专题2.6 函数的图象（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 作出函数的图象】......................................................................................................................................2
【题型2 函数图象的识别】......................................................................................................................................4
【题型3 根据函数图象选择解析式】......................................................................................................................6
【题型4 函数图象的变换】......................................................................................................................................7
【题型5 根据实际问题作函数图象】......................................................................................................................8
【题型6 利用图象研究函数的性质】....................................................................................................................10
【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】...................................................................................................12
【题型8 利用图象求参数的取值范围】................................................................................................................13
1、函数的图象
考点要求
真题统计
考情分析
(1)在实际情境中，会根据
不同的需要选择恰当的方
法（如图象法、列表法、
解析法）表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函
数的性质，解决方程解的
个数与不等式解的问题
2024 年全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
2025 年北京卷：第4 题，4 分
2025 年天津卷：第3 题，5 分
函数图象是高考常考的热点内
容，从近几年的高考形势来看，主要以
考查函数图象的识别与变换为重点和热
点，也可能考查利用函数图象研究函数
性质、解不等式等问题，一般以单选题
的形式出现，难度不大.
知识点
1
函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的
特征
，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点
2
函数图象的应用
及其
解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x)=|x +1)−2|x−1).
(1)请画出函数f (x)的图象，并求f (x)≥1的解集；
(2)∀x∈(0,+∞)，f (x)>ax +b，求a+b的最大值.
【变式1-1】（24-25 高一上·云南昭通·期中）已知函数f ( x)的解析式为f ( x)={
x +2, x ≤−1
x
2,−1< x ≤2
−x +6, x>2)
.
(1)求f (3)，f (f (−1))的值；
(2)画出这个函数的图象，并写出f ( x)的最大值.
【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数f ( x)=|
1
2 x−2)+|
1
2 x +1)+ 1
2 x +2．
(1)画出f（x）的图象，并写出f ( x)≤6的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b 满足a+b=T，证明：
1
a
2+1
+
1
b
2+1
≥T
10．
【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数f ( x)=|2 x +1|+| x +m|（其中m∈[−1,0)）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m=−1
2
时函数f (x)的图象；
(2)求函数f (x)的图象与直线y =3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m的值．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数f (x)=(2
−x−2
x)cos x
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数y = f (x)与y = g(x)的图象如图所示，则函数y = f (x)g(x)的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2025·浙江台州·一模）函数y = f (x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数
解析式可能为（ ）
A．y = f(1−1
2 x)
B．y =−f(1−1
2 x)
C．y = f (4−2 x)
D．y =−f (4−2 x)
【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−xB．f (x)=1−
2
e
x+1
C．f (x)= x ❑√|x)
D．f (x)=
x
ln(x
2+2)
【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
A．f (x)=e
x+1
e
x−1
B．f (x)=e
x−1
e
x+1
C．f (x)=
x
2
3√x
4−1
D．f (x)=
x
3√x
4−1
【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建
筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的
空间.图2是由此抽象出来的一个
心形
图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则
心形
在
“
”
“
”
x
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．y =|x)
❑√4−x
2
B．y = x
❑√4−x
2
C．y =
❑√−x
2+2|x)
D．y =
❑√−x
2+2 x
【题型4 函数图象的变换】
【例4】（2025 高三·全国·专题练习）将函数f (x)=|−x
2+1)+2向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（24-25 高一上·江苏扬州·期中）函数y =1−
1
x−1
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数y = f (x)，与其相应的y = f (x +1)的图象如图所示，
则（ ）
A．f (0)=0
B．f (2)=−1
C．f (99)=0
D．f (100)=1
【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数f (x)的图象可看作是由函数g(x)=
2|x−1)
2 x
2−4 x +3
的图象向左
平移1 个单位长度后得到的，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5 根据实际问题作函数图象】
【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1 的正方形ABCD的边上沿A →B→C →D运
动，x表示动点P由A 点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y = f (x)的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1 的正方形边上运动，M是CD的中点，
当点P沿A −B−C −M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y = f (x)的图象的形状大致是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半
圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小
陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y
（单位：米），若y = f (t )，则f (t )的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（24-25 高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲
地，快车的速度为100 千米/小时，特快车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两
车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 利用图象研究函数的性质】
【例6】（24-25 高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数y = f (x)的图象，图中曲线与直线无限接近
但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数f (x)的定义域为[−4,4)
B．函数f (x)的值域为[0,5)
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的y ∈[0,+∞)，都有唯一的自变量x 与之对应
【变式6-1】（2025 高三下·全国·专题练习）函数y = f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A．[−4,4)
B．[−4 ,−3)∪[1,4) C．[−3,1)
D．[−3,4)
【变式6-2】（24-25 高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，则f (−2)，f (1)，
f (0)的大小关系为（ ）
A．f (0)<f (1)<f (−2)
B．f (−2)<f (0)<f (1)
C．f (−2)<f (1)<f (0)
D．f (1)<f (0)<f (−2)
【变式6-3】（24-25 高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为[−4,4)的奇函数f (x)在(0,4)的图象如图所示，
则下列说法错误的是（ ）
A．f (−4)=−1
B．f (0)=0
C．f (x)在定义域上不存在最小值
D．f (x)在[−4,4)的最大值与最小值之和为0
【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】
【例7】（24-25 高一上·天津滨海新·期中）已知函数f ( x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x<0
时，函数的部分图象如图所示，则不等式f (x)−f (−x)
x
<0的解集是（ ）
A．(−3,−1)∪(1,3)
B．(−3,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)
C．(−∞,−3)∪(−1,1)∪(3,+∞)
D．(−∞,−3)∪(−1,0)∪(0,1)∪(3,+ ∞)
【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)
，则函数
y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
x
2f (x)>2f (x)的解集为（ ）
A．(−❑√2,0)∪(❑√2,2)
B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．
(−∞,−2)∪(−❑√2,0)∪(❑√2,2)
D．(−2,−❑√2)∪(0,❑√2)∪(2,+ ∞)
【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知f (x)是定义在R上的函数，且有f (x +1)= f (x)+1，当0< x ≤1
时，f (x)=3 x +1，则方程f (x)= 4的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型8 利用图象求参数的取值范围】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log 1
3
x , x>0)
，若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零
点，则a的取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知f (x)=e
x +1−e
1−x+ln(❑√x
2+1−x)，且f (lnm)+ f(
1−n
n )=0，则下
列可能成立的是（ ）
A．n<m<1
B．1<n<m
C．m<1<n
D．1<m<n
【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个
互不相同的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数f (x)={
−x (x +3)
2,(x ≤0)
|ln x),(x>0) )
，f (x)=k有5 个不相等的实数
根，从小到大依次为x1
，x2
，x3
，x4
，x5
，则x1 x2 x3
x4 x5
的取值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(−2,0)
D．(−4,0)
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y =cos x与y =lg|x)的图象的交点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·模拟预测）函数y = f (x)的图象如图1 所示，则如图2 所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）
A．y = f(1−1
2 x)
B．y =−f(1−1
2 x)
C．y = f (4−2 x)
D．y =−f (4−2 x)
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数y = f (x)的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
A．f (x)=
1
|x−1)
B．f (x)=
1
x
2+1
C．f (x)=
1
||x)−1)
D．f (x)=
1
x
2−1
5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线y = f (x)的部分图象如
图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=
4
|x)+2
B．f (x)=−
8
x
2+ 4
C．f (x)=−x
4−2
D．f (x)=−
2
x
3+1
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
x
2f (x)>3 f (x)的解集为（ ）
A．(−❑√3,0)∪(❑√3,2)
B．(−2,−❑√3)∪(0,❑√3)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(−❑√3，0)∪(❑√3，2)
D．(−2,−❑√3)∪(❑√3,2)
7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A →B→C的方向运动，
当点M到达点C时停止运动．过点M作MN ⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x ,CN = y，图②表
示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．20
B．18
C．10
D．9
8．（2025·河北·二模）已知函数g(x)=a x
2+bx +a−b，其中a,b为常数，若函数f (x)= a
b−x的图象如图
所示，则（ ）
A．g(x)的图象与坐标轴有三个交点
B．g(x)的图象的对称轴在y轴左侧
C．关于x的方程g(x)=1有两个不等实根
D．g(x)在区间(1,+∞)上单调递增
二、多选题
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数y =e
x的图象的有（ ）
A．y =e
x +1
B．y =e
x−2
C．y =e
2 x
D．y =e
x
2
10．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数f (x)= ax +b
( x +c)
2（其中a,b,c∈{−1,0,1)）的图
象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）函数f ( x)= ax +b
( x +c)
2的图象如图所示，则（ ）
A．a>0
B．b<0
C．c>0
D．abc<0
三、填空题
12．（2025·全国·模拟预测）把函数f (x)=8
x的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的
函数解析式是y =
．
13．（24-25 高一上·北京海淀·期末）已知f ( x)是定义在[ −4 , 4 ]上的奇函数，当x∈( 0 , 4 ]时，f ( x)
的图象如图所示，则不等式x f ( x)≤0的解集为 .
14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数f ( x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1,1)，则不等
式f ( x)≥log2( x +1)的解集是 ．
四、解答题
15．（24-25 高一上·山西晋中·期中）已知函数f (x)={
2
x , x<0
−x ,0≤x<2
1
2 x−3, x ≥2)
.
(1)求f (0),f (f (2))；
(2)若f (m)=−1，求m的值；
(3)画出平面直角坐标系，作出函数f (x)的图象.
16．（24-25 高一上·全国·课前预习）给定函数f ( x)= x +1，g( x)=( x +1)
2，x∈R．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f ( x)，g( x)的图象；
(2)∀x∈R，用M ( x)表示f ( x)，g( x)中的较大者，记为M ( x)=max {f ( x), g( x)}．请分别用图象法
和解析法表示函数M ( x)．
17．（2025 高三·全国·专题练习）如图，动点P 从边长为4 的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C，D，
A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y = f ( x)的解析式并画出y = f ( x)的图
象.
18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数y = F (x)的图象，由指数函数f (x)=a
x与幂函数g(x)= x
b
拼
“
接
而成．
”
(1)已知
(m+ 4)
−b<(3−2m)
−b，求m的取值范围；
(2)若方程F (x−2025)−t
2−1
2 t =0存在实数解，求t的取值范围．
19．（24-25 高一上·四川成都·期末）已知函数y = f (x)(x ≥0)的图象由曲线段OA：y = loga(x +b)（其中
a>0，且a≠1）和射线AB 构成，如图所示．
(1)求y = f (x)的解析式；
(2)在同一坐标系中，作出函数y = 2
x
(x>0)的大致图象，并从
形
的角度直观判断方程
“
”
x⋅f (x)=2的实根
个数，再从
数
的角度加以严格验证．
“
”
