专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 平面向量数量积的运算】..........................................................................................................................4
【题型2 平面向量的夹角问题】..............................................................................................................................6
【题型3 平面向量的模长】......................................................................................................................................8
【题型4 平面向量的垂直问题】..............................................................................................................................9
【题型5 平面向量的投影】....................................................................................................................................10
【题型6 平面向量在几何中的应用】....................................................................................................................12
【题型7 向量在物理中的应用】............................................................................................................................15
【题型8 向量数量积与解三角形综合】................................................................................................................17
【题型9 平面向量新定义】....................................................................................................................................20
1、平面向量的数量积及其应用
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解平面向量数量积的含义
及其几何意义
(2)了解平面向量的数量积与投
影向量的关系
(3)掌握数量积的坐标表达式，
会进行平面向量数量积的运算
(4)能运用数量积表示两个向量
的夹角，会用数量积判断两个
平面向量的垂直关系
(5)会用向量的方法解决某些简
单的平面几何问题
2023 年新高考I 卷：第3 题，5 分
2023 年新高考Ⅱ卷：第13 题，5
分
2023 年北京卷：第3 题，5 分
2024 年新高考I 卷：第3 题，5 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第3 题，5
分
2025 年全国二卷：第12 题，5 分
2025 年天津卷：第14 题，5 分
2025 年上海卷：第12 题，5 分
平面向量的数量积是高考的重
点、热点内容.从近几年的高考情况
来看，试题往往以选择题、填空题
的形式呈现，主要考查向量的数量
积、夹角、模与垂直条件等知识，
难度中等，有时会与三角函数、平
面几何等相结合命题.学生在高考复
习中应注意加强训练，要能灵活运
用定义法、坐标法和基底法解决常
见的数量积有关问题.
知识点
1 向量数量积的性质和常用结论
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设⃗a，⃗b是非零向量，它们的夹角是θ，⃗e是与⃗b方向相同的单位向量，则
①
.
②
.
③当⃗a与⃗b同向时，
；当⃗a与⃗b反向时，
.
特别地，
或
.
④
，当且仅当向量⃗a，⃗b共线，即⃗a∥⃗b时，等号成立.
⑤
.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量⃗a，⃗b，⃗c和实数λ，有
①交换律：
；
②数乘结合律：
；
③分配律：
.
2．向量数量积的常用结论
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
，当且仅当⃗a与⃗b同向共线时右边等号成立，⃗a与⃗b反向共线时左边等号成
立.
以上结论可作为公式使用.
知识点
2 平面向量数量积的解题方法
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ 时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算
问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
知识点
3 数量积的两大应用
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若⃗
a
，⃗
b
为非零向量，则
(夹角公式)，
等，可
知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用
及
，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余
弦定理等方法求解.
知识点
4 向量数量积综合应用的方法和思想
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代
数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行
求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量
为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
知识点
5 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设
，则
，
，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：
————极化恒等式
平行四边形模式：
.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
方差的
．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)
；
(2)
.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若⃗a与⃗b的夹角为锐角，则
>0；若
>0，则⃗a与⃗b的夹角为锐角或0.
(2)若⃗a与⃗b的夹角为钝角，则
<0；若
<0，则⃗a与⃗b的夹角为钝角或π.
3．向量⃗
a
在向量⃗
b
上的投影向量为
.
【题型1 平面向量数量积的运算】
【例1】（2025·江西·三模）已知平面单位向量⃗m，⃗n满足⃗m⊥(⃗m−2⃗n)，则(⃗m+2⃗n)⋅⃗m=（ ）
A．2
B．−2
C．1
D．−1
【答案】A
【解题思路】根据平面向量垂直及运算律可得2⃗m⋅⃗n=⃗m
2=1，进而求解即可.
【解答过程】由⃗m⊥(⃗m−2⃗n)，则⃗m⋅(⃗m−2⃗n)=⃗m
2−2⃗m⋅⃗n=0，即2⃗m⋅⃗n=⃗m
2=1，
则(⃗m+2⃗n)⋅⃗m=⃗m
2+2⃗m⋅⃗n=1+1=2.
故选：A．
【变式1-1】（2025·甘肃白银·三模）若向量⃗a=(m,5),⃗b=(1,2)，且⃗a·⃗b=8，则实数m=（ ）
A．2
B．−2
C．18
D．−18
【答案】B
【解题思路】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可．
【解答过程】因为向量⃗a=(m,5),⃗b=(1,2)，
所以⃗a·⃗b=1×m+5×2=m+10=8，解得m=−2．
故选：B.
【变式1-2】（2025·安徽滁州·二模）已知A ,B ,C三点在单位圆上运动，且|AB)= ❑√3，则⃗BC ⋅⃗AC的取
值范围为（ ）
A．[−1
2 , 3
2)
B．[−3
2 , 1
2)
C．[
1
2 , 3
2)
D．[−3
2 ,−1
2)
【答案】A
【解题思路】设AB的中点为E，得|OE|= 1
2，∠AOB =120
∘，将⃗BC ⋅⃗AC化为1
2 −cos∠COE，根据
−1≤cos∠COE≤1可得结果.
【解答过程】设AB的中点为E，因为|OA |=|OB|=1，AB|= ❑√3，所以|OE|= 1
2，∠AOB =120
∘，⃗
BC ⋅⃗AC =⃗C A ⋅⃗C B =(⃗OA −⃗OC)⋅(⃗OB−⃗OC)
=⃗OA ⋅⃗OB−⃗OC ⋅(⃗OA +⃗OB)+|⃗OC |
2
=1×1×(−1
2)−⃗OC ⋅2⃗OE +1
=−1
2 +1−2×1× 1
2 cos∠COE = 1
2 −cos∠COE，
因为−1≤cos∠COE≤1，所以−1
2 ≤⃗BC ⋅⃗AC ≤3
2.
故选：A.
【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形ABCD中，AB =2，M为BC中点，N为正方形
ABCD内部或边界上一点，则⃗DM ⋅⃗CN的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．7
4
D．2
【答案】D
【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设N (m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，得到⃗DM ⋅⃗CN =2m−n−2
，求出最大值.
【解答过程】以A为坐标原点，AB , AD所在直线分别为x , y轴，建立平面直角坐标系，
则A (0,0),B (2,0),C (2,2), D (0,2), M (2,1)，
设N (m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，
则⃗DM ⋅⃗CN =(2,−1)⋅(m−2,n−2)=2m−4+2−n=2m−n−2，
故当m=2,n=0时，⃗DM ⋅⃗CN =2m−n−2取得最大值，最大值为4−0−2=2.
故选：D.
【题型2 平面向量的夹角问题】
【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量⃗a,⃗b满足⃗a⋅(⃗a−⃗b)=2，且|⃗a)=1，|⃗b)=2，则向量⃗
a,⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．2π
3
C．π
3
D．5π
6
【答案】B
【解题思路】根据数量积的运算及夹角公式得解.
【解答过程】因为|⃗a)=1，|⃗b)=2，
所以⃗a⋅(⃗a−⃗b)=⃗a
2−⃗a⋅⃗b=1−⃗a⋅⃗b=2，即⃗a⋅⃗b=−1，
所以cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
=−1
2，
所以⟨⃗a,⃗b)= 2π
3 ，
故选：B.
【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
【答案】C
【解题思路】根据已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，利用向量减法求出⃗b和⃗a−2⃗b，再通过点积计算求
出(⃗a−2⃗b)⋅⃗a，通过模长计算求出|⃗a−2⃗b)和|⃗a)，利用向量夹角的余弦公式cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
求解.
【解答过程】∵⃗a=(2,0),⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，
∴⃗b=⃗a−(⃗a−⃗b)=(2−3,0−(−❑√3))=(−1,❑√3).
∴2⃗b=(−2,2❑√3).
∴⃗a−2⃗b=(2,0)−(−2,2❑√3)=(4 ,−2❑√3).
∴(⃗a−2⃗b)⋅⃗a=(4 ,−2❑√3)⋅(2,0)= 4×2+(−2❑√3)×0=8.
∴|⃗a)=
❑√2
2+0
2=2,|⃗a−2⃗b)=
❑√4
2+(−2❑√3)
2= ❑√28=2❑√7.
∴cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
=
8
2❑√7⋅2 = 2❑√7
7
.
故选：C.
【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量⃗a与⃗b不共线，且满足|⃗b)=2|⃗a)，2⃗a−⃗b与⃗b的夹角
为2π
3
，则向量⃗a与向量⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
【答案】A
【解题思路】设向量⃗a与向量⃗b的夹角为θ，设|⃗b)=2|⃗a)=2，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即
可求得答案.
【解答过程】设向量⃗a与向量⃗b的夹角为θ，θ∈(0,π),
设|⃗b)=2|⃗a)=2，则a
→
⋅b
→
=|a
→)|b
→)cosθ =2cosθ，
则|2 a
→
−b
→)=
❑√(2 a
→
−b
→)
2
=
❑√4|a
→)
2
−4 a
→
⋅b
→
+|b
→)
2
=
❑√8|a
→)
2
−4 a
→
⋅b
→
= ❑√8−8cosθ，
2⃗a−⃗b与⃗b的夹角为2π
3
，所以cos2π
3
= (2 a
→
−b
→)⋅b
→
|2 a
→
−b
→)×|b
→)
，
则−1
2 = 2 a
→
⋅b
→
−|b
→)
2
|2a
→
−b
→)×|b
→)
，即−1
2 =
4 cosθ−4
2❑√8−8cosθ ，
可得2cos
2θ−3cosθ+1=0,解得cosθ =1（舍）或cosθ = 1
2，
则θ =π
3
．
故选：A．
【变式2-3】（2025·陕西·模拟预测）已知向量⃗a=( x ,1),⃗b=(−3,2−x)，若⃗a,⃗b的夹角为钝角，则实数x
的取值范围为（ ）
A．(
1
2 ,3)∪(3,+∞)
B．(−1,3)∪(3,+∞)
C．(
1
2 ,+∞)
D．(−∞, 1
2)
【答案】A
【解题思路】首先利用坐标公式求出向量a
→
,b
→
的数量积，然后求出向量a
→
,b
→
夹角的余弦值，根据夹角为钝
角条件求出x的取值范围.
【解答过程】因为向量a
→
=(x ,1),b
→
=(−3,2−x)，
所以a
→
·b
→
=−3 x +2−x =2−4 x.
所以向量a
→
,b
→
夹角的余弦值为：
因为向量a
→
,b
→
的夹角为钝角，所以−1<
2−4 x
❑√x
2+1×
❑√9+(2−x)
2 <0
解得x> 1
2且x≠3（当x =3时），所以实数x的取值范围为(
1
2 ,3)∪(3,+∞).
故选：A.
【题型3 平面向量的模长】
【例3】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知|⃗a)=2,|⃗b)=3,|⃗a−⃗b)= ❑√7，则|⃗a+⃗b)等于（ ）
A．❑√17
B．❑√19
C．❑√21
D．❑√23
【答案】B
【解题思路】将题干条件平方处理，得出⃗a⋅⃗b，然后对待求表达式也平方处理即可得解.
【解答过程】由|⃗a−⃗b)= ❑√7，则|a
→
−b
→)
2
= a
→
2+ b
→
2−2⃗a⋅⃗b= ❑√7
2= 4+9−2⃗a⋅⃗b，
解得⃗a⋅⃗b=3，于是|⃗a+⃗b)
2=⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b= 4 +9+6=19，
故|⃗a+⃗b)= ❑√19.
故选：B.
【变式3-1】（2025·安徽蚌埠·三模）若向量⃗a与⃗b的夹角为60°，且|⃗a|=2,⃗b=(1,❑√3)，则|⃗a+2⃗b|=
（ ）
A．2
B．2❑√3
C．2❑√7
D．6
【答案】C
【解题思路】利用数量积求出(⃗a+2⃗b)
2后可得|⃗a+2⃗b|.
【解答过程】由题意得|b
→)=2，(⃗a+2⃗b)
2=⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2= 4+16+ 4×2×2× 1
2 =28,
故|⃗a+2⃗b)=2❑√7，
故选：C.
【变式3-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x−1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
.
【答案】❑√2
【解题思路】根据向量坐标化运算得⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【解答过程】⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，因为⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0，
则x +1−2 x =0，解得x =1.
则⃗a=(1,1)，则|⃗a|= ❑√2.
故答案为：❑√2.
【变式3-3】（2025·广西·模拟预测）已知向量⃗a=(1,−2)，⃗b=(2,m)，且⃗a⊥⃗b，则|⃗a−2⃗b)=
.
【答案】5
【解题思路】根据向量垂直的坐标公式列方程求参数，然后根据模的公式求解即可
【解答过程】因为向量⃗a=(1,−2)，⃗b=(2,m)，且⃗a⊥⃗b，
所以2−2m=0，解得m=1，
故⃗a−2⃗b=(1,−2)−2(2,1)=(−3,−4)，
故|⃗a−2⃗b)=
❑√(−3)
2+(−4)
2=5.
故答案为：5.
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量⃗a=(λ−1,1),⃗b=(2, λ)，若(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求⃗a−⃗b,⃗a+⃗b，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】由题意有⃗a−⃗b=(λ−3,1−λ),⃗a+⃗b=(λ+1,1+ λ)，
又因为(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，
所以(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=(λ−3)(λ+1)+(1−λ)(1+ λ)=−2(λ+1)=0⇒λ =−1，
故选：B.
【变式4-1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,m)，若(⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b)，则实数m=
（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．4
【答案】C
【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出m的值.
【解答过程】因为a
→
=(1,2),b
→
=(2,m)，
所以a
→
+ b
→
=(3,m+2), a
→
−b
→
=(−1,2−m).
因为(a
→
+ b
→)⊥(a
→
−b
→)，所以(a
→
+ b
→)·(a
→
−b
→)=0
所以−3+(m+2)(2−m)=0.
解得m=±1.
故选：C.
【变式4-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(−1,1)，若(λ⃗a+⃗b)⊥⃗b，则λ=（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【答案】D
【解题思路】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可.
【解答过程】因⃗a=(1,0)，⃗b=(−1,1)，则⃗a⋅⃗b=1×(−1)+0×1=−1，|⃗b|= ❑√2，
由(λ⃗a+⃗b)⊥⃗b可得( λ⃗a+⃗b)⋅⃗b= λ⃗a⋅⃗b+⃗b
2=−λ+2=0，解得λ=2.
故选：D.
【变式4-3】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(3, x)，若⃗b⊥(⃗b−6⃗a)，则x =（ ）
A．−3
B．−1
C．1
D．3
【答案】D
【解题思路】根据题意，求得⃗a⋅⃗b= x ,|⃗b)=
❑√9+ x
2，结合⃗b⋅(⃗b−6⃗a)=⃗b
2−6⃗a⋅⃗b=0，列出方程，即可
求解.
【解答过程】由向量⃗a=(0,1),⃗b=(3, x)，可得⃗a⋅⃗b= x ,|⃗b)=
❑√9+ x
2，
因为⃗b⊥(⃗b−6⃗a)，可得⃗b⋅(⃗b−6⃗a)=⃗b
2−6⃗a⋅⃗b=9+ x
2−6 x =0，
即x
2−6 x +9=( x −3)
2=0，解得x =3.
故选：D.
【题型5 平面向量的投影】
【例5】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知单位向量a
→
,b
→满足⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=0，则⃗a在⃗b上的投影向量为
（ ）
A．⃗b
B．−⃗b
C．1
2⃗b
D．−1
2⃗b
【答案】D
【解题思路】根据投影向量公式可求投影向量.
【解答过程】因为⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=0，故⃗a
2+2⃗a⋅⃗b=0，故⃗a⋅⃗b=−1
2，
而⃗a在⃗b上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b)
2⃗b=
−1
2
1⃗b=−1
2⃗b，
故选：D.
【变式5-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量⃗a=(4,2),⃗b=(1,2)，则向量⃗a在向量(⃗a+2⃗b)上的投影向
量为（ ）
A．(
❑√5
3 ,
❑√5
3 )
B．(2❑√5,2❑√5)
C．(2❑√5,❑√5)
D．(3,3)
【答案】D
【解题思路】由向量的坐标运算和投影向量的定义计算即可．
【解答过程】因为⃗a=(4,2),⃗b=(1,2)，
所以⃗a+2⃗b=(6,6)，⃗a⋅(⃗a+2⃗b)= 4×6+2×6=36，
|⃗a+2⃗b|=
❑√6
2+6
2=6 ❑√2，
所以向量⃗a在向量(⃗a+2⃗b)上的投影向量为⃗a⋅(⃗a+2⃗b)
|⃗a+2⃗b|
⋅⃗
a+2⃗b
|⃗a+2⃗b|
=
36
6 ❑√2×6 ❑√2 (6,6)=(3,3)．
故选：D．
【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形PQRS中，若⃗PQ
|⃗PQ)
+⃗PS
|⃗PS)
=
❑√3⃗PR
|⃗PR)
，则⃗PQ在⃗PS上的
投影向量为（ ）
A．1
2⃗PQ
B．⃗PS
C．
❑√3
2⃗PS
D．1
2⃗PS
【答案】D
【解题思路】先判断平行四边形PQRS是菱形，求出∠QPS，再根据投影向量的概念求解.
【解答过程】因为⃗PQ
|⃗PQ)
+⃗PS
|⃗PS)
=
❑√3⃗PR
|⃗PR) ，所以PR平分∠QPS，所以平行四边形PQRS为菱形，
如图：
由⃗PQ
|⃗PQ)
+⃗PS
|⃗PS)
=
❑√3⃗PR
|⃗PR) 两边平方得，2+ 2⃗PQ⋅⃗PS
|⃗PQ)|⃗PS)
=3，所以cos∠QPS = 1
2，
所以∠QPS =π
3 ，所以⃗PQ在⃗PS上的投影向量为|⃗PQ)cosπ
3 ⋅⃗PS
|⃗PS)
= 1
2⃗PS.
故选：D.
【变式5-3】（2025·湖北·模拟预测）已知点P(2,0)，Q (3,2)，向量⃗a=(1,−2)，则向量⃗PQ在⃗a方向上的投
影向量为（ ）
A．(
3
5 , 6
5)
B．(−3
5 ,−6
5)
C．(−3
5 , 6
5)
D．(
3
5 ,−6
5)
【答案】C
【解题思路】首先求出⃗PQ的坐标，即可求出|⃗a)，⃗a⋅⃗PQ，再根据投影向量的定义计算可得.
【解答过程】因为P(2,0)，Q (3,2)，所以⃗PQ =(3,2)−(2,0)=(1,2)，
又⃗a=(1,−2)，所以|⃗a)=
❑√1
2+(−2)
2= ❑√5，⃗a⋅⃗PQ =1×1+2×(−2)=−3，
所以向量⃗PQ在⃗a方向上的投影向量为⃗PQ⋅⃗a
|⃗a)
2
⋅⃗a= −3
(❑√5)
2 ⋅⃗a=−3
5⃗a=−3
5
(1,−2)=(−3
5 , 6
5).
故选：C.
【题型6 平面向量在几何中的应用】
【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形ABCD中，AB =3，AD =2，∠BAD =60
∘，P为边CD上
一点，若AP⊥BD，则线段AP的长为（ ）
A．
❑√21
2
B．❑√5
C．3
D．2❑√3
【答案】A
【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出⃗AP =⃗AD+ 1
6⃗AB，再平方求向量的模即可.
【解答过程】设⃗AP =⃗AD+ λ⃗AB，如图，
因为AP⊥BD，
所以⃗AP⋅⃗BD =(⃗AD + λ⃗AB)(⃗AD−⃗AB)=⃗AD
2−λ⃗AB
2+(λ−1)⃗AB⋅⃗AD =0,
即4−9 λ+(λ−1)×3×2× 1
2 =0，解得λ= 1
6，
所以⃗AP =⃗AD+ 1
6⃗AB，
|⃗AP)= ❑√(⃗AD + 1
6⃗AB)
2
= ❑√⃗AD
2+ 1
36⃗AB
2+ 1
3⃗AD⋅⃗AB = ❑√4 + 1
4 + 1
3 ×3×2× 1
2 =
❑√21
2
，
故选：A.
【变式6-1】（2025·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB =120
∘，|⃗AC)=3，|⃗BC)= 4，⃗DC ⋅⃗DB =0，
则|⃗AB+⃗AD)的最小值为（ ）
A．6 ❑√3−2
B．2❑√19−4
C．3 ❑√3−1
D．❑√19−2
【答案】A
【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为x 轴，过C垂直BC 的直线为y轴建立如图所示的平面直角
坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|⃗AB+⃗AD|min.
【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x 轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平
面直角坐标系，
则A(−3
2 , 3 ❑√3
2
)，B(4,0)，由⃗DC ·⃗DB =0，可得D是以BC为直径的圆，
所以D的轨迹方程为( x−2)
2+ y
2= 4，
取BD的中点为M，设M ( x , y), D( x0, y0)，
可得{
x = x0+ 4
2
y = y0+0
2 )
，所以{
x0=2 x−4
y0=2 y )，所以(2 x −6)
2+(2 y )
2= 4，
所以点M的轨迹方程为( x−3)
2+ y
2=1，圆心为H (3,0)，半径为1，
由⃗AB+⃗AD =2⃗AM，所以|⃗AB+⃗AD|=2|⃗AM |，所以|⃗AB+⃗AD|min=2|⃗AM |min，
所以|⃗AM |min=| AH |−1=
❑√(−3
2 −3)
2
+( 3 ❑√3
2
−0)
2
−1=3 ❑√3−1，
所以|⃗AB+⃗AD|min=6 ❑√3−2.
故选：A.
【变式6-2】（2025·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三
角形中，已知AB =2，P 为弧AC 上的一点，且∠PBC =π
6 ，则⃗BP⋅⃗CP的值为（ ）
A．4−❑√2
B．4+ ❑√2
C．4−2❑√3
D．4+2❑√3
【答案】C
【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】如图所示，
以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，
则B (0,0)，C (2,0)，由∠PBC =π
6 ，得P(❑√3,1)，
所以⃗BP =(❑√3,1)，⃗CP =(❑√3−2,1)，
所以⃗BP⋅⃗CP = ❑√3(❑√3−2)+1×1= 4−2❑√3.
故选：C.
【变式6-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2 的正八边形A1, A2,⋯, A8的边上，点M在边A1 A2
上，则⃗A1 M ⋅⃗A1 N的取值范围是（ ）
A．[−4−2❑√2,2❑√2)
B．[−4,4 +2❑√2)
C．[−2❑√2,4+2❑√2)
D．[−2❑√2,4)
【答案】C
【解题思路】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M 、N的坐标，计算⃗A1 M ⋅⃗A1 N即可.
【解答过程】以A1为原点， A1 A2为x轴，A1 A6为y轴建立平面直角坐标系，
设N (x1, y1), M (x2,0)，则⃗A1 M =(x2,0),⃗A1 N =(x1, y1)，
所以⃗A1 M ⋅⃗A1 N = x1 x2，
由于正八边形的每个外角都为π
4 ；
则x2∈[0,2), x1∈[−❑√2,2+ ❑√2)，
所以⃗A1 M ⋅⃗A1 N = x1 x2∈[−2❑√2,4+2❑√2).
故选：C.
【题型7 向量在物理中的应用】
【例7】（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P 从点A 出发，沿AB，BC，CD 运动至点D，已知
AB //CD , AB = 4 ,BC =2,CD =3，⃗AB⋅⃗BC =−2，则质点P 位移的大小是（ ）
A．9
B．2❑√15
C．2❑√13
D．❑√46
【答案】D
【解题思路】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得.
【解答过程】由题意可得质点P 位移为⃗AD =⃗AB+⃗BC +⃗CD，
所以|⃗AD)=
❑√(⃗AB+⃗BC +⃗CD)
2=
❑√|⃗AB)
2+|⃗BC)
2+|⃗CD)
2+2⃗AB⋅⃗BC +2⃗BC ⋅⃗CD +2⃗AB⋅⃗CD
因为AB = 4 ,BC =2,CD =3，⃗AB⋅⃗BC =−2，所以⃗AB⋅⃗CD =12，
设⃗AB ,⃗BC的夹角为θ，所以⃗AB⋅⃗BC =|⃗AB)|⃗BC)cosθ =−2⇒cosθ =−1
4 ，
因为AB //CD ,所以⃗BC ⋅⃗CD =|⃗BC)|⃗CD)cosθ =2×3×(−1
4)=−3
2，
所以|⃗AD)= ❑√46.
故选：D.
【变式7-1】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F1, F2, F3作用于一点，且处于平衡状态.若
|F1)=1N ,|F2)=
❑√6−❑√2
2
N , F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为（ ）
A．−
❑√6+ ❑√2
4
B．
❑√6+ ❑√2
4
C．−
❑√6−❑√2
4
D．
❑√6−❑√2
4
【答案】A
【解题思路】根据⃗F1+⃗F2+⃗F3=⃗0,先求得|⃗F3)=|⃗F1+⃗F2)，再由|⃗F2)=
❑√|⃗F1)
2+|⃗F3)
2+2|⃗F1)|⃗F3)cosθ，即
可求解.
【解答过程】∵三个力平衡，
∴⃗F1+⃗F2+⃗F3=⃗0，
∴|⃗F3)=|⃗F1+⃗F2)=
❑√|⃗F1)
2+2⃗F1⋅⃗F2+|⃗F2)
2=
❑√
1
2+2×1×
❑√6−❑√2
2
cos 45°+(
❑√6−❑√2
2
)
2
= ❑√2.
设⃗F3与⃗F1的夹角为θ，则|⃗F2)=
❑√|⃗F1)
2+|⃗F3)
2+2|⃗F1)|⃗F3)cosθ，
即
❑√6−❑√2
2
=
❑√1
2+ ❑√2
2+2×1×❑√2cosθ，
解得cosθ =−
❑√6+ ❑√2
4
故选：A.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F1，F2，F3使物体处于平衡
状态，已知F1=1 N，F2=2 N，F1与F2的夹角为120°，则F3的大小为 ．（牛顿N是物理的力
学单位）.
【答案】❑√3 N
【解题思路】根据三力平衡得到F
→
1+ F
→
2=−F
→
3，然后通过平方将向量式数量化得到
|F
→
1)
2
+2|F
→
1)·|F
→
2)cos120°+|F
→
2)
2
=|F
→
3)
2
，代入数据即可得到答案.
【解答过程】由题意知三力平衡得F
→
1+ F
→
2+ F
→
3= 0
→
，化简得F
→
1+ F
→
2=−F
→
3，
两边同平方得F
→
1
2+2 F
→
1· F
→
2+ F
→
2
2= F
→
3
2，即|F
→
1)
2
+2|F
→
1)·|F
→
2)cos120°+|F
→
2)
2
=|F
→
3)
2
，
即1
2+2×1×2×(−1
2)+2
2=3=|F
→
3)
2
，解得|F
→
3)= ❑√3.
故答案为：❑√3 N.
【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B 处，在同样的
细绳OC的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不
计，横线上填OA或OB或OC)．
【答案】OA
【解题思路】设OA ,OB ,OC三条绳受的力分别为⃗a,⃗b,⃗c，则⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，根据向量加法法则和直角三角
形三边关系得到|⃗O A
′)>|⃗O B
′),|⃗O A
′)>|⃗OC
′)，得到答案.
【解答过程】设OA ,OB ,OC三条绳受的力分别为⃗a,⃗b,⃗c，则⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，⃗
a,⃗b合力为⃗c
′ =⃗a+⃗b，|⃗c)=|⃗c
′)，
如图，在平行四边形A
′O B
′C
′中，
∵⃗O B
′⊥⃗OC
′ ,|⃗B
′C)=|⃗O A
′)，
∴|⃗O A
′)>|⃗O B
′),|⃗O A
′)>|⃗OC
′)，
即|⃗a)>|⃗b),|⃗a)>|⃗c)，故细绳OA 受力最大，即对OA 绳的耐力性要求最高．
故答案为：OA.
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2025·云南昭通·模拟预测）在△ABC中，已知AB =10，BC =6，CA =8，则⃗AB⋅⃗BC =（ ）
A．36
B．18
C．−18
D．−36
【答案】D
【解题思路】由余弦定理求出cosB，然后由向量数量积的定义求解即可.
【解答过程】在△ABC中，已知AB =10，BC =6，CA =8，
由余弦定理得cosB = A B
2+ BC
2−C A
2
2 AB⋅BC
= 100+36−64
120
= 3
5⃗
AB⋅⃗BC =|⃗AB)|⃗BC)cos(π−B)=−|⃗AB)|⃗BC)cosB =−10×6× 3
5 =−36.
故选：D．
【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为CD上一点，
且满足⃗AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2❑√3，则|⃗AP)的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
3
D．8
3
【答案】C
【解题思路】设⃗CP = λ⃗CD，从而得到⃗AP = 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，结合已知有λ= 2
3 ,m= 1
3，应用三角形面
积公式得|⃗AB)⋅|⃗AC)=8，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【解答过程】设⃗CP = λ⃗CD，则⃗
AP =⃗AC +⃗CP =⃗AC + λ⃗CD =⃗AC + λ(
1
2⃗AB−⃗AC)= 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC = 1
3⃗AB+m⃗AC，
所以{
1
2 λ= 1
3
m=1−λ)
，解得λ = 2
3 ,m= 1
3，
S△ABC = 1
2|⃗AB)⋅|⃗AC)sin∠BAC =
❑√3
4 |⃗AB)⋅|⃗AC)=2❑√3，则|⃗AB)⋅|⃗AC)=8，
|⃗AP)
2=(
1
3⃗AB+ 1
3⃗AC)
2
= 1
9⃗AB
2+ 1
9⃗AC
2+ 2
9⃗AB⋅⃗AC
= 1
9|⃗AB)
2+ 1
9|⃗AC)
2+ 2
9|⃗AB)⋅|⃗AC)cos∠BAC ≥2❑√
1
9|⃗AB)
2⋅1
9|⃗AC)
2+ 1
9|⃗AB)⋅|⃗AC)
= 1
3|⃗AB)⋅|⃗AC)= 8
3 ，当且仅当|⃗AB)=|⃗AC)=2❑√2时，等号成立，
∴|⃗AP)的最小值为2❑√6
3
．
故选：C.
【变式8-2】（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形ABC中，∠BAC =120°，AB = AC =1，⃗BC =⃗a，⃗
CA =⃗b，⃗AB =⃗c，那么⃗a⋅⃗b+⃗b⋅⃗c +⃗c⋅⃗a=（ ）
A．5
2
B．−5
2
C．7
2
D．−7
2
【答案】B
【解题思路】解法一：由余弦定理求出BC，∠ABC ,∠ACB ,再由数量积的定义求解即可；解法二：由余
弦定理求出BC，再由(⃗a+⃗b+⃗c)
2=0可得⃗a⋅⃗b+⃗b⋅⃗c +⃗c⋅⃗a=−⃗a
2+⃗b
2+⃗c
2
2
，代入求解即可得出答案.
【解答过程】解法一：由余弦定理可知：BC = A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos∠BAC = ❑√3，
所以∠ABC =∠ACB =30°，⃗
a⋅⃗b+⃗b⋅⃗c +⃗c⋅⃗a= ❑√3×1×cos150°+1×1×cos60°+ ❑√3×1×cos150° =−5
2；
解法二：由余弦定理可知BC = A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos∠BAC = ❑√3，
因为⃗a+⃗b+⃗c =0，则(⃗a+⃗b+⃗c)
2=0，
所以⃗a
2+⃗b
2+⃗c
2+2⃗a⋅⃗b+2⃗b⋅⃗c +2⃗c⋅⃗a=0，
即⃗a⋅⃗b+⃗b⋅⃗c +⃗c⋅⃗a=−⃗a
2+⃗b
2+⃗c
2
2
=−5
2，
故选：B.
【变式8-3】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形ABCD中，|⃗AC)=2，|⃗CD)= ❑√3，∠ACD =30
∘，
E为线段AC的中点，⃗DE =2⃗EB，则⃗DA ⋅⃗DB =（ ）
A．3
B．3 ❑√3
2
C．3
2
D．3
4
【答案】D
【解题思路】在△ACD中，由余弦定理可得|⃗AD)=1，在Rt△ACD中易得|⃗DE)= 1
2|⃗AC)=1，
∠BDA =60
∘，即可利用数量积的定义求解.
【解答过程】在△ACD中，由余弦定理可得
|⃗AD)
2=|⃗AC)
2+|⃗CD)
2−2|⃗AC)|⃗CD)cos∠ACD =2
2+(❑√3)
2−2×2×❑√3×cos30
∘=1，
则|⃗AD)=1，
由|⃗CD)
2+|⃗AD)
2=|⃗AC)
2，可得DC ⊥DA，
又E为线段AC中点，则|⃗DE)= 1
2|⃗AC)=1，
又⃗DE =2⃗EB，则|⃗EB)= 1
2，|⃗DB)= 3
2，且∠BDA =60
∘，
所以⃗DA ⋅⃗DB =|⃗DA)|⃗DB)cos∠BDA =1× 3
2 cos60
∘= 3
4 .
故选：D.
【题型9 平面向量新定义】
【例9】（2025·湖南郴州·三模）定义：|⃗a×⃗b)=|⃗a)|⃗b)sinθ，其中θ为向量⃗a,⃗b的夹角.若⃗
a⋅⃗b=8,tanθ =2，则|⃗a×⃗b)=（ ）
A．8
B．16
C．16 ❑√5
5
D．8 ❑√5
5
【答案】B
【解题思路】 由⃗a⋅⃗b=|⃗a)|⃗b)cosθ =8，结合同角三角函数式sinθ =cosθ·tanθ即可求解.
【解答过程】 因为⃗a⋅⃗b=|⃗a)|⃗b)cosθ =8，
所以|⃗a×⃗b)=|⃗a)|⃗b)sinθ =|⃗a)|⃗b)cosθ⋅tanθ =16.
故选：B.
【变式9-1】（2025·河南新乡·二模）已知⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)都是非零向量，定义新运算⃗
a⊙⃗b= x1
2 x2+ x1 y1 y2+ x1 x2
2+ y1 x2 y2，则“⃗a⊙⃗b=0”是“⃗a⊥⃗b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】将⃗a⊙⃗b= x1
2 x2+ x1 y1 y2+ x1 x2
2+ y1 x2 y2=0提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果.
【解答过程】若⃗a⊙⃗b=0，则⃗a⊙⃗b= x1
2 x2+ x1 y1 y2+ x1 x2
2+ y1 x2 y2=(x1+ x2)(x1 x2+ y1 y2)=0，则
x1+ x2=0或x1 x2+ y1 y2=0.
当x1+ x2=0时，⃗a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2=0未必成立；
当x1 x2+ y1 y2=0时，⃗a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2=0.
故“⃗a⊙⃗b=0”是“⃗a⊥⃗b”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义余弦距离e( A ,B)=1−cos⟨⃗OA ,⃗OB)
（O为原点）.若M (❑√1−t
2,t)，N (−1,1)，则e( M , N )的最小值为（ ）
A．❑√2
B．1
C．1−
❑√2
2
D．0
【答案】C
【解题思路】分析可得M在半圆x
2+ y
2=1( x ≥0)上，结合图象确定∠MON的最小值，即可得解.
【解答过程】∵M (❑√1−t
2,t)，则(❑√1−t
2)
2+t
2=1，且❑√1−t
2≥0，
∴M在半圆x
2+ y
2=1( x ≥0)上，
如图，当M在(0,1)时，∠MON取最小值，最小值为π
4 ，cos⟨⃗OM ,⃗ON )取得最大值
❑√2
2 ，
此时e( M , N )取最小值，最小值为1−
❑√2
2 .
故选：C.
【变式9-3】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量⃗a和⃗b，定义：⃗a⊕⃗b=⃗
a⋅⃗b
|⃗a)
2+|⃗b)
2，⃗
a⊙⃗b=⃗a⋅⃗b
|⃗b)
2 ．若平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a)>|⃗b)>0，且⃗a⊕⃗b和⃗a⊙⃗b都在集合{
n
4 |n∈Z,0<n≤4)中，则⃗
a⊕⃗b+⃗a⊙⃗b=（ ）
A．1
B．3
2
C．1 或7
4
D．1 或5
4
【答案】D
【解题思路】根据|⃗a)>|⃗b)>0，得到|⃗a)
2+|⃗b)
2>2|⃗a)|⃗b)，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到⃗
a⊕⃗b< 1
2，⃗a⊙⃗b> 1
2，再结合条件，即可求出结果.
【解答过程】因为{
n
4 |n∈Z,0<n≤4)={
1
4 ,1
2 ,3
4 ,1)，
设向量⃗a和⃗b的夹角为θ，因为|⃗a)>|⃗b)>0，所以|⃗a)
2+|⃗b)
2>2|⃗a)|⃗b)，
得到⃗a⊕⃗b=⃗
a⋅⃗b
|⃗a)
2+|⃗b)
2 =|⃗a)|⃗b)cosθ
|⃗a)
2+|⃗b)
2 <|⃗a)|⃗b)cosθ
2|⃗a)⋅|⃗b)
=cosθ
2
，
又θ∈[0,π)，所以cosθ
2
≤1
2，
又⃗a⊕⃗b在集合{
n
4 |n∈Z,0<n≤4)中，所以cosθ
2
>1
4 ，即cosθ> 1
2，得到⃗a⊕⃗b=1
4 ，
又因为⃗a⊙⃗b=⃗a⋅⃗b
|⃗b)
2 =|⃗a)⋅|⃗b)cosθ
|⃗b)
2
=|⃗a)
|⃗b)
cosθ>cosθ> 1
2，所以⃗a⊙⃗b=3
4 或1，
所以⃗a⊕⃗b+⃗a⊙⃗b=1或5
4 ，
故选：D.
一、单选题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a)= 4，|⃗b)=2，⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则|⃗a−⃗b)=（ ）
A．2
B．4
C．2❑√3
D．2❑√5
【答案】C
【解题思路】法一：对|⃗a−⃗b)，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件
可得答案.
【解答过程】法一：|⃗a−⃗b)
2=⃗a
2+⃗b
2−2⃗a⋅⃗b=16+ 4−2×4×2× 1
2 =12，
即|⃗a−⃗b)=2❑√3；
法二：
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若⃗a=⃗AC，AC = 4，⃗b=⃗AB，AB =2，∠A =60
∘，
则∠B =90
∘，⃗a−⃗b=⃗BC，故|⃗a−⃗b)=
❑√4
2−2
2=2❑√3.
故选：C.
2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知|⃗a)=3，|⃗b)=2，⃗a与⃗b夹角的大小为120°，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．3
B．−3
C．❑√3
D．−❑√3
【答案】B
【解题思路】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积.
【解答过程】因为⃗a⋅⃗b=|⃗a)⋅|⃗b)⋅cos⟨⃗a,⃗b) =3×2×cos120° =3×2×(−1
2) =−3.
故选：B.
3．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量⃗a=(1,1)，⃗b=(x ,−1)，若⃗a⊥(2⃗a−3⃗b)，则⃗a+3⃗b=（ ）
A．(8,−2)
B．(6,−2)
C．(8,−4)
D．(6,−4)
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.
【解答过程】由⃗a=(1,1)，⃗b=(x ,−1)可得2⃗a−3⃗b=(2−3 x ,5)，
因为⃗a⊥(2⃗a−3⃗b)，所以⃗a⋅(2⃗a−3⃗b)=0，即(2−3 x ,5)⋅(1,1)=2−3 x +5=0，解得x = 7
3，
则⃗b=(
7
3 ,−1)，则⃗a+3⃗b=(8,−2).
故选：A.
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量⃗a和⃗b满足⃗a=(1,3),⃗b=(−1
2 , 5
2)，则向量⃗a−⃗b在向量⃗a上的投影
向量为（ ）
A．3
10⃗a
B．−3
10⃗a
C．2
5⃗a
D．−2
5⃗a
【答案】A
【解题思路】先计算向量⃗a−⃗b=(
3
2 , 1
2)，再应用投影向量公式计算求解.
【解答过程】⃗a=(1,3),⃗b=(−1
2 , 5
2)，则向量⃗a−⃗b=(
3
2 , 1
2)，
则⃗a−⃗b在⃗a的投影向量为(⃗a−⃗b)⋅⃗a
|⃗a|
2⃗
a=
3
2 ×1+ 1
2 ×3
1
2+3
2⃗
a= 3
10⃗a，
故选:A．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量⃗a,⃗b满足❑√2|a
→)=|b
→)，|a
→
+2b
→)=|2a
→
−b
→)，则下列结论正确
的是（ ）
A．cos<a
→
,b
→
¿¿= 3 ❑√2
16
B．(3 a
→
+8 b
→)⊥a
→
C．(3 a
→
+8 b
→)⊥b
→ D．(8 a
→
+3 b
→)⊥a
→
【答案】B
【解题思路】将已知条件平方，化简可得⃗a⋅⃗b=−3
8⃗a
2，利用该结论依次判断各个选项.
【解答过程】由于❑√2|⃗a)=|⃗b)，则2⃗a
2=⃗b
2，
又由|⃗a+2⃗b)=|2⃗a−⃗b)可得⃗a
2+ 4⃗b
2+ 4⃗a⋅⃗b= 4⃗a
2+⃗b
2−4⃗a⋅⃗b，
即8⃗a⋅⃗b=3⃗a
2−3⃗b
2=−3⃗a
2，即⃗a⋅⃗b=−3
8⃗a
2，
对于选项A，cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)|⃗b)
=−
3⃗a
2
8×❑√2⃗a
2 =−3 ❑√2
16 ，故A错误；
对于选项B，由于⃗a⋅⃗b=−3
8⃗a
2，则8⃗a⋅⃗b+3⃗a
2=0，即(3⃗a+8⃗b)⋅⃗a=0，
所以(3⃗a+8⃗b)⊥⃗a，故B正确；
对于选项C，(3⃗a+8⃗b)⋅⃗b=3⃗a⋅⃗b+8⃗b
2=−9a
2
8 +16⃗a
2= 119⃗a
2
8
≠0，故C错误；
对于选项D，(8⃗a+3⃗b)⋅⃗a=8⃗a
2+3⃗a⋅⃗b=8⃗a
2−9
8⃗a
2= 55
8⃗a
2≠0，故D错误．
故选：B．
6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE = 1
3 EF，则⃗AF ⋅⃗BC的值为（ ）
A．3
4
B．1
8
C．−5
8
D．11
8
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量⃗AF ，⃗BC的坐标，利用数量积的坐标运算求⃗
AF ⋅⃗BC的值即可.
【解答过程】如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得E (0,0)，B(−1
2 ,0)，C(
1
2 ,0)，A(0,
❑√3
2 )，
则D(−1
4 ,
❑√3
4 ),⃗DE =(
1
4 ,−
❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
设F (x , y)，由DE = 1
3 EF得，⃗EF =3⃗DE，
所以(x , y)=3(
1
4 ,−
❑√3
4 )=(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )
所以F(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )，所以⃗AF =(
3
4 ,−5 ❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
所以⃗AF ⋅⃗BC = 3
4 ×1+(−5 ❑√3
4 )×0= 3
4 .
故选：A.
7．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量a
→
,b
→
, c
→，满足|a
→)=1，a
→
⋅b
→
=2，|a
→
−c
→)=|2 a
→
+ c
→)，则
|b
→
−c
→)的最小值为（ ）
A．3
2
B．2
C．9
4
D．5
2
【答案】D
【解题思路】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得⃗a⋅⃗c =−1
2，设A(1,0),C( x , y)，⃗b=(m,n)，
进而知点C 在直线x =−1
2上，点B 直线x =2上，结合|⃗b−⃗c)min=|⃗CB)min计算即可求解.
【解答过程】由|⃗a−⃗c)=|2⃗a+⃗c)，得|⃗a−⃗c)
2=|2⃗a+⃗c)
2，
即⃗a
2−2⃗a⋅⃗c +⃗c
2= 4⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗c +⃗c
2，又|⃗a)=1，
整理得⃗a⋅⃗c =−1
2.
设⃗a=⃗OA ,⃗b=⃗OB,⃗c =⃗OC，则⃗b−⃗c =⃗OB−⃗OC =⃗CB，
设A(1,0),C( x , y)，则⃗a=(1,0),⃗c =( x , y)，
所以⃗a⋅⃗c = x =−1
2，即点C 在直线x =−1
2上；
设⃗b=(m,n)，由⃗a⋅⃗b=2，得m=2，即点B 直线x =2上，
而|⃗b−⃗c)=|⃗CB)的几何意义为直线x =2上的点B 到直线x =−1
2上的点C 的距离，
所以|⃗b−⃗c)min=|⃗CB)min=2−(−1
2 )= 5
2，
即|⃗b−⃗c)的最小值为5
2.
故选：D.
8．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，若
⃗
HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE = 3 ❑√2+ 4
2
，则正八边形的边长为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．2
D．1
【答案】D
【解题思路】以点A为坐标原点，AB , AF分别为x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形边
长为a，表示出各个点的坐标，进一步表示出⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE，从而列方程求解a.
【解答过程】以点A为坐标原点，AB , AF分别为x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形的
边长为a，
因为正八边形的外角为2π
8 =π
4 ，所以A (0,0)，B (a,0)，C((1+
❑√2
2 )a,
❑√2
2 a)，
D((1+
❑√2
2 )a,(1+
❑√2
2 )a)，E(a,(❑√2+1)a)，F(0,(❑√2+1)a)，
G(−
❑√2
2 a,(1+
❑√2
2 )a)，H(−
❑√2
2 a,
❑√2
2 a)，⃗
HA =(
❑√2
2 a,−
❑√2
2 a),⃗HE =((1+
❑√2
2 )a,(1+
❑√2
2 )a),⃗FE =(a,0)，⃗
GF =(
❑√2
2 a,
❑√2
2 a)，
所以⃗HA +⃗FE +⃗GF =((❑√2+1)a,0)，
因为⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE = 3 ❑√2+ 4
2
，
而⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE =(⃗HA +⃗FE +⃗GF)⋅⃗HE =
❑√2
2 (❑√2+1)
2a
2，
故
❑√2
2 (❑√2+1)
2a
2= 3 ❑√2+ 4
2
，解得a=1.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·陕西安康·三模）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,−1)，则（ ）
A．|⃗a)= ❑√5
B．⃗a+2⃗b=(3,0)
C．cos⟨⃗a,⃗b)=
❑√10
10
D．⃗a在⃗b上的投影向量的坐标为(−1
2 , 1
2)
【答案】ABD
【解题思路】A 利用向量的模的坐标公式计算；B 利用向量加法和数乘的坐标运算；C 利用公式
cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
即可；D 利用投影向量公式⃗a⋅⃗b
|⃗b)
2 ⋅⃗b.
【解答过程】因⃗a=(1,2)，则|⃗a)=
❑√1
2+2
2= ❑√5，故A 正确；⃗
b=(1,−1)，则2⃗b=(2,−2)，则⃗a+2⃗b=(3,0)，故B 正确；⃗
a⋅⃗b=1×1+2×(−1)=−1，则cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
=
−1
❑√5×❑√2 =−
❑√10
10 ，故C 错误；⃗
a在⃗b上的投影向量为⃗
a⋅⃗b
|⃗b)
2 ⋅⃗b= −1
2⃗b=(−1
2 , 1
2)，故D 正确.
故选：ABD.
10．（2025·河北·模拟预测）已知|a
→)=2|b
→)=2，且向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，下列说法正确的是（ ）
A．|⃗a+2⃗b)=2❑√5
B．(⃗a−4⃗b)⊥⃗a
C．向量⃗a−2⃗b和⃗a的夹角为π
2
D．若(λ a
→
+2b
→)//(a
→
−3 b
→)，则λ=−2
3
【答案】BD
【解题思路】通过向量的数量积公式a
→
· b
→
=|a)|b)cosθ以及向量模长公式|m)=
❑√m
→
2等进行计算和判断.
【解答过程】因为|a
→)=2|b
→)=2，且向量a
→
,b
→
的夹角为π
3 ，
对于选项A：
|a
→
+2b
→)=
❑√(a
→
+2b
→)
2
=
❑√a
→
2+ 4 b
→
2+ 4 a
→
· b
→
= ❑√4+ 4+ 4×2×1×cos π
3 =2❑√3，则A 错误；
对于选项B：
要使得(a
→
−4 b
→)⊥a
→
，则它们的数量积为0.
即(a
→
−4 b
→)⋅a
→
= 4−4×2×1×cos π
3 =0，则B 正确；
对于选项C：
因为cos< a
→
−2b
→
,a
→
>=(a
→
−2b
→)·(a
→)
|a
→
−2b
→)|a
→)
=
4−2×2×1×cos π
3
❑√4 + 4−4×2×1×cos π
3 ×2
= 2
4 = 1
2，则<⃗a−2⃗b,⃗a>=π
3
，则C
错误；
对于选项D：因为(λ a
→
+2b
→)//(a
→
−3 b
→)，
所以λ a
→
+2b
→
=k(a
→
−3 b
→)，解得λ =k =−2
3，则D 正确．
故选：BD．
11．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量⃗a=(2,1),⃗b=(m,−2)，且⃗b在⃗a方向的投影向量为⃗c，则（ ）
A．若⃗a∥⃗b，则m=−3
B．若|⃗a−⃗b)=|⃗a+⃗b)，则m=1
C．若⃗c =2⃗a，则m=5
D．若⃗c =−1
3⃗a，则⃗a⋅⃗b=−5
3
【答案】BD
【解题思路】对于A，由向量共线的坐标形式求解m=−4后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形
式求解m=1后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.
【解答过程】对于A，因为⃗a∥⃗b，故2×(−2)=1×m，故m=−4，故A 错误；
对于B，因为|a
→
−b
→)=|a
→
+ b
→)，故(⃗a+⃗b)
2=(⃗a−⃗b)
2，整理得⃗a⋅⃗b=0，
故2m+1×(−2)=0，故m=1，故B 正确；
对于C，由题设有⃗b在⃗a方向的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗a)
2⃗a=2⃗a，故⃗a⋅⃗b
|⃗a)
2 =2，
故2m−2
5
=2即m=6，故C 错误，
对于D，由C 的分析可得⃗a⋅⃗b
|⃗a)
2 =−1
3，故⃗a⋅⃗b=−5
3，故D 成立.
故选：BD.
三、填空题
12．（2025·江西·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b满足⃗a=(−2,3),⃗b=(1,k ),⃗a⋅⃗b=2，则⃗a+⃗b=
.
【答案】(−1, 13
3 )
【解题思路】先根据数量积的坐标运算求得k = 4
3 ，再根据向量的线性坐标运算求解即可.
【解答过程】因为⃗a⋅⃗b=(−2,3)⋅(1,k )=−2+3k =2，解得k = 4
3 ，
则⃗b=(1, 4
3)，所以⃗a+⃗b=(−1, 13
3 ).
故答案为：(−1, 13
3 ).
13．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE = 1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD =
.
【答案】1
6⃗a+ 2
3⃗b；−15
【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【解答过程】如图，
因为⃗CE = 1
3⃗CD，所以⃗AE−⃗AC = 1
3 (⃗AD−⃗AC)，所以⃗AE = 1
3⃗AD + 2
3⃗AC．
因为D 为线段AB的中点，所以⃗AE = 1
6⃗AB+ 2
3⃗AC = 1
6⃗a+ 2
3⃗b；
又因为|⃗AE)=5, AE⊥CB，所以⃗AE
2=(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)
2
= 1
36⃗a
2+ 2
9⃗a⋅⃗b+ 4
9⃗b
2=25，⃗
AE⋅⃗CB =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(⃗a−⃗b)= 1
6⃗a
2+ 1
2⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2=0，所以⃗a
2+3⃗a⋅⃗b= 4⃗b
2
所以⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b=180，
所以⃗AE⋅⃗CD =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(−⃗b+ 1
2⃗a)= 1
12⃗a
2+ 1
6⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2= 1
12 (⃗a
2+2⃗a⋅⃗b−8⃗b
2)
= 1
12 (⃗a
2+2⃗a⋅⃗b−2⃗a
2−6⃗a⋅⃗b)= 1
12 (−⃗a
2−4⃗a⋅⃗b)=−15．
故答案为：1
6⃗a+ 2
3⃗b；−15.
14．（2025·上海·高考真题）已知f ( x)={
1,
x>0
0,
x =0
−1,
x<0)
，⃗a、⃗b、⃗c是平面内三个不同的单位向量．若
f (⃗a⋅⃗b)+ f (⃗b⋅⃗c)+ f (⃗c⋅⃗a)=0，则|⃗a+⃗b+⃗c|的取值范围是
．
【答案】(1,❑√5)
【解题思路】利用分段函数值分类讨论，可得{f (⃗a⋅⃗b),f (⃗b⋅⃗c),f (⃗c⋅⃗a))= {−1,0,1)，再根据数量积关系
设出⃗a,⃗b,⃗c坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【解答过程】若f (⃗a⋅⃗b)= f (⃗b⋅⃗c)= f (⃗c⋅⃗a)=0，则⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗c =⃗c⋅⃗a=0，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量⃗a,⃗b,⃗c两两垂直，显然不成立；
故{f (⃗a⋅⃗b),f (⃗b⋅⃗c),f (⃗c⋅⃗a))= {−1,0,1).
不妨设{
f (⃗a⋅⃗b)=1
f (⃗b⋅⃗c)=0
f (⃗c⋅⃗a)=−1)
，则⃗a⋅⃗b>0,⃗b⋅⃗c =0,⃗c⋅⃗a<0，
不妨设⃗b=(1,0),⃗c =(0,1)，⃗a=(cosθ ,sinθ),θ∈[0,2π)，
则{⃗
a⋅⃗b=cosθ>0⃗
c⋅⃗a=sinθ<0)，则θ∈(
3
2 π,2π)，
则|⃗a+⃗b+⃗c)=|(1+cosθ ,1+sinθ))=
❑√(1+cosθ)
2+(1+sinθ)
2= ❑√3+2cosθ+2sinθ
= ❑√3+2❑√2sin(θ+π
4 )，
由θ∈(
3
2 π,2π)，θ+π
4 ∈(
7
4 π, 9
4 π)，
则sin(θ+π
4 )∈(−
❑√2
2 ,
❑√2
2 )，2❑√2sin(θ+π
4 )∈(−2,2)
故|⃗a+⃗b+⃗c)∈(1,❑√5).
故答案为：(1,❑√5).
四、解答题
15．（24-25 高一下·广西北海·期末）已知向量⃗a=(4 ,−2)，⃗b=(1, x).
(1)若⃗a⊥(2⃗a+⃗b)，求x的值；
(2)若m⃗a+ 4⃗b=(8,−10)，求向量⃗a与⃗b夹角的余弦值.
【答案】(1)x =22
(2)4
5
【解题思路】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得⃗b=(1,−2)，再由夹角的坐标公式计算可得结果.
【解答过程】（1）因为⃗a=(4 ,−2)，⃗b=(1, x)，所以2⃗a+⃗b=2(4 ,−2)+(1, x)=(9, x−4)，
又⃗a⊥(2⃗a+⃗b)，所以⃗a⋅(2⃗a+⃗b)= 4×9−2(x−4)=0，解得x =22；
（2）因为m⃗a+ 4⃗b=m(4 ,−2)+ 4 (1, x)=(4 m+ 4 ,−2m+ 4 x)=(8,−10)，
所以{
4 m+ 4 =8
−2m+ 4 x =−10)，解得m=1，x =−2，所以⃗b=(1,−2)，
所以cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)|⃗b)
=
4 + 4
2❑√5⋅❑√5 = 4
5 ，
即向量⃗a与⃗b夹角的余弦值为4
5 .
16．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量⃗a=(−3,1)，⃗b=(1,−2)，⃗c =(1,−1)．
(1)求2⃗a−⃗b的坐标，|⃗b)的值；
(2)若⃗c //(⃗a+k⃗b)，求实数k 的值；
(3)若⃗c⊥(⃗a+k⃗b)，求实数k 的值．
【答案】(1)2⃗a−⃗b=(−7,4)，|⃗b)= ❑√5；
(2)k =−2；
(3)k = 4
3 .
【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求2⃗a−⃗b坐标和|⃗b)；
（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数；
（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【解答过程】（1）由题设2⃗a−⃗b=2⋅(−3,1)−(1,−2)=(−7,4)，|⃗b)=
❑√1
2+(−2)
2= ❑√5；
（2）由题设⃗a+ k⃗b=(−3,1)+ k ⋅(1,−2)=(k −3,1−2k )，又⃗c //(⃗a+k⃗b)，
所以k −3
1
= 1−2k
−1
，则k −3=2k −1，可得k =−2；
（3）由（2）及⃗c⊥(⃗a+ k⃗b)，则⃗c⋅(⃗a+k⃗b)=k −3+2k −1=0，可得k = 4
3 .
17．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a)=1，|⃗b)= ❑√2，⃗a⋅⃗b=1．
(1)求向量⃗a，⃗b夹角的大小；
(2)求|⃗a−2⃗b)的值；
(3)求向量⃗a与⃗a−2⃗b夹角的余弦值．
【答案】(1)π
4
(2)❑√5
(3)−
❑√5
5
【解题思路】（1）由夹角公式计算可得结果；
（2）利用数量积的运算律先求|⃗a−2⃗b)
2，即可得到|⃗a−2⃗b)的值；
（3）由向平面向量的夹角公式即可求出.
【解答过程】（1）平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a)=1，|⃗b)= ❑√2，⃗a⋅⃗b=1．
所以⃗a⋅⃗b=|⃗a)⋅|⃗b)cos⟨⃗a,⃗b)=1，
解得cos⟨⃗a,⃗b)=
❑√2
2 ，又0≤<a
→
,b
→
¿¿≤π，
可得向量⃗a，⃗b夹角的大小为π
4 ．
（2）|⃗a−2⃗b)
2=(⃗a−2⃗b)
2=⃗a
2−4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1−4 +8=5，
所以|⃗a−2⃗b)= ❑√5．
（3）⃗a⋅(⃗a−2⃗b)=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b=1−2×1=−1，
因为|⃗a)=1，由（2）可得|⃗a−2⃗b)= ❑√5，
设向量⃗a与⃗a−2⃗b的夹角为θ，所以cosθ =⃗a⋅(⃗a−2⃗b)
|⃗a)|⃗a−2⃗b)
=
−1
1×❑√5 =−
❑√5
5 ．
18．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若b+2c cos B =2a.
(1)求角C；
(2)已知a=3 ❑√2，b=3，D 为AB 边上一点，且⃗BD =2⃗DA，求CD.
【答案】(1)π
3
(2)❑√6+2❑√2
【解题思路】（1）利用余弦定理可得cosC = 1
2，可求C =π
3 ；
（2）由题意可得⃗CD = 2
3⃗CA −1
3⃗CB，两边平方可求得CD.
【解答过程】（1）因为b+2c cos B =2a，所以由余弦定理可得b+2c× a
2+c
2−b
2
2ac
=2a，
整理得ab+a
2+c
2−b
2=2a
2，所以ab=a
2+b
2−c
2，所以a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，
所以cosC = 1
2，因为0<C <π，所以C =π
3 ；
（2）因为⃗BD =2⃗DA，所以⃗BD = 2
3⃗BA = 2
3 (⃗CA −⃗CB)，又⃗C D =⃗CB+ 2
3 (⃗CA −⃗CB)= 2
3⃗CA + 1
3⃗CB，
两边平方得⃗C D
2= 4
9⃗CA
2+ 4
9⃗CA ⋅⃗CB+ 1
9⃗CB
2，又C =π
3 ，a=3 ❑√2，b=3，
所以⃗C D
2= 4
9 ×3
2+ 4
9 ×3 ❑√2×3× 1
2 + 1
9 ×(3 ❑√2)
2=6+2❑√2，
所以CD = ❑√6+2❑√2.
19．（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，
AB⊥AD , AB //CD , AB =10, AD =CD = 4 ,⃗AD = 4⃗ED ,⃗BF =⃗FC．
(1)求⃗AF ⋅⃗BE；
(2)若G为边AB上一点，且⃗GE⊥⃗GF，求|⃗AG)
|⃗GB)
．
【答案】(1)−64
(2)|⃗AG)
|⃗GB)
= 1
9或3
2
【解题思路】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积；
（2）设出点G的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解.
【解答过程】（1）
如图，以A 为原点，AB , AD所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0), E(0,3),B(10,0),C(4,4), F(7,2),因为⃗AF =(7,2),⃗BE =(0,3)−(10,0)=(−10,3)
，
所以⃗AF ⋅⃗BE =(7,2)⋅(−10,3)=−70+6=−64.
（2）如图，设G (x ,0)，则⃗GE=(0,3)−(x,0)=(−x,3),⃗GF =(7,2)−(x,0)=(7−x,2)，
因为⃗GE⊥⃗GF，
所以⃗GE⋅⃗GF =−x (7−x)+6= x
2−7 x +6=0，解得x =1或6，
故|⃗AG)
|⃗GB)
= 1
9或3
2.
