专题2.6 函数的图象（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 作出函数的图象】......................................................................................................................................2
【题型2 函数图象的识别】......................................................................................................................................7
【题型3 根据函数图象选择解析式】....................................................................................................................10
【题型4 函数图象的变换】....................................................................................................................................12
【题型5 根据实际问题作函数图象】....................................................................................................................15
【题型6 利用图象研究函数的性质】....................................................................................................................18
【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】...................................................................................................20
【题型8 利用图象求参数的取值范围】................................................................................................................23
1、函数的图象
考点要求
真题统计
考情分析
(1)在实际情境中，会根据
不同的需要选择恰当的方
法（如图象法、列表法、
解析法）表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函
数的性质，解决方程解的
个数与不等式解的问题
2024 年全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
2025 年北京卷：第4 题，4 分
2025 年天津卷：第3 题，5 分
函数图象是高考常考的热点内
容，从近几年的高考形势来看，主要以
考查函数图象的识别与变换为重点和热
点，也可能考查利用函数图象研究函数
性质、解不等式等问题，一般以单选题
的形式出现，难度不大.
知识点
1
函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的
特征
，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点
2
函数图象的应用
及其
解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x)=|x +1)−2|x−1).
(1)请画出函数f (x)的图象，并求f (x)≥1的解集；
(2)∀x∈(0,+∞)，f (x)>ax +b，求a+b的最大值.
【答案】(1)作图见解析，[
2
3 ,2)
(2)−2.
【解题思路】（1）分类讨论求得f (x)=¿，即可作出图形；
（2）由（1）知f (x)的图象与y轴交点的纵坐标为−1，且各部分所在直线斜率的最小值为−1，则b≤−1
，a≤−1，即可求解.
【解答过程】（1）∵f (x)=|x +1)−2|x−1)，∴f (x)=¿.
函数图象如右所示：
由图可知f (x)≥1的解集为[
2
3 ,2).
（2）由（1）知，f (x)的图象与y轴交点的纵坐标为−1，
且各部分所在直线斜率的最小值为−1，
故当且仅当b≤−1，a≤−1时，f (x)>ax +b恒成立，
此时a+b有最大值−2.
即a+b的最大值是−2.
【变式1-1】（24-25 高一上·云南昭通·期中）已知函数f ( x)的解析式为f ( x)={
x +2, x ≤−1
x
2,−1< x ≤2
−x +6, x>2)
.
(1)求f (3)，f (f (−1))的值；
(2)画出这个函数的图象，并写出f ( x)的最大值.
【答案】(1)f (3)=3，f (f (−1))=1
(2)图象见解析，最大值为4
【解题思路】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；
（2）根据图象最高点即可写出最大值.
【解答过程】（1）因为f ( x)={
x +2, x ≤−1
x
2,−1< x ≤2
−x +6, x>2)
，
所以f (3)=−3+6=3，f (−1)=−1+2=1，则f (f (−1))= f (1)=1.
（2）
如图，由图象可知，最大值为4.
【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数f ( x)=|
1
2 x−2)+|
1
2 x +1)+ 1
2 x +2．
(1)画出f（x）的图象，并写出f ( x)≤6的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b 满足a+b=T，证明：
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥T
10．
【答案】(1)作图见解析，{x|−6≤x ≤2)
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图
象，由图象得不等式的解集；
（2）由（1）得最小值T，然后用基本不等式得出ab的范围，再用基本不等式得
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥
2
❑√(a
2+1)(b
2+1)
，利用二次函数性质得(a
2+1)(b
2+1)的范围，从而可得不等式成立，
注意等号取得的条件是否一致．
【解答过程】（1）由题，得f ( x)={
−1
2 x +3, x<−2,
1
2 x +5,−2≤x ≤4 ,
3
2 x +1, x>4 , )
，图象如图所示．
由图可知，f ( x)≤6的解集为{x|−6≤x ≤2)．
（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为T = 4，则a+b= 4．
只需证明
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥4
10 = 2
5即可．
由已知，a>0，b>0，则4 =a+b≥2❑√ab，所以0<ab≤4．
于是
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥
2
❑√(a
2+1)(b
2+1)，
因为(a
2+1)(b
2+1)=a
2b
2+a
2+b
2+1
=a
2b
2+(a+b)
2−2ab+1
=a
2b
2−2ab+17
=(ab−1)
2+16，
由于0<ab≤4，则16≤(ab−1)
2+16≤25，即16≤(a
2+1)(b
2+1)≤25，
所以
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥
2
❑√(a
2+1)(b
2+1)
≥
2
❑√25 = 2
5，当且仅当a=b=2时，等号成立．
【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数f ( x)=|2 x +1|+| x +m|（其中m∈[−1,0)）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m=−1
2时函数f (x)的图象；
(2)求函数f (x)的图象与直线y =3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)最大值为17
6 ，m=0.
【解题思路】（1）把m=−1
2代入，再画出函数图象即可.
（2）作出函数y = f ( x)与直线y =3围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得.
【解答过程】（1）当m=−1
2时，f ( x)=|2 x +1|+| x−1
2 |={
−3 x−1
2 , x ≤−1
2
x + 3
2 ,−1
2 < x< 1
2
3 x + 1
2 , x ≥1
2 )
，
在坐标平面内作出函数f ( x)的图象，如图：
（2）依题意，f ( x)=|2 x +1|+| x +m|={
−3 x−1−m, x ≤−1
2
x +1−m,−1
2 < x<−m
3 x +1+m, x ≥−m )
，其图象如图：
令y =3，得函数y = f ( x)的图象与直线y =3的两个交点A(−4+m
3
,3), D( 2−m
3
,3)，
直线y = x +1−m与直线y =3交于点E(2+m,3)，
显然f (−1
2 )= 1
2 −m,f (−m)=1−2m，即点B(−1
2 , 1
2 −m),C(−m,1−2m)，
函数y = f ( x)的图象与直线y =3围成多边形为四边形ABCD，其面积为：
S ABCD= S△ABE−S△CDE= 1
2 [(2+m)−(−4+m
3
)][3−( 1
2 −m)]−1
2 [(2+m)−2−m
3
][3−(1−2m)]
= (5+2m)
2
6
−4(1+m)
2
3
= −4 m
2+ 4 m+17
6
，
显然函数y = −4 m
2+ 4 m+17
6
在[−1,0]上单调递增，当m=0时，ymax= 17
6 ，
所以函数y = f ( x)的图象与直线y =3围成多边形的面积的最大值为17
6 ，此时m=0.
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【解答过程】由f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2 = 3
x−3
−x
x
2
，可得f (x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
且f (−x)= 3
−x−3
x
(−x)
2 =−f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
f (1)= 8
3 >0，排除C 项；
当x→+ ∞时，f (x)→+ ∞，排除A 项.
故选：D.
【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数f (x)=(2
−x−2
x)cos x的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据奇偶性的定义判断f ( x)为奇函数，再结合f (1)的符合及排除法，即可得.
【解答过程】由f (−x)=(2
x−2
−x)cos(−x)=−(2
−x−2
x)cos x =−f ( x)，且定义域为R，
所以f ( x)为奇函数，排除A、B；
f (1)=(2
−1−2)cos1=−3
2 cos1<0，排除D.
故选：C.
【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先判断出f ( x)为奇函数，排除BD；再根据当x趋向于+ ∞时，f ( x)趋向于0，C 错误，A 正
确.
【解答过程】❑√x
2+1+ x>0恒成立，故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的定义域为R，
f (−x)= ln(❑√x
2+1−x)
e
−x+e
x
= ln(❑√x
2+1+ x)
−1
e
x+e
−x
=−ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
=−f (x)，
故f ( x)为奇函数，BD 错误；
当x趋向于+ ∞时，y =e
x+e
−x的增长速度远大于y = ln(❑√x
2+1+ x)的速度，
故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A.
【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数y = f (x)与y = g(x)的图象如图所示，则函数y = f (x)g(x)的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数y = f (x)与y = g(x)的图象可知函数y = f (x)g(x)的定义域与奇偶性，即可选出求解.
【解答过程】由图可知函数y = f (x)g(x)的定义域为函数y = f (x)和函数y = g(x)的定义域的交集为
(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
故函数y = f (x)g(x)的图象不经过坐标原点，排除选项BC；
又因为函数y = f (x)是偶函数，函数y = g(x)是奇函数，所以函数y = f (x)g(x)是奇函数，排除选项D.
故选：A.
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2025·浙江台州·一模）函数y = f (x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数
解析式可能为（ ）
A．y = f(1−1
2 x)
B．y =−f(1−1
2 x)
C．y = f (4−2 x)
D．y =−f (4−2 x)
【答案】A
【解题思路】根据给定的函数图象，由f (1)=0推理排除CD；由①中函数当x>1时，f ( x)>0分析判断得
解.
【解答过程】由图①知，f (1)=0，且当x>1时，f ( x)>0，由②知，图象过点(0,0)，且当x<0时，y >0
，
对于C，当x =0时，y = f (4)>0，C 不可能；
对于D，当x =0时，y =−f (4)<0，D 不可能；
对于A，当x =0时，y = f (1)=0，而当x<0时，1−1
2 x>1，则f (1−1
2 x)>0，A 可能；
对于B，当x =0时，y =−f (1)=0，而当x<0时，1−1
2 x>1，则−f (1−1
2 x)<0，B 不可能.
故选：A.
【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−xB．f (x)=1−
2
e
x+1
C．f (x)= x ❑√|x)
D．f (x)=
x
ln(x
2+2)
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (1)≈1， 而对A 选项f (1)=e−e
−1>2排除A；
对B 选项f (x)=1−
2
e
x+1 ，因为e
x+1>1，则
2
e
x+1
∈(0,2)，
则f (x)=1−
2
e
x+1
∈(−1,1)，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C 选项的解析式， f (2)=2❑√2≈2.8， 而根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (2)≈1， 排除 C.
故选：D.
【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
A．f (x)=e
x+1
e
x−1
B．f (x)=e
x−1
e
x+1
C．f (x)=
x
2
3√x
4−1
D．f (x)=
x
3√x
4−1
【答案】D
【解题思路】根据f (0)=0排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【解答过程】对于A， f (x)=e
x+1
e
x−1
在x =0处无意义，故A 错误；
对于B：f (x)=e
x−1
e
x+1
的定义域为R，故B 错误；
对于C：f (x)=
x
2
3√x
4−1
的定义域为{x| x≠±1)，
且f (−x)=
(−x)
2
3√(−x)
4−1
=
x
2
3√x
4−1
= f (x)，则f (x)为偶函数，故C 错误；
对于D，f (x)=
x
3√x
4−1
满足图中要求，故D 正确.
故选：D.
【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建
筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的
空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．y =|x)
❑√4−x
2
B．y = x
❑√4−x
2
C．y =
❑√−x
2+2|x)
D．y =
❑√−x
2+2 x
【答案】C
【解题思路】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.
【解答过程】A 选项：y |x =1= ❑√3>1，故A 错误；
B 选项：记f (x)= x
❑√4−x
2，则f (−x)=−x
❑√4−x
2=−f (x)，故f (x)为奇函数，
不符合题意，故B 错误；
C 选项：记ℎ(x)=
❑√−x
2+2|x)，则ℎ(−x)=
❑√−x
2+2|x)=ℎ(x)，
故y =
❑√−x
2+2|x)为偶函数，
当x ≥0时，y =
❑√−x
2+2|x)=
❑√−x
2+2 x =
❑√−(x−1)
2+1，
此函数在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
且ℎ(0)=0,ℎ(1)=1,ℎ(2)=0，故C 正确；
D 选项：记g(x)=
❑√−x
2+2 x，则g(−x)=
❑√−x
2−2 x≠−g(x)，
故g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.
故选：C.
【题型4 函数图象的变换】
【例4】（2025 高三·全国·专题练习）将函数f (x)=|−x
2+1)+2向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【解答过程】∵f (x)={
3−x
2, x∈[−1,1),
x
2+1, x∈(−∞,−1)∪(1,+∞))，可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得函数图象为C 选项中的图象.
故选：C.
【变式4-1】（24-25 高一上·江苏扬州·期中）函数y =1−
1
x−1的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数图象的变换得到答案.
【解答过程】将y =−1
x 的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数y =1−
1
x−1
的图象.
故选：B.
【变式4-2】（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数y = f (x)，与其相应的y = f (x +1)的图象如图所示，
则（ ）
A．f (0)=0
B．f (2)=−1
C．f (99)=0
D．f (100)=1
【答案】C
【解题思路】找出y = f (x)与y = f (x +1)的关系，再将问题转化为求y = f (x +1)上某点的纵坐标即可.
【解答过程】函数y = f (x +1)是函数y = f (x)向左平移1 个单位得到，
因函数y = f (x +1)的周期T = 4，则f (x)周期也为4，
A 选项：f (0)对应y = f (x +1)中x =−1的值，由图象知f (0)= f (−1+1)=−1≠0，错误；
B 选项：f (2)对应y = f (x +1)中x =1的值，由图象知f (2)= f (1+1)=1≠−1，错误；
C 选项：99= 4×24+3，则f (99)= f (3)，又f (3)对应y = f (x +1)中x =2的值，
由图象知f (3)= f (2+1)=0，即f (99)=0，正确；
D 选项：100= 4×25，则f (100)= f (0)=−1≠1，错误．
故选：C．
【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数f (x)的图象可看作是由函数g(x)=
2|x−1)
2 x
2−4 x +3
的图象向左
平移1 个单位长度后得到的，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用平移变换可得f (x)= 2|x)
2 x
2+1
，判断函数f (x)的奇偶性，结合赋值法可得结论.
【解答过程】因为g(x)=
2|x−1)
2 x
2−4 x +3
=
2|x−1)
2( x−1)
2+1，所以f (x)= 2|x)
2 x
2+1
，其定义域为R，
且f (−x)=
2|−x)
2(−x)
2+1
= 2|x)
2 x
2+1
= f (x)，所以f (x)为偶函数，故排除BC；
又x>0时，f
′ (x)= 4 x
2+2−8 x
2
(2 x
2+1)
2
= 2−4 x
2
(2 x
2+1)
2，
当x→0
+时，f
′ (x)→2，故排除A，
故选：D.
【题型5 根据实际问题作函数图象】
【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1 的正方形ABCD的边上沿A →B→C →D运
动，x表示动点P由A 点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y = f (x)的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】分x∈[0,1)，x∈[1,2)，x∈[2,3)求出解析式，然后可知图象.
【解答过程】当x∈[0,1)时，y = x
2，是一条过原点的线段；
当x∈[1,2)时，y = 1
2，是一段平行于x轴的线段；
当x∈[2,3)时，y = 3−x
2
，图象为一条线段.
故选：A．
【变式5-1】（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1 的正方形边上运动，M是CD的中点，
当点P沿A −B−C −M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y = f (x)的图象的形状大致是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】求出点P在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【解答过程】当点P在AB上时，y = 1
2 × AP×BC = x
2，
当点P在BC上时，y = AB×BC −1
2 × AB×BP−1
2 AD× DM −1
2 MC ×CP
=1−1
2
(x−1)−1
2 × 1
2 −1
2 × 1
2
(2−x)= 3
4 −x
4 ，
当点P在CM上时，y = 1
2 × AD× PM = 1
2(
5
2 −x)= 5
4 −1
2 x，
其中A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故A 正确.
故选：A.
【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半
圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小
陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y
（单位：米），若y = f (t )，则f (t )的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【解答过程】由题图知，小李从点A到点B的过程中，y的值先增后减，
从点B到点C的过程中，y的值先减后增，
从点C到点D的过程中，y的值先增后减，从点D到点A的过程中，y的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即y的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D 选
项合乎题意，
故选：D.
【变式5-3】（24-25 高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲
地，快车的速度为100 千米/小时，特快车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两
车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4 小时，此时两车距离为0，排除B 选项；再求出快车继续行
驶到达乙地所需要的时间排除A 选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D
选项.
【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间t1=1000÷(100+150)= 4小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4 小时，故排除B 选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为100×4 = 400千米，
还需要行驶(1000−400)÷100=6小时才能到达乙地，故排除A 选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为150×4 =600千米，
只需要再行驶(1000−600)÷150= 8
3小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D 选项.
故选：C.
【题型6 利用图象研究函数的性质】
【例6】（24-25 高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数y = f (x)的图象，图中曲线与直线无限接近
但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数f (x)的定义域为[−4,4)
B．函数f (x)的值域为[0,5)
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的y ∈[0,+∞)，都有唯一的自变量x 与之对应
【答案】C
【解题思路】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.
【解答过程】由图知：f (x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，值域为[0,+∞)，A、B 错；
显然f (x)在[−4,0],[1,4)分别递增，但在定义域上不单调，C 对；
显然f (−4)≤y ≤f (0)，对应自变量x 不唯一，D 错.
故选：C.
【变式6-1】（2025 高三下·全国·专题练习）函数y = f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A．[−4,4)
B．[−4 ,−3)∪[1,4) C．[−3,1)
D．[−3,4)
【答案】C
【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可.
【解答过程】由题图可知，函数y = f (x)的单调递增区间为[−3,1).
故选：C.
【变式6-2】（24-25 高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，则f (−2)，f (1)，
f (0)的大小关系为（ ）
A．f (0)<f (1)<f (−2)
B．f (−2)<f (0)<f (1)
C．f (−2)<f (1)<f (0)
D．f (1)<f (0)<f (−2)
【答案】A
【解题思路】由函数f (x)为偶函数，得到f (−2)= f (2)，结合图象，即可求解.
【解答过程】由题意知，函数f (x)为偶函数，可得f (−2)= f (2)，
结合函数f (x)在[0,+ ∞)上的图象，可得f (0)<f (1)<f (2)，
所以f (0)<f (1)<f (−2).
故选：A.
【变式6-3】（24-25 高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为[−4,4)的奇函数f (x)在(0,4)的图象如图所示，
则下列说法错误的是（ ）
A．f (−4)=−1
B．f (0)=0
C．f (x)在定义域上不存在最小值
D．f (x)在[−4,4)的最大值与最小值之和为0
【答案】C
【解题思路】利用f (x)为定义域在[−4,4)的奇函数，结合图象逐项进行判断即可.
【解答过程】对于A，由f (x)为定义域在[−4,4)的奇函数，则图象关于点(0,0)对称，f (x)+ f (−x)=0,
由图知f (4)=1，则f (−4)=−1，故A 正确；
对于B，0∈[−4,4)，f (x)为奇函数，则f (0)=0，故B 正确；
对于C，由图知f (x)在(0,4)的最大值为f (2)=2，则f (x)在[−4,0)的最小值为f (−2)=−2，
因此可得f (x)在定义域[−4,4)上存在最小值为−2，故C 错误；
对于D，由f (x)在[−4,4)的最大值为2，最小值为−2，则最大值与最小值之和为0，故D 正确.
故选：C.
【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】
【例7】（24-25 高一上·天津滨海新·期中）已知函数f ( x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x<0
时，函数的部分图象如图所示，则不等式f (x)−f (−x)
x
<0的解集是（ ）
A．(−3,−1)∪(1,3)
B．(−3,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)
C．(−∞,−3)∪(−1,1)∪(3,+∞)
D．(−∞,−3)∪(−1,0)∪(0,1)∪(3,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】根据题设，将不等式化为f ( x)
x
<0，结合奇函数对称性及图象确定其解集.
【解答过程】由题设f (x)−f (−x)
x
= 2f ( x)
x
<0，即f ( x)
x
<0，
当x<0时，f ( x)
x
<0⇔f (x)>0，
由图可知，x∈(−∞,−3)∪(−1,0)时f ( x)>0，x∈(−3,−1)时f ( x)<0，
当x>0时，f ( x)
x
<0⇔f (x)<0，
根据奇函数的对称性，有x∈(0,1)∪(3,+∞)时f ( x)<0，x∈(1,3)时f ( x)>0，
所以，不等式的解集为(−∞,−3)∪(−1,0)∪(0,1)∪(3,+∞).
故选：D.
【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)，则函数
y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】由[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6=0可得f ( x)=2或f ( x)=3，作出图形，结合图形即可求解.
【解答过程】由题意，令[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6=0，解得f ( x)=2或f ( x)=3，
作出y = f ( x)的图象，如图，
由图可知，直线y =2与y = f ( x)图象有3 个交点，
直线y =3与y = f ( x)图象有4 个交点，
所以原方程有7 个解，
即函数y =[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6有7 个零点.
故选：C.
【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
x
2f (x)>2f (x)的解集为（ ）
A．(−❑√2,0)∪(❑√2,2)
B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(−❑√2,0)∪(❑√2,2)
D．(−2,−❑√2)∪(0,❑√2)∪(2,+ ∞)
【答案】C
【解题思路】先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等
式即可.
【解答过程】根据奇函数的图象特征，作出f (x)在(−∞,0)上的图象如图所示，
由x
2f (x)>2f (x)，得(x
2−2)f (x)>0，
等价于{
x
2−2>0,
f (x)>0 )或{
x
2−2<0,
f (x)<0,)
解得x<−2或❑√2< x<2，或−❑√2< x<0．
故不等式解集为(−∞,−2)∪(−❑√2,0)∪(❑√2,2)．
故选：C.
【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知f (x)是定义在R上的函数，且有f (x +1)= f (x)+1，当0< x ≤1
时，f (x)=3 x +1，则方程f (x)= 4的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】由已知，讨论x的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即
可．
【解答过程】f (x)是定义在R上的函数，且有f (x +1)= f (x)+1，
当0< x ≤1时，f (x)=3 x +1，
则−1< x ≤0时，0< x +1≤1，则f (x)= f (x +1)−1=3 x +3,
1< x ≤2时，0< x−1≤1,f (x)= f (x−1)+1=3 x−1,
2< x ≤3时，0< x−2≤1,f (x)= f (x−2)+2=3 x−3,
3< x ≤4时，0< x−3≤1,f (x)= f (x−3)+3=3 x−5,
画出函数f (x)与函数y = 4的图象，
由图象可知方程f (x)= 4的根的个数为3.
故选：C.
【题型8 利用图象求参数的取值范围】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log 1
3
x , x>0)，若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零
点，则a的取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
【答案】A
【解题思路】转化为函数y = f (x)与y =a的图象有3 个交点，结合f (x)的图象可得答案.
【解答过程】若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零点，
即函数y = f (x)与y =a的图象有3 个交点，
f (x)= x
2+ 4 x +3=(x +2)
2−1(x ≤0)，
当x =0时，f (x)=3，当x =−2时，f (x)=−1，
函数y = f (x)的图象如下，
结合图象可得−1<a≤3.
故选：A.
【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知f (x)=e
x +1−e
1−x+ln(❑√x
2+1−x)，且f (lnm)+ f(
1−n
n )=0，则下
列可能成立的是（ ）
A．n<m<1
B．1<n<m
C．m<1<n
D．1<m<n
【答案】D
【解题思路】判断函数的奇偶性，再结合函数y = ln x , y =1−1
x 的图像，逐个判断即可.
【解答过程】函数的定义域为R，
f (−x)=e
−x +1−e
1+ x+ln(❑√x
2+1+ x)=−(e
x +1−e
1−x+ln(❑√x
2+1−x))=−f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，
又f
′ (x)=e
x +1+e
1−x+
x
❑√x
2+1
−1
❑√x
2+1−x
≥2
❑√e
x +1⋅e
1−x−
1
❑√x
2+1
=2e−
1
❑√x
2+1
≥2e−1>0，
所以函数f (x)在R 上单调递增，
又f (lnm)+ f(
1−n
n )=0，
所以可得：lnm=−1−n
n
=1−1
n ，
画出y = ln x , y =1−1
x 的图像，
当n<m<1，1<n<m，m<1<n时，lnm=1−1
n不成立，
当1<m<n时，lnm=1−1
n可能成立，
故选：D.
【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个
互不相同的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【答案】B
【解题思路】先求解方程f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0，得到f ( x)的表达式，再结合函数f ( x)的图象，分
析f ( x)取不同值时方程根的个数，进而确定a的取值范围.
【解答过程】令t = f ( x)，则方程f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0可转化为t
2−(a+2)t +2a=0.
对t
2−(a+2)t +2a=0进行因式分解可得(t −2)(t −a)=0，则t1=2，t2=a.
所以f ( x)=2或f ( x)=a.
当x ≤0时，f ( x)=e
x+2，因为指数函数y =e
x在(−∞,0]上单调递增，所以f ( x)=e
x+2在(−∞,0]上单调
递增，且f ( x)∈(2,3].
当x>0时，f ( x)= x + 1
x ，对其求导，f
′( x)=1−1
x
2 = x
2−1
x
2
= ( x +1)( x−1)
x
2
.
令f
′( x)=0，即( x +1)( x−1)
x
2
=0，解得x =1（x>0）.
当0< x<1时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；
当x>1时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增.
所以f ( x)在x =1处取得极小值，也是最小值，f (1)=1+ 1
1 =2.
对于f ( x)=2：
当x>0时，x + 1
x =2，即x
2−2 x +1=0，( x−1)
2=0，解得x =1，有1个根.
因为f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0有4个互不相同的根，f ( x)=2已经有1个根，所以f ( x)=a需要有3个不
同的根.
结合f ( x)的图象可知，当2<a≤3时，y = f ( x)与y =a有3个不同的交点，即f ( x)=a有3个不同的根.
a的取值范围为(2,3].
故选：B.
【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数f (x)={
−x (x +3)
2,(x ≤0)
|ln x),(x>0) )，f (x)=k有5 个不相等的实数
根，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，则
x1 x2 x3
x4 x5
的取值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(−2,0)
D．(−4,0)
【答案】D
【解题思路】利用导数可得函数在(−∞,0]上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得0<k <4，再
由对数函数的性质可得x4 x5=1，结合x1，x2，x3是方程x
3+6 x
2+9 x + k =0的三个根，可得x1 x2 x3=−k
，即可求得答案．
【解答过程】因为当x ≤0时，f ( x)=−x( x +3)
2=−x
3−6 x
2−9 x，
所以f
′( x)=−3 x
2−12 x −9=−3( x +3)( x +1)，
所以当x∈(−∞,−3)时，f
′( x)<0，f ( x)单调递减；
当x∈(−3,−1)时，f
′( x)>0，f ( x)单调递增；
当x∈(−1,0)时，f
′( x)<0，f ( x)单调递减；
所以f ( x)极小值= f (−3)=0，所以f ( x)极大值= f (−1)= 4，
当x>0时，f ( x)=|ln x|={
−ln x ,0< x<1
ln x , x ≥1
)，
所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,+ ∞)上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得0<k <4，
当x ≤0时，令−x( x +3)
2= 4，解得x =−4或x =−1，
所以−4< x1<−3< x2<−1< x3<0< x4<1< x5<e
4，
又因为|ln x4|=|ln x5|，
所以ln x4+ln x5=ln x4 x5=0，
所以x4 x5=1；
由题意可得x1，x2，x3是方程k =−x
3−6 x
2−9 x，即x
3+6 x
2+9 x + k =0的三个根，
所以x
3+6 x
2+9 x −k =( x −x1)( x −x2)( x −x3)，
即x
3+6 x
2+9 x + k = x
3−( x1+ x2+ x3)x
2+( x1 x2+ x1 x3+ x2 x3)x −x1 x2 x3，
所以k =−x1 x2 x3，
即x1 x2 x3=−k ∈(−4,0)，
所以
x1 x2 x3
x4 x5
= x1 x2 x3=−k ∈(−4,0)．
故选：D．
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y =cos x与y =lg|x)的图象的交点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【解答过程】函数y =cos x与y =lg|x)都是偶函数，其中cos2π=cos 4π=1，
lg 4π>lg10=1>lg2π，
在同一坐标系中，作出函数y =cos x与y =lg|x)的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D.
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.
【解答过程】由已知，f (x)定义域为(−2,2)，且f (−x)= f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，
故f (x)图象关于y轴对称，
又f (0)=0，排除B，D 选项；
当x→2时，f (x)>0，排除C，故A 正确．
故选：A．
3．（2025·全国·模拟预测）函数y = f (x)的图象如图1 所示，则如图2 所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）
A．y = f(1−1
2 x)
B．y =−f(1−1
2 x)
C．y = f (4−2 x)
D．y =−f (4−2 x)
【答案】B
【解题思路】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解．
【解答过程】函数y = f ( x)的图象如图①关于y轴对称可得y = f (−x)，
再将y = f (−x)的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2 倍得y = f (−1
2 x)，
再将y = f (−1
2 x)的图象向右平移2 个单位得y = f [−1
2 ( x−2)]= f (1−1
2 x)，即得
再将f (1−1
2 x)的图象沿x轴翻折可得−f (1−1
2 x)，即得图2．
故选：B．
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数y = f (x)的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A．f (x)=
1
|x−1)
B．f (x)=
1
x
2+1
C．f (x)=
1
||x)−1)
D．f (x)=
1
x
2−1
【答案】C
【解题思路】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案.
【解答过程】f (x)=
1
|x−1)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，不符合函数图像，A 不满足；
f (x)=
1
x
2+1的定义域为R，不符合函数图像，B 不满足；
f (x)=
1
x
2−1，f (0)=
1
0−1 =−1，不符合函数图像，D 不满足.
故选：C.
5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线y = f (x)的部分图象如
图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=
4
|x)+2
B．f (x)=−
8
x
2+ 4
C．f (x)=−x
4−2
D．f (x)=−
2
x
3+1
【答案】B
【解题思路】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
【解答过程】f (0)=
4
|0)+2 =2>0，排除A.
f (x)=−
2
x
3+1既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
f (x)=−x
4−2在[0,+ ∞)上单调递减，排除C.
f (x)=−
8
x
2+ 4 的图象符合题中图象，B 正确.
故选：B.
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
x
2f (x)>3 f (x)的解集为（ ）
A．(−❑√3,0)∪(❑√3,2)
B．(−2,−❑√3)∪(0,❑√3)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(−❑√3，0)∪(❑√3，2)
D．(−2,−❑√3)∪(❑√3,2)
【答案】D
【解题思路】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成{
x
2−3>0，
f (x)>0, )或{
x
2−3<0,
f (x)<0,)
【解答过程】根据偶函数的图象特征，
可知当x∈(−2,0)∪(0,2)时，f (x)>0，当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f (x)<0
由x
2f (x)>3 f (x)，得(x
2−3)f (x)>0，
等价于{
x
2−3>0，
f (x)>0, )或{
x
2−3<0,
f (x)<0,)
解得❑√3< x<2，或−2< x<−❑√3．
所以不等式解集为：(−2,−❑√3)∪(❑√3,2)
故选：D.
7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A →B→C的方向运动，
当点M到达点C时停止运动．过点M作MN ⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x ,CN = y，图②表
示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．20
B．18
C．10
D．9
【答案】A
【解题思路】设AB =m，则BC =9−m，由正切值tan∠MAB = tan∠NMC ⇒BM
AB = CN
CM ，代入数值后
得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出m，最后求出面积即可.
【解答过程】由图②可知，AB+ BC =9，设AB =m，则BC =9−m，
如图，当点M在BC上时，
则AB =m,BM = x−m, MC =9−x , NC = y，
因为MN ⊥AM ⇒∠MAB =∠NMC，所以tan ∠MAB = tan ∠NMC ⇒BM
AB = CN
CM ，
即x−m
m
=
y
9−x ，化简为y =−1
m x
2+ 9+m
m
x−9，
当x = 9+m
2
时，代入上式并结合图②可得y =−9+(
9+m
m )
2
4
m
= 4
5
，
解得m=5或m= 81
5 （舍去），所以AM =5,BC = 4，
所以矩形ABCD的面积是20，
故选：A.
8．（2025·河北·二模）已知函数g(x)=a x
2+bx +a−b，其中a,b为常数，若函数f (x)= a
b−x的图象如图
所示，则（ ）
A．g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B．g(x)的图象的对称轴在y轴左侧
C．关于x的方程g(x)=1有两个不等实根
D．g(x)在区间(1,+∞)上单调递增
【答案】D
【解题思路】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检
验即得.
【解答过程】因f (x)=a
b−x =(
1
a)
x−b
，函数f ( x)的图象在R上为减函数，则0< 1
a <1，即得a>1，又图象经
过点(−1,1)，即f (−1)=( 1
a )
b+1
=1，故得b+1=0，解得b=−1，
于是，g(x)=a x
2−x +a+1，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为(
1
2a , 4 a
2+ 4 a−1
4 a
)，
对于A，因函数y = 4 a
2+ 4 a−1
4 a
=a−1
4 a +1在(1,+∞)上单调递增，
则a−1
4 a +1>1−1
4 +1= 7
4 >0，即g(x)的图象与x轴没有交点，
又g(x)的图象与y轴有唯一交点，即g(x)的图象与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，关于x的方程g(x)=1的实根个数，等于直线y =1与曲线g(x)的交点个数，
由A 项，因4 a
2+ 4 a−1
4 a
> 7
4 >1，则直线y =1与曲线g(x)的交点个数为0，故C 错误；
对于B，g(x)的图象的对称轴是直线x = 1
2a ∈(0, 1
2)，在y轴右侧，故B 错误；
对于D，因g(x)的图象对称轴：x = 1
2a ∈(0, 1
2)，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，故D 正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数y =e
x的图象的有（ ）
A．y =e
x +1
B．y =e
x−2
C．y =e
2 x
D．y =e
x
2
【答案】ABD
【解题思路】利用函数图象变换依次判断可得出结论.
【解答过程】对于A，函数y =e
x +1的图象向右平移1 个单位长度可得到函数y =e
x的图象，故A 正确；
对于B，函数y =e
x−2的图象向上平移2 个单位长度可得到函数y =e
x的图象，故B 正确；
对于C，函数y =e
2 x的图象上点的横坐标伸长为原来的2 倍可得到函数y =e
x的图象，故C 错误；
对于D，函数y =e
x
2 =e
x
e
ln2 =e
x−ln2，其图象向左平移ln 2个单位长度可得到函数y =e
x的图象，故D 正确．
故选：ABD.
10．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数f (x)= ax +b
( x +c)
2（其中a,b,c∈{−1,0,1)）的图
象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解题思路】根据题意，结合各选项中函数的定义域及函数图象与y轴的交点，可得答案．
【解答过程】A 选项中的图象关于y 轴对称，是常函数但是f (x)= ax +b
( x +c)
2不能是常函数，A 选项错误；
B 选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为{x|x≠0)))，可得c =0,b=0,a=−1，函数f (x)=−1
x
满足题意，B 选项正确；
C 选项中的图象，由定义域得c =1，由图象在y 轴截距为正得b=1，当a=0时，f (x)=
1
( x +1)
2符合条件，
C 选项正确；
D 选项中的图象，由定义域得c =−1，由图象在y 轴截距为零得b=0，当a=1时，f (x)=
x
( x−1)
2符合条
件，D 选项正确；
故选：BCD.
11．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）函数f ( x)= ax +b
( x +c)
2的图象如图所示，则（ ）
A．a>0
B．b<0
C．c>0
D．abc<0
【答案】AB
【解题思路】由函数的定义域可判断c的符号，分别令x =0, y =0可判断a,b的符号.
【解答过程】函数的定义域为{x∣x≠−c }，
由图可知−c>0，则c<0，
由图可知f (0)= b
c
2 <0，所以b<0，
由f ( x)=0，得ax +b=0, x =−b
a，
由图可知−b
a >0，得b
a <0，所以a>0，
综上，a>0,b<0,c<0．
故选：AB.
三、填空题
12．（2025·全国·模拟预测）把函数f (x)=8
x的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的
函数解析式是y =
．
【答案】2
x
【解题思路】利用指数函数图像平移的性质求解即可.
【解答过程】因为f (x)=8
x，所以f (x)=2
3 x，且设新函数为g(x
′)，
因为把函数f (x)=8
x的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，
所有x
′ =3 x，故新函数为g(x
′)=2
x
′
，即y =2
x.
故答案为：2
x.
13．（24-25 高一上·北京海淀·期末）已知f ( x)是定义在[ −4 , 4 ]上的奇函数，当x∈( 0 , 4 ]时，f ( x)
的图象如图所示，则不等式x f ( x)≤0的解集为 .
【答案】[−1,1]
【解题思路】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式.
【解答过程】观察图象知，奇函数f ( x)在( 0 , 4 ]上单调递增，则在[−4,0)上单调递增，且
f (−1)=−f (1)=0，
不等式x f ( x)≤0，当x =0时，不等式成立；
当x>0时，f ( x)≤0= f (1)，解得0< x ≤1；
当x<0时，f ( x)≥0= f (−1)，解得−1≤x<0，
所以不等式x f ( x)≤0的解集为[−1,1].
故答案为：[−1,1].
14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数f ( x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1,1)，则不等
式f ( x)≥log2( x +1)的解集是 ．
【答案】(−1,1)
【解题思路】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.
【解答过程】根据题意有：f (x)={
2−x ,0≤x ≤2
2 x +2,−1≤x<0)，
在同一坐标中作出函数f (x)与y = log2(x +1)的图象:
当x =1时，y = log2(1+1)= log22=1，所以f (x)与y = log2(x +1)的交点为(1，1)，
由图可有f ( x)≥log2( x +1)的解集为：(−1,1).
故答案为：(−1,1).
四、解答题
15．（24-25 高一上·山西晋中·期中）已知函数f (x)={
2
x , x<0
−x ,0≤x<2
1
2 x−3, x ≥2)
.
(1)求f (0),f (f (2))；
(2)若f (m)=−1，求m的值；
(3)画出平面直角坐标系，作出函数f (x)的图象.
【答案】(1)0；−1
(2)−2或1或4
(3)图像见解析
【解题思路】（1）由函数解析式即可求解；
（2）由解析式分类讨论求解即可；
（3）由解析式即可直接作图；
【解答过程】（1）f (0)=0，
f (f (2))= f (−2)=−1
（2）f (m)=−1，f (x)={
2
x , x<0
−x ,0≤x<2
1
2 x−3, x ≥2)
当m<0时，f (m)= 2
m =−1，解得：m=−2；
当0≤m<2时，f (m)=−m=−1，解得：m=1；
当m≥2时，f (m)= 1
2 m−3=−1，解得：m= 4；
综上m的值为：−2或1或4
（3）
16．（24-25 高一上·全国·课前预习）给定函数f ( x)= x +1，g( x)=( x +1)
2，x∈R．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f ( x)，g( x)的图象；
(2)∀x∈R，用M ( x)表示f ( x)，g( x)中的较大者，记为M ( x)=max {f ( x), g( x)}．请分别用图象法
和解析法表示函数M ( x)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解题思路】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可；
（2）根据题意可得M ( x)的图象，再结合图象求解即可.
【解答过程】（1）同一直角坐标系中函数f ( x)，g( x)的图象如下：
（2）结合M ( x)的定义，可得函数M ( x)的图象：
由( x +1)
2= x +1，得x( x +1)=0，解得x =1，或x =0．
由图易知M ( x)的解析式为M (x)={
(x +1)
2, x ≤−1
x +1,−1< x ≤0
(x +1)
2, x>0 )
.
17．（2025 高三·全国·专题练习）如图，动点P 从边长为4 的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C，D，
A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y = f ( x)的解析式并画出y = f ( x)的图
象.
【答案】f (x)={
2 x ,0≤x ≤4
8,4< x ≤8
24−2 x ,8< x ≤12)，作图见解析
【解题思路】由题意，分析P点在正方形不同的边上运动时三角形的面积即可写出分段函数得解.
【解答过程】当点P 在BC上运动，即0≤x ≤4时，y = 1
2 ×4× x =2 x；
当点P 在CD上运动，即4< x ≤8时，y = 1
2 ×4×4 =8；
当点P 在DA上运动，即8< x ≤12时，y = 1
2 ×4×(12−x)=24−2 x.
综上可知，f (x)={
2 x ,0≤x ≤4
8,4< x ≤8
24−2 x ,8< x ≤12)，
画出图象如下图所示：
18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数y = F (x)的图象，由指数函数f (x)=a
x与幂函数g(x)= x
b“拼
接”而成．
(1)已知(m+ 4)
−b<(3−2m)
−b，求m的取值范围；
(2)若方程F (x−2025)−t
2−1
2 t =0存在实数解，求t的取值范围．
【答案】(1)(−1
3 , 3
2)
(2)(−∞,−1)∪[
1
2 ,+ ∞)
【解题思路】（1）将点(
1
4 , 1
2)的坐标分别代入函数f (x)=a
x、g(x)= x
b的解析式，求出a、b的值，可得
出函数F (x)的解析式，然后利用函数y = x
−1
2的定义域、单调性结合(m+ 4)
−b<(3−2m)
−b可得出关于m的
不等式组，由此可求得实数m的取值范围；
（2）分析可知t
2+ 1
2 t的取值范围即为函数F (x−2025)的值域，可得出关于t的不等式，即可解得实数t的
取值范围.
【解答过程】（1）由题意可得{
a
1
4 = 1
2
(
1
4)
b
= 1
2)
，解得{
a= 1
16
b= 1
2)
，故F (x)={
(
1
16)
x
, x ≤1
4
x
1
2 , x> 1
4 )
.
因为函数y = x
−b= x
−1
2在(0,+ ∞)上严格减，
由(m+ 4)
−1
2 <(3−2m)
−1
2可得{
m+ 4>3−2m
3−2m>0 )，解得−1
3 <m< 3
2，
因此，实数m的取值范围是(−1
3 , 3
2).
（2）因为方程F (x−2025)−t
2−1
2 t =0存在实数解，即方程F (x−2025)=t
2+ 1
2 t存在实数解，
则t
2+ 1
2 t的取值范围即为函数F (x−2025)的值域，
由题图可知，函数F (x)的值域为[
1
2 ,+ ∞)，故函数F (x−2025)的值域为[
1
2 ,+∞)，
所以t
2+ 1
2 t ≥1
2，即2t
2+t −1≥0，解得t ≤−1或t ≥1
2，
因此，实数t的取值范围是(−∞,−1)∪[
1
2 ,+∞).
19．（24-25 高一上·四川成都·期末）已知函数y = f (x)(x ≥0)的图象由曲线段OA：y = loga(x +b)（其中
a>0，且a≠1）和射线AB 构成，如图所示．
(1)求y = f (x)的解析式；
(2)在同一坐标系中，作出函数y = 2
x
(x>0)的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程x⋅f (x)=2的实根
个数，再从“数”的角度加以严格验证．
【答案】(1)f (x)={
log2(x +1),0≤x<3
5−x , x ≥3
)
(2)答案见解析
【解题思路】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式；
（2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确
定各区间零点个数，即可得答案.
【解答过程】（1）在曲线段OA 中，由{
f (0)= logab=0
f (3)= loga(3+b)=2)，即{
b=a
0
a
2=3+b)
又a>0，且a≠1，解得{
a=2
b=1)
设射线AB：f (x)=kx +m(x ≥3)．由{
f (3)=3k +m=2
f (5)=5k +m=0)，解得{
k =−1
m=5 )
故所求解析式为f (x)={
log2(x +1),0≤x<3
5−x , x ≥3
).
（2）函数y = 2
x
(x>0)的大致图象如图
从“形”的角度直观判断：
因为函数y = f (x)与y = 2
x
(x>0)的图象有且仅有两个交点，
所以方程f (x)= 2
x ，即x⋅f (x)=2(x>0)有且仅有2个不等实根．
从“数”的角度严格论证如下：
显然x≠0，只考虑x>0的情形．
①当x∈(0,3)时，函数g(x)= f (x)−2
x = log2(x +1)−2
x 在(0,3)上单调递增．
而且g(1)=1−2=−1<0，g(2)= log23−1>0，所以g(x)在(0,3)有且仅有一个零点．
所以方程f (x)= 2
x ，即x·f (x)=2在(0,3)有且仅有1个实根．
②当x∈[3,+ ∞)时，由x·f (x)=2，得x (5−x)=2，即x
2−5 x +2=0．
解得x = 5+ ❑√17
2
，或x = 5−❑√17
2
（舍去）．
所以方程x⋅f (x)=2(x>0)在[3,+ ∞)有且仅有1个实根．
（或解：因为函数ℎ(x)= x
2−5 x +2在[3,+ ∞)上单调递增．
且ℎ(4)=−2<0，ℎ(5)=2>0，所以ℎ(x)在[3,+ ∞)有且仅有一个零点x0∈(4,5)．
综上所述，方程x⋅f (x)=2有且仅有2个不等实根．
