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专题4.3 解三角形及其应用
重难点题型1 利用正弦、余弦定理解三角形
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽合肥·三模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
目录●重难点题型分布
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东枣庄·二模）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
6．（2025·山东泰安·三模）已知
中，
，
，
，则
.
7．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
8．（2025·陕西西安·模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求证：
；
(2)若
为锐角三角形且
，求a 的取值范围.
重难点题型2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽合肥·三模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东枣庄·二模）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
6．（2025·山东泰安·三模）已知
中，
，
，
，则
.
7．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
8．（2025·陕西西安·模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求证：
；
(2)若
为锐角三角形且
，求a 的取值范围.
重难点题型3 与三角形的面积、周长有关的最值问题
1、常用的三角形面积公式：
在
中，内角
，
，
所对的边分别为a，b，c，边
，
，
边上的高分别记作
，
，
，
为内切圆半径，
为外接圆半径，
为内切圆心．
（1）
（2）
（3）
（4）
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在
中，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3 个全等的小三角形拼成如图所示的等边
，已知
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
中，记角
所对的边分别为
，已知
，
且
，则
面积的最大值为 ．
4．（2025·辽宁·三模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
，
则
面积的最大值为 ．
5．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
6．（2025·江西萍乡·三模）已知
中，
，且
.
(1)若
，求
的外接圆面积；
(2)若
，
，
的面积为
，求
的周长.
7．（2025·海南儋州·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，且
的面积为1，求
的周长．
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且
.
(1)求A；
(2)求
面积的最大值；
(3)证明：
.
9．（2025·广东揭阳·三模）已知
内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的最值；
(3)若
，
，求
的面积S 的取值范围.
重难点题型4 解三角形中的中线问题
1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB
2+ AC
2=2(BD
2+ AD
2)
2、向量法：⃗AD
2= 1
4 (b
2+c
2+2bc cos A)
【点睛】适用于已知中线求面积（已知BD
CD 的值也适用）.
1．（2025·湖北黄冈·三模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
且
.
(1)求角
；
(2)若
为
的中点，求线段
长的取值范围.
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
．已知
，点
在边
上，
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
3．（2025·河南·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为
，求
的最大值.
4．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
5．（2025·北京·二模）已知
中，
．
(1)求
的大小；
(2)设
为
的中点，且
，求
的面积．
重难点题型5 解三角形的角平分线问题
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
1、利用角度的倍数关系：∠BAC =2∠BAD =2∠CAD
2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则AB
AC = BD
DC .
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，
就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷．
3、等面积法：
因为S∆ABD+ S∆ACD= S∆ABC，所以1
2 c∙ADsin A
2 + 1
2 b∙ADsin A
2 = 1
2 bcsinA，所以
(b+c) AD =2bc cos A
2
整理的：AD =
2bccos A
2
b+c
（角平分线长公式）．
1．（2025·四川乐山·三模）在
中，角
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
，
的角平分线交
于
，求
.
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角
中，角
所对的边分别为
．
(1)求角
；
(2)若
为
的平分线，且与
交于点
，求
的面积．
3．（2025·湖北·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
4．（2025·湖北·模拟预测）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)证明：
；
(2)设
，
（ⅰ）求
；
（ⅱ）若
，角
的平分线与AB 交于点
，求CD 的长.
5．（2025·广西河池·二模）在
中，角
的对边分别为
.
(1)求
的大小；
(2)若
，角
的平分线交
于点
，求
.
重难点题型6 倍角关系
1．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角
中，设边
所对的角分别为
，且
．
(1)证明：
(2)若
，求
的取值范围．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
3．（2023·广东茂名·一模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证：
.
(2)求
的取值范围.
4．（2025·江西新余·模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)证明：
.
(2)若
的平分线AD 交BC 于D，
，
，求
的值.
5．（2023·辽宁·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，面积为 ，满足
．
(1)证明：
；
(2)是否存在正整数m，n，使得
和
同时成立．若存在，求出m，n 的值，若不存在，说
明理由．
重难点题型7 解三角形的实际应用（距离、高度、角度）
1．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测
海岛的高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，
称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称为“表目距的差”则
海岛的高
（ ）
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
2．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将
小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移
，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，
已知人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地
球E 和某小行星M 绕太阳S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在
位置
时，测出
；行星M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了
位置，测出
，
．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M 的轨道半径最接近的是（参考数据：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1 甲）为灵感来源，结合中国
书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新
梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，
60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘
制了△ABD（如图乙），测得
，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算sin∠ACD
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人
工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在
点处的测量觇标
高
米，攀登者们在
处测得，到觇标底点
和顶点
的仰角分别为
，则
的高度差约为
（ ）
A．7.32 米
B．7.07 米
C．27.32 米
D．30 米
6．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标
志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，
点A 在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C 与O 在同一水平面上，他测得
米，
，在点B 处测得点A 的仰角为
（
），在点C 处测得点A 的仰角为45°，则财富汇大
厦的高度
米.
7．（2023·山东济南·三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地
形吻合的矩形设计，将数学符号“
”完美嵌入其中，寓意无限未知无限发展无限可能和无限的科技创
､
､
新.如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B
的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600 米到点D，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°
和60°（A，B，C，D 在同一铅垂面内），则A，B 两点之间的距离为 米.
重难点题型8 解三角形与三角函数的综合应用
1．（2024·福建·三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积；
(3)以
为坐标原点，
所在直线为
轴，且A 在x 轴上方建立平面直角坐标系，在
所在的平面内
有一动点
，满足
，求
的最小值.
2．（21-22 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，扇形OMN 的半径为
，圆心角为
，A 为弧MN 上一动
点，B 为半径上一点且满足
.
(1)若
，求AB 的长；
(2)求△ABM 面积的最大值.
3．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a，
b，
成等比数列．
(1)若
，求角C；
(2)若
的面积为S，求
的取值范围．
4．（2022·河南濮阳·模拟预测）在
中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知
．
(1)求
;
(2)若
,D 为边AC 上一点,且
．求
的值．
