专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 幂函数的定义】..........................................................................................................................................2
【题型2 比较幂值的大小】......................................................................................................................................3
【题型3 幂函数图象的判断及应用】......................................................................................................................3
【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】.........................................................................................................5
【题型5 求二次函数的值域或最值】......................................................................................................................5
【题型6 二次函数的图象问题】..............................................................................................................................6
【题型7 二次函数的单调性问题】..........................................................................................................................7
【题型8 二次函数的恒成立问题】..........................................................................................................................8
1、幂函数与二次函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌
握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图
象与性质（单调性、对称
性与最值等）
2020 年江苏卷：第7 题，5 分
2024 年天津卷：第2 题，5 分
幂函数与二次函数是常见的重要
函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近几
年的高考形势来看，幂函数较少单独考
查，常与指、对数函数结合考查，包括
比较指对幂的大小、解不等式等考法，
主要出现在选择题、填空题中，难度较
易；二次函数常与其他知识相结合，考
查二次函数的图象与性质.
知识点
1
幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是
( ∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+
)上，幂函数
中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点
2
二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上
关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的
开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象
求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（25-26 高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．y =(2 x)
2
B．y = ❑√x
C．y =−1
x
D．y =2
x
【变式1-1】（2025 高三·全国·专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y = x
3
B．y = x
2
C．y = x
3+1
D．y = ❑√x
【变式1-2】（24-25 高一上·全国·课后作业）在函数y = x
−2，y =2 x
2，y =( x +1)
2，y =3 x中，幂函数的
个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-3】（24-25 高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在(0,+∞)上是减函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
1
3
C．y =2 x
−1
D．y = x
−2
3
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（24-25 高一上·安徽安庆·阶段练习）已知a=2
0.2，b=0.4
0.2，c =0.15
0.1，则a，b，c 的大小关系
是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式2-1】（24-25 高一上·陕西咸阳·期末）已知a、b∈(0,1)∪(1,+∞)且c>0，则“a>b>1”是“
a
c>b
c”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（24-25 高一上·安徽·期中）幂函数f ( x)=(m
2−m−1)x
m
2+2m−5在区间(0,+∞)上单调递增，
且a+b>0，则f (a)+ f (b)的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【变式2-3】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知f ( x)为奇函数，当0≤x ≤2时，f ( x)=2 x−x
2，当x>2
时，f ( x)=|x−3)−1，则（ ）
A．−f (−❑√26)>f (2
0.3)>f (3
0.3)
B．f (2
0.3)>f (3
0.3)>−f (−❑√26)
C．−f (−❑√26)>f (3
0.3)>f (2
0.3)
D．f (3
0.3)>f (2
0.3)>−f (−❑√26)
【题型3 幂函数图象的判断及应用】
【例3】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A．y = 1
x
3
B．y = ❑√|x)
C．y = 1
x
2
D．y = x
2
3
【变式3-1】（24-25 高一上·辽宁·期末）如图，
对应四个幂函数的图象，则
对应的幂函数可以
①②③④
①
是（ ）
A．y = x
−1
2
B．y = x
2
3
C．y = x
3
4
D．y = x
3
2
【变式3-2】（24-25 高一·全国·课后作业）已知幂函数y = x
p
q（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于y 轴对
称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且p
q >0
B．q 为偶数，p 为奇数，且p
q <0
C．q 为奇数，p 为偶数，且p
q >0
D．q 为奇数，p 为偶数，且p
q <0
【变式3-3】（24-25 高一上·上海浦东新·期中）图中C1、C2、C3分别为幂函数y = x
α1，y = x
α2，y = x
α3在
第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（ ）
A．3，1
2
，−1
B．3，−1，1
2
C．1
2
，3，−1
D．1
2
，−1，3
【题型4 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例4】（24-25 高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知点(
❑√3,
❑√3
3 )
在幂函数f (x)的图象上，则f (x)是
（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
【变式4-1】（24-25 高一上·广东汕头·期末）已知幂函数f (x)=(m
2−3m+1) x
m−1是R上的偶函数，且函数
g(x)= f (x)+(4−2n) x在区间[1,5)上单调，则实数n的取值范围为（ ）
A．(−∞,3)
B．[7 ,+ ∞)
C．[3,7)
D．(−∞,3¿∪)7 ,+ ∞¿¿
【变式4-2】（24-25 高一上·江苏扬州·期末）若幂函数f (x)的图象经过点(4 , 1
8)，则下列说法正确的是
（ ）
A．f (x)为偶函数
B．方程f (x)=27的实数根为1
9
C．f (x)在(0,+ ∞)上为增函数
D．f (x)的值域为R
【变式4-3】（24-25 高一下·湖北·阶段练习）幂函数f (x)=(m
2−m−1) x
m,∀x1, x2∈(0,+∞)都有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
<0成立，则下列说法正确的是（ ）
A．m=2
B．m=2或m=−1
C．f (x)是偶函数
D．f (x)是奇函数
【题型5 求二次函数的值域或最值】
【例5】（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）函数y =−x
2−4 x +3(x∈R)的值域为（ ）
A．[7 ,+ ∞)
B．(7 ,+ ∞)
C．(−∞,7)
D．(−∞,7)
【变式5-1】（2025 高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数y = x
2+mx +m
2−m（m
为常数）的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5
B．最大值15
4
C．最小值5
D．最小值15
4
【变式5-2】（24-25 高一上·新疆·期中）已知函数f ( x)= x
2−4 x +5在[m,n]上的值域是[1,10]，则n−m
的最大值是（ ）
A．3
B．6
C．4
D．8
【变式5-3】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知函数f ( x)=−x
2+2bx，若f (f ( x))的最大值与f ( x)的
最大值相等，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤0
B．b≥1或b≤0
C．−1≤b≤0
D．b≥−1
【题型6 二次函数的图象问题】
【例6】（24-25 高一上·重庆·期中）已知函数f (x)=a x
2+bx +c，若a>b>c ,a+b+c =0，则f (x)的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（24-25 高一下·云南迪庆·期末）抛物线y =a x
2+bx +c(a≠0)的部分图象如图所示，下列说
法正确的是（ ）
A．abc>0
B．b=2a
C．3a+c<0
D．b
2<4 ac
【变式6-2】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）不等式c x
2+ax +b>0的解集为{x|−1< x< 1
2))
，则函数
y =a x
2+bx−c的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向
下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，
而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处
于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以
简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行
途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小
的线路是（ ）
A．P→A →Q
B．P→B→Q
C．P→C →Q
D．P→D→Q
【题型7 二次函数的单调性问题】
【例7】（24-25 高一上·海南·阶段练习）若函数f (x)= x
2+(1+a) x +2在区间(3,+∞)上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−∞,7)
B．[7 ,+ ∞)
C．[−7,+∞)
D．(−∞,−7)
【变式7-1】（24-25 高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数f ( x)=a x
2+bx +c(a>0)的图像与x 轴交点的
横坐标为−5和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A．(−∞,−1]
B．[−1,+∞)
C．(−∞,2]
D．[2,+ ∞)
【变式7-2】（24-25 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区
间(−∞,6)上单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式7-3】（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数f (x)=a x
2+2(a−1) x +2在(−∞,4)上为减
函数，则a的取值范围为（ ）
A．(
1
5 ,+∞)
B．[0, 1
5)
C．(−∞, 1
5)
D．(0, 1
5)
【题型8 二次函数的恒成立问题】
【例8】（24-25 高一下·贵州·阶段练习）对任意x∈[−1, 1)，不等式2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
4)
B．(−∞, 1
2)
C．(−∞, 5
2)
D．[
1
2 , +∞)
【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）设函数f (x)=a x
2−2ax，命题“∃x∈[2,6)，f (x)≤−2a+3
”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(
3
2 ,+ ∞)
B．(3,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞, 3
2)
【变式8-2】（2025·上海黄浦·二模）设函数f (x)={
−x
2+ax +20,−4≤x ≤0
a x
2−2 x +3,0< x ≤4 )
，若f ( x)>0恒成立，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)
B．(0, 1
3)
C．(
5
16 ,1)
D．(
1
3 ,1)
【变式8-3】（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x ≥0时，
f (x)= x
2−2 x +2. 若f (x)≥2 x +b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,1)
C．(−∞,0)
D．(−∞,−2)
一、单选题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数f (x)=(m
2+m−1) x
m的图象与坐标轴无公共点，则m=
（ ）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
2．（2025·山东·模拟预测）设全集U = R，集合A ={ y|y)= x
2, x∈R}，B ={x|−1)< x<1}，则
{x|−1)< x<0}=（ ）
A．A ∪B
B．(∁U A )∩B
C．A ∩(∁U B)
D．∁U( A ∩B)
3．（2025·江苏盐城·三模）“m=2”是“f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+2m−3为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
4．（24-25 高一上·北京·开学考试）已知二次函数y =m x
2−2mx（m为常数），当−1≤x ≤2时，函数值y
的最小值为−2，则m 的值是（ ）
A．−2
B．1
C．2 或−2
3
D．−1
5．（24-25 高一上·广西钦州·阶段练习）“m<−17”是“函数f (x)=−3 x
2+2(1−m) x−5在区间(−∞,6)
上单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·天津·二模）已知函数y =2a x
3(a<0)，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减B．偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
C．奇函数，且在区间(−∞,0)上单调递减D．奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增
7．（2025·江西·一模）若直线y =t(0<t <1)与幂函数y = x
3，y = ❑√x，y = 1
x
的图象从左到右依次交于不
同的三点A，B，C，则|AC)=（ ）
A．1
t −t
2
B．1
t −t
3
C．1
t −
3√t
D．3√t −t
2
8．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)= x
2−2tx +2t
2−2t，则下列选项正确的是（ ）
A．f (x)的图象恒过点(0,0)
B．f (x)的图象必与x轴有两个不同的交点
C．f (x)的最小值可能为−2
D．f (x)的最小值可能为−1
二、多选题
9．（24-25 高一上·贵州·阶段练习）现有4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（
）
A．p=3，m=2，q = 1
2
，n=−3
B．p= 4，m=3，q = 1
3
，n=−2
C．p=2，m=3，q =−1
2
，n=−3
D．p= 1
2
，m= 1
3
，q =−2，n= 1
4
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）二次函数y = x
2+(2a−1) x−3在x∈[−1,3)上最大值为1，则实数
a 值为（ ）
A．−1
2
B．−1
3
C．−1
4
D．−1
11．（24-25 高一上·广东广州·期末）如图，二次函数y =a x
2+bx +c的对称轴为x =1，且与x轴交于点
A (−1,0)，则（ ）
A．a>0
B．∀m∈R ,a+b≥am
2+bm
C．ax +c>0的解集为{x∣x<3}
D．c x
2+bx +a<0的解集为{x|−1< x< 1
3))
三、填空题
12．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数f (x)= x
a的定义域为R，其图象关于原点对称，且在(0,+ ∞)
上单调递增，则α的值可以是
.（写出一个即可）
13．（2025·辽宁·模拟预测）命题p：存在m∈[−1,1)，使得函数f (x)= x
2−2mx在区间[a,+∞)内单调，
若p的否定为真命题，则a的取值范围是 .
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)=|x
2−6 x +7)在[1,m)(m>1)上的最大值为A，在[m,2m−1)
上的最大值为B，若A ≥2B，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x
2−2ax−3．
(1)已知f ( x)在[3,+ ∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)求f ( x)在[−1,2)上的最小值．
16．（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知幂函数f (x)=(3m
2−2m) x
m的定义域不为R.
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式f (a+1)+ f (2a−3)<0恒成立，求a 的取值范围.
17．（24-25 高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数f (x)= x
2−2ax +a(a∈R).
(1)若函数f (x)在[2a−4,2a−1)上单调，求a的取值范围：
(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[−1,1]上的最小值为−2?若存在，求出a的值；若不存在，请说
明理由．
18．（24-25 高一上·北京·期中）已知幂函数f ( x)=(3m
2−2m)x
m(m∈R)在定义域上不单调．
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)函数f ( x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若f (a+1)+ f (2a−3)<0，求实数a的取值范围．
19．（24-25 高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数f (x)= x
2+3 x−a，a∈R．
(1)若a= 4时，求不等式f (x)<0的解集；
(2)若函数f (x)在区间[a,a+1)上具有单调性，求实数a 的取值范围：
(3)解关于x 的不等式f (x)>ax +2a．
