专题2.4 指数与指数函数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 指数幂的运算】..........................................................................................................................................2
【题型2 指数幂的化简、求值】..............................................................................................................................3
【题型3 指数函数的判定与求值】..........................................................................................................................3
【题型4 指数（型）函数的图象问题】..................................................................................................................4
【题型5 比较指数幂的大小】..................................................................................................................................5
【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】.........................................................................................................5
【题型7 指数（型）函数的单调性问题】..............................................................................................................6
【题型8 指数（型）函数的综合问题】..................................................................................................................6
1、指数与指数函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解根式的概念及性
质，了解分数指数幂的含
义，掌握指数幂的运算性
质
(2)熟练掌握指数函数的图
象与性质
2023 年新课标I 卷：第4 题，5
分
2024 年天津卷：第2 题，5
分、第5 题，5 分
2025 年北京卷：第4 题，4 分
2025 年天津卷：第7 题，5 分
2025 年上海卷：第14 题，4 分
指数函数是常见的重要函数，指
数与指数函数是高考常考的热点内容，
从近几年的高考情况来看，指数函数的
考查，主要以基本函数的性质为依托，
结合指、对数运算性质，运用幂函数与
指、对数函数的图象与性质解决具体的
问题，包括比较指对幂的大小、解不等
式等题型，主要以单选题的形式考察，
难度不大.
知识点
1
指数运算的解题策略
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
必须同底
①
数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
知识点
2
指数函数的常见问题及解题思路
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“ 0 或
1”
等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单
调区间、最值等问题时，都要借助
同增异减
这一性质分析判断
“
”
.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数x，y满足2
x⋅4
y = 4
xy，则2 x + y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．9
C．9
2
D．13
【变式1-1】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的
五分记录法
是我国独创的视力
“
”
记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的
1
10√10
，若视力4.0 的视标边长约为10cm，则视力4.9 的视标边长约为（ ）
A．10√10
B．
10√10
8
C．1
10√10
D．
1
10√10
8
【变式1-2】（2025·浙江杭州·二模）定义
真指数
“
”e+
x ={
1, x<0,
e
x , x ≥0)
（e为自然对数的底数），则（ ）
A．e+
x1+ x2=e+
x1⋅e+
x2B．e+
x1−x2=e+
x1
e+
x2
C．e+
x1+e+
x2≥2e+
x1+ x2
2
D．e+
x1 x2≤(e+
x1)
x2
【变式1-3】（2025·江苏镇江·三模）自“ChatGPT
横空出世，全球科技企业掀起一场研发
”
AI大模型的热
潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工
业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2 种用作
神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanh x =e
x−e
−x
e
x+e
−x ，经过某次测试得知tanh x0= 4
5 ，则当把变
量减半时，tanh x0
2 =（ ）
A．1
2
B．1
3
C．2
5
D．2
3
【题型2 指数幂的化简、求值】
【例2】（2025·河南新乡·二模）(
8
2
❑√5)
3+ ❑√5
=（ ）
A．16
B．8 ❑√2
C．32
D．16 ❑√2
【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）若a
−1−a
1= 4， 则a
−2+a
2的值为（ ）
A．8
B．16
C．2
D．18
【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）(
3
❑√3
9 )
2+ ❑√3
=（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．❑√3
D．3
【变式2-3】（24-25 高一上·吉林长春·期中）已知10
m=2，10
n=3，则10
3m−2n
2
=
（ ）
A．−1
2
B．4
9
C．
❑√2
2
D．2❑√2
3
【题型3 指数函数的判定与求值】
【例3】（2025·四川成都·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f ( x)=2
x−3，则
f (−2)=（ ）
A．1
B．1
4
C．-1
D．−11
4
【变式3-1】（2025·贵州·三模）已知函数f (x)={
x +2, x ≤0
2
x , x>0 )
，则f (f (−1))=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式3-2】（2025·江西·二模）已知函数f (x)={
4
x , x ≥0
2
a−x , x<0)
，若f (1−a)= 4，则a的值为（ ）
A．0 或3
2
B．0 或1
2
C．1
2
D．3
2
【变式3-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (−x−2)= f (x)，当
x∈[0,1)时，f (x)=e
x+a，则f(
23
2 )=（ ）
A．❑√e−1
B．−❑√e−1
C．❑√e+1
D．−❑√e+1
【题型4 指数（型）函数的图象问题】
【例4】（2025·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
A．f (x)=e
x+1
e
x−1
B．f (x)=e
x−1
e
x+1
C．f (x)=
x
2
3√x
4−1
D．f (x)=
x
3√x
4−1
【变式4-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数f (x)= 1
|x) −e|x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·北京·高考真题）为了得到函数y =9
x的图象，只需把函数y =3
x的图象上所有点的
（ ）
A．横坐标变为原来的1
2
倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的1
3
倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
【变式4-3】（2025·山东青岛·二模）已知函数f (x)= x，g(x)=2
x+2
−x，则大致图象如图的函数可能是
（ ）
A．f (x)+ g(x)
B．f (x)−g(x)
C．f (x)g(x)
D．f (x)
g(x)
【题型5 比较指数幂的大小】
【例5】（2025·甘肃白银·二模）已知0<a<1<b，则（ ）
A．b
a<a
b<a
a<b
b
B．a
b<a
a<b
a<b
b
C．b
b<a
b<a
a<b
a
D．a
b<b
a<a
a<b
b
【变式5-1】（2025·天津北辰·三模）设a=(
2
3)
1
2 ,b=2
sinπ
6 ,c =3
−1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c<b<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<a<b
【变式5-2】（2025·甘肃白银·二模）已知2025
m=2024 , x =2024
m−2023, y =2026
m−2025，则（ ）
A．y < x<0
B．0< x< y
C．y <0< x
D．x<0< y
【变式5-3】（2025·广东广州·一模）已知实数a，b满足3
a= 4
b，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．b<a<0
B．2b<a<0
C．0<a<b
D．0<2b<a
【题型6 利用指数函数的单调性解不等式】
【例6】（2025·河南·三模）若f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)=2
x−4，则不等式f ( x)≥0
的解集为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,0]∪[2,+∞)
C．[−2,0)∪[2,+∞)
D．(−∞,−2]∪[2,+ ∞)
【变式6-1】（2025·上海·高考真题）设a>0,s∈R．下列各项中，能推出a
s>a的一项是（ ）
A．a>1，且s>0
B．a>1，且s<0
C．0<a<1，且s>0
D．0<a<1，且s<0
【变式6-2】（2025·山东聊城·三模）集合A ={x|(
1
2)
x
≥2))
，B ={x∣−2< x<3}，则A ∩B =（ ）
A．{x∣x ≥−1)
B．{x∣−2< x ≤−1}
C．{x∣x<3}
D．{x∣−1≤x<3}
【变式6-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数f ( x)={
2
x+ x + 1
2 , x<0,
1−2
x+
2
x +1 , x ≥0,)
则不等式f (x−1)<0的解集为
（ ）
A．(−2,0)
B．(−∞,−2)∪(0,+∞)
C．(0,2) D．(−∞,0)∪(2,+∞)
【题型7 指数（型）函数的单调性问题】
【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知ln a
2−ln a=1，则函数f ( x)=a
x
2−2 x的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,1)
C．[0,+ ∞)
D．[1,+∞)
【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数f (x)=(
1
2)
x
2−ax在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是
（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤1
D．a≥1
【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+ ∞)上单调，则a的取值范围是
（ ）
A．[−2,+∞)
B．[−1,+∞)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−1)
【变式7-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知函数f (x)=e
x
1+ λe
2 x ，则（ ）
A．当λ =1时，f (x)是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增
B．当λ =1时，f (x)是奇函数，且在区间(0,1)上单调递减
C．当λ =−1时，f (x)是偶函数，且在区间(0,1)上单调递减
D．当λ =−1时，f (x)是奇函数，且在区间(0,1)上单调递增
【题型8 指数（型）函数的综合问题】
【例8】（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数f ( x)=−
1
4
x+1
+2 x
3+ 3
2，若对任意x∈[−2,2]，都有
f ( x +1)+ f (a−x
2)>2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a< 4
5 }
B．{a∣a<5}
C．{a|0<a< 4
5 }
D．{a∣a>5)
【变式8-1】（2025·江西·二模）已知函数f (x)=2025
x−2025
−x，若关于x的不等式
f (−x−1)+ f (a ❑√x)<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,−2)
C．(2,+∞)
D．(−2,2)
【变式8-2】（2025·安徽安庆·二模）函数f (x)=a⋅2−|x)+b的图象经过原点，且无限接近直线y =2但又不
与该直线相交，则（ ）
A．函数f (x)不具有奇偶性
B．a=2
C．函数f (x)的值域为(−∞,2)
D．函数f (x)的单调递增区间为[0,+ ∞)
【变式8-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为cosh x =e
x+e
−x
2
，定义双曲正弦
函数的表达式为sinh x =e
x−e
−x
2
.设函数f (x)= sinh x
cosh x ，若实数a满足不等式f (a
2)+ f (2a−3)<0，则a的
取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．(−3,1)
C．(−∞,−3)∪(1,+∞)
D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
一、单选题
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知m，n∈R，则“mn<0
是
”
“e
m
|m) ⋅e
|n)
n =1
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
3．（2025·四川泸州·模拟预测）已知f (x)= a−2
x
2
x +1−2
是奇函数，则a=（ ）
A．2
B．−2
C．1
D．−1
4．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数a,b满足e
ae
2b−1=1，则ab的最大值为（ ）
A．1
16
B．1
2
C．1
4
D．1
8
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数f (x)=5
| x−a|在(1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．[1,+ ∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,1)
6．（2025·河南·三模）函数f (x)=(2
−x−2
x)|x)
x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
3
x+1
−x
3+2，则不等式f (m
2)+ f (m−2)<6的解集为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−∞,−1)∪(2,+∞)
C．(−2,−1)
D．(−∞,−2)∪(1,+∞)
8．（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= 1
2 (e
x+e
−x)，若对任意的x1, x2∈R，满足
f (x1)<f (x2)<f (x1+ x2)，则恒有（ ）
A．x1+ x2>0
B．x1−x2>0
C．x1−x2<0
D．x1⋅x2>0
二、多选题
9．（24-25 高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（ ）
A．a
3⋅a
4=a
7
B．(−a
2)
3=a
6
C．8√a
8=a
D．5√(−π)
5=−π
10．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数y =e
x的图象的有（ ）
A．y =e
x +1
B．y =e
x−2
C．y =e
2 x
D．y =e
x
2
11．（2025·广东茂名·一模）已知函数f (x)= 2
x +1
2
x+a
，则（ ）
A．当a>0时，f (x)是增函数
B．当a<0时，f (x)的值域为(2,+ ∞)
C．当a=1时，曲线y = f (x)关于点(0,1)对称
D．当a= 4时，∀x∈R ,f (kx +1)+ f (2−x
2)<2，则−2<k <2
三、填空题
12．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 3
x =2,4
y =3 ，则 xy =
.
13．（2025·浙江·三模）已知函数f (x)={
e
x−a, x>0,
be
−x−2, x<0)
，为奇函数，则a+b= ．
14．（2025·广西·模拟预测）若函数f ( x)={
(2−a)x +1, x<2
a
x−1, x ≥2 )
，在R上是增函数，则实数a的取值范围是
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题：
(1)化简：6a
5
3 b
4
3 ÷(−3
5 a
−1
3 b
1
3)
；
(2)若x + x
−1=9，求下列各式的值：
①x
2+ x
−2；②x
1
2 + x
−1
2
16．（24-25 高一上·广东广州·期中）计算或化简．
(1)化简：
❑√ab⋅
3√ab
3√ab ❑√ab
+
4√(a−b)
4+
3√(a−b)
3(0<a<b)；
(2)计算：(
25
9 )
1
2 +0.1
−2+(
64
27)
1
3 −3π
0；
(3)已知x
1
2 + x
−1
2 =3
，求x
3
2 + x
−3
2 +2
x
2+ x
−2+3
的值．
17．（2025·上海黄浦·二模）已知f (x)=2
x．
(1)若f (x)−f (2−x)=3，求x的值；
(2)是否存在实数a，使函数y = f (x)+af (−x)是奇函数？请说明理由．
18．（2024·山西·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上的偶函数，当x ≥0时，f ( x)=a⋅3
x−3
−x，且
f (−1)= 8
3
.
(1)求a的值，并求出f ( x)的解析式；
(2)若λf ( x)−9
x−9
−x−14≤0在x∈(0,+ ∞)上恒成立，求λ的取值范围.
19．（24-25 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数f (x)=a⋅2
x−2
−x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值，并证明：f (x)在R上单调递增；
(2)求不等式f (3 x
2−5 x)+ f (x −4)>0的解集；
(3)若g(x)= 4
x+ 4
−x−2mf (x)在区间[−1,+∞)上的最小值为−2，求m的值.
