专题2.1 函数的概念（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 函数的概念】..............................................................................................................................................2
【题型2 同一函数的判断】......................................................................................................................................3
【题型3 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................4
【题型4 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................4
【题型5 函数值域的求解】......................................................................................................................................5
【题型6 已知函数定义域、值域求参数】..............................................................................................................5
【题型7 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................6
【题型8 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................6
【题型9 分段函数及其应用】..................................................................................................................................7
1、函数的概念
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解函数的含义，会求
简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择
恰当的方法(图象法、列
表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，
并会应用
2022 年浙江卷：第14 题，5
分
2023 年北京卷：第11 题，5
分
2025 年北京卷：第7 题，4 分
函数的解析式与定义域、值域问题是高
考数学的重要内容.从近几年的高考情
况来看，高考对函数的概念考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均变
化不大，函数的解析式在高考中较少单
独考查，多在解答题中出现.预计明年
高考对本节的考查不会有大的变化，仍
将以分段函数、定义域、值域为主，主
要在选择题中考查.
知识点
1
函数的定义域、值域的求法
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子
( 运算
) 有意义
为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤ g ( x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点
2
函数解析式的四种求法
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
知识点
3
分段函数的应用
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即
分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y = f (x)图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
【变式1-1】（24-25 高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．A =R ,B = {y ∣y ≥0),f : x→y = ❑√xB．A =R ,B = {y ∣y >0),f : x→y =| x|
C．A = {x∣x ≥0),B =R ,f : x→y
2= x
D．A =R ,B = {1),f : x→y =1
【变式1-3】（24-25 高一上·黑龙江大庆·期中）若函数y = f ( x) 的定义域为M ＝{x|−2≤x ≤2} ，值域
为N ＝{y |0≤y ≤2) ，则函数y = f ( x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f ( x)= x( x
2+1)
x
2+1
，g( x)= x
B．f ( x)= x，g( x)=
❑√x
2
C．f ( x)=1，g( x)= x
∘
D．f ( x)= x，g( x)= x
2
x
【变式2-1】（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．f ( x)=1, g( x)= x
0
B．f ( x)=
3√x
3,g( x)=(
3√x)
3
C．f ( x)= x +1,g( x)= x
2−1
x−1
D．f ( x)=
❑√x
2, g( x)=(❑√x)
2
【变式2-2】（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：
①f (x)= x
2
x , g(x)=
❑√x
2；②
f (x)= x
3+ x
x
2+1
,g(x)=(
3√x)
3；③f (x)= x
2−2 x +1,g(t )=(t −1)
2； ④f (x)=1,g(x)=( x +1)
0；其中表示同
一函数的是（ ）
A．②④
B．②③
C．①③
D．③④
【变式2-3】（24-25 高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= 1
x , g(x)=
1
(❑√x)
2
B．f (x)=|x),g(x)={
x , x ≥0
−x , x<0)
C．f ( x)=1,g( x)= x
0
D．f ( x)= x
2,g( x)=( x +1)
2
【题型3 具体函数的定义域的求解】
【例3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数y = ❑√x + ❑√1−x的定义域是（ ）
A．(0,1)
B．[0,1)
C．[0,+ ∞)
D．{0,1)
【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为[0,4)，则函数
y = f ( x +1)
❑√x−1 +( x−2)
0的定义域是（ ）
A．(1,5)
B．(1,2)∪(2,5)
C．(1,2)∪(2,3)
D．(1,3)
【变式3-2】（2025·海南·模拟预测）函数f ( x )= ❑√2−x +1
x
1
−
的定义域为( )
A．(
∞,1
−
)
B．(1,2)
C．(
∞,2
−
)
D．(
∞,1
−
)∪(1,2)
【变式3-3】（24-25 高一下·浙江金华·阶段练习）函数f (x)= x
0+ ❑√(x + 4)(1−x)的定义域是（ ）
A．(−∞,−4)∪[2,+ ∞)
B．(−4,0)∪(0,1)
C．[−4,0)∪(0,1)
D．[−4,0)∪(0,1)
【题型4 抽象函数的定义域的求解】
【例4】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数y = f (2 x)的定义域为[−2,4)，则y = f (x)−f (−x)的定义域为
（ ）
A．[−2,2)
B．[−2,4)
C．[−4,4)
D．[−8,8)
【变式4-1】（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数f (x)的定义域为(−1,1)，则函数g(x)= f (x−1)
❑√x−1
的定义域为（ ）
A．(−1,1)
B．{1)
C．(1,3)
D．(1,2)
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为[−1,5)，则函数y = f (2 x
2−1)的定
义域为（ ）
A．[0,3)
B．[−3.3)
C．[−❑√3,❑√3]
D．[−3,0)
【变式4-3】（24-25 高一上·云南楚雄·期末）已知函数f (x)的定义域为(−1,2)，则函数g(x)= f (x−1)
❑√x−1
的定
义域为（ ）
A．(−1,1)
B．{1)
C．(1,3)
D．(−1,3)
【题型5 函数值域的求解】
【例5】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数f (x)=
4 x
2
2 x
2+1
，则对任意实数x，函数f (x)的值域是（ ）
A．(0,2)
B．(0,2)
C．[0,2)
D．[0,2)
【变式5-1】（24-25 高一上·辽宁朝阳·期末）函数f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞,−5
2)
B．(−∞,−7
4)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−15
8 )
【变式5-2】（24-25 高一上·北京·期中）下列函数中，值域为[0,4)的是（ ）
A．f (x)= x−1，x∈{1,2,3,4,5)
B．f (x)=−x
2+ 4
C．f (x)=
❑√16−x
2
D．f (x)= x + 1
x −2(x>0)
【变式5-3】（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R
是
对任意
”
“
M ∈R，存在x0∈D，使得|f (x0))> M
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【题型6 已知函数定义域、值域求参数】
【例6】（24-25 高一上·江苏常州·期中）若函数f (x)=
1
❑√k x
2+kx +1
的定义域为R，则实数k 的取值范围
是（ ）
A．(0,4)
B．(0,4 ]
C．[0,4)
D．k <0或k >4
【变式6-1】（25-26 高一上·全国·课后作业）函数y =
3 x
k x
2+2kx +1
的定义域为R，则实数k的取值范围为
（ ）
A．(−∞,0)∪(1,+ ∞) B．(−∞,0)∪[1,+∞) C．(0,1) D．
[0,1)
【变式6-2】（24-25 高一上·北京·阶段练习）已知函数f (x)=|x
2−4 x +3)在[m,n)上的值域为[0,1)，则
n−m的取值范围是（ ）
A．[1,2)
B．[❑√2−1,2)
C．[1,2❑√2)
D．[❑√2−1,2❑√2)
【变式6-3】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）已知函数f (x)=
1
(a−1) x
2+(a−1) x +2
的定义域是R，则a的
取值范围是（ ）
A．(1,9)
B．(1,8)
C．[1,9)
D．[1,8)
【题型7 已知函数类型求解析式】
【例7】（24-25 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x，则
f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【变式7-1】（24-25 高一上·天津·期中）已知函数f (x)=kx +b为一次函数，且f (2)=−1,f (4)=3，则
f (−1)=（ ）
A．3
B．−3
C．−7
D．7
【变式7-2】（23-24 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f ( x)是一次函数，且f [ f ( x)−2 x ]=3，则
f (5)=（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【变式7-3】（24-25 高一上·全国·课后作业）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)=−3 x
2+6 x
B．f (x)=−2 x
2+ 4 x
C．f (x)=3 x
2−6 x
D．f (x)=2 x
2−4 x
【题型8 已知f(g(x))求解析式】
【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【变式8-1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知f (x−1)=e
x，则f (2)=（ ）
A．e
B．2e
C．e
2
D．e
3
【变式8-2】（24-25 高一上·湖南衡阳·期中）函数f (x)满足若f (g(x))=9 x +3，g(x)=3 x +1，则f (x)=
（ ）
A．f (x)=3 x
B．f (x)=3
C．f (x)=27 x +10
D．f (x)=27 x +12
【变式8-3】（24-25 高一上·浙江·期中）已知函数f (❑√x−2)= x−4 ❑√x +5，则f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)= x
2+1( x ≥0)
B．f ( x)= x
2+1( x ≥−2)
C．f ( x)= x
2( x ≥0)
D．f ( x)= x
2( x ≥−2)
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数f ( x)={
2
x , x>0
f ( x +2), x ≤0)
，则f (−3)=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设f (x)={
❑√x ,0< x<1
3(x−1), x ≥1)
，若f (m)= f (m+1)，则m=（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
9
D．1
16
【变式9-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)满足f (x +1)={
f (x)
2
,f (x)为偶数，
3 f (x)+1,f (x)为奇数.)
若f (1)=3，
则f (2024)=（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
【变式9-3】（2025·吉林·模拟预测）已知f (x)={
2
x−1, x<1,
❑√x
2 , x ≥1.)
若f (a)=1，则实数a的值为（ ）
A．1
B．4
C．1 或4
D．2
一、单选题
1．（2025·山东·一模）函数f (x)= ❑√|x−1)−3的定义域是（ ）
A．[4 ,+∞)
B．(−∞,−2)
C．[−2,4)
D．(−∞,−2)∪[4 ,+∞)
2．（2025·山西·模拟预测）已知f (f (x))= x
2−x +1，则f (1)=（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
3．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（ ）
A．f ( x)= ❑√x
B．f ( x)= ln x
C．f ( x)=2
x
D．f ( x)= tan x
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数f (x)= x
2的定义域A ⊆R，值域B = {9)，则满足条件的f (x)有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足对于任意实数x，y 均有f (xy)= yf (x)，且
2f (2)= f (1)+6，则f (2025)=（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
6．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的x , y ∈R，都有f ( x + y + f ( x))=6 x +2 y +3，则一次函数
y = f ( x)的解析式为（ ）
A．y = x +1
B．y =2 x
C．y =2 x +1
D．y = x
7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为[0,3).记f (x)的定义域为集合A ,f (2
x−1)的定义
域为集合B.则“x∈A
是
”
“x∈B
的（ ）
”
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2025·云南红河·三模）定义在R上的函数y = f (x)满足：∀x∈R都有f (x +1)−f (x)≤x，
f (x +2)−f (x)≥2 x +1，且f (1)=1，则f (10)=（ ）
A．45
B．46
C．91
D．92
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数v (x)=|x)
x
与u(x)={
1,当x>0时
0,当x =0时
−1,当x<0时)
表示同一函数
B．函数v (x)= x
2−2 x +2与u(t )=t
2−2t +2是同一函数
C．函数y = f (x)的图象与直线x =2024的图象至多有一个交点
D．函数f (x)=|x−1)−x，则f(f(
1
2))=0
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
x
2+1
，则（ ）
A．f ( x)+ f (−x)=0
B．f ( x)≤2
C．f ( x)+ f ( 1
x )=2
D．f (3)+ f (2)+ f (1)+ f ( 1
2 )+ f ( 1
3 )=5
11．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R 的函数f ( x)满足
f ( x)⋅f ( y)= f ( x + y)+ f (2−x)⋅f (2−y)，且f (0)=1，f (−2)=0，则（ ）
A．f ( x)= f (−x)
B．f ( x + 4)= f ( x)
C．f (2)+ f (4)+ f (6)+ f (8)+ f (10)+⋯+ f (2026)=1012
D．[ f ( x)]
2+[ f (2+ x)]
2=1
三、填空题
12．（2025·上海·三模）函数y = ❑√2 x−3+
1
x−2
的定义域为 .
13．（2025·上海宝山·二模）已知函数f (x)={
x
2+2，x<1,
f (x−2)，x ≥1.)
则f (4)= .
14．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R 的函数f (x)满足：∀x，y ∈R都有f (x + f ( y))= f (f (x))+ y且
f (0)=a（a 为常数），则函数f (x)= ．
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)f ( x)= 3 x
x−4
；
(2)f ( x)= 1
❑√x
2；
(3)f ( x)=
6
x
2−3 x +2
；
(4)f ( x)=
❑√4−x
x−1
．
16．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)+2 x)=5，求函数
f (x)的解析式；
（2）已知f(
❑√x + 1
❑√x)= x + 1
x −2，求函数f (x)的解析式；
17．（24-25 高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)y =2 x +1，x∈{1,2,3,4,5)；
(2)y = ❑√x +1；
(3)y = x
2−4 x +6，x∈[1,5]；
(4)y = 3 x +2
x−1
．
18．（2025 高一·江苏·专题练习）已知函数f ( x)=1+|x)−x
2
(−2< x ≤2).
(1)用分段函数的形式表示函数f ( x)；
(2)画出函数f ( x)的图象，并写出函数f ( x)的值域.
19．（24-25 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数f ( x)= ❑√x +3+
1
x +2
，
(1)求函数的定义域；
(2)求f (−3),f ( 2
3 )的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a−1)的值．
