
”
B．“
是
”
“
的必要条件
”
C．“
是
”
“
的充分条件
”
D．“
是
”
“
的充分条件
”
3．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
5．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
(1)若
的焦点
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
1.已知
的两条对角线相交于点O，以
，
为基向量，则
.
2.已知
，
，
，当
时，求实数x，y 应满足的关系式．
3.已知
，
，
，求
的顶点
的坐标．
4.已知
，
，求
的坐标．
5.已知向量
，
，
，求
，并用标准正交基
表示.
6.已知
，
，求
，
，
的坐标．
7.如图，点B 与点C 关于点A 对称，点D 在线段OB 上，
，DC 和OA 交于点E.设
，
，用
和
表示向量
，
.
