专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
幂函数与二
次函数
天津卷：第2 题，5
分
上海卷（春考）：第
14 题，4 分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
命题规律
分析
1、幂函数与二次函数
幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单
独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解
不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他
知识相结合，考查二次函数的图象与性质。
知识点
1
幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数
中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点
2
二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上
关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的
开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象
求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 比较幂值的大小】
【例1】（2026·湖南·一模）若a= log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
幂函数与二次函数
考点1
C．c<b<a
D．a<c<b
【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知a= log0.50.2,b=0.5
0.5,c =2
0.5，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=(m−1) x
1−m为幂函数，若a= log0.30.4，b= log30.4
，则（ ）
A．f (ab)<f (a+b)<f (1)
B．f (a+b)<f (ab)<f (1)
C．f (1)<f (a+b)<f (ab)
D．f (a+b)<f (1)<f (ab)
【题型2 幂函数图象的判断及应用】
【例2】（25-26 高一上·上海嘉定·期中）图中C1,C2,C3
为三个幂函数( y = x
α)在第一象限内的图象，则解
析式中指数α的值依次可以是（ ）
A．0.5,3,−1
B．−1,3,0.5
C．0.5,−1,3
D．−1,0.5,3
【变式2-1】（25-26 高一上·四川泸州·期末）已知函数y = loga(x−15)+ 4 (a>0，a≠1)过定点P，幂函数
的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数f (x)=(m
2+m−1) x
m的图象与坐标轴无公共点，
则m=（ ）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【变式2-3】（25-26 高一上·上海松江·期中）已知a为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数y = x
a和一次
函数y =ax−1
a
的图像关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 幂函数的图象和性质】
【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数f (x)=(m
2−m+1) x
−2m+1在(0,+∞)上单调递减，则实数m 的
值为（ ）
A．0 或1
B．−1或1
C．1
D．0
【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在(0,+ ∞)单调递增的是
（ ）
A．y = x
−1
B．y = x
1
2
C．y = x
2
D．y = x
3
【变式3-2】（2026·四川·二模）“k =−3”是“f (x)=(k +2)
2 x
k是幂函数且在(0,+∞)上单调递减”（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+m−3是幂函数，对任意x1
，
x2∈(0,+ ∞)，且x1≠x2
，满足f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0．若a,b∈R，且f (a)+ f (b)的值为负数，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A．a+b<0，ab=0
B．a+b<0，ab>0
C．a+b<0，ab<0
D．a+b>0，ab>0
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（25-26 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x，则
f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数f (x)=(x−1)(x−a)与g(x)=b x
2+cx表示同一个函数，则c =
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式4-2】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知f (x)为二次函数且f (0)=3，f (x +2)−f (x)= 4 x +2，则
f (x)=___________．
【变式4-3】（25-26 高一上·全国·期末）已知g(x)是二次函数，且g(2)=−3，g(−2)=−7，g(0)=−3，
则g(x)的解析式为_________．
【题型5 二次函数的图象】
【例5】（25-26 高一上·安徽马鞍山·期末）函数y =| x|( x−2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2026·河南·二模）已知y =1−alog2 x是减函数，则函数f (x)=|x)(x−a)的大致图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（25-26 高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数y =a x
2+bx +c (a≠0)的图象顶点在
第一象限，且经过A (−1, 0)、B (0, 1)两个点．则下列说法正确的是：（ ）
①abc<0；②−1<a<0；③0<b<1；④0<a+b+c<2．
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【变式5-3】（25-26 高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数f (x)=a
x−b(a>0，且a≠1)的图象如图所示.
则函数g(x)=(x−a)(x +b)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 二次函数的单调性与最值】
【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2)∪[6,+ ∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4)∪[12,+ ∞)
【变式6-1】（25-26 高一上·福建莆田·期中）已知函数y = x
2−4 x +3在闭区间[0,m)上有最大值为3，最
小值为−1，则m 的取值范围是（ ）
A．[2,+ ∞)
B．[2,4)
C．(−∞,2]
D．[0,2)
【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知f (x)={
2 x，x ≤m
x
2−4 x +5，x>m)
是在R 上的增函数，则实数m
的取值范围是（ ）
A．[1,2)
B．[2,5)
C．[2,+∞）
D．[5,+ ∞)
【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数y =|x
2−4 x +2)在区间[0,t )上的最大值为a，在区间[t ,2t )
上的最大值为b．若a≥2b，则t的取值范围是（ ）
A．[2−❑√3, 1
2)
B．[2−❑√3,1)
C．[1+
❑√3
2 ,3)
D．[3,2+ ❑√3)
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（25-26 高二下·重庆·期末）已知函数f (x)= x
2+ax−a，a>0，若对∀x∈[−a,1)，不等式
−2a≤f (f (x))≤1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．[
1
4 , 3
2)
D．[
1
2 ,2)
【变式7-1】（25-26 高一上·江西抚州·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0, 4)
时，f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞, t )，都有f (x)≥−3
4
恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．(−∞,−11)
B．(−∞,−7)
C．(−∞,−5)
D．(−∞,−3)
【变式7-2】（25-26 高一下·海南海口·期末）已知函数f (x)= x
2−(a
2+2a) x +16
，若当x>0时，f (x)>0
恒成立，则实数a的取值范围是___________．
【变式7-3】（25-26 高二上·上海·期中）设f (x)= x
2−1，对任意x∈[1,+∞)，
−4 m
2f (x)≤f (x−1)+ 4 f (m)恒成立，则实数m的取值范围是___________.
一、单选题
1．（2026·四川广安·模拟预测）“m=0”是“f ( x)=(m
2−m+1)x
2m−3为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知f (x)= 4 x
2−kx−8在区间[5,20)上不单调，则k的取值范围是（ ）
A．k ≤40
B．k ≥160
C．40<k <160
D．40≤k ≤160
3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数y = x
α是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的值可以是
（ ）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
4．（25-26 高一上·重庆·期末）函数f (x)=a x
2−(a−1) x−2在区间(−∞,2)上是增函数，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[−1
3 ,0)
B．[−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−1
3)
D．[−1
3 ,0)
5．（2026·宁夏银川·一模）如果点(x0, y0)在函数f ( x)= x
2+1的图象上，都有点(2 x0, y0)在函数y = g( x)
的图象上，则g(2)=（ ）
A．17
B．5
C．3
D．2
6．（2026·北京·三模）已知幂函数f (x)= x
2
3，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)=
❑√x
2
B．f (−2)>f (3)
C．f (x)是奇函数
D．f (x)的值域为[0,+ ∞)
7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数f (x)的定义域为R，若f (−2−x)= f (x)，f (−2)<f (−1)，
且该二次函数的图象经过P(2,m
2+ 4)、Q (n,4 m)不同两点，则n的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
8．（2026·云南·模拟预测）已知f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f ( x)= x
2+ax−2a，若
f ( x)<0在[−3,−1]上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．(−8,0)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,−8)∪(0,+∞) D．(−9,1)
二、多选题
9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（ ）
A．若α =0，则幂函数y = x
α的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(−1,−1)
D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)
10．（25-26 高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y =a x
2+bx +c的一段图像如图所示，则（ ）
A．c =−1
B．a+b+c>−1
C．a+b+c>−2
D．a+b+c<0
11．（25-26 高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数y =a x
2+bx +c（a、b、c为常数，且a≠0）的部分
图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a−b=0
B．abc<0
C．关于x的二次函数y =a x
2+bx +c有3个零点
D．关于x的一元二次不等式a x
2+bx +c<0
的解集为{x|−3< x<2))
三、填空题
12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数y = x
a的图象经过点(4 ,❑√2)，则实数a的值为__________．
13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数f ( x)=(m
2−5m+5) x
m+5为偶函数，则4
log2(m+2)=
___________．
14．（2026·广东广州·一模）已知函数f (x +1)为奇函数，当x<1时，f (x)=a x
2−x（a≠0），若f (x)在
(1, 3
2)上单调递增，则a的取值范围是___________．
四、解答题
15．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数f (x +1)= x
2−x +3.
(1)求f (x)的解析式；
(2)设函数g(x)=(a+3) x + f (x)，若g(x)在[−1,2)上的最小值是1，求a的取值集合.
16．（25-26 高一上·福建漳州·期末）已知幂函数f (x)=(m
2−5m+7) x
m−1的图象关于y轴对称.
(1)求实数m的值；
(2)若函数g(x)= f (x)−ax在区间[−1,2)上的最小值为−9
4
，求实数a的值.
17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f ( x)为定义在R上的偶函数，且x ≥0，f ( x)= x
2−mx +1.
(1)若m=1，求函数f ( x)解析式；
(2)求函数f ( x)在[1,3]的最小值；
(3)若函数y = f ( x)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数f (x)=2 x
2−ax +10，g(x)= x
2−x + 31
4
，（a∈R）
(1)当a=1时，求f (2)的值；
(2)若对任意x∈R，都有f (x)> g(x)成立，求实数a 的取值范围；
(3)若∀x1∈(0,2)，∃x2∈[0,1)，使得不等式f (x1)>g(x2)成立，求实数a 的取值范围．
19．（25-26 高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点M (2,0)，N (4,0)为二次函数f ( x)的图象与x轴的交点，点
A为f ( x)图象的顶点，△AMN的面积为1.
(1)求f ( x)的解析式.
(2)设偶函数g( x)和奇函数h( x)的定义域均为R，且g( x)+h( x)= f ( x).
（i）求g( x)与h( x)的解析式；
（ii）若函数μ( x)= g( x)+kh( x)在[k −1,k +1]上的最大值为0，求k的值.
(3)设函数φ( x)=|
4√f ( x +3)+1−1|(0< x ≤81)，是否存在m，n∈(0,81]，使得φ( x)在[m,n]上单调
递增，且φ( x)在[m,n]上的值域为[
8m
81 , 8n
81)？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
