专题2.8 函数模型及其应用（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】.............................................................................................2
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】.........................................................................................................5
【题型3 二次函数模型的应用】..............................................................................................................................8
【题型4 分段函数模型的应用】............................................................................................................................10
【题型5 幂函数模型的应用】................................................................................................................................12
【题型6 指数、对数函数模型的应用】................................................................................................................14
【题型7 函数模型的选择问题】............................................................................................................................16
1、函数模型及其应用
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解指数函数、对数函
数与一次函数增长速度的
差异
(2)理解“指数爆炸”“对
数增长”“直线上升”等
术语的含义
(3)会选择合适的函数模型
刻画现实问题的变化规
律，了解函数模型在社会
生活中的广泛应用
2020 年新高考全国I 卷：第6
题，5 分
2020 年全国IⅡ卷：第4 题，
5 分
2024 年北京卷：第7 题，5 分
2025 年北京卷：第9 题，5 分
函数模型是高考数学的重要内容
之一，从近几年的高考形势来看，高考
对函数模型的考查相对稳定，主要考察
指、对数函数模型问题，一般以选择题
的形式出现，难度不大；学生在复习中
要加强对建模能力和应用能力的培养.
知识点
1
几种常见的函数模型
1．一次函数模型
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b 为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型
二次函数模型：f(x)=
+bx+c(a,b,c 为常数，a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题
常用到二次函数模型.
3．幂函数模型
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．指数函数模型
指数
函数
模型：
(a,b,c 为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
5．对数函数模型
对数
函数
模型：
(a,b,c 为常数，a>0，且a≠1，b≠0).
6．分段函数模型
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛
的应用.
7．“对勾”函数模型
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+
(a>0,b>0)，当x>0 时，在
(0,
]上递减，在(
,+
)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
知识点
2
判断函数图象与实际问题变化过程
1．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不
符合实际的情况，选出符合实际的情况.
知识点
3 实际问题中函数建模的基本步骤
1．构造函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代
入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】
【例1】（24-25 高二下·北京大兴·阶段练习）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度ℎ与时间t的函数
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可.
【解答过程】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A 符
合；
B 选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；
C 选项容器中水的高度是匀速增加；
D 选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.
故选：A.
【变式1-1】（24-25 高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距a m，某天下班后，
小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min 来到办公室，停留2min，然后
匀速步行10min 返回住处．在这个过程中，小李行进的速度v(t )和行走的路程s(t )都是时间t的函数，则
速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①④
B．②③
C．④①
D．③②
【答案】A
【解题思路】设行进的速度为v m / min，行走的路程为s m，得出v关于t的函数，s关于t的函数解析式，即
可判断函数图象．
【解答过程】设行进的速度为v m / min，行走的路程为s m，则v ={
a
3 ,0<t <3,
0,3≤t ≤5,
a
10 ,5<t ≤15,)
且s={
a
3 t ,0<t <3,
a,3≤t ≤5,
a+ at
10 ,5<t ≤15,)
，
由速度函数及路程函数的解析式可知，
其图象分别为
．
①④
故选：A．
【变式1-2】（24-25 高一上·全国·课后作业）A ,B两车分别从甲乙两市同时出发，A从甲市驶向乙市，B
从乙市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）的关
系如下图，已知A的速度大于B的速度，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲市与乙市之间的距离为d km
B．两车在出发后ah相遇
C．点M表示B在出发后b h时到达了甲市
D．点N表示在出发后c h时两车都到达了目的地
【答案】C
【解题思路】根据给定的函数图象分析各项描述的正误.
【解答过程】由图知，两车开始出发时的距离就是两市之间的距离，A 正确；
当x =a时，y =0，所以两车在出发后ah相遇，B 正确；
由于A的速度大于B的速度，所以A比B先到达目的地，
所以在点M处即A在出发后b h时到达了乙市，
之后在点N处即B在出发后c h时到达了甲市，C 错误，D 正确．
故选：C.
【变式1-3】（24-25 高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．
记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t 变化时的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案.
【解答过程】当0≤t ≤1时，f (t )= 1
2 t
2，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D；
当1<t ≤2时，f (t )= 1
2 +(t −1)×1=t −1
2，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC；
当2<t ≤3时，f (t )= 3
2 + (3−t +1)(t −2)
2
= −t
2+6t −5
2
，是开口向下的抛物线的一部分；
故选：A.
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】
【例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【解答过程】设当N 取10
6个单位、1.024×10
9个单位、4.096×10
9个单位时所需时间分别为T 1,T 2,T 3,
由题意，T 1=k log210
6=6 k log210，
T 2=k log2(1.024×10
9)=k log2(2
10×10
6)=k (10+6 log210)，
T 3=k log2(4.096×10
9)=k log2(2
12×10
6)=k (12+6 log210)，
因为T 2−T 1=k (10+6 log210)−6 k log210=10k =20，所以k =2，
所以T 3−T 2=k (12+6 log210)−k (10+6 log210)=2k = 4，
所以当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
【变式2-1】（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了
信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C =W log2(1+ S
N)其中C是信道容量，单位bps；W 为信道带
宽，单位Hz；S
N 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过
每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道
容量由17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参
考数据：2
3.46≈11，2
5.93≈60.97）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.
【解答过程】设原始状态信道容量为C1，提升后信道容量为C2，
由题意可得C1=W 1log2(1+ S1
N 1)，即17.3=5 log2(1+ S1
N 1)，解得
S1
N 1
≈10，
同理C2=W 2log2(1+ S2
N 2)，即593=100log2(1+ S2
N 2)，解得
S2
N 2
≈60，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6 倍.
故选：B.
【变式2-2】（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传
播时，衰减量Δ L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为Δ L=10⋅lg(πr
2)+k，其中k为常
数.当传播距离为r1时，衰减量为Δ L1；当传播距离为r2时，衰减量为Δ L2.若r2=2r1，则Δ L2−Δ L1约为
（ ）（参考数据：lg2≈0.3）
A．6dB
B．4dB
C．3dB
D．2dB
【答案】A
【解题思路】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值.
【解答过程】由
Δ L2−Δ L1=10⋅lg(πr2
2)+k −[10⋅lg(πr1
2)+k)=10⋅[lg(πr2
2)−lg(πr1
2))=10lgπr2
2
πr1
2 ，
因为r2=2r1，所以Δ L2−Δ L1=10lg 4 r1
2
r1
2 =10lg 4 =20lg2≈6，
故选：A.
【变式2-3】（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》
采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5−1g kd
D ，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛
能分辨清楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），D为眼睛到视标的距离（单位：米），
如图1 所示，k是与d , D无关的常量．图2 是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0 的人在距离该视
力表5 米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2 中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3
米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2 中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，
则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48）
A．4.5
B．4.6
C．4.8
D．5.0
【答案】C
【解题思路】根据已知视力值求出lg kd
D 的值，再根据小明距离3 米，求出其实际视力值.
【解答过程】已知当L=5.0，D =5时，代入L=5−1g kd
D ，解得kd =5.
小明在距离该视力表3 米处进行检测,即D =3，代入L=5−1g kd
D ，求解L=5−lg 5
3；
因为题中参考数据已知1 g2≈0.30，1 g3≈0.48；
所以lg 5
3 =lg5−lg3=lg 10
2 −lg3=lg10−lg2−lg3≈1−0.30−0.48=0.22.
所以L=5−lg 5
3 ≈5−0.22= 4.78.
故选：C.
【题型3 二次函数模型的应用】
【例3】（2025 高三·全国·专题练习）某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为a米，
宽度为b米.根据城市规划要求，a+b=12米，且充电桩间隔距离需满足a≥3b.为使充电区有效面积最大，
应选择的尺寸是（ ）
A．a=9米，b=3米
B．a=8米，b= 4米
C．a=10米，b=2米
D．a=7.5米，b= 4.5米
【答案】A
【解题思路】由题可得面积表达式。然后根据题意及二次函数单调性可得答案.
【解答过程】建立面积函数S =ab ，通过消元法转化为S =a(12−a)，结合附加条件a≥3(12−a)，得
a∈[9,12).注意到函数y =a(12−a)=−(a−6)
2+36在[9,12)上单调递减，则当a=9，b=3时取最大值.
故选：A.
【变式3-1】（24-25 高三上·全国·课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y =−0.2 x
2+3.5
的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t 是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
【答案】B
【解题思路】根据二次函数的性质，代入求解即可.
【解答过程】篮环的纵坐标为3.05，令y =−0.2 x
2+3.5=3.05，得x1=1.5，x2=−1.5（舍去）．
∴t =2.5+1.5= 4 (m )．
故选：B.
【变式3-2】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L（单位：m）与速度
v（单位：km/h）之间有如下关系式：L=k ⋅M ⋅v
2，其中k是比例系数，且k >0, M是汽车质量（单位：
t）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km /h的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走20 m.当
这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外
处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s）（ ）
A．16
B．18
C．24
D．27
【答案】B
【解题思路】设卡车本身的质量为M（t），速度为v（km/h），刹车滑行距离为L（m），依题意可得
20=k ⋅M ⋅36
2，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s，可得5 v
18 +k ⋅2 M ⋅v
2<20−5，解不等式
可得答案.
【解答过程】设卡车本身的质量为M（t），速度为v（km/h），刹车滑行距离为L（m），依题意可得
L=k ⋅M ⋅v
2，将L=20，v =36代入可得：20=k ⋅M ⋅36
2 ⇒ k ⋅M = 20
36
2.
又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s，
这1s内卡车行驶的路程为：1000 v
3600 = 5 v
18 （m）.
由5 v
18 +k ⋅2 M ⋅v
2<20−5 ⇒ 5 v
18 +2× 20
36
2 ⋅v
2<15 ⇒ 2
18
2 ⋅v
2+ v
18 −3<0，
所以(v +36)(v −18)<0 ⇒ −36<v <18.
根据速度的意义，所以0<v <18.
所以卡车行驶的速度应低于18 km/h.
故选：B.
【变式3-3】（24-25 高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽
舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36 米，若设禽舍宽为x
米，则当所建造的禽舍总面积最大时，x的值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解题思路】根据题意，用x表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于x的表达式，利用配方法即可得
解.
【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为(36−3 x)m ,0< x<10，
设所建造的禽舍总面积为y m
2，
则y =(36−3 x)⋅x =−3 x
2+36 x =−3(x −6)
2+108，
所以当所建造的禽舍总面积最大时，x的值6.
故选：D.
【题型4 分段函数模型的应用】
【例4】（2025·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单
位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t ∈N
∗）满足s={
−2t
2+50t −98,t <8
−t
3+10t
2−2t ,t ≥8)，当新设备生产
的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解题思路】由已知可得y = s
t ={
−2t −98
t +50,t <8
−t
2+10t −2,t ≥8)
，当t <8和t ≥8时分别求得最大值，即可求解.
【解答过程】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y = s
t ={
−2t −98
t +50,t <8
−t
2+10t −2,t ≥8)
，
当t <8时，2t + 98
t ≥28，当且仅当t =7时，等号成立，
则−2t −98
t +50≤22，
所以当t =7时，s
t 取得最大值，且最大值为22，
当t ≥8时，−t
2+10t −2=−(t −5)
2+23，
所以函数在[8,+∞)上单调递减，
所以当t =8时，s
t 取得最大值，且最大值为14，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =7.
故选：B.
【变式4-1】（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品
可获得的总利润s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，t ∈N
∗）满足
s={
−2t
2+50t −98,t <8
−t
3+10t
2−2t ,t ≥8)，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】设年平均利润为W ，表示出W ，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即
可得解.
【解答过程】依题意，设年平均利润为W ，则W = s
t ={
−2t +50−98
t ,t <8
−t
2+10t
❑−2,t ≥8)
（t ∈N
∗），
当t <8时W =−2t +50−98
t =50−(2t + 98
t )≤50−2❑√2t ⋅98
t =22，
当且仅当2t = 98
t ，即t =7时取等号；
当t ≥8时W =−t
2+10t
❑−2=−(t −5)
2+23，则当t =8时W 取得最大值且W max =14，
又22>14，所以当t =7时年平均利润W 取得最大值.
故选：C.
【变式4-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形OABC是上底为❑√2，下底为3 ❑√2，高为❑√2的等腰
梯形，记梯形OABC位于直线x =t(t >0)左侧的阴影部分的面积为f (t )，则y = f (t )的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】写出y = f (t )的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【解答过程】根据题意可知在梯形OABC中，∠AOC =∠OCB= 45
∘；
当0<t ≤❑√2时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f (t )= 1
2 t
2；
当❑√2<t <2❑√2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为f (t )= 1
2 ×(❑√2)
2+ ❑√2(t −❑√2)= ❑√2t −1；
当t ≥2❑√2时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即f (t )= 1
2 (❑√2+3 ❑√2)×❑√2−1
2 (3 ❑√2−t)
2=−1
2 t
2+3 ❑√2t −5；
所以可得f (t )={
1
2 t
2,0<t ≤❑√2
❑√2t −1,❑√2<t <2❑√2
−1
2 t
2+3 ❑√2t −5,2❑√2≤t ≤3 ❑√2)
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A.
【变式4-3】（24-25 高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t (0≤t ≤12)小
时后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升
血液中含药量不少于4 毫克时治疗疾病有效，则12 小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为
（ ）
A．4 小时
B．5 小时
C．6 小时
D．7 小时
【答案】A
【解题思路】首先求出函数解析式，再令y ≥4求出相应的t的取值范围，即可得解．
【解答过程】当0≤t ≤3时，则y = 6
3 t =2t，
当3<t ≤12时，设函数为y =kt +b，
将(3,6)，(12,0)代入可得{
6=3k +b
0=12k +b)，解得{
k =−2
3
b=8 )
，所以y =−2
3 t +8，
所以y ={
2t ,0≤t ≤3
−2
3 t +8,3<t ≤12)
，
要使y ≥4，则{
2t ≥4
0≤t ≤3)或{
−2
3 t +8≥4
3<t ≤12 )
，解得2≤t ≤3或3<t ≤6，
综上所述：2≤t ≤6，
所以有效所持续的时长为6−2= 4个小时．
故选：A．
【题型5 幂函数模型的应用】
【例5】（2025·四川泸州·模拟预测）2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取
得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶
活动．该企业2021 年初有资金150 万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10 万元．若要实
现2024 年初的资金达到270 万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：3√1.82≈1.22,
3√1.73≈1.2
）（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．32%
【答案】B
【解题思路】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.
【解答过程】由题意，设年平均增长率为x，则150(1+ x)
3+10=270，
所以x =
3√
26
15 −1≈1.2−1=0.2，故年平均增长率为20%.
故选：B.
【变式5-1】（24-25 高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50 年内
减少了20 %，如果按照此规律，设2024 年的耕地面积为m，则2029 年的耕地面积为（ ）
A．(1−0.2
250)m
B．(1−0.8
1
10)m
C．0.8
250 m
D．0.8
1
10 m
【答案】D
【解题思路】设某地的耕地面积每年减少x,依题列出方程(1−x)
50=1−20 %，再进行整体代入m(1−x)
5
，即得2029 年的耕地面积.
【解答过程】设某地的耕地面积每年减少x，因在最近50 年内减少了20 %，则有(1−x)
50=1−20 %，
故(1−x)
5=0.8
1
10，
由题意，2029 年的耕地面积为m(1−x)
5，即0.8
1
10 m.
故选：D.
【变式5-2】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系
通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y =k x
α，其中k和α为正常数，该
类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的
8 倍，则α为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】D
【解题思路】初始状态设为( x1, y1)，变化后为( x2, y2)，根据x1, x2，y1, y2的关系代入后可求解．
【解答过程】设初始状态为( x1, y1)，则x2=16 x1，y2=8 y1，
又y1=k x1
α，y2=k x2
α，即8 y1=k(16 x1)
α =k ⋅16
α x1
α，
8 y1
y1
= k ⋅16
α x1
α
k x1
α
，16
α =8，2
4 α =2
3，4 α =3，α = 3
4 ．
故选：D．
【变式5-3】（24-25 高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都
需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发
送方由明文
密文（加密），接收方由密文
明文．现在加密密钥为
→
→
y =k x
3，如“4”通过加密后得到密文
“2”，若接受方接到密文“ 1
256”，则解密后得到的明文是（ ）
A．1
2
B．1
4
C．2
D．1
8
【答案】A
【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为y =k x
3，利用其加密、解密原理，
求出k的值，解方程即可求解.
【解答过程】由题可知加密密钥为y =k x
3，
由已知可得，当x = 4时，y =2，
所以2=k ×4
3，解得k = 2
4
3 = 1
32，
故y = 1
32 x
3，显然令y = 1
256，即1
256 = 1
32 x
3，
解得x
3= 1
8，即x = 1
2．
故选：A.
【题型6 指数、对数函数模型的应用】
【例6】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过5730 年
衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14 的含量N = N 0( 1
2 )
kt
（N 0为碳14 的初始含量，k为常数），则
碳14 含量由原来的80 %衰减为60 %大约需要经过（ ）
（参考数据：ln2≈0.7 ,ln3≈1.1）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
【答案】B
【解题思路】利用半衰期的意义求出k，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【解答过程】依题意，当t =5730时，N = 1
2 N 0，即1
2 =( 1
2 )
5730k
，解得k =
1
5730，
设经过t1年碳14 含量衰减为原来的80 %，经过t2年碳14 含量衰减为原来的60 %，
则{
( 1
2 )
t1
5730 =80 %
( 1
2 )
t2
5730 =60 %)
，即{
t1=5730log1
2
0.8
t2=5730log1
2
0.6)
，所以t2−t1=5730log1
2
0.6−5730log1
2
0.8
=5730log1
2
3
4 =5730log2
4
3 =5730(log24−log23) =5730(2−ln3
ln2 )≈5730(2−11
7 )≈2456.
故选：B.
【变式6-1】（2025·广东广州·二模）声强级LI（单位：dB）由公式LI =10lg(
I
10
−12)给出，其中I为声强
（单位：W/m
2）.轻柔音乐的声强一般在10
−8∼10
−6 W / m
2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．0∼20dB
B．20∼40dB
C．40∼60dB
D．60∼80dB
【答案】C
【解题思路】依题意可得10
−8≤I ≤10
−6，即可求出lg
I
10
−12的范围，从而得解.
【解答过程】依题意可得10
−8≤I ≤10
−6，所以10
4≤
I
10
−12 ≤10
6，所以4≤lg
I
10
−12 ≤6，
所以40≤10lg
I
10
−12 ≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40∼60dB.
故选：C.
【变式6-2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：
）满
℃
足函数关系y =e
kx+b（k，b为常数）若该食品在0℃的保鲜时间是168 小时，在20℃的保鲜时间是42 小
时，则该食品在30℃的保鲜时间是（ ）
A．21 小时
B．22 小时
C．23 小时
D．24 小时
【答案】A
【解题思路】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解.
【解答过程】当x =0时，e
b=168，当x =20时，e
20k +b= 42，
所以e
20k = 42
168 = 1
4 ，e
10k = 1
2；
当x =30时，e
30k +b=(e
10k)
3⋅(e
b)=(
1
2)
3
×168=21.
故选：A.
【变式6-3】（2025·贵州六盘水·一模）20 世纪30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就
是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常
说的里氏震级M，其计算公式为M =lg A −lg A0其中A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振
幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离
震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（
）（精确到0.1，参考数据：lg2=0.3）
A．4.4
B．4.7
C．5
D．5.4
【答案】A
【解题思路】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果.
【解答过程】根据题意可知这次地震的震级为：
M =lg50−lg0.002=lg
50
0.002 =lg25000=lg 10
5
4 =5−2lg2≈5−0.6= 4.4；
因此可知这次地震的震级为4.4级.
故选：A.
【题型7 函数模型的选择问题】
【例7】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗
油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v ≤120）的下列数据：
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．Q =0.5
v+a
B．Q =av +b
C．Q =a v
3+b v
2+cv
D．Q =k logav +b
【答案】C
【解题思路】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【解答过程】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为[0,120)；第二，在定义域单调递增且
单位增长率变快；第三，函数图象过原点.
A 选项：函数Q =0.5
v+a在定义域内单调递减，故A 错误；
B 选项：函数Q =av +b的单位增长率恒定不变，故B 错误；
C 选项：Q =a v
3+b v
2+cv满足上述三点，故C 正确；
D 选项：函数Q =k logav +b在v =0处无意义，D 错误.
故选：C.
【变式7-1】（24-25 高一上·全国·课后作业）2019 年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上
涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在
8～11 月的市场平均价f (x)（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下：
x
8
9
10
11
f (x)
28.00
33.99
36.00
34.02
现有三种函数模型：f (x)=bx +a；f (x)=a x
2+bx +c；f (x)=(
1
2)
x
+a，找出你认为最适合的函数模型，
并估计2019 年12 月份的猪肉市场平均价为（ ）
A．28 元/斤
B．25 元/斤
C．23 元/斤
D．21 元/斤
【答案】A
【解题思路】根据函数的单调性进行选择，并由此进行估计.
【解答过程】第二组数据近似为(9,34)，第四组数据近似为(11,34)，
根据四组数据(8,28),(9,34),(10,36),(11,34)，
可得f (x)的图象先增后减，而f (x)=bx +a和f (x)=(
1
2)
x
+a都是单调函数，
故不符合要求，所以选f (x)=a x
2+bx +c.
由第二组数据(9,34)和第四组数据(11,34)，
可得f (x)的图象关于直线x =10对称，故x =12时，f (12)= f (8)=28.
故选：A.
【变式7-2】（24-25 高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自
2020 年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020 年记为第0 年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间(t )/年
0
1
2
3
4
年销售数量(Q)/万片
100
150
225
337.5
506.25
(1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；
(2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：
①Q =at +b②Q =k a
t③Q =k logat +b
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000 万片？（参考数据：
lg2≈0.301,lg3≈0.477）
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）选择函数模型Q =k a
t合适，理由见解析，Q =100⋅(
3
2)
t
；
（ii）2028年
【解题思路】（1）根据表格作出散点图即可；
（2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解；
（ii）根据Q>2000，结合对数的运算性质即可得解.
【解答过程】（1）
（2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，
故选择函数模型Q =k a
t合适；
将(0,100),(1,150)分别代入Q =k a
t，
得{
k =100
100a=150)，解得{
k =100
a= 3
2 )
，
所以Q =100⋅(
3
2)
t
，
当t =2时，Q =225；当t =3时，Q =337.5；当t = 4时，Q =506.25，
所以Q =100⋅(
3
2)
t
；
（ii）令100⋅(
3
2)
t
>2000，则(
3
2)
t
>20，
则t >log 3
2
20= lg20
lg 3
2
= lg2+lg10
lg3−lg2 ≈
0.301+1
0.477−0.301 ≈7.79
，
所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2000 万片.
【变式7-3】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电
视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、
广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、
“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30 天计）的“广西小砂糖橘”的销售情
况的调查发现:每千克的销售价格P(x)（单位:元/千克）关于第x天(1≤x ≤30, x∈N
*)的函数关系近似满足
P(x)=10+ 2
x .日销售量Q (x)（单位:千克）关于第x天的部分数据如下表所示:
x
9
14
18
22
29
Q (x)
54
59
63
59
52
(1)给出以下四种函数模型:①Q (x)=ax +b；②Q (x)=a|x−m)+b；③Q (x)=a
x+b；④Q (x)=bloga x.请
你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量Q (x)关于
第x天的变化关系，并求出该函数的解析式:
(2)设该工艺品的日销售收入为函数y = f (x)（单位:元）:求函数f (x)的最小值.
【答案】(1)Q (x)=a|x−m)+b比较合适，Q (x)=−|x−18)+63
(2)512元
【解题思路】（1）根据所给函数的单调性与Q (x)的单调性进行判断选择即可；
（2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可.
【解答过程】（1）由函数y =ax +b、y =a
x+b、y =bloga x的解析式可知：这三个函数的单调性要么在
定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数
y =a|x−m)+b在a<0时，在(−∞,m)时是单调递增，在(m,+ ∞)上单调递减，
由列表可知：Q (x)的单调性是先增后减，因此Q (x)=a|x−m)+b合适，
把(14,59)，(18,63)，(22,59)代入，
得{
a|14−m)+b=59
a|18−m)+b=63
a|22−m)+b=59)
，所以{
m=18
a=−1
b=63)，所以Q (x)=−|x−18)+63，
显然(9,54)，(29,52)也满足函数的解析式，
所以Q (x)=−|x−18)+63；
（2）f (x)= P(x)Q (x)=(10+ 2
x)(−|x−18)+63)，
当1≤x ≤18，x∈N
∗时，
f (x)=(10+ 2
x)(x + 45)=10 x + 452+ 90
x ≥452+2❑√10 x⋅90
x =512，
当且仅当10 x = 90
x 时取等号，即当x =3时，取等号，此时最小值为512，
当18< x ≤30，x∈N
∗时，
f (x)=(10+ 2
x)(−x +81)=−10 x +808+ 162
x ，
此时函数f (x)单调递减，当x =30时函数值最小，最小值为513.4，
综上所述：函数的最小值为512元.
一、单选题
1．（24-25 高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗
油Q（单位：L）与速度v（单位：km /h)(0≤v ≤120)的下列数据：
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A．Q =
1
v +1 +b
B．Q =a v
3+b v
2+cv
C．Q =0.5
v+a
D．Q =k logav +b
【答案】B
【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型．
【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0,120)；第二，在定义域单调递增且单位
增长率变快；第三，函数图象过原点.
函数Q =
1
v +1 +b和Q =0.5
v+a在定义域内单调递减，不符合条件，故AC 错误；
函数Q =k logav +b中0 不在函数的定义域中，故D 错误；
B 选项：Q =a v
3+b v
2+cv满足上述三点，故B 正确.
故选：B.
2．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严
重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数⋅min
−1）与体重W（单位：
Kg）的1
3次方成反比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次⋅min
−1，B
的脉搏率是70 次⋅min
−1，则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
【答案】D
【解题思路】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得.
【解答过程】依题意，设f = k
W
1
3
(k >0)，由w =2,f =210，得k =210×2
1
3，则f = 210×2
1
3
W
1
3
，
当f =70时， W
1
3 = 210×2
1
3
70
=3×2
1
3，所以W =54．
故选：D.
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动
一周，O、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】由点P在第二条边上运动时，y的单调性可排除A，由图象的对称性可排除B，由一开始y与
x是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【解答过程】对于A，点P在第一条边上时，y = x，
但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小（减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长
度），然后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于B，y 与x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C 错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D 选项应为正方形，不妨设边长为a，
点P在第一条边上时（即0≤x ≤a时），y = x，
点P在第二条边上运动时（即a≤x ≤2a时），y =
❑√a
2+(x−a)
2，依然单调递增，
点P在第三条边上运动时（即2a≤x ≤3a时），y =
❑√a
2+(3a−x)
2，单调递减，
点P在第四条边上运动时（即3a≤x ≤4 a时），y = 4 a−x，单调递减，
且已知y与x的图象关于x =2a= l
2（其中l = 4 a）对称，D 正确.
故选：D.
4．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek 是一款人工智能助手，其用户满意度评分S (t )随时间t（单位：
月）的变化满足对数型函数模型：S (t )=aln(t +1)+50，其中a是常数．若Deep Seek 在经过3 个月后评
分增长到70，则满意度评分S (1)为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63
【答案】A
【解题思路】根据已知条件代入计算求解.
【解答过程】由题可得70=a⋅ln(3+1)+50,a= 10
ln2 ，则S (1)=a⋅ln(1+1)+50=60，
故选：A．
5．（2025·福建莆田·三模）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有
acm
3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t分钟时剩余的细沙量为y cm
3，且y =a⋅e
−bt（b为
常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的1
4 ，需经过的时间为（ ）
A．24分钟
B．28分钟
C．32分钟
D．36分钟
【答案】C
【解题思路】根据16分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出b的值，然后令y为原来的1
4 ，即可
求出结果.
【解答过程】依题意有ae
−16b= 1
2 a，即e
−16b= 1
2，
两边取对数得−16b=ln 1
2 =−ln2，所以b=ln2
16 ，得到y =ae
−ln2
16 t，
当容器上方细沙只有开始时的1
4 时，则有ae
−ln2
16 t
= 1
4 a，所以e
−ln2
16 t
= 1
4
，
两边取对数得−ln2
16 t =ln 1
4 =−2ln2，所以t =32，
即需要经过的时间为32分钟．
故选：C.
6．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中
小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得
超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风t分钟后教室
内的二氧化碳浓度为y %，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y =k∞+(k0−k∞)e
−t
10描述，
k0%是二氧化碳初始浓度，k∞=0.03，则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10 %需要的时间t的最小整数值
为（ ）
（参考数据：ln7≈1.946,ln11≈2.398）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解题思路】先根据条件得出y =0.03+0.11e
−t
10，再利用对数的运算法则解不等式0.03+0.11e
−t
10 ≤0.1
即可.
【解答过程】由题意可知，y =0.03+(0.14−0.03)e
−t
10 =0.03+0.11e
−t
10，
解0.03+0.11e
−t
10 ≤0.1，即e
−t
10 ≤7
11
，
得 t ≥10(ln11−ln7)≈10×(2.398−1.946)= 4.52，
该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10 %需要的时间t的最小整数值为5.
故选：C.
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径R（单位：米）与运动员入水速度v(m /s)、入
水时身体倾斜角度θ（弧度）、入水截面积S(m
2)相关．实验表明，当入水速度v ≤5 m /s时，水花半径满足
公式：R =k ⋅v
2⋅sinθ⋅❑√S，其中k =0.05为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作207C时，入水
速度4.8 m /s、入水时身体倾斜角度θ =7°、入水截面积0.04 m
2，则入水产生的水花半径是（ ）（注：结
果保留3 位小数，其中sin7°≈0.12）
A．0.026m
B．0.027m
C．0.028m
D．0.029m
【答案】C
【解题思路】根据题意代入数据计算即可求解.
【解答过程】由题意可得：
R =k ⋅v
2⋅sinθ⋅❑√S =0.05×4.8
2×sin7°×❑√0.04 ≈0.05×23.04×0.12×0.2≈0.028(m)．
故选：C．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在资源有限的情况下，种群数量N (t )随时间t（单位：天）的变化满足逻
辑斯蒂模型：
N (t )=
K
1+(
K
N 0
−1)e
−rt ，其中常数K为环境容纳量，N 0为种群初始数量，r为比增长率．生
态学家高斯（G.F.Gause）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入5个草履虫，观
察到t =2时，种群数量为120；t = 4时，种群数量为360.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增
长率为（ ）
参
考
数
据
x
2
3
5
7
11
13
17
19
23
ln x
0.693
1.099
1.609
1.945
2.398
2.565
2.833
2.944
3.135
：
A．1.38
B．1.53
C．1.77
D．2.03
【答案】C
【解题思路】将已知数据代入函数模型，求出K的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可.
【解答过程】
由题意，N 0=5，{
K
1+(
K
5 −1)e
−2r
=120
K
1+(
K
5 −1)e
−4 r
=360)
，则{
e
−2r =
K −120
24 K −120
e
−4 r =
K −360
72 K −360)
，
因此(
K −120
24 K −120)
2
=
K −360
72 K −360，整理得7 K
2−2680 K =0，
解得K = 2680
7
或K =0（舍），
因此−2r = ln
2680
7
−120
24× 2680
7
−120
= ln 2
69 = ln 2−ln3−ln 23≈−3.541，解得r ≈1.77.
所以大草履虫种群的比增长率约为1.77.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用
的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9 个等级，其中能量E（单位：焦耳）与里氏震级M的对
应关系为lg E = 4.8+1.5 M，则（ ）
A．若某次地震的震级不超过2 级，则产生的能量低于10
8焦耳
B．若某次地震的震级超过4 级，则产生的能量高于10
10焦耳
C．5 级地震的能量是4 级地震的能量的100 倍
D．3 级地震的能量是7 级地震的能量的1
10
6
【答案】ABD
【解题思路】借助能量E 与里氏震级M 的对应关系计算即可判断各选项.
【解答过程】记Ei表示震级为i级地震的能量，
对于A项，若M ≤2，则lg E = 4.8+1.5 M ≤7.8，所以E≤10
7.8<10
8，故A 项正确；
对于B 项，若M >4，则lg E = 4.8+1.5 M >10.8，所以E>10
10.8>10
10，故B 项正确；
对于C 项，lg E5−lg E4= 4.8+1.5×5−4.8−1.5×4 =1.5，则E5
E4
=10
1.5≠100，故C 项错误；
对于C 项，lg E3−lg E7= 4.8+1.5×3−4.8−1.5×7 =−6，则E3
E7
= 1
10
6，故D 项正确.
故选：ABD.
10．（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气
体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
I (W/cm
2).但在实际生活中，常用声音的声强级D (dB)来度量，声强级D (dB)与声强I (W/cm
2)的关系近似满
足D =alg I +b，经过多次测定，得到如下数据：
声强I (W/cm
2)
10
−11
10
−10
m
声强级D (dB)
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100)，其声强为I 1；鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110)，其声强为
I 2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135,145)，其声强为I 3，则（ ）
A．b−a=110
B．m=10
−8
C．1
100 < I 2< 1
10
D．I 1 I 3> I 2
2
【答案】ACD
【解题思路】首先代入表格数据中的前2 组数据，求a,b，判断A，再根据解析式，代入D =30求m，判断
B，根据解析式，结合100< D2<110，求I 2的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D.
【解答过程】由题意可得¿.即¿，解得¿.所以b−a=110，故A 正确；
因为D =10lg I +120，所以30=10lgm+120，解得m=10
−9，故B 错误；
由100<10lg I 2+120<110，得1
100 < I 2< 1
10，故C 正确；
设烟花噪声鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为
､
D1, D2, D3，由题意知90< D1<100，
100< D2<110，135< D3<145，所以D1+ D3>2 D2，所以
10lg I 1+120+10lg I 3+120>2(10lg I 2+120)，所以lg I 1+lg I 3>2lg I 2
，即lg(I 1 I 3)>lg I 2
2，所以
I 1 I 3> I 2
2，故D 正确.
故选：ACD.
11．（2025·重庆·二模）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL血液中乙醇含
量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80 mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师
傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y（单位：mg/mL）与酒后代谢时间x（单位：h）的数量关系满足
y =
4 x
4 x
2+1．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间x =0.5时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【解题思路】整理可得y =
4 x
4 x
2+1
=
1
x + 0.25
x
，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断.
【解答过程】由题意可知：x>0，则y =
4 x
4 x
2+1
=
1
x + 0.25
x
，
由对勾函数可知：y = x + 0.25
x
在(0,0.5)内单调递减，在(0.5,+∞)内单调递增，
则y =
1
x + 0.25
x
在(0,0.5)内单调递增，在(0.5,+∞)内单调递减，故B 正确；
当x =0.5时，y =
1
x + 0.25
x
取到最大值1，
即当代谢时间x =0.5时，血液中的乙醇含量最高为1mg/ mL，
即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg，故A 错误；
因为100>80，可知饮酒后0.5h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
三、填空题
12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：
mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P = P0e
−kt，若在前5h消除了10 %的污染物，当污染物减少50 %
时，所需时间约为
h（精确到1h，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609）．
【答案】33
【解题思路】由题意列式，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果.
【解答过程】由题意可知，当t =0时，P = P0，
所以当污染物减少50 %时，(1−50 %) P0= P0e
−(−1
5 ln 0.9)t，
解得t = 5 ln 0.5
ln 0.9 =
−5 ln 2
ln 9−ln10 =
−5 ln 2
2ln3−(ln 2+ ln5) ≈
−5×0.693
2×1.099−0.693−1.609 ≈33.
故答案为：33.
13．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:
100ml 血液中酒精含量大于或者等于 20mg 且小于 80mg 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定
为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg/ml . 如果停止喝
酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过
个小时后才能驾驶？（结
果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
【答案】4
【解题思路】设至少经过n个小时后才能驾驶，由题意有60×(1−30 %)
n<20，两边同时取对数得
lg0.7
n<lg 1
3，然后求解即可.
【解答过程】设至少经过n个小时后才能驾驶，则有60×(1−30 %)
n<20，
即0.7
n< 1
3，两边同时取对数得lg0.7
n<lg 1
3，即nlg0.7<lg 1
3，
因为lg0.7<0，所以n>
lg 1
3
lg0.7 = lg3
−1
lg 7
10
=
−lg3
lg7−lg10 ≈−0.48
0.85−1 =3.2，
所以n≥4，即至少经过4个小时才能驾驶.
故答案为：4.
14．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未
来第x 年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
y =
N
1+(
N
y0
−1)e
−px ，其中N 为饱和度，y0
为初始值，p 为年增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后
每年的增长率均为10 %，饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万
块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：e
−0.5≈0.61，e
−0.6≈0.55，e
−0.7≈0.49）
【答案】36
【解题思路】把已知数据代入模型
y =
N
1+(
N
y0
−1)e
−px ，求出对应的值即可．
【解答过程】根据题意，所给模型中y0=20, N =1020, p=10 % =0.1, x =6，
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为
y =
1020
1+(
1020
20 −1)e
−0.1×6
=
1020
1+50e
−0.6，
因为e
−0.6≈0.55，所以y =
1020
1+50e
−0.6 ≈
1020
1+50×0.55 ≈36，
所以2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约36 万块.
故答案为：36.
四、解答题
15．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024 年在其基地投入150 万元的研发资金用于养殖业
发展，并计划今后10 年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．
(1)写出第x年（2024 年为第1 年）该企业投入的研发资金y（单位：万元）与x的函数关系式，并指出函数
的定义域；
(2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600 万元？
（参考数据：lg0.12≈−0.921，lg1.2≈0.079，lg0.112≈−0.951，lg1.12≈0.049，lg2≈0.301）
【答案】(1)y =150(1+20 %)
x−1，定义域为{x ∈N
∗|1≤x ≤10)；
(2)第9 年
【解题思路】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得150(1+20 %)
x−1>600，然后利用对数运算求解即可.
【解答过程】（1）第x年（2024 年为第1 年）该企业投入的研发资金y（万元），
则y =150(1+20 %)
x−1，其定义域为{x∈N
∗|1≤x ≤10)；
（2）由（1）得y >600，即150(1+20 %)
x−1>600，
所以1.2
x−1>4，即x−1>log1.24 = lg 4
lg1.2 = 2lg2
lg1.2 = 2×0.301
0.079
≈7.62，
所以x>8.62，又x∈N
∗，
故该企业从第9 年开始投入的研发资金将超过600 万元.
16．（2025·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温
度有关.研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事
情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么t min后茶水的温
度θ(单位：℃)，可由公式θ (t )=θ0+(θ1−θ0)e
−kt求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模
兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并
记录从t =0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
t (min)
0
1
2
3
4
5
θ(℃)
85.00
79.19
74.75
71.19
68.19
65.00
(1)请你利用表中的一组数据t =5，θ =65.00求k的值，并求出此时θ(t )的解析式(计算结果四舍五入精确到
0.01)；
(2)在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，
根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．
参考数据：ln3≈1.0986，ln 2≈0.693，e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯
【答案】(1)k ≈0.08，θ(t )=25+60e
−0.08t；
(2)要等待约9分钟.
【解题思路】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数k及对应的函数关系.
（2）由（1）中关系式，求出θ(t )=55时的t值.
【解答过程】（1）依题意，θ =θ0+(θ1−θ0)e
−kt，且当θ1=85 C
❑
∘,θ0=25 C
❑
∘，t =5min时，θ =65 C
❑
∘，
则65=25+(85−25)e
−5k，e
−5k = 2
3，解得k =−1
5 ln 2
3 =−1
5 (ln 2−ln3)≈0.08，
所以θ(t )=25+60e
−0.08t.
（2）由（1）知，θ(t )=25+60e
−0.08t，当θ(t )=55时，55=25+60e
−0.08t，即e
−0.08t = 1
2，
整理得−0.08t = ln 1
2 =−ln2，解得t = −ln2
−0.08 = 0.693
0.08 ≈9，
王大爷要等待约9分钟.
17．（24-25 高一下·云南昭通·阶段练习）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为θ1℃，空气的
温度为θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：
）可由公式
℃
θ =θ0+(θ1−θ0)e
−kt求得，其中k是一个随
着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为20℃，把水放在空气中冷却，水的温度从
100℃冷却到60℃需要30 min.
(1)求e
−k；
(2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为80℃，等待水温降温到50℃，至少需要等待多少
min？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于35℃，电热水壶不加热，水的温度冷却到35℃
，电热水壶开始加热，直至水的温度达到80℃才停止加热，且水的温度从35℃加热到80℃需要8 min.
现该电热水壶中水的温度为80℃，经过98 min后，此时壶中水的温度是多少？
【答案】(1)e
−k =(
1
2)
1
30
(2)30 min
(3)50℃.
【解题思路】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得；
（2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得；
（3）先计算出水温由80℃冷却到35℃所需要的时间为60 min，然后自动加热8min后水温达到80℃，
由60+8+60>98可知，随后水开始降温30min，代入公式计算即得水温.
【解答过程】（1）已知空气的温度为20℃，把水放在空气中冷却，水的温度从100℃冷却到60℃需要
30min，
则60=20+(100−20)e
−30k，即e
−30k = 1
2，所以e
−k =(
1
2)
1
30.
（2）由题意可知：θ0=20℃，θ1=80℃，θ =50℃，e
−k =( 1
2 )
1
30，
可得50=20+(80−20)[( 1
2 )
1
30 ]
t
=20+60( 1
2 )
t
30，
解得t =30 min，
所以至少需要等待30 min.
（3）设水的温度由80℃冷却到35℃，需要t min，
则35=20+(80−20)[(
1
2)
1
30)
t
=20+60(
1
2)
t
30，解得t =60 min，
此时电热水壶开始加热，需要8 min加热至80℃，且60+8<98，
若水的温度由80℃冷却到35℃，可知需要60 min，
显然60+8+60>98，则θ =20+(80−20)[(
1
2)
1
30)
98−68
=20+60× 1
2 =50℃，
所以经过98 min后，此时壶中水的温度是50℃.
18．（24-25 高一下·四川成都·期中）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促
销活动，已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x =2−k
t +2（k为常数），若不
开展促销活动，则年销量x =1.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3 万元，每生产1 吨食品需再
投入32 万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5 倍”与
“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求k的值；
(2)求下一年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？最大利润为多少？
（注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
【答案】(1)k =2
(2)y = −t
2+65t +70
2(t +2)
,t ≥0
(3)当促销费投入6万元时，企业年利润最大为53
2 万元
【解题思路】（1）当t =0时，x =1，代入求得k =2；
（2）由（1）得x =2−2
t +2，进而求得年生产x（万件）时，年生产成本为32⋅(2−2
t +2)+3，销售收入
为[32⋅(2−2
t +2)+3)×1.5，结合题意，即可求得利润y关于促销费t的函数关系式；
（3）由（2）知y = −t
2+65t +70
2(t +2)
=−(
t +2
2 + 32
t +2)+ 69
2 ，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）由题意知，当t =0时，x =1，
代入x =2−k
t +2，得1=2−k
2，解得k =2.
（2）由（1）得，x =2−2
t +2 ,t ≥0，
当年生产x（万件）时，年生产成本为32 x +3=32⋅(2−2
t +2)+3，
当销售x（万件）时，年销售收入为[32⋅(2−2
t +2)+3)×1.5，
所以利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数关系式为：
y =[32⋅(2−2
t +2)+3)×1.5+ 1
2 t −[32⋅(2−2
t +2)+3)−t，
即y = −t
2+65t +70
2(t +2)
,t ≥0.
（3）由（2）知，y = −t
2+65t +70
2(t +2)
=−(
t +2
2 + 32
t +2)+ 69
2 ≤−2❑√
t +2
2 ⋅32
t +2 + 69
2 = 53
2 ，
当且仅当t +2
2 = 32
t +2时，即t =6时，等号成立，
所以当促销费投入6万元时，企业年利润最大为53
2 万元.
19．（24-25 高一上·云南·阶段练习）2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克
戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围
内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化
的关系如下：当0≤x ≤4时，y = 16
8−x −1；当4< x ≤10时，y =5−1
2 x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的
消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(
毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能
够持续有效消毒，试求a的最小值．（精确到0.1，参考数据：❑√2取1.4）
【答案】(1)8小时
(2)1.6
【解题思路】（1）根据题意可知一次喷洒4个单位的消毒剂后，其浓度为y1= 4 y ={
64
8−x −4,0≤x ≤4
20−2 x ,4< x ≤10)
.
令y1≥4求解即可；
（2）由题知从第一次喷洒起，经x(6≤x ≤10)小时后，其浓度y2=2(5−1
2 x)+a[
16
8−(x−6) −1)，化简
后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以浓度y1= 4 y ={
64
8−x −4,0≤x ≤4
20−2 x ,4< x ≤10)
.
则当0≤x ≤4时，令y1= 64
8−x −4≥4，解得0≤x<8，故0≤x ≤4；
当4< x ≤10时，令y1=20−2 x ≥4，解得x ≤8，故4< x ≤8，
综上，0≤x ≤8.
故若一次喷洒4个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达8小时.
（2）设从第一次喷洒起，经x(6≤x ≤10)小时后，
浓度y2=2(5−1
2 x)+a[
16
8−(x−6) −1)=10−x + 16a
14−x −a=(14−x)+ 16a
14−x −a−4，
因为1≤a≤4，4≤14−x ≤8，所以由基本不等式可得
y2=(14−x)+ 16a
14−x −a−4≥2❑√
(14−x)⋅16a
14−x −a−4 =8 ❑√a−a−4，
当且仅当14−x = 16a
14−x ，即x =14−4 ❑√a时，等号成立，y2有最小值为8 ❑√a−a−4.
令8 ❑√a−a−4≥4，解得24−16 ❑√2≤a≤24 +16 ❑√2.
又1≤a≤4，所以24−16 ❑√2≤a≤4，
所以a的最小值为24−16 ❑√2≈24−16×1.4 =1.6.
