专题2.1 函数的解析式与定义域、值域（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是历年高考数学的重点、热点内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析
式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范
畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不
等式问题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等；常常需要转
化为求最值问题。在高考二轮复习过程中，在熟练掌握函数的基础知识和
基本解题方法的同时，也要加强训练综合性较强的题目。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
函数的概
念
北京卷：第11 题，5
分
新课标I 卷：第8 题，
5 分
北京卷：第7 题，4 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，对函数的概念的考查不会有大的变
化；函数的概念依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5 分，主要考查
求函数值、函数的定义域与值域问题，或与基础知识点（如：集合、常用
逻辑用语等）相结合考查，难度不大。
知识点
1
函数的定义域的求法
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子
( 运算
) 有意义
为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤ g ( x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
知识点
2
函数的值域的求法
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点
3
函数解析式的四种求法
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)解
方程
组法
：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
【题型1 具体函数的定义域的求解】
【例1】（2025·陕西商洛·模拟预测）函数f (x)=
1
x−1 + ❑√x +5的定义域是（ ）
A．{x| x>−5且x≠1}
B．{ x| x ≥−5且x≠1}
C．{ x| x ≥−5}
D．{ x| x≠1}
【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x|x >−1))
B．{x|x ≠1))
C．{x|x >1))
D．{x| x>−1且x≠1).
【变式1-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知A ={x|y =
❑√−4 x
2+16 x−12))，B ={x|0≤x ≤2))，则
A ∩B =（ ）
A．[0,2)
B．[1,3)
C．[1,2)
D．[0,3)
【变式1-3】（2025·广东·一模）函数f (x)=
❑√x−4
x−5
的定义域为（ ）
A．[4 ,+∞)
B．[4,5)∪(5,+∞)
C．(4,5)∪(5,+∞)
D．(−∞,−5)∪(4,5)
【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】
【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数y = f (2 x)的定义域为[−1,2)，则函数g(x)= f (2−x)
lg(x−1) 的定义域
为（ ）
A．(1,2)
B．(1,4)
C．(1,2)∪(2,4)
D．(2,4)
【变式2-1】（25-26 高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数f ( x)的定义域为[2,16]，则函数g( x)= f (2 x)
❑√x−5
的定义域是（ ）
A．[ 4,32]
B．(5,8]
C．(5,16]
D．(5,32]
【变式2-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为[0,3).记f (x)的定义域为集合
A ,f (2
x−1)的定义域为集合B.则“x∈A 是
”
“x∈B 的（ ）
”
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（25-26 高一上·全国·期末）已知函数f (x)的定义域为(−2,2)，则函数g(x)= f (x +1)
2 x
的定义域
为（ ）
A．(−2,0)∪(0,2)
B．(−1,3)
C．(−3,0)∪(0,1)
D．(−1,0)∪(0,3)
【题型3 函数值域的求解】
【例3】（2025·重庆·模拟预测）函数 f (x)=2
x+ ❑√x 的值域为（ ）
A．[0,1]
B．[0,+∞)
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
【变式3-1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．y =e
x−1
B．y = x sin x
C．y = 2
x
D．y = x−1
x
【变式3-2】（2025·安徽·一模）函数y = 1
2
x + 1
x
2 ( x>1)的值域为 .
【变式3-3】（2025·上海松江·三模）已知函数f ( x)={
x
2, x ≥1
x + 4
x −5,0< x<1)
，则f (x)的值域为
.
【题型4 求函数值】
【例4】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在R上函数f (x)满足f (x1+ x2)= f (x1)f (x2)，若
f (−1)= 1
4
，则f (4)=（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
【变式4-1】（2025·江苏南通·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的函数，对∀x , y ∈R，有
f ( x + y)−f ( x−y)= f ( x +1)f ( y −1)，且f (2)=−2，则f (f (2025))=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【变式4-2】（2025·广西河池·三模）已知函数f (x)= ❑√1−log4 x，则f (4)=
.
【变式4-3】（2025·贵州黔东南·一模）若函数f (x)满足2f (x)+ f (1−x)= x
3+6 x
2−5 x +2，则f (1)=
．
【题型5 已知函数类型求解析式】
【例5】（2025·江西·模拟预测）已知对任意的x , y ∈R，都有f ( x + y + f ( x))=6 x +2 y +3，则一次函数
y = f ( x)的解析式为（ ）
A．y = x +1
B．y =2 x
C．y =2 x +1
D．y = x
【变式5-1】（25-26 高一上·山东枣庄·月考）若函数f ( x)是一次函数，并且满足
f (g( x))=9 x +1,g( x)=3 x +1，则f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)=3 x
B．f ( x)=3
C．f ( x)=3 x−2
D．f ( x)=3 x + 1
3
【变式5-2】（24-25 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x
，则f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【变式5-3】（25-26 高一上·陕西·期末）已知f (x)是一次函数，f (f (x))=9 x −4，且f (0)>0，函数g(x)满
足g(f (x))=9 x
2，则（ ）
A．f (x)=−3 x +2
B．f (x)=3 x +1
C．g(x)= x
2−4 x +2
D．g(x)= x
2−2 x +1
【题型6 已知f(g(x))求解析式】
【例6】（2025·辽宁沈阳·二模）已知f (x−1)=e
x，则f (2)=（ ）
A．e
B．2e
C．e
2
D．e
3
【变式6-1】（2025 高一·湖南·专题练习）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
( x≠0)，则f ( x)=（ ）
A．
1
( x−1)
2 −1( x≠0)
B．
1
( x−1)
2 −1( x≠1)
C．
4
( x−1)
2 −1( x≠0)
D．
4
( x−1)
2 −1( x≠1)
【变式6-2】（2025·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足f (log23)=−f (log32)的是（ ）
A．f ( x)=1+ ln x
B．f (x)= x + 1
x
C．f (x)= x−1
x
D．f (x)=1−x
【变式6-3】（25-26 高一上·浙江·期中）已知f (❑√x +1)= x−1
，则函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2−2 x
B．f (x)= x
2−1（x ≥1）
C．f (x)= x
2−2 x +2（x ≥1）
D．f (x)= x
2−2 x（x ≥1）
【题型7 分段函数及其应用】
【例7】（2025·贵州·模拟预测）已知函数f ( x)={
log2 x，x ≥2
x
2+ x +2，x<2)
则f (f (1))=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式7-1】（2025·山东·一模）若函数f ( x)={
−x +6, x ≤2
3+ loga x , x>2)
（a>0且a≠1）的值域是[4 ,+∞)，则实
数a取值范围为（ ）
A．(1,2)
B．(1,2)
C．[2,+∞)
D．(2,+∞)
【变式7-2】（2025·广西·模拟预测）已知函数f (x)={
−x +1, x ≤1
ln(x−1), x>1)，则f (f (2))的值为（ ）
A．1
B．0
C．e
D．2
【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f (x)=¿在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．[1, 3
2)
C．[1,2)
D．[2,+ ∞)
点
函数的解析式
定义域、值域
考
一
与
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R 是对任意
”
“
M ∈R，存在
x0∈D，使得|f (x0))> M 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x−1)+ f ( x−2)，且当x<3时
f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f (10)>100
B．f (20)>1000
C．f (10)<1000
D．f (20)<10000
3．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)={
−x
2−2ax−a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0)
在R 上单调递增，则a 的取值范
围是（ ）
A．(−∞,0]
B．[−1,0]
C．[−1,1]
D．[0,+ ∞)
二、填空题
4．（2024·上海·高考真题）已知f (x)={
❑√x , x>0
1, x ≤0 ,)则f (3)=
．
5．（2023·北京·高考真题）已知函数f ( x)= 4
x+ log2 x，则f(
1
2)= ．
6．（2023·上海·高考真题）已知f (x)=¿，则f (x)的值域是 ．
