专题2.2 函数的概念及其表示（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 求函数值】..................................................................................................................................................1
【题型2 具体函数的定义域】..................................................................................................................................3
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】..............................................................................................................4
【题型4 函数值域的求解】......................................................................................................................................5
【题型5 同一函数的判断】......................................................................................................................................7
【题型6 求函数的解析式】......................................................................................................................................9
【题型7 分段函数及其应用】................................................................................................................................10
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 求函数值】
1．（2026·河北·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为(0,+ ∞)，∀x>0，y >0，都有f (xy)= f (x)+ f ( y)，
且f(
1
4)=−1，则f (64)=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解题思路】赋值法得到f(
1
2)=−1
2，f (1)=0，f (2)= 1
2，f (4)=1，从而
f (64)=2f (8)=2[f (2)+ f (4))=3
【解答过程】因为f(
1
4)= f(
1
2)+ f(
1
2)，f(
1
4)=−1，所以f(
1
2)=−1
2，
又f (1)= f (1)+ f (1)，有f (1)=0，
又由f (1)= f(
1
2)+ f (2)，有f (2)= 1
2，故f (4)=2f (2)=1，
f (64)=2f (8)=2[f (2)+ f (4))=3．
故选：A．
2．（25-26 高一上·山东滨州·期末）已知函数f ( x)满足对于任意实数x，y 都有f ( x + y)= f ( x)f ( y)，且
f (4)=16，则f (3)=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用赋值法计算即可.
【解答过程】由对于任意实数x，y都有f ( x + y)= f ( x)f ( y)，得f ( x)= f ( x
2 + x
2 )=[ f ( x
2 )]
2
≥0
又[ f (2)]
2= f (4)=16，则f (2)= 4，而[ f (1)]
2= f (2)= 4，解得f (1)=2，
所以f (3)= f (1)f (2)=[ f (1)]
3=8.
故选：D.
3．（25-26 高一上·云南红河·阶段检测）已知函数f (x)满足∀x，y ∈R，yf (x)−xf ( y)= x−y，且
f (0)+ f (1)=0，则f (2)=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可.
【解答过程】对于yf (x)−xf ( y)= x−y，且∀x，y ∈R，
令x =0，可得yf (0)=−y，解得f (0)=−1，
因为f (0)+ f (1)=0，所以−1+ f (1)=0，解得f (1)=1，
令y =1，可得f (x)−x = x−1，得到f (x)=2 x−1，
则f (2)=2×2−1=3，故D 正确.
故选：D.
4．（2026·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数f (x)满足f (x + f ( y))= f (x)+ y，且有f (1+ f (1))=2
，则（ ）
A．f (2024)>2024
B．f (2025)>2025
C．f (2025)<2024
D．f (2024)<2025
【答案】D
【解题思路】根据新定义函数，直接赋值即可求解.
【解答过程】取x = y =1，得f (1+ f (1))= f (1)+1，
又f (1+ f (1))=2，故f (1)=1．
取y =1，得f (x + f (1))= f (x)+1，即f (x +1)= f (x)+1．
对正整数x，f (x +1)−f (x)=1，
累加，得f (x)= x，f (2024)=2024<2025,
故选：D．
【题型2 具体函数的定义域】
5．（25-26 高一上·宁夏吴忠·期末）函数y =
❑√x
2−2 x−3的定义域为（ ）
A．(−1,3)
B．[−1,3)
C．(−∞,−1)∪[3,+∞)
D．（3，4）
【答案】C
【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可.
【解答过程】要使y =
❑√x
2−2 x−3有意义，只需x
2−2 x−3≥0，即(x−3)(x +1)≥0，
解得x ≥3或x ≤−1，所以函数y =
❑√x
2−2 x−3的定义域为(−∞,−1)∪[3,+∞).
故选：C.
6．（25-26 高一上·山西阳泉·期末）函数f (x)= ❑√2 x−3+
1
x−3的定义域为（ ）
A．[
3
2 ,+ ∞)
B．(−∞,3)∪(3,+∞)
C．[
3
2 ,3)∪(3,+∞)
D．(
3
2 ,3)∪(3,+∞)
【答案】C
【解题思路】根据根号和分式定义去求解.
【解答过程】由❑√2 x−3得，2 x−3≥0，解得x ≥3
2,
由
1
x−3得，x−3≠0，解得x≠3,
综合两个条件，函数的定义域为[
3
2 ,3)∪(3,+∞).
故选：C.
7．（25-26 高一上·河北沧州·期末）函数f ( x)= (2 x−1)
0
❑√2−x
的定义域为（ ）
A．(−∞,2]
B．(−∞,2)
C．(−∞, 1
2)∪(
1
2 ,2)
D．(−∞, 1
2)∪(
1
2 ,2)
【答案】D
【解题思路】根据零次幂底数不为0，分母不为0，二次根式被开方数非负列不等式求解即可.
【解答过程】由题意知，{
2 x−1≠0
2−x>0 )，解得x<2且x≠1
2.
所以函数f (x)的定义域为(−∞, 1
2)∪(
1
2 ,2).
故选：D.
8．（25-26 高一上·天津·期末）已知函数f (x)=
❑√x−1
2−x +ln(3−x)，则f (x)的定义域为（ ）
A．（1,3）
B．[1,2)∪(2,3)
C．(−∞,1)∪(3,+∞)
D．(−3,1)∪(1,2)
【答案】B
【解题思路】根据使式子有意义得到不等式组，求解即可.
【解答过程】要使函数有意义，则{
x−1≥0
2−x≠0
3−x>0)，解得1≤x<3且x≠2，
所以f (x)的定义域为[1,2)∪(2,3)，
故选：B.
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】
9．（25-26 高一上·江西南昌·期末）已知函数f (x)的定义域为[4,11)，则函数g(x)= f (x +1)
x−10 的定义域为
（ ）
A．[3,10)
B．(10,12)
C．[5,10)
D．[5,10)∪(10,12)
【答案】A
【解题思路】先由f ( x)的定义域求出f ( x +1)的定义域，再结合分母不为0，即可得解.
【解答过程】由{
4≤x +1≤11
x−10≠0 )，得3≤x<10，所以g(x)的定义域为[3,10).
故选：A.
10．（25-26 高一上·江苏南通·期中）已知f (x)= ❑√x +1+ ❑√3−x，则函数g(x)= f (x +1)的定义域是（ ）
A．[0,2)
B．[0,4)
C．[−2,2)
D．[−1,3)
【答案】C
【解题思路】先求得f (x)的定义域，进而求得g(x)的定义域.
【解答过程】对于f (x)= ❑√x +1+ ❑√3−x，
由{
x +1≥0
3−x ≥0)解得−1≤x ≤3，
所以f (x)的定义域为[−1,3).
对于g(x)= f (x +1)有−1≤x +1≤3，
解得−2≤x ≤2，所以g(x)的定义域是[−2,2).
故选：C.
11．（25-26 高一上·安徽六安·期中）已知函数f (x)的定义域为[−1,5)，则函数g(x)= f (2 x−1)
x−1
的定义域
为（ ）
A．[0,3)
B．[−3,9)
C．[0,1)∪(1,3)
D．[−3,1)∪(1,9)
【答案】C
【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.
【解答过程】由题意得{
−1≤2 x−1≤5
x−1≠0 )，解得0≤x<1或1< x ≤3，
故函数g(x)= f (2 x−1)
x−1
的定义域为[0,1)∪(1,3).
故选：C.
12．（25-26 高一上·山东德州·期中）若函数f (x)的定义域为[0,6)，则函数g(x)= f (3 x)
❑√x−1
的定义域为
（ ）
A．[1,2)
B．(1,2)
C．(1,18)
D．[1,18)
【答案】B
【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可.
【解答过程】因为函数f (x)的定义域为[0,6)，
令{
0≤3 x ≤6
x−1>0 )，解得1< x ≤2，
所以函数g(x)= f (3 x)
❑√x−1的定义域为(1,2).
故选：B.
【题型4 函数值域的求解】
13．（25-26 高一上·江苏苏州·期中）函数y =1−x + ❑√1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．[0,+ ∞)
C．[
1
2 ,+∞)
D．(
1
2 ,+∞)
【答案】C
【解题思路】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域.
【解答过程】令t = ❑√1−2 x ≥0，可得t
2=1−2 x，即x = 1−t
2
2
，
所以y =1−x + ❑√1−2 x =1−1−t
2
2
+t = 1
2 t
2+t + 1
2，
因为函数y = 1
2 t
2+t + 1
2在[0,+ ∞)上为增函数，故y ≥1
2，
即函数y =1−x + ❑√1−2 x的值域为[
1
2 ,+ ∞).
故选：C.
14．（25-26 高一上·浙江·阶段检测）函数y = 3 x
2−3 x + 4
x
2−x +1
的值域为（ ）
A．(−∞, 13
3 )
B．(3, 13
3 )
C．(0, 13
3 )
D．[3, 13
3 )
【答案】B
【解题思路】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解.
【解答过程】由y = 3 x
2−3 x + 4
x
2−x +1
可得y =3+
1
x
2−x +1，
由于函数f (x)= x
2−x +1=(x−1
2)
2
+ 3
4 ≥3
4 ，所以0<
1
x
2−x +1
≤4
3 ，
故y =3+
1
x
2−x +1
∈(3, 13
3 )，
故选：B.
15．（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）f (x)=[ x ]的函数值表示不超过实数x
的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，[3]=3，[−2]=−2，则函数g(x)= x−[ x ]，其中
x∈[−5,5]的值域为（ ）
A．[0,1)
B．(0,1)
C．(−1,0)
D．(−1,1)
【答案】A
【解题思路】由题可知[x)≤x<[x)+1，从而得到函数g(x)的值域为[0,1).
【解答过程】根据取整函数的定义，对任意实数x，有[x)≤x<[x)+1，可得0≤x−[ x ]<1；
故函数g(x)的值域为[0,1).
故选：A.
16．（25-26 高一上·辽宁朝阳·期末）函数f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞,−5
2)
B．(−∞,−7
4)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−15
8 )
【答案】D
【解题思路】换元法，令❑√x−1=t ≥0，得到y =−2(t −1
4)
2
−15
8 ，从而得到函数值域.
【解答过程】令❑√x−1=t ≥0，则x =t
2+1，
则y =t −2(t
2+1)=−2t
2+t −2=−2(t −1
4)
2
−15
8 ，
故当t = 1
4 时，f (x)=−2(t −1
4)
2
−15
8 取得最大值，最大值为−15
8 ，
所以f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为(−∞,−15
8 ).
故选：D.
【题型5 同一函数的判断】
17．（25-26 高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．f (x)=
3√x
3与g(x)=
5√x
5
B．f (x)=|x)与g(x)=
❑√x
2
C．f (x)=2 x
0与g(x)= 2
x
0
D．f (x)= x
2−2ax−1与g(a)= x
2−2ax−1
【答案】D
【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可.
【解答过程】对于A，当n为奇数时，
n√x
n= x，
所以f (x)=
3√x
3= x，与g(x)=
5√x
5= x对应关系和定义域相同，故是同一个函数；
对于B，n为偶数时，
n√x
n=|x)，所以g(x)=
❑√x
2=|x)，
与f (x)对应关系和定义域相同，故是同一个函数；
对于C，f (x)=2 x
0与g(x)= 2
x
0都可化为y =2，
且定义域均为{x∣x≠0)，故是同一个函数；
对于D，f (x)= x
2−2ax−1与g(a)= x
2−2ax−1的定义域都是R，
f (x)是关于x的二次函数，而g(a)是关于a的函数，
当x≠0时为一次函数，当x =0时为常数函数，
两函数对应关系不相同，故不是同一个函数.
故选：D.
18．（25-26 高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（ ）
A．f ( x)=1，g( x)= x
0
B．f ( x)=| x +1|，g(t )=|t +1|
C．f ( x)=
❑√x
2，g( x)= x
D．f ( x)= x +1，g( x)= x
2−1
x−1
【答案】B
【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断得解.
【解答过程】对于A，函数f ( x)=1的定义域为R，函数g( x)= x
0的定义域为{x∈R| x≠0}，A 不是；
对于B，函数f ( x)=| x +1|与g(t )=|t +1|的定义域都为R，且对应法则相同，B 是；
对于C，函数f ( x)=
❑√x
2的值域为[0,+∞)，函数g( x)= x的值域为R，C 不是；
对于D，函数f ( x)= x +1的定义域为R，函数g( x)= x
2−1
x−1
的定义域为{x∈R| x≠1}，D 不是.
故选：B.
19．（25-26 高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数y = x是同一个函数的是（ ）
A．y =(
3√x)
3
B．y =
❑√x
2
C．y = x
3
x
2
D．y =(❑√x)
2
【答案】A
【解题思路】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可.
【解答过程】函数y = x的定义域为R，值域为R，
对于A，y =(
3√x)
3= x，定义域为R，值域为R，
即与函数y = x是同一个函数，故A 正确；
对于B，y =
❑√x
2=|x)，值域为[0,+ ∞)，值域不同，故B 错误；
对于C，y = x
3
x
2，定义域为{x|x ≠0))，定义域不同，故C 错误；
对于D，y =(❑√x)
2，定义域为[0,+ ∞)，定义域不同，故D 错误．
故选：A．
20．（25-26 高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= x，g(x)=(❑√x)
2
B．f (x)=|x)，g(x)={
x , x ≥0
−x , x<0)
C．f (x)=2，g(x)= x
0+1
D．f (x)= x
2，g(x)=( x−1)
2
【答案】B
【解题思路】根据函数的三要素判断即可.
【解答过程】对于A，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0,+∞)，所以两个函数不是同个一函
数，所以A 错误；
对于B，根据绝对值的含义，f (x)=|x)={
x , x ≥0
−x , x<0)，所以与g(x)是同一个函数，所以B 正确；
对于C，函数g(x)= x
0+1=2，其定义域为{x| x≠0)，函数f (x)=2的定义域为R，所以两个函数不是同一
个函数，所以C 错误；
对于D，函数f (x)与g(x)的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D 错误.
故选：B.
【题型6 求函数的解析式】
21．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知一次函数f ( x)满足f (2 x−1)+ f ( x +1)=2( x−3)，则（ ）
A．f ( x)= 2
3 x−3
B．f ( x)= 3
2 x−3
C．f ( x)= 2
3 x +3
D．f ( x)= 3
2 x +3
【答案】A
【解题思路】设出函数解析式，利用待定系数法求解.
【解答过程】由f ( x)为一次函数，设f ( x)=ax +b(a≠0)，
依题意，a(2 x−1)+b+a( x +1)+b=2 x−6，整理得3ax +2b=2 x−6，
因此{
3a=2
2b=−6)，解得a= 2
3 ,b=−3，所以f ( x)= 2
3 x−3．
故选：A.
22．（25-26 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知f ( x−1)= x
2+ x−2，则函数f ( x +1)的解析式为（ ）
A．f ( x +1)= x
2+5 x +1
B．f ( x +1)= x
2+3 x
C．f ( x +1)= x
2+5 x + 4
D．f ( x +1)= x
2+3 x +6
【答案】C
【解题思路】利用换元法求出f (t )，进而求出f ( x +1).
【解答过程】令x−1=t，则x =t +1，f (t )=(t +1)
2+(t +1)−2=t
2+3t，
所以f ( x +1)=( x +1)
2+3( x +1)= x
2+5 x + 4.
故选：C.
23．（25-26 高一上·全国·课后作业）若f ( x)是一次函数，2f (2)−3 f (1)=5，2f (0)−f (−1)=1，则
f ( x)=（ ）
A．3 x +2
B．3 x−2
C．2 x +3
D．2 x−3
【答案】B
【解题思路】设出函数f ( x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【解答过程】设f ( x)=ax +b(a≠0)，由题设有¿，
解得{
a=3
b=−2)，所以f ( x)=3 x−2．
故选：B．
24．（25-26 高一上·浙江·期中）已知f (❑√x +1)= x−1，则函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2−2 x
B．f (x)= x
2−1（x ≥1）
C．f (x)= x
2−2 x +2（x ≥1）
D．f (x)= x
2−2 x（x ≥1）
【答案】D
【解题思路】通过配凑，得f (❑√x +1)= x−1=(❑√x +1)(❑√x +1−2)，进而求得函数f (x)的解析式，要注意
t = ❑√x +1≥1的影响.
【解答过程】因为f (❑√x +1)= x−1=(❑√x +1)(❑√x−1)=(❑√x +1)(❑√x +1−2)，
设t = ❑√x +1≥1，则f (t )=t (t −2),t ≥1
所以f (x)= x (x−2), x ≥1.
所以函数f (x)的解析式为f (x)= x
2−2 x（x ≥1）.
故选：D.
【题型7 分段函数及其应用】
25．（25-26 高一上·江西吉安·期末）已知函数f (x)={
2 x−3, x ≥1
x
2+2, x<1 )，则f (f (0))=（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解题思路】根据分段函数的解析式，先根据0 满足的条件选择正确的解析式求出f (0)，根据其值，代入
符合要求的解析式计算，求出结果即可.
【解答过程】可知f (0)=0
2+2=2，则f (f (0))= f (2)=2×2−3=1.
故选：B.
26．（25-26 高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数f ( x)={
0, x<1
x +1,1≤x<2
−x
2+5, x ≥2)
，若f (f (a))=1，则a=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解题思路】设f (a)=t，则f (t )=1，根据分段函数分类讨论计算推得t =2，再由f (a)=2，同法讨论计算
即得a的值.
【解答过程】设f (a)=t，则f (f (a))= f (t )=1，
当t <1时，f (t )=0≠1，不合题意；
当1≤t <2时，由f (t )=t +1=1，解得t =0，不合题意；
当t ≥2时，由f (t )=−t
2+5=1，解得t =±2，因t ≥2，则t =2，
即f (a)=2，若a<1，则f (a)=0≠2，不合题意；
若1≤a<2，则f (a)=a+1=2，解得a=1，符合题意；
若a≥2，则f (a)=−a
2+5=2，解得a=± ❑√3∉[2,+ ∞)，不合题意.
综上，可得a=1.
故选：D.
27．（25-26 高一上·新疆克拉玛依·期末）已知f (x)={
x
2−3 x , x ≥0.5
1
2 x−1 , x<0.5)
，则f (f (1))=（ ）
A．−1
5
B．−2
C．1
D．10
【答案】A
【解题思路】先求f (1)，再代入求出f (f (1))即可.
【解答过程】由题意可得，f (1)=1−3=−2，则f (f (1))= f (−2)=
1
−4−1 =−1
5.
故选：A.
28．（2026·天津和平·二模）已知函数f (x +1)={
−x ,
x<−1
x ,
x ≥−1)，则不等式x + xf (x)≤1的解集是（ ）
A．{x|x ≤1))
B．{x|−1≤x ≤1))
C．{x|x ≤❑√2−1))
D．{x|−1≤x ≤❑√2−1))
【答案】A
【解题思路】先求出函数f (x)的解析式，再分x<0、x ≥0两种情况解不等式即可．
【解答过程】解：由f (x +1)={
−x ,
x<−1
x ,
x ≥−1)，则f (x)={
−x +1,
x<0
x−1,
x ≥0)，
∴{
x<0
x + xf (x)= x + x (−x +1)≤1)，解得x<0，
{
x ≥0
x + xf (x)= x + x (x−1)≤1)，解得0≤x ≤1，
综上，不等式x + xf (x)≤1的解集是{x|x ≤1))．
故选：A.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（25-26 高二上·贵州遵义·阶段检测）函数f (x)=
3
x−1 + ❑√4−x的定义域是（ ）
A．(1,4)
B．(−∞,1)∪(1,4)
C．(1,4)
D．(1,4)∪(4 ,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可.
【解答过程】由x−1≠0,4−x ≥0，解得x<1或1< x ≤4，
故f (x)的定义域是(−∞,1)∪(1,4).
故选：B.
2．（25-26 高一上·陕西西安·期末）设集合P ={x∣0≤x ≤4},Q ={ y ∣0≤y ≤4}，则下列图象能表示从集
合P到集合Q的函数关系的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数关系的定义逐个判断即可.
【解答过程】A 选项，集合P 中的{x|2< x ≤4 }这部分在集合Q 中没有元素对应，故A 选项错误；
B 选项，∀x∈P，均存在唯一y ∈Q与其对应，故B 选项正确；
C 选项，存在集合P 中一个元素对应集合Q 中的两个元素，故C 选项错误；
D 选项，集合P 中的元素2 对应了集合Q 中的两个元素，故D 选项错误；
故选：B.
3．（25-26 高一上·江西九江·期末）已知函数f (x)={
x +2, x ≤0,
x + 1
x , x>0,)
若f (f (a))=2，则a=（ ）
A．−2或1
B．−1或0
C．−2或0
D．−2或−1
【答案】D
【解题思路】令f (a)=t，可得t =0或t =1，结合f (x)的取值范围分析求解.
【解答过程】令f (a)=t，则f (t )=2，若t ≤0，则t +2=2，解得t =0，
若t >0，则t + 1
t =2，解得t =1，
故f (a)=0或f (a)=1，
当a>0时，f (a)=a+ 1
a ≥2，与f (a)=0或f (a)=1矛盾，
故a≤0，所以f (a)=a+2，
所以a+2=0或a+2=1，解得a=−2或−1.
故选：D.
4．（2026·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（ ）
A．f ( x)= ❑√x
B．f ( x)= ln x
C．f ( x)=2
x
D．f ( x)= tan x
【答案】B
【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【解答过程】对于A，要使得根号下有意义，则x ≥0，即定义域为[0,+∞)，故A 错误；
对于B，要使得对数有意义，则真数x>0，即定义域为(0,+ ∞)，故B 正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C 错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则x≠k π + π
2 ,k ∈Z，即定义域为{x| x≠k π + π
2 ,k ∈Z)，故D 错
误；
故选：B.
5．（2026·山西·模拟预测）已知函数f (x)=
1
1−❑√x ，则f(
1
2
2)f(
1
3
2)⋅⋅⋅f(
1
9
2)=（ ）
A．9
2
B．5
C．9
D．10
【答案】C
【解题思路】用1
n
2代换x得f(
1
n
2)=
n
n−1，即可求目标函数值.
【解答过程】由题设
f(
1
n
2)=
1
1−❑√
1
n
2
=
n
n−1，故f(
1
2
2)f(
1
3
2)⋅⋅⋅f(
1
9
2)= 2
1 × 3
2 ×⋅⋅⋅× 9
8 =9.
故选：C.
6．（25-26 高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数f ( x)=
1
❑√−k x
2−2kx +3
定义域为R，则k 的取值范围为
（ ）
A．−3<k <0
B．−3≤k <0
C．−3≤k ≤0
D．−3<k ≤0
【答案】D
【解题思路】将函数的定义域转化为k x
2+2kx−3<0恒成立即可．
【解答过程】因为函数f ( x)=
1
❑√−k x
2−2kx +3
的定义域为R，所以−k x
2−2kx +3>0在R 上恒成立，
所以k x
2+2kx−3<0在R 上恒成立.
当k =0时，−3<0符合题意；
当k ≠0时，{
k <0
Δ= 4 k
2+12k = 4 k (k +3)<0)，解得−3<k <0.
综上，实数k的取值范围是(−3,0)；
故选：D.
二、填空题
7．（25-26 高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数f (❑√x−2)= x−4 ❑√x +5，则f (x)的解析式为
__________.
【答案】f (x)= x
2+1, x ≥−2.
【解题思路】用配凑法求函数f (x)解析式，注意x的取值范围.
【解答过程】因为函数f (❑√x−2)= x−4 ❑√x +5=(❑√x−2)
2+1，且❑√x−2≥−2，
所以f (x)= x
2+1, x ≥−2.
故答案为：f (x)= x
2+1, x ≥−2.
8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)= 1−x
1+ x ，且f (a)=2，则a=__________.
【答案】−1
3
【解题思路】由已知可得1−a
1+a =2，求解即可.
【解答过程】因为函数f (x)= 1−x
1+ x ，且f (a)=2，所以1−a
1+a =2，解得a=−1
3.
故答案为：−1
3.
9．（25-26 高一上·湖北·阶段检测）已知函数y = f ( x)的定义域为[−3,2]，则函数y = f (2 x +1)
x +1
的定义域
为__________．
【答案】[−2,−1)∪(−1, 1
2)
【解题思路】根据复合函数定义域的定义可知，−3≤2 x +1≤2且x +1≠0，即可求解.
【解答过程】由题意得：−3≤2 x +1≤2，解得：−2≤x ≤1
2，
由x +1≠0，解得：x≠−1，
故函数的定义域是[−2,−1)∪(−1, 1
2).
故答案为：[−2,−1)∪(−1, 1
2).
10．（25-26 高一上·新疆喀什·期末）已知函数f ( x)={
−x
2+2, x ≤1
x + 1
x −1, x>1)
则f(f(
1
2))=__________．
【答案】37
28
【解题思路】利用分段函数解析式先求f(
1
2)，再求f(f(
1
2))的值.
【解答过程】因为f ( x)={
−x
2+2, x ≤1
x + 1
x −1, x>1)
，
所以f(
1
2)=−1
4 +2= 7
4 ，
所以f(f(
1
2))= f(
7
4)= 7
4 + 4
7 −1= 37
28.
故答案为：37
28.
11．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√2k x
2+kx + 3
4
的定义域为实数集R，则实数k的取值范
围为__________.
【答案】[0,6)
【解题思路】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【解答过程】要使f (x)有意义，则有2k x
2+kx + 3
4 ≥0，
∵函数f (x)的定义域为实数集R，∴2k x
2+kx + 3
4 ≥0在R上恒成立，
当k =0时，3
4 ≥0，恒成立；
当k ≠0时，则有{
2k >0
Δ=k
2−4×2k × 3
4 ≤0)
，解得0<k ≤6；
综上，实数k的取值范围为[0,6).
故答案为：[0,6).
12．（2026·广东梅州·模拟预测）函数f : R→R满足∀x , y ∈R ,f (x + f ( y))= f (f (x))+ y，且
f (1)=2026，则f (2026)=___________．
【答案】4051
【解题思路】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可.
【解答过程】令x =0可得f (0+ f ( y))= f (f ( y))= f (f (0))+ y，①
将y赋值为f ( y)，代入
得：
①
f (f (f ( y)))= f (f (0))+ f ( y)，②
根据题设及
有：
①
f (f (f ( y)))= f [f (f (0))+ y)= f (f ( y))+ f (0)，③
由
得：
①②③
f (f (0))+ f ( y)= f (f ( y))+ f (0)= f (f (0))+ y + f (0)，
即f ( y)= y + f (0)，
令y =1可得f (1)=1+ f (0)⇒2026=1+ f (0)，则f (0)=2025，
因此f (2026)=2026+ f (0)=2026+2025= 4051．
故答案为：4051.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2026·河北·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x +2)−f (x)≤2 x ,f (x + 4)−f (x−2)≥6 x
，且f (1)= f (2)=1，则（ ）
A．f (20)>181
B．f (20)<181
C．f (21)>200
D．f (21)<200
【答案】C
【解题思路】由已知可得f (x + 4)−f (x−2)≤6 x，进而可得f (x +2)−f (x)=2 x，求得f (20)可判断AB；
求得f (21)可判断CD.
【解答过程】由f (x +2)−f (x)≤2 x，得f (x + 4)−f (x +2)≤2(x +2),f (x)−f (x−2)≤2(x−2)，三式相加
得，
f (x + 4)−f (x +2)+ f (x +2)−f (x)+ f (x)−f (x−2)≤2(x +2)+2 x +2(x−2)=6 x，
即f (x + 4)−f (x−2)≤6 x，又f (x + 4)−f (x−2)≥6 x，所以f (x + 4)−f (x−2)=6 x，则
f (x +2)−f (x)=2 x，
所以f (20)= f (20)−f (18)+ f (18)−f (16)+⋯+ f (4)−f (2)+ f (2)
=2×(18+16+14+⋯+2)+1=2× 9×(18+2)
2
+1=181，故AB 错误；
f (21)= f (21)−f (19)+ f (19)−f (17)+⋯+ f (3)−f (1)+ f (1)=2×(19+17+15+⋯+1)+1
=2× 10×(19+1)
2
+1=201，故C 正确，D 错误.
故选：C．
2．（2026·四川自贡·三模）已知函数f (x)的定义域为R，∀x，y ∈R，f (x)= f (x−y)f ( y)，且f (1)=2
，则（ ）
A．f (0)=0
B．f (−1)=−2
C．f (x +1)<f (x)
D．f (x +2)+ f (x)>2f (x +1)
【答案】D
【解题思路】令x =1, y =0判断A；令x =0, y =1，判断B；利用y =1得f (x +1)=2f (x)，令x =0判断
f (x)≠0，令y =−x判断f (x)>0，然后可判断C；利用f (x +1)=2f (x)，结合f (x)>0判断D.
【解答过程】对A，令x =1, y =0，则f (1)= f (1)f (0)，又f (1)=2，所以f (0)=1，错误；
对B，令x =0, y =1，则f (0)= f (−1)f (1)，即1=2f (−1)，f (−1)= 1
2，错误；
对C，令y =1，得f (x)= f (x−1)f (1)=2f (x−1)，所以f (x +1)=2f (x)，
令x =0，则f (0)= f (−y)f ( y)=1，即f (−x)f (x)=1，所以f (x)≠0
令y =−x，则f (x)= f (2 x)f (−x)，所以f (2 x)=[f (x))
2>0，即f (x)>0，
所以f (x +1)=2f (x)>f (x)，错误；
对D，因为f (x +1)=2f (x)，所以f (x +2)=2f (x +1)，
又f (x)>0，所以f (x +2)+ f (x)>2f (x +1)，正确.
故选：D．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知{x)表示不小于x 的最小整数，如{3.2)= 4，{−3.2)=−3，已知定义在
R 上的函数f (x)满足∀x，y ∈R，f (x + f ( y))= f (f (x))+ y，且f (0)= 1
2，则{f (2025))=（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果.
【解答过程】定义在R上的函数f ( x)满足∀x , y ∈R ,f ( x + f ( y))= f (f ( x))+ y，
取x =0, y ∈R，得f (f ( y))= f (f (0))+ y，则f (f ( x))= f (f (0))+ x，
取y =0, x∈R，得f ( x + f (0))= f (f ( x))，于是f ( x + f (0))= f (f (0))+ x，
而f (0)= 1
2，则f ( x + 1
2 )= f ( 1
2 )+ x，
当x =−1
2时，f (0)= f ( 1
2 )−1
2，
因此f ( 1
2 )=1，f ( x + 1
2 )=1+ x，
则f ( x)= f [( x−1
2 )+ 1
2 ]=1+( x−1
2 )= x + 1
2，
所以f (2025)=2025+ 1
2，{f (2025)}=2026.
故选：C.
4．（2026·浙江温州·三模）已知函数f (x)的定义域为R，∀x，y ∈R，f (x)f ( y)= f (x + y)，且
f (1)= 1
2，则（ ）
A．f (0)=0
B．f (−1)=−1
2
C．f (x +1)<f (x)
D．f (x +2)−f (x +1)<f (x +1)−f (x)
【答案】C
【解题思路】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得f (x +1)= 1
2 f (x)，又f (0)= f (x)f (−x)，由
f (0)的值及f (x)f ( y)= f (x + y)可推导出f (x)>0，可判断C；由f (x +1)= 1
2 f (x)及f (x)>0可判断D.
【解答过程】对于A，令x =1，y =0，则f (1)f (0)= f (1+0)= f (1)，
又f (1)= 1
2，则1
2 f (0)= 1
2，所以f (0)=1，故A 错误；
对于B，令x =1，y =−1，则f (1)f (−1)= f (1−1)= f (0)，
又f (1)= 1
2，f (0)=1，所以1
2 f (−1)=1，解得f (−1)=2，故B 错误；
对于C，令y =1，则f (x)f (1)= f (x +1)，
又f (1)= 1
2，则f (x +1)= 1
2 f (x)，
由上可知f (x)f (−x)= f (0)=1，故f (x)≠0，
所以f (x)= f(
x
2)f(
x
2)>0，可得1
2 f (x)<f (x)，即f (x +1)<f (x)，故C 正确；
对于D，由f (x +1)= 1
2 f (x)，得f (x +2)= 1
2 f (x +1)= 1
4 f (x)，
所以f (x +2)−f (x +1)= 1
4 f (x)−1
2 f (x)=−1
4 f (x)，
f (x +1)−f (x)= 1
2 f (x)−f (x)=−1
2 f (x)，
由选项C 中分析知f (x)>0，所以−1
4 f (x)>−1
2 f (x)，故D 错误.
故选：C.
二、填空题
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知定义在区间[0,+∞)上的函数y = f (x)满足下列三个条件：
对任意的
①
x>0, y >0，总有f ( x + y)= f ( x⋅f ( y))⋅f ( y)成立；
②f (2)=0；
当
③
0< x<2时，总有f ( x)≠0，
那么，f (3)+ f(
1
2)=____________.
【答案】4
3
【解题思路】令x =1，y =2，结合f (2)=0可求f (3)；再令x = 3
2 , y = 1
2，结合
可得
②③
f(
1
2)≥4
3 ，再令
x =
2
f(
1
2)
, y = 1
2，可排除f(
1
2)> 4
3 ，于是得：f(
1
2)= 4
3 .
【解答过程】先求f (3)的值，在
中令
①
x =1, y =2可得，f (3)= f (1+2)= f (1⋅f (2))⋅f (2).
由
知，
②
f (2)=0，所以f (3)=0×f (0)，所以f (3)=0.
再求f(
1
2)的值，在
中令
①
x = 3
2 , y = 1
2可得，
0= f (2)= f(
3
2 + 1
2)= f(
3
2 ⋅f(
1
2))⋅f(
1
2).
又由
知，
③
f(
1
2)≠0，所以f(
3
2 ⋅f(
1
2))=0.
依题意可得3
2 ⋅f(
1
2)≥2⇒f(
1
2)≥4
3 ，
但是若f(
1
2)> 4
3 ，则在
中令
①
x =
2
f(
1
2)
, y = 1
2，
可得f(
2
f(
1
2)
+ 1
2)
= f(
2
f(
1
2)
⋅f(
1
2))
⋅f(
1
2)= f (2)f(
1
2)=0
.
注意到
2
f(
1
2)
+ 1
2 < 2
4
3
+ 1
2 =2
，故由
可得
③
f(
2
f(
1
2)
+ 1
2)
≠0
，二者矛盾.
所以f(
1
2)= 4
3 .
所以f (3)+ f(
1
2)=0+ 4
3 = 4
3 .
故答案为：4
3 .
三、解答题
6．（25-26 高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数f (x)= ❑√1−x + ❑√x +3，求函数f (x)的定义域；
(2)已知函数f (3 x +1)的定义域为(−1,6)，求f (2 x−5)的定义域.
【答案】(1)[−3,1)
(2)(
3
2 ,12)
【解题思路】（1）根据函数解析式可知{
1−x ≥0
x +3≥0)，可得出函数f (x)的定义域，再根据抽象函数的定义域
求法，即可求出函数f (x +1)的定义域；
（2）根据题意，可知−1< x ≤6，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数f (x)的定义域，从而得出
f (2 x−5)的定义域．
【解答过程】（1）解：由f (x)= ❑√1−x + ❑√x +3，
得{
1−x ≥0
x +3≥0)，解得：−3≤x ≤1，
函数
∴
f (x)= ❑√1−x + ❑√x +3的定义域为[−3,1)；
（2）解：
函数
∵
f (3 x +1)的定义域为(−1,6)，
∴−1< x ≤6，则−2<3 x +1≤19，
即函数f (x)的定义域为(−2,19)，
由−2<2 x−5≤19，得3
2 < x ≤12，
∴f (2 x−5)的定义域为(
3
2 ,12)．
7．（2026 高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知函数f (x)满足：f (❑√x +1)= x +2❑√x +1；
(2)已知一次函数f ( x)在R上满足：f [ f ( x)]= 4 x +6；
(3)已知函数f ( x)满足：2f ( x)−f (−x)= x +1.
【答案】(1)f (x)= x
2(x ≥1)
(2)f (x)=2 x +2 或f (x)=−2 x−6
(3)f (x)= x
3 +1
【解题思路】（1）由配凑法求解即可；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）通过构造方程组求解即可.
【解答过程】（1）因为f (❑√x +1)= x +2❑√x +1=(❑√x +1)
2，
因为❑√x +1≥1，所以f (x)= x
2(x ≥1)；
（2）设f (x)=kx +b(k ≠0)，
则f [f (x))=k (kx +b)+b=k
2 x + kb+b= 4 x +6，
所以{
k
2= 4
kb+b=6)，解得{
k =2
b=2)或{
k =−2
b=−6)，
所以f (x)=2 x +2或f (x)=−2 x−6；
（3）因为定义在R上的函数f (x)满足2f (x)−f (−x)= x +1
，
①
所以2f (−x)−f (x)=−x +1
，
②
由①×2+
，得
②
3 f (x)= x +3，
所以f (x)= x
3 +1.
8．（25-26 高一上·陕西·开学考试）对实数x，用⌊x ¿¿表示不大于
“
x的最大整数，用
”
⌈x ¿¿表示不小于
“
x
的最小整数．例如
”
⌊2¿¿= ⌈2¿¿=2,⌊−1.5¿¿=−2,⌈−1.5¿¿=−1．
(1)若⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=−4，求x的值．
(2)若⌊x ¿¿+2⌈x ¿¿=14，求x的取值范围．
(3)记f ( x)= ⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿，是否存在实数x，使得f (x)+ f (2 x)+ f (3 x)+ f (4 x)=2025？若存在，求x的
值或取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x =−2
(2)(4,5)
(3)存在，x =101.25
【解题思路】（1）分类讨论x是否为整数，结合题意运算求解即可；
（2）分类讨论x是否为整数，结合题意运算求解即可；
（3）分类讨论x是否为整数，整理可得f (x)={
2k , x =k
2k +1, x∈(k ,k +1)),k ∈Z，
结合整数的奇偶性分析可知可知x ,2 x ,3 x ,4 x中只有1 个整数，且整数只能3 x或4 x，进而讨论求解即可.
【解答过程】（1）若x∈Z，则⌊x ¿¿= ⌈x ¿¿= x，
可得⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=2 x =−4，解得x =−2；
若x∈(k ,k +1),k ∈Z，则⌊x ¿¿=k ,⌈x ¿¿=k +1，
可得⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=2k +1=−4，解得k =−5
2 ∉Z，不合题意；
综上所述：x =−2.
（2）若x∈Z，则⌊x ¿¿= ⌈x ¿¿= x，
可得⌊x ¿¿+2⌈x ¿¿=3 x =14，解得x = 14
3 ∉Z，不合题意；
若x∈(k ,k +1),k ∈Z，则⌊x ¿¿=k ,⌈x ¿¿=k +1，
可得⌊x ¿¿+2⌈x ¿¿=3k +2=14，解得k = 4，可得x∈(4,5)；
综上所述：x的取值范围为(4,5).
（3）若x =k ∈Z，则⌊x ¿¿= ⌈x ¿¿=k，可得f (x)= ⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=2k；
若x∈(k ,k +1),k ∈Z，则⌊x ¿¿=k ,⌈x ¿¿=k +1，
可得f (x)= ⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=2k +1；
综上所述：f (x)={
2k , x =k
2k +1, x∈(k ,k +1)),k ∈Z.
可知当且仅当x∈Z时，f (x)为偶数，否则f (x)为奇数，
且2025 为奇数，可知x ,2 x ,3 x ,4 x中只有1 个整数或只有3 个整数，
若x为整数，则2 x ,3 x ,4 x均为整数；
若2 x为整数，则4 x必为整数；
在x不为整数的前提下，2 x ,3 x不可能同时为整数，3 x ,4 x不可能同时为整数；
据此可知x ,2 x ,3 x ,4 x中只有1 个整数，且整数只能3 x或4 x，
可设x∈(k ,k +1),k ∈Z，
（i）若3 x为整数，则x =k + 1
3 ,k + 2
3，
若
①
x =k + 1
3，则2 x =2k + 2
3，3 x =3k +1，4 x = 4 k + 4
3 ，
可得f (x)+ f (2 x)+ f (3 x)+ f (4 x)=2k +1+ 4 k +1+6 k +2+8k +3=20k +7 =2025，
解得k =100.9∉Z，不合题意；
若
②
x =k + 2
3，则2 x =2k + 4
3 ，3 x =3k +2，4 x = 4 k + 8
3，
可得f (x)=2k +1+ 4 k +3+6k + 4+8k +5=20k +13=2025，
解得k =100.6∉Z，不合题意；
（
）若
ⅱ
4 x为整数，则x =k + 1
4 ,k + 3
4 ，
若
①
x =k + 1
4 ，则2 x =2k + 1
2，3 x =3k + 3
4 ，4 x = 4 k +1，
可得f (x)=2k +1+ 4 k +1+6k +1+8k +2=20k +5=2025，解得k =101；
若
②
x =k + 3
4 ，则2 x =2k + 3
2，3 x =3k + 9
4 ，4 x = 4 k +3，
可得f (x)=2k +1+ 4 k +3+6k +5+8k +6=20k +15=2025，
解得k =100.5∉Z，不合题意；
综上所述：k =101，x =k + 1
4 =101.25，
所以存在实数x，使得f (x)+ f (2 x)+ f (3 x)+ f (4 x)=2025，此时x =101.25.
C 组 真题·实战演练
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R 是对任意
”
“
M ∈R，存在
x0∈D，使得|f (x0))> M 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若函数f ( x)的值域为R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M )+1，
取x0= x1，则|f (x0))=|M )+1> M，充分性成立；
取f ( x)=2
x，D =R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M )+1，
取x0= x1，则|f (x0))=|M )+1> M，但此时函数f ( x)的值域为(0,+ ∞)，必要性不成立；
所以“f ( x)的值域为R 是对任意
”
“
M ∈R，存在x0∈D，使得|f (x0))> M 的充分不必要条件
”
.
故选：A.
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x−1)+ f ( x−2)，且当x<3时
f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f (10)>100
B．f (20)>1000
C．f (10)<1000
D．f (20)<10000
【答案】B
【解题思路】代入得到f (1)=1,f (2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解答过程】因为当x<3时f ( x)= x，所以f (1)=1,f (2)=2，
又因为f ( x)>f ( x−1)+ f ( x−2)，
则f (3)>f (2)+ f (1)=3,f (4)>f (3)+ f (2)>5，
f (5)>f (4)+ f (3)>8,f (6)>f (5)+ f (4)>13,f (7)>f (6)+ f (5)>21，
f (8)>f (7)+ f (6)>34 ,f (9)>f (8)+ f (7)>55,f (10)>f (9)+ f (8)>89，
f (11)>f (10)+ f (9)>144 ,f (12)>f (11)+ f (10)>233,f (13)>f (12)+ f (11)>377
f (14)>f (13)+ f (12)>610,f (15)>f (14)+ f (13)>987，
f (16)>f (15)+ f (14)>1597>1000，则依次下去可知f (20)>1000，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
二、填空题
3．（2024·上海·高考真题）已知f (x)={
❑√x , x>0
1, x ≤0 ,)则f (3)=___________．
【答案】❑√3
【解题思路】利用分段函数的形式可求f (3).
【解答过程】因为f (x)={
❑√x , x>0
1, x ≤0 ,)故f (3)= ❑√3，
故答案为：❑√3.
4．（2024·上海·高考真题）已知f ( x)= x
2, g( x)={
f ( x), x ≥0
−f (−x), x<0)，求g( x)≤2−x的x的取值范围
_______.
【答案】(−∞,1)
【解题思路】分x ≥0与x<0两段求解二次不等式可得.
【解答过程】根据题意知g( x)={
x
2，x ≥0
−x
2，x<0).
当x ≥0时，g(x)≤2−x,即x
2+ x−2≤0，解得−2≤x ≤1，则有0≤x ≤1；
当x<0时，g(x)≤2−x,即−x
2+ x−2≤0，x∈R，即x<0时，不等式g(x)≤2−x都成立.
综上所述，g( x)≤2−x的x的取值范围为(−∞,1).
故答案为：(−∞,1).
