专题2.4 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三
专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 确定函数的单调性（区间）】..................................................................................................................1
【题型2 根据函数的单调性求参数】......................................................................................................................2
【题型3 求函数的最值】..........................................................................................................................................2
【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】.........................................................................................3
【题型5 函数的奇偶性及应用】..............................................................................................................................3
【题型6 函数的周期性及应用】..............................................................................................................................4
【题型7 函数的对称性】..........................................................................................................................................4
【题型8 函数性质的综合应用】..............................................................................................................................5
【题型9 抽象函数的性质】......................................................................................................................................5
【题型10 函数新定义】............................................................................................................................................6
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 确定函数的单调性（区间）】
1．（25-26 高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝❑√8+2 x−x
2的单调递减区间是（ ）
A．(−∞,1)
B．[1,+∞)
C．[1,4]
D．[－2,1]
2．（25-26 高一上·广东广州·期中）函数f (x)=|3−x)⋅(x +1)的单调递减区间为（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,2)
C．(1,3)
D．(3,+∞)
3．（25-26 高三上·北京·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f (x)= ❑√x
B．f (x)=e
x
C．f (x)= 1
x
2
D．f (x)=ln|x)
4．（25-26 高一上·安徽·期中）已知函数f (x)= x|2 x−3)，若f (x)在区间I上单调递减，则区间I可能为
（ ）
A．(−∞, 3
4)
B．(2,4)
C．(
3
2 ,+∞)
D．(
3
4 , 3
2)
【题型2 根据函数的单调性求参数】
5．（25-26 高一上·重庆·阶段检测）已知函数f (x)=3
x
2−2ax + 4在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,2)
C．[2,+∞)
D．(2,+∞)
6．（25-26 高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数f ( x)={
(3a−1)x + 4 a, x<1
x
2−ax +6, x ≥1 )
在R上是增函数，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(
1
3 ,1)
B．(
1
3 ,2)
C．[2,+∞）
D．[1,2)
7．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）“a>1
是
函数
”
“
f (x)=(x +a)
2在(0,+ ∞)内单调递增
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
8．（25-26 高一上·福建厦门·阶段检测）若函数f (x)=2
x
2−ax +1在区间(1,2)上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．(−∞，1)
B．(−∞，2)
C．(−∞，2)
D．[4，+∞)
【题型3 求函数的最值】
9．（25-26 高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数f (x)= x
2
1+ x
，则f (x)在区间[1,3)上的最大值、最小值分
别为（ ）
A．最大值为1，最小值为1
4
B．最大值为9
4
，最小值为1
2
C．最大值为1，最小值为1
3
D．最大值为9
4
，最小值为1
3
10．（25-26 高一上·广东江门·阶段检测）已知函数f (x)={
−1
x , x<0,
x +a, x ≥0)
的最小值为0，则a=（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．2
11．（25-26 高一上·天津·阶段检测）已知函数f (x)的定义域为(0,+ ∞)，若对于任意的x , y ∈(0,+ ∞)
， 都有f (x)+ f ( y)= f (xy)+2，当x>1时，都有f (x)>2，f (3)=3．则函数f (x)在区间[1,27]上的最大值
为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
12．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段检测）已知f (x)是R上的奇函数，且f (x)= f (2−x)，若f (x)在[0,1)上
单调递增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−1
B．−2
C．−3
D．4
【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】
13．（2026·山东日照·一模）定义在R上的函数y = f (x)满足以下条件：①f (−x)−f (x)=0；
对任意
②
x1, x2∈[0,+ ∞)，当x1≠x2
时都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0．则f (−❑√5),f (π),f (−3)的大小关系是（ ）
A．f (π)>f (−3)>f (−❑√5)
B．f (π)>f (−❑√5)>f (−3)
C．f (π)<f (−3)<f (−❑√5)
D．f (π)<f (−❑√5)<f (−3)
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在[1−3m,4 m−2)上的偶函数f (x)，且当
x∈[0,3m−1)时，f (x)单调递增，则关于x的不等式f (x−1)>f (2 x−3m)的解集是（ ）
A．(
4
3 ,2)
B．(
7
8 , 5
4)
C．(
2
3 , 5
3)
D．(
2
3 ,2)
15．（2026·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且x1≠x2都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
16．（2026·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的定义域是R，f (x−1)的图象关于点(1,0)中心对称，若
f (3)=0，且对任意x1, x2∈(−∞,0)，x1≠x2
，都有f (x2)−f (x1)
x2−x1
<0，则不等式f (3 x−1)
x
≥0的解集为
（ ）
A．[−2
3 ,0)∪(
1
3 , 4
3)
B．[−2
3 ,0)∪[
1
3 , 4
3)
C．[−2
3 ,0)∪[
1
3 , 4
3)
D．(−2
3 ,0)∪(
1
3 , 4
3)
【题型5 函数的奇偶性及应用】
17．（2026·云南·模拟预测）已知f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x +1)−1为奇函数，则
f (2)+ f (3)+ f (4)=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
18．（2026·四川内江·一模）设奇函数f (x)的定义域为R，当x ≥0时，f (x)= x (1+ x)，则当x<0时，
f (x)=（ ）
A．x (1+ x)
B．x (x−1)
C．x (1−x)
D．−x (1+ x)
19．（2026·安徽·二模）已知函数f (x)=ln(x
2−2 x +2)，下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f (x)+1
B．f (x)−1
C．f (x +1)
D．f (x−1)
20．（2026·四川乐山·模拟预测）已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，当x ≥0时，f (x)= x
2+ 4 x， 若
f (a)>5，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−5)∪(5,+ ∞)
B．(−∞,−1)∪(1,+ ∞)
C．(−1,1)
D．(−5,5)
【题型6 函数的周期性及应用】
21．（2026·新疆·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x +3)+ f (x)= 4，且f (1)=1，则f (2026)=
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
22．（2026·四川凉山·一模）已知f (x)是定义在R上的函数，f (x +1)=−f (x)．当2≤x<3时，
f (x)=5−2
x，则f (2025)=（ ）
A．−5
B．−1
C．1
D．4
23．（2026·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x +2)= f (x)，且当0< x ≤1时，
f (x)=−x
2+ x，则f(
11
2 )=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．1
4
D．−1
4
24．（2026·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为奇函数，则下列说法
正确的是（ ）
A．若x∈(0,3)时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
【题型7 函数的对称性】
25．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数f ( x)=( x +1)( x
2+ax +b)的图象关于点(1,0)对称，则a+2b=
（ ）
A．−10
B．10
C．2
D．−2
26．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）若函数f ( x)= ln x +a
x +1 + x的图象关于(2,2)对称，且a≠1，则实数a=
（ ）
A．−5
B．−1
C．0
D．5
27．（2026·四川·三模）已知函数f (x)= x
3−x，则函数y = f (x +2)+2的图象（ ）
A．关于点(−2,2)对称
B．关于点(2,−2)对称
C．关于直线x =2对称
D．关于直线x =−2对称
28．（2026·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于直线
x =2对称，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【题型8 函数性质的综合应用】
29．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知f (x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减，若实
数a 满足f (2
∣a−1∣)>f (−❑√2)，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
3
2 ,+∞)
C．(
1
2 , 3
2)
D．(−∞, 1
2)∪(
3
2 ,+∞)
30．（2026·全国·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且满足f (1+ x)=−f (1−x),f (x +2)为偶函数，
当x∈[1,2)时，f (x)=a x
2+bx，若f (0)+ f (3)=5，则f(
43
5 )=（ ）
A．7
5
B．−7
5
C．5
7
D．−5
7
31．（2026·广东·模拟预测）已知f (x)是R上的奇函数，f (x−1)−f (3−x)=0，若f (x)在[0,1)上单调递
增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
32．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)的定义域D关于原点对称，f(
π
4 )=−1且f (x)满足：
（1）当x∈(0,π
2 )时，f (x)<0；
（2）∀x1, x2∈D且x1≠x2,f (x1)≠f (x2),f (x1−x2)= f (x1)f (x2)+1
f (x2)−f (x1)
.则下列关于f (x)的判断错误的是
（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f(
π
2 )=0
C．π是f (x)的一个周期
D．f (x)在(0,π
2 )上单调递减
【题型9 抽象函数的性质】
33．（25-26 高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数f (x)，对任意的x , y ∈R，恒有
f (x + y)+ f (x−y)=2f (x)⋅f ( y)，且f (1)= 1
2
，则下列说法正确的是（ ）
A．f (0)=0
B．f (x)为奇函数
C．f (x)为周期函数
D．f (2025)=1
34．（25-26 高三上·福建龙岩·期中）已知函数f (x)对任意的x，y ∈R，都有f (x + y)= f (x)+ f ( y)，且当
x>0时，f (x)<0，则不等式f (t
2−3t)+ f (6−2t )>0的解集是（ ）
A．(−2,3)
B．(−∞,2)∪(3,+∞)
C．(2,3)
D．(−∞,−2)∪(3,+∞)
35．（25-26 高一上·安徽合肥·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x + y)= f (x)+ f ( y)+1，f (1)=0，
则（ ）
A．f (0)=1
B．f (x)有最小值
C．f (2025)=2025
D．f (x)+1是奇函数
36．（25-26 高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在R上的函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且对于任
意的实数x，y，都有f (x + y)= f (x)+ f ( y)+2 xy，f (1)=1，当x>0时，f (x)>0，则（ ）
A．f (0)=2
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在(0,+ ∞)上单调递增
D．f (1−x)= f (x)
【题型10 函数新定义】
37．（2026·福建宁德·二模）设f (x)是定义在R上的函数，若∀x1, x2∈R，当|x1)<|x2)时，f (x1)<f (x2)
，称函数f (x)具有性质M，则下列函数具有性质M的是（ ）
A．f (x)= x +sin x
B．f (x)={
−x , x ≤0
x
3+1, x>0)
C．f (x)=|
1
2
x+1
−1
2)
D．f (x)=(x−1)e
x
38．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）定义在R上的非常值函数y = f (x)，若存在一个非零常数T，使得对
任意x∈R，都有f (x +T )=T ⋅f (x)成立，那么称函数y = f (x)为T函数．则下列说法正确的是（ ）
A．存在函数y =kx +b(k ≠0)为T函数
B．若函数y = f (x)为T函数，且当T >1时函数在[0,T )上是严格增函数，则函数y = f (x)在[0,+ ∞)上
是严格增函数
C．若函数y = f (x)为T函数，且在x =0处取得最小值，则0<T <1
D．若函数y = f (x)为T函数，且|f (x))≤1恒成立，则y = f (x)为周期函数
39．（25-26 高二下·浙江绍兴·期末）若函数y = f (x)满足：对任意的x1，x2∈D，x1+ x2≠0，都有
f (x1)+ f (x2)
x1+ x2
>0，则称函数f (x)在区间D上具有性质P．
(1)设函数f (x)=2
x，g(x)= x
3+3 x，分别判断f (x)，g(x)是否在R上具有性质P；
(2)设函数f (x)=ln 1+ x
1−x +ax，若f (x)在其定义域上具有性质P，求实数a的取值范围；
(3)已知函数f (x)具有性质P，且图象是一条连续曲线，若y = f (x)在R上单调递增，求证：f (x)是奇函数．
40．（25-26 高一下·上海·期末）对于定义域在R上的函数y = f (x)，定义g(x)= f (x)−f (0)
x
．设区间
I =(−∞,0)∪(0,+∞)，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，总有
g(x1)≤g(x2)，则称g(x)是f (x)的“T函数
．
”
(1)求证：函数y =−2
x不存在“T函数
，请说明理由；
”
(2)若非常值函数y = s(x)，x∈R是奇函数，求证：y = s(x)存在“T函数
的充要条件是存在常数
”
k，使
得s(x)=kx；
(3)若函数f (x)=m⋅2
x−99 x与函数h(x)=−m⋅2
−x+ x的定义域都为R，且均存在“T函数
，求实数
”
m
的值．
一、单选题
1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在[0,1)上严格减的函数是（ ）
A．y =−x
B．y =−|x)
C．y = x
2
D．y =2
−x
2．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数f ( x)= xe
ax
e
x−1
的图象关于y 轴对称，则a=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．−2
D．2
3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数f (x)=(x−2)(ax +b)为偶函数，且f (−2)>f (3)，则f (2−x)>0
的解集为（ ）
A．{x|0< x<4 }
B．{x| x<0或x>4}
C．{x|x>2)或x<−2}
D．{x|−2< x<2}
4．（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f ( x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
( x−❑√3)f ( x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3)
B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
5．（2026·安徽·模拟预测）
函数
“
y = f ( x)的图象关于直线x =2对称
是
函数
”
“
y = f ( x +2)为偶函数
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．（2026·广东·模拟预测）已知f (x)是定义域为R 的奇函数，当x<0时，f (x)= x + 1
x +1，则当x>0时，
f (x)的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)+ f (x−1)= f (2)，f (x +1)是奇函
数，f(
1
2)=1，则∑
k =1
9
❑kf ( 2k −1
2
)=（ ）
A．−1
B．−9
C．1
D．9
8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数f (x)定义域为R，且满足：f (x)= f (2−x)，∀x1, x2∈[1,+ ∞)
，x1≠x2
，f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0，若f (2)<f (lg x)，则实数x的取值范围为（ ）
A．1< x<100
B．1
10 < x<100
C．10< x<100
D．1< x<10
二、填空题
9．（2026·安徽安庆·模拟预测）设f (x)是周期为4 的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x)=−x (1−x)，则
f(−9
2)=___________．
10．（2026·河北保定·三模）已知定义在R 上的函数f (x)满足[1−f (x))⋅[1+ f (x +2))=2，且f (0)=2，则
f (2026)= ___________.
11．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (3−x)= f (x)，且当x∈(0,1)
时，f (x)=3
x−1+1，则f (2026)=___________．
12．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的连续函数，g(x)= f (x +1)−3．若g(x)为奇
函数，g(x +1)为偶函数，且f (2)=0，则∑
i=1
2026
g(i)=___________．
一、单选题
1．（2026·湖北武汉·三模）已知函数f (x)的定义域为(0，+∞)，对任意的x , y >0，均有
f ( x)−f ( y)
x
< 1
y f ( x
y +1)，且f (1)=−1，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f (2)<0
B．2f (3)<f (2)
C．f (4)
f (3) + f (3)
f (2) >ln 2
D．3 f (4)<f (3)
2．（2026·宁夏吴忠·二模）定义在R上的函数f (x)满足f (−1+ x)+ f (−1−x)=0，且f (1+ x)+ f (1−x)=0
，当x∈[−1,0)时，f (x)=e
x−a，当x∈[0,1)时，f (x)=2 x−b，则f (x)的最小值为（ ）
A．−6
B．−4
C．−3
D．−2
3．（2026·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为R的函数f ( x)，g( x)满足f (2−x)+ f (x)=2，g(4−x)= g(x)
，g(2)=3，若f (x)= g(2+ x)+ 4，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的图象关于y 轴对称
B．−8为f ( x)的一个周期
C．f (2023)=−1
D．∑
k =1
22
❑f (k )=16
4．（2026·上海杨浦·一模）函数y = f (x)的定义域、值域均为R，定义集合M a={t|t = f (x)−f (a), x ≥a)).
给出如下两个结论：
存在函数
①
y = f (x)，使得对任意实数a均有M a=[0,+ ∞)；
对任意函数
②
y = f (x)，
都存在实数b，使得对任意实数a均有M b⊆M a.下面判断正确的是（ ）
A．
正确，
正确
①
②
B．
正确，
错误
①
②
C．
错误，
正确
①
②
D．
错误，
错误
①
②
二、解答题
5．（2026·安徽·一模）已知函数f (x)=ae
x−e
−x−(a+1) x−1(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数f (x)的最大值；
(2)当a>0时，讨论函数f (x)的单调性；
(3)若函数f (x)的图象关于点(0,t )中心对称，求实数t的值．
6．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R 的函数y = f (x)与实数x0，定义集合
S(x0)={a|[ f (x0+a)−f (x0)¿⋅¿¿ f (x0−a)−f (x0)]<a
2,a>0}
(1)若f (x)= x
2，求S (1)；
(2)若f (x)=k (x
3−x)，k >0，且对任意实数x 均有S (x)=(0,+ ∞)，求实数k 的取值范围；
(3)是否存在定义域为R的图像连续的函数y = f (x)，使得S (0)= S (1)=(0,1)？若存在，给出一个满足要求的
函数；若不存在，请给出证明.
7．（2026·上海·模拟预测）设函数f (x)的定义域为R，若对任意实数x，恒有f (f (x))+ f (x)=2 x成立，则
称函数具有
性质
“
Ω
．
”
(1)若一次函数f (x)=ax +b具有性质Ω，其中a>0，求实数a，b的值；
(2)若函数f (x)具有性质Ω，且f (x)在R上严格增，证明：f (x)= x；
(3)若具有性质Ω的函数f (x)满足：存在常数M >0，使得对任意x∈R，都有|f (x)−x)≤M．证明：具有
该性质的函数f (x)是唯一的，并写出其解析式．
8．（2026·上海·三模）设s,t ∈R，对于定义域为D 的函数y = f (x)与y = g(x)，h(x)= sf (x)+tg(x)，若
函数y =h(x)是区间D 上的单调函数，则称y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足
性质
“
M (s,t )
．
”
(1)设D =[2,+∞)，f (x)= x
2，g(x)= x，若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足
性质
“
M (1,t )
，求
”
t 的取
值范围；
(2)设s>0，D =(0,1)，f (x)= x，g(x)=−3
2 x
．若y = f (x)与y = g(x)在区间D 上满足
性质
“
M (s,t )
，
”
求t
s
的取值范围；
(3)设D =R，若对任意s、t，函数y = f (x)与y = g(x)在R上都满足
性质
“
M (s,t )
．求证：存在不全为零
”
的实数A、B，使得函数y = Af (x)+ Bg(x)为常值函数．
一、单选题
1．（2026·北京·高考真题）下列函数f (x)是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．f (x)=
1
x
2+1
B．f (x)=sin x
C．f (x)=2
−x−2
x
D．f (x)= ln 5+ x
5−x
2．（2026·全国二卷·高考真题）已知f (x)是定义域为R 的偶函数，f (x)+ f (x−2)=0，且当x∈[
3
2 ,3)
时，f (x)= x
2+ax +b，则（ ）
A．a=−2，b=−3
B．a=−2，b=3
C．a=−4，b=−3
D．a=−4，b=3
3．（2026·上海·高考真题）对于函数y = f (x)，x∈D，设Af ={(x , y)| y ≥f (x), x∈D).对于点集M，
若存在(x0, y0)∈M，使得任取(x , y)∈M，总有y ≥y0
，则称(x0, y0)为
最低点
“
”.对于函数y = f (x)和
y = g(x)，以下说法中正确的是（ ）
A．若y = f (x)和y = g(x)都有最小值，则Af ∩Ag有最低点；
B．若Af ∩Ag有最低点，则y = f (x)和y = g(x)都有最小值；
C．若y = f (x)或y = g(x)有最小值，则Af ∪Ag有最低点；
D．若Af ∪Ag有最低点，则y = f (x)或y = g(x)有最小值.
4．（2025·天津·高考真题）已知函数y = f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f ( x)=
x
1−| x|
B．f ( x)=
x
| x|−1
C．f ( x)=| x|
1−x
2
D．f ( x)=| x|
x
2−1
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知f ( x)是定义在R上且周期为2 的偶函数，当2≤x ≤3时，
f ( x)=5−2 x，则f(−3
4)=（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
4
D．1
2
6．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．y = e
x−x
2
e
x+ x
2
B．y = cos x−x
2
x
2+1
C．y = e
x−x
e
x+ x
D．y = sin x−x
x
2+1
二、填空题
7．（2026·上海·高考真题）已知函数f (x)是偶函数，当x ≥0时，f (x)= ❑√x−a，若f (−4)=3，则a=
__________．
8．（2024·上海·高考真题）若函数f ( x)= x
3+a( x ∈R)是奇函数，则实数a=__________.
三、解答题
9．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，且当x<0时，f (x)=2
x．对任意x0∈R，定
义集合D(x0)={d ∈R|f (x0+d)>f (x0)))．
(1)若当x ≥0时，f (x)=1−x，求D (−1)；
(2)若f (x)是奇函数，f (x1)≤f (x2)，且x1 x2≠0，证明：D(x2)⊆D(x1)；
(3)设f (x)满足：
若
①
f (x1)≤f (x2)，则D(x2)⊆D(x1)；
当
②
0< x<1时，f (x)<f (0)．
（i）证明：f (0)≥1；
（ii）证明：f ( x)在区间(0,+ ∞)单调递增．
10．（2026·上海·高考真题）已知(i, j ,k )是1，2，3的一个排列，若函数f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)，对任意
x∈I，都有f 1(x)≤f i(x)且f 1(x)+ f 2(x)≤f i(x)+ f j(x)，则称(i, j ,k )是关于f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的一个I
排列，则关于f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的I排列总数记为nI．
(1)已知I =[3,+∞)，f 1(x)= x，f 2(x)=0，f 3(x)= x
2+1，判断(3,1,2)是否为I排列；
(2)对I =(0,+ ∞)，f 1(x)= x−1，f 2(x)= x +m，f 3(x)= x
2满足条件的nI =6，求m的取值范围；
(3)对x∈[0,+∞)，且对任意x∈[0,+ ∞)，0< F (x)<1，令I =[a,+ ∞)，f 1(x)= F (x)，
f 2(x)= 1
2 (F (x +a)+ F (x−a))，f 3(x)=1−e
−x，证明：若F (x)严格减，则存在a>0，使nI ≥4；若F (x)
严格增，则存在a∈(0,1)，nI ≠2．
11．（2026·上海·高考真题）设f (x)是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意x1, x2∈R，当|x1)<|x2)
时，f (x1)<f (x2)，则称函数f (x)具有
性质
“
P”.
(1)判断函数f (x)=e
x是否具有
性质
“
P
；
”
(2)若分段函数f (x)={
ax , x ≤0
x +b, x>0)具有
性质
“
P
，求所有满足条件的实数
”
a和b的解；
(3)已知f (x)的值域为[0,1)，且在[0,+ ∞)上是严格增函数，证明：f (x)是偶函数的充要条件是：f (x)具有
性质
“
P”.
12．（2025·上海·高考真题）已知函数y = f (x)的定义域是D．对于t ∈D，定义集合Sf (t )={x|f (x)≥f (t )))
．
(1)f (x)= log2 x，求Sf (16)
；
(2)对于集合A，若对任意x∈A都有−x∈A，则称A是对称集．若D是对称集，证明：
函数
“
y = f (x)是
偶函数
的充要条件是
对任意
”
“
t ∈D，Sf (t )
是对称集
；
”
(3)若x∈R，f (x)=e
x−1
2 m x
2．求m的取值范围，使得对于任意t1<t2∈D，都有Sf (t2)⊆Sf (t1)．
