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专题06 解三角形培优归类
题型1 三角形形状判断
正余弦定理：化角为边型
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
正余弦定理：化边为角型
若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”
1．（24-25 高三·江苏阶段练习）在
中，已知
，则
的形状为
2．（24-25 高三江苏徐州·阶段练习）在
中，若
，则该三角形为 三角
形．
3．（21-22 高一下·北京·阶段练习）已知△
的三个内角
所对的边分别为
，则下列条件能
推导出△
一定为锐角三角形的是 ．
①
；②
；③
；④
.
4．（24-25 高三·上海·阶段练习）在
中，
（a、b、c 分别为角A、B、C 的
对边），则
的形状为 .
题型2 三角形几解的判断
判断三角形解的个数有2 种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23 高一下·湖北襄阳·期中）在
中，
边上的高为2，则满足条件的
的个数为 .
6．（22-23 高三上海阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
已知
要使
该三角形有唯一解，则
的取值范围为 .
2．（24-25 高三·北京阶段练习）在△ABC 中，
请给出一个
值 ，使该三角形有两解.
4．（24-25 高三吉林·模拟）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，若
有两解，则的一个可能整数值为 .
题型3 解三角形求角度（范围最值）
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借
助其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
1．（25-26 高三上·北京·开学考试）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
则
的最大值是 .
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知
是
的重心，
，其中内角
的对
边分别为
，则
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，角
的大小为 ．
4．（2025 高三·全国·专题练习）在
内，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
的取值范围是 ．
题型4 复合型三角函数最值
复合型角或者三角函数范围最值，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3.
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·湖南永州·期末）在锐角
中，角A，B，C 所对应边分别为a，b，c，
的面
积为S，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．
3．（24-25 高三江苏无锡·阶段练习）
的内角
的对边分别为
，已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 边角互化：面积最值型
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
内接于单位圆，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·江苏苏州·模拟）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
4．（23-24 高三·福建泉州·阶段练习）在锐角
中，
、
、分别是角
、
、
所对的边，已知
且
，则锐角
面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 边角互化：周长最值型
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与
角度有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限
制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
．
1．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形
的内角
所对的边分别为
，已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
中，已知
，
，
则
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
3．（24-25 高三·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、、，
若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二上·河北张家口·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．6
D．9
题型7 边角互化：比值范围型
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
角化变型：
主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
1．（23-24 高三·陕西咸阳·期中）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·重庆万州·期中）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，为
的面积，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·山东枣庄·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河北·期中）已知
是锐角三角形，角
、
、
所对的边分别为
、
、，为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 边角互化：四边形面积最值型
四边形面积最值型
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自
用余弦定理，构建数量关系。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件
1．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形
中，
，
则四边形
面积的最大值为 .
3．（2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD 中，
，
，记
△ABD，△BCD 的面积分别为
，则
的最大值为 .
4．（21-22 高一下·福建三明·期中）如图，平面四边形ABCD 中，
，
则四边形ABCD 的面积的最大值为
题型9 射影定理型
射影定理
1．（24-25 高三·河南·阶段练习）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）等边
的边长为5，点
在平面
上，点
在
的同一侧，且边
在
上的射影长分别为3，4，则边
在
上的射影长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三·吉林长春·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，表示
的面积，
若
，
，则
（ ）
A．90
B．60
C．45
D．30
4．（24-25 高三·广东佛山·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
题型10 图形解析型：中线型
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）设
的内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求角C；
(2)若D 为
的中点，求线段
长的取值范围.
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
3．（24-25 高三·陕西西安·阶段练习）在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
4．（24-25 高三·江苏常州·阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，若
是
上一点，
．记
，
．
(1)证明：
；
(2)若
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求线段
长度的取值范围．
题型11 图形解析型：角平分线型
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
1．（24-25 高三·重庆渝北·期中）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求角
；
(2)求
的取值范围；
(3)当
时，角
的平分线交
于
，求
长度的最大值.
2．（24-25 高三·吉林长春·阶段练习）已知
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若
的面积为
.
①已知E 为BC 的中点，且
，求
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
3．（24-25 高三·河南平顶山阶段练习）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求C；
(2)已知CD 为
的平分线，且CD 交AB 于点D.
（ⅰ）若
，求
的取值范围；
（ⅱ）若点E 满足
，求
的值.
4．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）在
中，记内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
且
.
(1)求
；
(2)求
的最大值；
(3)若
的角平分线交
于点
，求
的取值范围.
题型12 图形解析型：三角形的高
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
1．（24-25 高一下·河南鹤壁·期末）已知在
中，内角
的对边分别为
且
.
(1)求C；
(2)若AB 边上的高为h，求
的最大值.
2．（24-25 高一下·河南郑州·期末）如图，在
中，内角
所对的边分别是
，且
．
(1)求角
的大小．
(2)若
，
是
边的中点，
为边
上一点，且
，
与
交于点
．
（i）求
的长度；
（ii）求
．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．且
，
(1)求角C；
(2)如图，边AB 的垂直平分线ED 交AB 于E，交边AC 于D，
，
，求AD 长．
4．（24-25 高一下·广西百色·期末）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的大小；
(2)若
，
是
边上的高，且
，求
的面积.
题型13 图形解析型：双余弦定比分点
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC 型，称D 为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1）
ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2）
ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-
）
2.向量法：
1．（24-25 高一下·湖北·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
的面积
，且有
．
(1)求角A 和角C；
(2)若
，求
．
2．（24-25 高一下·云南昭通·期末）已知
中，三个内角分别为
，且
．
(1)若
，求
的外接圆面积；
(2)若
的面积为
，求
的周长．
3．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，向量
，
，且
．
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
4．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
，
，
.
(1)求角
；
(2)若
为线段
上一点，且
，求
的长度.
题型14 图形解析型：外心与外接圆
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三
角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R 为 外接圆半径
1．（24-25 高三·四川南充·模拟）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，
的面积为
，求
的值；
(3)若
，
，
为
垂心，
为
的外心，求
的值.
2．（23-24 高三·广东广州·期末）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.且满足
.
(1)求角
；
(2)已知
的外接圆的圆心为
，半径
.
（i）作角
的平分线交
于
，
，求
的面积；
（ii）若
，求
的取值范围.
3．（24-25 高三广东肇庆·阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求b；
(3)已知
的外接圆半径为
，
的平分线交
于点D，若
，求
的周长．
4．（24-25 高三·湖南·阶段练习）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且其外接圆的半径
，求
的取值范围.
题型15 图形解析与计算综合型
1．（2025 高三·全国·专题练习）在四边形
中，
平分
．
(1)求
；
(2)当
取最大值时，求
．
2．（22-23 高三·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形
中，已知
的面积为
，记
的面积为
.
(1)求
的大小；
(2)若
，设
，
，问是否存在常数
，使得
成立，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
3．（23-24 高三·福建阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4 的线段各1 条，将它们全部用上，首尾依次
相连地放在桌面上，可组成周长为10 的三角形或四边形.
(1)求出所有可能的三角形的面积.
(2)如图，在平面凸四边形
中，
，
，
，
.
①当
大小变化时，求四边形
面积的最大值，并求出面积最大时
的值.
②当
时，
所在平面内是否存在点P，使得
达到最小？若有最小值，则求出
该值；否则，说明理由.
4．（23-24 高三·湖南阶段练习）当
的三个内角均小于
时，使得
的点
为
的“费马点”；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为
的“费马
点”.已知在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，P 是
的“费马点”.
(1)若
，
，
.
①求
；
②设
的周长为
，求
的值；
(2)若
，
，求实数的最小值.
结束
