专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三
讲义）
【全国通用】
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】.................................................................................................3
【题型2 根据函数的单调性求参数】......................................................................................................................4
【题型3 求函数的最值】..........................................................................................................................................4
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】..................................................................................................................5
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】......................................................................................................................5
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】.....................................................................................................6
【题型7 函数的对称性与周期性】..........................................................................................................................6
【题型8 类周期函数】..............................................................................................................................................7
【题型9 利用函数的性质比较大小】......................................................................................................................7
【题型10 利用函数的性质解不等式】....................................................................................................................8
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】................................................................................................9
【题型12 函数新定义】............................................................................................................................................9
1、函数的性质
考点要求
真题统计
考情分析
(1)借助函数图象，会用符
号语言表达函数的单调
性、最大值、最小值，理
解它们的作用和实际意义
(2)结合具体函数，了解奇
偶性和对称性的概念和几
何意义
(3)了解周期性的概念和几
何意义
2023 年I 卷：第4 题，5 分、
第11 题，5 分
2023 年
卷
Ⅱ
：第4 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第8
题，5 分
2025 年全国一卷：第5 题，5
分
2025 年全国二卷：第10 题，
6 分
2025 年天津卷：第3 题，5 分
从近几年的高考情况来看，本节是高考
的一个重点和热点内容，函数的单调
性、奇偶性、对称性与周期性是高考的
必考内容，重点关注单调性、奇偶性、
周期性结合在一起，与函数图象、函数
零点和不等式相结合进行考查，解题时
要充分运用转化思想和数形结合思想.
知识点
1
函数的单调性与最值的求法
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点
2
函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
(2)偶函数：
①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数.
知识点
3
函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2 a ；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2 a ；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
(2)若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
(3)若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2025·海南海口·模拟预测）函数f ( x)= x
2−4| x|+3的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−2)和(0,2)
C．(−2,2)
D．(−2,0)和(2,+ ∞)
【变式1-1】（24-25 高一上·广东广州·期中）函数y =
1
❑√x
2−2 x
的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,0)
C．(1,+∞)
D．(2,+∞)
【变式1-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f ( x)满
足：①当0< x<m时，f ( x) >0；②对于定义域内任意的实数a、b 均满足：f (a+b)= f (a)+ f (b)
1−f (a)f (b)．则
（ ）
A．f (0)=1
B．∀x1, x2,−m< x1< x2<m,f (x1)>f (x2)
C．函数f ( x)在区间(0,m)上单调递减
D．函数f ( x)在区间(−m,m)上单调递增
【变式1-3】（24-25 高一上·全国·课后作业）设f (x)= x，g(x)=−1
x
，则（ ）
A．f (x)+ g(x)在区间(0,+ ∞)上单调递增
B．f (x)+ g(x)在区间(0,+ ∞)上单调递减
C．f (x)−g(x)在区间(0,+∞)上单调递增
D．f (x)−g(x)在区间(0,+∞)上单调递减
【题型2 根据函数的单调性求参数】
【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数f (x)=
❑√x
2−6 x +5
在区间(a,+ ∞)上单调递增，则a的取值范围
为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,3)
C．[3,+ ∞)
D．[5,+ ∞)
【变式2-1】（2025·广东韶关·一模）已知函数f (x)={
x
2−2ax−1, x<1
2
x −6
x , x ≥1 )
在R上是单调函数，则a的取值
范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．[1,2)
C．(1,+∞)
D．[2,+ ∞)
【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为
（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2)∪[6,+ ∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4)∪[12,+ ∞)
【变式2-3】（2025·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数f (x)=2 x
2+ 4 ax +1在(2,+∞)上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型3 求函数的最值】
【例3】（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知f (x)= x
2+3 x +6
x +1
(x>0)，则f (x)的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若f (x)=|x +2)+|3 x−a)的最小值是4，则实数a的值为（ ）
A．6 或−18
B．−6或18
C．6 或18
D．−6或−18
【变式3-2】（24-25 高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数f (x)=
x
x
2+a
在[1,+∞)上的最大值为
❑√2
2
，则a=
（ ）
A．1
2
B．1
C．❑√2+1
D．❑√2−1
【变式3-3】（2025·山西·模拟预测）已知函数f ( x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y ∈(0,+∞)
，都有f ( x)+ f ( y)= f ( xy )+2，当x>1时，都有f ( x)>2，且f (3)=3，则函数f ( x)在区间[1,27]上的最
大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】
【例4】（2025·浙江杭州·一模）函数f (x)={
x−1, x ≥0
−x−1, x<0)是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
【变式4-1】（2025·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A．y =
❑√x
2−1
B．y = x
3−x
C．y =−1
x
D．y =
3√x
【变式4-2】（2025·西藏·模拟预测）若函数f (x)= x−
x
x +1
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f (x +1)−2
B．f (x−1)−2
C．f (x−1)+2
D．f (x +1)+2
【变式4-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数f (x)满足：对任意实数x，y，都有f (f (x + y))= f (x)+ f ( y)
成立，且f (0)=1，则（ ）
A．f (x +1)为奇函数
B．f (x)+1为奇函数
C．|f (x +1))为偶函数
D．|f ( x)−1)为偶函数
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】
【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f ( x)=
x
2
ae
x−e
−x
为偶函数，则a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式5-1】（2025·江西景德镇·三模）函数f (x)=−x
2+|x−a)+a+1(a∈R)为偶函数的充要条件是
（ ）
A．a=−1
B．a=0
C．a=1
D．a=2
【变式5-2】（2025·吉林长春·二模）已知函数f (x)=(x +a−2)(x
2+a−1)为奇函数，则a的值是（ ）
A．3
B．1 或3
C．2
D．1 或2
【变式5-3】（2025·安徽蚌埠·二模）“a=−1”是“函数f ( x)= x +1+ 2a
2
x−a
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】
【例6】（2025·全国一卷·高考真题）设f ( x)是定义在R上且周期为2 的偶函数，当2≤x ≤3时，
f ( x)=5−2 x，则f(−3
4)=（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
4
D．1
2
【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，g(x)= f (x)−x +1是奇函数，
ℎ(x)= f (x)−x
3是偶函数，则f(3
2
3)=（ ）
A．−10
B．−8
C．8
D．10
【变式6-2】（24-25 高二下·陕西·期中）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x ≤0时，f (x)= x
2+ x，
则当x>0时，f (x)=（ ）
A．x
2+ x
B．−x
2+ x
C．x
2−x
D．−x
2−x
【变式6-3】（2025·吉林·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1−2 x)是偶函数，当x∈(0,1)时，
f (x)=−x
2，则f (7)=（ ）
A．−49
B．−1
C．0
D．1
【题型7 函数的对称性与周期性】
【例7】（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于直线
x =2对称，则∑
i=1
2025
❑f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式7-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数f ( x)满足f ( x)+ f (2−x)=2，则（ ）
A．f (2)=0
B．f (10)=10
C．f ( x)的最小正周期为2
D．x =1是曲线y = f ( x)的一条对称轴
【变式7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知对于∀x∈R，f (x +1)+ f (x−1)= f (x)，f (x)+ g(x−3)=2，
g(−3−x)= g(−3+ x)，且g(−3)=1，则∑
i=0
2025
f (i)=（ ）
A．1
2
B．3
2
C．1
D．0
【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (1−x)+ g(x)=3，
g(3−x)−f (x)=1，y = g(x)的图象关于直线x =1对称，当x∈[0,1)时，f (x)= x
2+1，则
f (2024)+ g(2026)=（ ）
A．1
B．3
C．4
D．2025
【题型8 类周期函数】
【例8】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y = f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数
y = f (x), x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有
af (x)= f (x +T )恒成立，此时T为f (x)的周期. 若y = f (x)是[1,+ ∞)上的a级类周期函数，且T =1，当
x∈[1,2)时，f (x)=2 x +1,且y = f (x)是[1,+∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
5
6 ,+ ∞)
B．[2,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．[10,+ ∞)
【变式8-1】（24-25 高一上·浙江台州·期中）设函数f (x)的定义域为R，满足f (x)=2f (x−2)，且当
x∈(0,2)时，f (x)= x (2−x)．若对任意x∈(−∞,m)，都有f (x)≤3，则m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 5
2)
B．(−∞, 7
2)
C．(−∞, 9
2)
D．(−∞, 11
2 )
【变式8-2】（24-25 高一上·江西吉安·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0,4)
时，f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞,t )，都有f (x)≥−3
2
恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−7)
B．(−∞,−5)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−1)
【变式8-3】（2025·天津和平·三模）定义域为R的函数f (x)满足f (x + 4)=2f (x)，当x∈[0,4)时，
f (x)={
1
2 x
2−x , x∈[0,2)
−(
1
3)
|x−3)
, x∈[2,4)
，若x∈[−8,−4)时，f (x)≥m−1
4
−1
m
，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)∪(0,2)
B．[−2,2)
C．[−2,0)∪(0,2)
D．[−2,0)∪[2,+ ∞)
【题型9 利用函数的性质比较大小】
【例9】（2025·湖南邵阳·二模）定义在R上的函数f (x)满足f (x)−f (2−x)=0，且f (x)在[1,+∞)上单调
递增，设a= f (−9)，b= f(
7
4)，c = f (log417)，则（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【变式9-1】（2025·重庆·二模）已知函数f (x) 是定义在R上的偶函数，且f (x)在(−∞,0) 上为增函数，
设a=(
1
2)
−2
5，b=3
2
3 ，c =(−3)
2
5，则 f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是（ ）
A．f (a)>f (b)>f (c)
B．f (a)>f (c)>f (b)
C．f (c)>f (b)>f (a)
D．f (c)>f (a)>f (b)
【变式9-2】（24-25 高三上·江苏南通·期末）定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x)= f (4−x)，且f (x)在
[−2,2)上单调递增.设a= f(
7
4)，b= f(
7
2)，c = f (−13)，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．b<c<a
【变式9-3】（2025·山东日照·一模）定义在R上的函数y = f (x)满足以下条件：①f (−x)−f (x)=0；②对
任意x1, x2∈[0,+ ∞)，当x1≠x2
时都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0．则f (−❑√5),f (π),f (−3)的大小关系是（ ）
A．f (π)>f (−3)>f (−❑√5)
B．f (π)>f (−❑√5)>f (−3)
C．f (π)<f (−3)<f (−❑√5)
D．f (π)<f (−❑√5)<f (−3)
【题型10 利用函数的性质解不等式】
【例10】（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知奇函数f (x)在R上单调递减，若f (m)+ f (m−2)<f (0)，则
m的取值范围为（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(−∞,1)
C．(
1
2 ,+∞)
D．(1,+∞)
【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）若定义在R上的偶函数f (x)在(−∞,0)上单调递减，且f (2)=0，则满
足(x +1)f (x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[−1,1)∪[3,+ ∞)
B．{−1)∪[1,+∞)
C．[−1,0)∪[1,+∞)
D．{−1)∪[3,+∞)
【变式10-2】（2025·广西河池·二模）设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递增.若
实数a满足f (a−1)>f (2)，则a的取值范围是（ ）
A．a>3
B．a<−1
C．a<−1或a>3
D．−1<a<3
【变式10-3】（2025·河北石家庄·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈(0,+ ∞)且x1≠x2
时，都有x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0成立，f (2025)=2025，则不等式f (x)−x>0的解集为（ ）
A．(−∞,−2025)∪(2025,+ ∞)
B．(−2025,0)∪(2025,+∞)
C．(−2025,2025)
D．(−
1
2025 ,
1
2025)
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】
【例11】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数f (x)的定义域为R，且对任意的实数x，都有
f (x)= f (x−2)−f (4−x)，且f (0)=2，则下列说法错误的是（ ）
A．f (x)为偶函数
B．f (x)为周期函数且周期为12
C．f (4)=−1
D．∑
i=1
25
f (2i)=2
【变式11-1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为R的函数f ( x)，g( x)满足f (2−x)+ f (x)=2，
g(4−x)= g(x)，g(2)=3，若f (x)= g(2+ x)+ 4，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的图象关于y 轴对称
B．−8为f ( x)的一个周期
C．f (2023)=−1
D．∑
k =1
22
❑f (k )=16
【变式11-2】（2025·江西九江·一模）定义在R上的函数f (x)满足：①对任意x∈R，都有
f (2+ x)= f (1)−f (−x)；②f (2 x)的图象关于直线x =1对称：③f (2)=1,f(
3
2)=
❑√2
2 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x +2)是奇函数
B．f (x +1)是偶函数
C．f(−1
2)=−
❑√2
2
D．∑
k =1
2025
f(
k
2)=0
【变式11-3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f ( x)的定义域为R，
∀x , y ∈R ,f ( x)+ f ( y)=2f ( x + y
2
)f ( x−y
2
)，且∃x0,f ( x0)≠0，f (1)=0，则（ ）
A．f ( x)是奇函数
B．f (1−x)+ f (1+ x)=0
C．f ( x)=2f
2( x
2 )
D．f ( x)是周期为2 的函数
【题型12 函数新定义】
【例12】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数f (x)满足对任意x , y ∈Z均有
f (x + y)= f (x)f (2−y)+ f (2−x)f ( y)，则称f (x)为“S−2函数”.已知f (x)为“S−2函数”，且f (2)=1
，f (−1)<0，则f (0)+ f (47)=（ ）
A．−
❑√2
2
B．0
C．
❑√2
2
D．1
【变式12-1】（2025·辽宁·二模）若函数f ( x)满足：存在非零常数t，对任意x∈R，f ( x−t )≤f ( x)，则
称f ( x)是“t −衰减函数”．已知函数f ( x)为R上的奇函数，且当x ≥0时，f ( x)=|2 x−m|−m(m>0)，
若f ( x)为“6−衰减函数”，则m的取值范围为（ ）
A．(2,+ ∞)
B．(0,2)
C．(3,+∞)
D．(0,3]
【变式12-2】（2025·山东·模拟预测）若存在a∈R且a≠0，使得对任意x∈R，均有
f (x +a)<f (x)−f (a)成立，则称函数y = f (x)具有性质β.已知函数y = f (x)的定义域为R，给出下面两个条
件：条件α1: y = f (x)单调递减且f (0)=0；条件α2: y = f (x)单调递增且存在x0<0，使得f (x0)=0.下面关于
函数y = f (x)具有性质β的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A．只有α1是
B．只有α2是
C．α1和α2都是
D．α1和α2都不是
【变式12-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数f (x)的定义域为D，若存在实数T (T )>0)，使得对于
任意x∈D，都有f (x)<f (x +T )，则称f (x)为＂T −严格增函数＂，对于＂T −严格增函数＂，有以下四
个结论：
①＂T－严格增函数＂f (x)一定在D上严格增；
②＂T－严格增函数＂f (x)一定是＂nT －严格增函数＂（其中n∈N
∗，且n≥2）
③函数f (x)=[x)是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
④函数f (x)= x−[x)不是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
一、单选题
1．（2025·吉林长春·模拟预测）函数f (x)= 1
x +
1
x−2
的对称中心为（ ）
A．(1,0)
B．(0,0)
C．(2,0)
D．(1,1)
2．（2025·上海·高考真题）已知A(0,1),B(1,2)，C 在Γ : x
2−y
2=1( x ≥1, y ≥0)上，则△ABC的面积
（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
3．（2025·江苏南通·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的函数，对∀x , y ∈R，有
f ( x + y)−f ( x−y)= f ( x +1)f ( y −1)，且f (2)=−2，则f (f (2025))=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
4．（2025·天津·高考真题）已知函数y = f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f ( x)=
x
1−| x|
B．f ( x)=
x
| x|−1
C．f ( x)=| x|
1−x
2
D．f ( x)=| x|
x
2−1
5．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A．y = f (|x))
B．y = f (x
2)
C．y = x⋅f (x)
D．y = f (x)+ x
6．（2025·山东济南·二模）设f (x)为偶函数，当x∈(0,+ ∞)时，f (x)= x−1，则使f (x)>0的x的取值范
围是（ ）
A．{x|x>1))
B．{x|−1< x<0))
C．{x|x<−1))或x>1)
D．{x|−1< x<0))或x>1)
7．（2025·重庆·三模）已知定义域为 R 的连续函数 f (x) 满足： ① f (x +6) 为偶函数； ②
∀x∈R，f (2+ x)+ f (4−x)=0 ； ③ ∀x1, x2∈(0,3), f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0 ． 则 f (2),f (5),f (121)
的大小顺序为（ ）
A．f (2)<f (5)<f (121)
B．f (2)<f (121)<f (5)
C．f (121)<f (2)<f (5)
D．f (5)<f (2)<f (121)
8．（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x ≥0时，f (x)= x
2−2 x +2. 若
f (x)≥2 x +b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,1)
C．(−∞,0)
D．(−∞,−2)
二、多选题
9．（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 f (x)= x
❑√x
2−1
，则（ ）
A．f (❑√3)= ❑√6
B．f ( x)的定义域为 (−∞,−1]∪[1,+∞)
C．f ( x)是奇函数
D．f ( x)的最小值为 0
10．（2025·山东泰安·模拟预测）函数f ( x)对于任意的x , y ∈R，满足
f ( x−y)−f ( x + y)= f ( x−1)f ( y −1)，且f (0)=2，则（ ）
A．y = xf ( x)为偶函数
B．4是函数f ( x)的一个周期
C．点(2025,0)是f ( x)图象的对称中心
D．∑
i=0
2026
f (i)=0
11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f (x)满足：①定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，②
f (x)+ f ( y)−f (xy)=2，③当x>1时，f (x)>2，则（ ）
A．f (1)+ f (−1)=0
B．f (1)−f (−1)=0
C．f (2025)>f (2024)
D．若f (x +2)<2，则x的取值范围为−3< x<−1
三、填空题
12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上周期为4 的奇函数，若f (1)=1，则
f (2)+3 f (399)= ．
13．（2025·甘肃白银·三模）若函数f (x)={
x
2−(a−1) x +1, x ≥2
(3a+2) x−3, x<2 )
，是定义在R上的增函数，则实数a的
取值范围是 .
14．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)的图象关于(2,0)中心对称，且f (x)在[2,+∞)上单调递减，
若f (3−2a)+ f (4 a+5)>0，则实数a 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2025·上海·三模）已知f (x)= ax−b
4−x
2 ，函数y = f (x)是定义在(−2,2)上的奇函数，且f (1)= 1
3.
(1)求f (x)的解析式；
(2)判断y = f (x)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
16．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数f (x)= 2 x +b
ax +1
，点A (1,5)，B (2,4)是f (x)图象上的两
点.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f (x)在[1,3)上的最大值和最小值.
17．（24-25 高二下·山东烟台·阶段练习）若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=2 x
2−4 x
．
(1)求函数f (x)的表达式；
(2)若函数f (x)在区间[a−1, a)上不单调，求实数a的取值范围．
18．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数f (x)= ax−b
1+ x
2 是定义在[−1,1)上的奇函数，且f (1)=−1
.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)判断函数f (x)在[−1,1)上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式f (2t )+ f (t −1)>0.
19．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）已知函数f (x)在R上满足f (x + y)= f (x)f ( y)+ f (0)−1，且当
x>0时，0<f (x)<1；当x<0时，f (x)>1．
(1)求f (0)的值；
(2)判断并证明函数f (x)的单调性；
(3)若f (1)= 1
2
，求不等式f (x−x
2)>4的解集．
