专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】.................................................................................................1
【题型2 根据函数的单调性求参数】......................................................................................................................3
【题型3 函数的最值问题】......................................................................................................................................5
【题型4 函数的奇偶性及其应用】..........................................................................................................................7
【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】.................................................................................................9
【题型6 函数的周期性】........................................................................................................................................11
【题型7 函数的对称性】........................................................................................................................................13
【题型8 函数的图象问题】....................................................................................................................................14
【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】...................................................................................................17
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
1．（25-26 高一上·河南驻马店·期中）函数f (x)=
❑√3 x
2−5 x−2的单调递增区间是（ ）
A．(−∞, 5
6)
B．(
5
6 ,+∞)
C．(−∞,−1
3)
D．(2,+∞)
【答案】D
【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【解答过程】由t =3 x
2−5 x−2≥0，解得x ≤−1
3或x ≥2，
所以函数的定义域为(−∞,−1
3 ]∪[2,+∞)，
因为t在(−∞,−1
3 )上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
又因为y = ❑√t为单调递增函数，
所以函数y = f ( x)的单调递增区间是(2,+ ∞).
故选：D.
2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．f (x)=−x
3
B．f (x)=2
| x|
C．f (x)=−1
x
D．f (x)=
3√x
【答案】D
【解题思路】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可.
【解答过程】对于A：函数f (x)=−x
3为奇函数，在(−∞,+ ∞)上单调递减，不符合；
对于B：函数f (x)=2
| x|为偶函数，不符合；
对于C：函数f (x)=−1
x 为奇函数，在(−∞,0)和(0,+ ∞)分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调
性，不符合；
对于D：函数f (x)=
3√x为奇函数，在(−∞,+∞)上单调递增，符合题意.
故选：D.
3．（25-26 高一上·广东深圳·期中）已知函数f (x)=(x−2)|3−x)，则函数f (x)的单调增区间是（ ）
A．(−∞,2.5)和(3,+ ∞)
B．(−∞,2.5)
C．(2,2.5)和(3,+ ∞)
D．(2,2.5)
【答案】A
【解题思路】讨论x 的取值范围，化简f (x)，结合二次函数的单调性，即可确定答案.
【解答过程】由于函数f (x)=(x−2)|3−x)，
当x ≤3时，f ( x)=( x −2)(3−x)=−x
2+5 x −6，
由于f ( x)=−x
2+5 x −6图象的对称轴为x = 5
2，则函数在(−∞, 5
2)上单调递增，
当x>3时，f ( x)=( x −2)( x −3)= x
2−5 x +6，
由于f ( x)= x
2−5 x +6图象的对称轴为x = 5
2，则函数在(3,+ ∞)上单调递增，
故函数f (x)=(x−2)|3−x)的单调增区间是(−∞,2.5)和(3,+∞).
故选：A.
4．（25-26 高一上·江西·期中）已知f (x)是定义域为[0,+∞)的减函数，则f (4−x)是（ ）
A．定义域为[0,+∞)的增函数
B．定义域为(−∞,4)的增函数
C．定义域为[0,+∞)的减函数
D．定义域为(−∞,4)的减函数
【答案】B
【解题思路】先根据f ( x)的定义域求出f (4−x)的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性.
【解答过程】因为f ( x)的定义域为[0,+∞)，所以f (4−x)的定义域为(−∞,4 ]，
令u= 4−x，则f (4−x)= f (u)，
u= 4−x是一次函数，在定义域(−∞,4 ]上是减函数；
已知f (x)是定义域为[0,+ ∞)的减函数，所以f (u)在定义域[0,+∞)上是减函数，
根据复合函数“同增异减”的单调性原则，u= 4−x为减函数，f (u)为减函数，两者单调性相同，因此
f (4−x)在定义域(−∞,4 ]上是增函数.
故选：B.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
5．（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)=|2
x−m)在[1,2]上单调，则m的取值范围是（ ）
A．(0,2]
B．[ 4 ,+∞)
C．(−∞,2]∪[ 4 ,+∞)
D．(0,2]∪[ 4 ,+∞)
【答案】C
【解题思路】根据指数函数y =2
x的单调性可知2
x∈[2,4 ].对m的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合
指数函数的单调性即可求解.
【解答过程】当x∈[1,2]时，根据指数函数y =2
x在R上单调递增，可知2
x∈[2,4 ].
当m∈(−∞,2)时，2
x−m≥0，所以f ( x)=|2
x−m)=2
x−m，f ( x)在[1,2]上单调递增；
当m∈(2,4)时，f ( x)=|2
x−m)={
m−2
x , x∈[1,log2m)
2
x−m, x∈[log2m,2))，f ( x)在[1,2]上不单调；
当m∈[4 ,+∞)时，2
x−m≤0，所以f ( x)=|2
x−m)=m−2
x，f ( x)在[1,2]上单调递减.
综上，m∈(−∞,2)∪[4 ,+ ∞).
故选：C.
6．（2025·山东济宁·二模）若函数f (x)=(
1
2)
x
2−ax
在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤1
D．a≥1
【答案】A
【解题思路】f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
是由y =( 1
2 )
u
与u= x
2−ax复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函
数单调性确定内层函数单调性，进而求出a的取值范围.
【解答过程】f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
是由y =( 1
2 )
u
与u= x
2−ax复合而成，
在y =( 1
2 )
u
中，b= 1
2，，所以y =( 1
2 )
u
在R上单调递减.
因为f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
在[1,+ ∞)上单调递减，且外层函数y =( 1
2 )
u
在R上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u= x
2−ax在[1,+∞)上单调递增.
对于二次函数u= x
2−ax，其图象开口向上，对称轴为x =−−a
2×1 = a
2.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u= x
2−ax在[1,+∞)上单调递增，
则对称轴需满足a
2 ≤1，解得a≤2.
故选：A.
7．（2025·河北·模拟预测）若函数f (x)={
log3(x +2)，−2< x ≤1
x + m
x ，x>1
)
，在(−2,+∞)上单调递增，则m 的取
值范围是（ ）
A．(−∞,1)
B．[−1,1)
C．[0,1)
D．[0,+ ∞)
【答案】C
【解题思路】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当−2< x ≤1，根据对数函数性质得
出函数单调性和最大值，当x>1，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于m的不等式①并得出f (x)在
(1,+∞)上的最小值，再利用x>1时的最小值不小于−2< x ≤1时的最大值，列出关于m的不等式②，合并
求出m 的取值范围.
【解答过程】若−2< x ≤1，f (x)= log3(x +2)，因为底数3>1，对数函数f (x)为单调递增函数，
f (x)在(−2,1)上的最大值为f (1)= log3(2+1)=1.
若x>1，f (x)= x + m
x ，求导得f
' (x)=1−m
x
2，
要使f (x)单调递增，则需满足f
' (x)=1−m
x
2 ≥0①对所有x>1恒成立，解得m≤x
2，
因为x>1，则x
2>1，所以m≤1，
若f (x)在(−2,+ ∞)上单调递增，则1+m≥1②，解得m≥0，
所以0≤m≤1.
故选：C.
8．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=
1
❑√log2(x
2−ax +3)在(0,2)上单调，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,0¿∪)2,+∞¿¿
C．(−∞,2¿∪)2❑√2,+ ∞¿¿
D．[0,2)∪(2,2❑√2)
【答案】A
【解题思路】根据对数函数的性质可得不等式x
2−ax +3>1在(0,2)上恒成立，利用分离参数法和基本不等
式可得a<2❑√2.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数a的取值范围.
【解答过程】由题意可知，log2(x
2−ax +3)>0在(0,2)上恒成立，
所以x
2−ax +3>1在(0,2)上恒成立，
即a< x + 2
x 在(0,2)上恒成立.
又由基本不等式可得x + 2
x ≥2❑√x⋅2
x =2❑√2，当且仅当x = ❑√2时，取得等号，
所以a<2❑√2.
因为函数f (x)在(0,2)上单调，
所以g(x)=log2(x
2−ax +3)在(0,2)上单调，
由复合函数单调性可知y = x
2−ax +3在(0,2)上单调，
所以结合二次函数的性质可得：a
2 ≤0或a
2 ≥2，解得a≤0或a≥4.
综上所述，实数a的取值范围为a≤0.
故选：A.
【题型3 函数的最值问题】
9．（25-26 高三上·甘肃白银·月考）已知函数f (x)= x
2
1+ x
，则f (x)在区间[1,3)上的最大值、最小值分别为
（ ）
A．最大值为1，最小值为1
4
B．最大值为9
4 ，最小值为1
2
C．最大值为1，最小值为1
3
D．最大值为9
4 ，最小值为1
3
【答案】B
【解题思路】令t = x +1∈[2,4)，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.
【解答过程】函数f (x)= x
2
x +1 = (x +1)
2−2(x +1)+1
x +1
= x +1+
1
x +1 −2，
令t = x +1∈[2,4)，则f (x)= g(t )=t + 1
t −2，
由对勾函数的性质得，函数g(t )在[2,4)上单调递增，
故当t =2，即x =1时，f (x)min= 1
2，当t = 4，即x =3时，f (x)max= 9
4 ．
故选：B．
10．（25-26 高三上·安徽·期中）若f (x)=|x)+|x−2)+|x−4)+|x−6)+|x−8)，则f (x)的最小值是（ ）
A．12
B．14
C．16
D．20
【答案】A
【解题思路】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解.
【解答过程】由f (x)=|x)+|x−2)+|x−4)+|x−6)+|x−8)，
当x ≤0时，f (x)=−x +2−x + 4−x +6−x +8−x =−5 x +20，
当0< x ≤2时，f (x)= x +2−x + 4−x +6−x +8−x =−3 x +20，
当2< x ≤4时，f (x)= x + x−2+ 4−x +6−x +8−x =−x +16，
当4< x ≤6时，f (x)= x + x−2+ x−4 +6−x +8−x = x +8，
当6< x ≤8时，f (x)= x + x−2+ x−4+ x−6+8−x =3 x−4，
当x>8时，f (x)= x + x−2+ x−4+ x−6+ x−8=5 x−20，
作出f (x)的图象如图所示，
即f (x)在(−∞,4)上单调递减，[4 ,+∞)上单调递增，
所以当x = 4时，f (x)取最小值，即f (4)= 4+2+0+2+ 4 =12.
故选：A.
11．（25-26 高一上·北京·期中）已知函数f (x)={
−x−k
2+1, x<0
x
2−2 x + k , x ≥0)，若函数f (x)存在最小值，则实数k的
取值范围为（ ）
A．(−2,1)
B．[−2,1)
C．(−∞,−2)∪(1,+ ∞)
D．(−∞,−2)∪[1,+ ∞)
【答案】B
【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出f (x)的取值范围，结合函数存在最小值得到不等
式，解得即可.
【解答过程】因为f (x)={
−x−k
2+1, x<0
x
2−2 x + k , x ≥0)，
当x<0时f (x)=−x−k
2+1，所以f (x)在(−∞,0)上单调递减，则f (x)>−k
2+1；
当x ≥0时f (x)= x
2−2 x + k =(x−1)
2+ k −1，所以f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f (x)≥f (1)=k −1，
要使函数f (x)存在最小值，则k −1≤−k
2+1，解得−2≤k ≤1，
即实数k的取值范围为[−2,1).
故选：B.
12．（25-26 高三上·湖北武汉·月考）已知f (x)是R上的奇函数，且f (x)= f (2−x)，若f (x)在[0,1)上单调
递增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−1
B．−2
C．−3
D．4
【答案】B
【解题思路】分析可知，函数f (x)是周期为4的周期函数，且该函数的图象关于直线x =1对称，只需求该
函数在[−1,1)上的最小值，结合单调性与奇偶性可得答案.
【解答过程】因为f (x)是R上的奇函数，且f (x)= f (2−x)，则f (x)= f (2−x)=−f (x−2)，
所以f (x +2)=−f (x)= f (x−2)，即f (x + 4)= f (x)，
故函数f (x)是周期为4的周期函数，
又因为f (x)= f (2−x)，所以函数f (x)的图象关于直线x =1对称，
要求函数f (x)在R上的最小值，只需求该函数在区间[−1,3)上的最小值，
由对称性，只需求该函数在区间[−1,1)上的最小值，
因为函数f (x)是奇函数且在[0,1)上单调递增，则该函数在[−1,0)上单调递增，
故函数f (x)在[−1,1)上单调递增，故f (x)min= f (−1)=−f (1)=−2.
故选：B.
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
13．（2025·山东·三模）已知f (x)= 2 x
e
x−1
+ax为偶函数，则a的值为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
【答案】A
【解题思路】利用偶函数的定义可求出a的值.
【解答过程】由e
x−1≠0可得x≠0，故函数f (x)的定义域为{x|x ≠0))，
因为函数f (x)为偶函数，则f (−x)= f (x)，
即−
2 x
e
−x−1
−ax = 2 x
e
x−1
+ax，
所以−2ax = 2 x
e
x−1
+
2 x
e
−x−1
= 2 x
e
x−1
+
2 xe
x
e
x(e
−x−1)
= 2 x
e
x−1
−2 xe
x
e
x−1
= 2 x(1−e
x)
e
x−1
=−2 x对任意的x≠0恒成
立，
故−2a=−2，解得a=1.
故选：A.
14．（2025·广东佛山·一模）设f (x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f (x)=3+log2 x,则f (−2)=（ ）
A．7
2
B．−7
2
C．4
D．-4
【答案】D
【解题思路】根据奇函数的性质将f (−2)转化为−f (2)即可.
【解答过程】∵f ( x)是定义在R上的奇函数，
∴f (−2)=−f (2)=−(3+ log22)=−4.
故选：D.
15．（2025·浙江丽水·一模）定义在R上的两个函数f (x),g(x)，恒有f
3(x)= g(x
2)，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．g(x)为奇函数
D．g(x)为偶函数
【答案】B
【解题思路】借助函数奇偶性定义计算即可得.
【解答过程】由f
3(x)= g(x
2)，则f
3(−x)= g[(−x)
2)= g(x
2)= f
3(x)，
则f (−x)= f (x)，又f (x)定义域为R，故f (x)为偶函数，故B 正确；
由已知得不到g(x)与g(−x)关系，也得不到f (x)+ f (−x)是否为0，故A、C、D 错误.
故选：B.
16．（2025·云南·模拟预测）已知f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x +1)−1为奇函数，则
f (2)+ f (3)+ f (4)=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案.
【解答过程】由函数f (x)为偶函数，则y轴为该函数图象的一条对称轴；
由函数f (x +1)−1为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心.
由函数f (x +1)−1的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数f (x)的图象，
则(1,1)是函数f (x)的一个对称中心.
所以直线x =2是函数f (x)图象的对称轴，(3,1)是函数f (x)图象的对称中心，
由2+ 4
2
=3，则f (2)+ f (4)=2，所以f (2)+ f (3)+ f (4)=3.
故选：D.
【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】
17．（2025·云南·模拟预测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (1)=1，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)
，均有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1成立，则不等式f (x−1)+1> x的解集为（ ）
A．(0,1)∪(2,+ ∞)
B．(−2,0)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(0,1)
D．(−2,−1)∪(0,1)
【答案】A
【解题思路】根据
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1，设函数g(x)= f (x)−x，则g(x)= f (x)−x在(0,+∞)上递增，判断
g(x)= f (x)−x也是是定义在R 上的奇函数，可得g(x)= f (x)−x在(−∞,0)上递增，分类讨论列不等式求
解即可.
【解答过程】因为对任意的x1, x2∈(0,+ ∞)，均有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1成立，不妨设x2> x1>0，
则x1−x2<0，所以f (x1)−f (x2)< x1−x2⇒f (x1)−x1<f (x2)−x2，
令g(x)= f (x)−x，则g(x)= f (x)−x在(0,+ ∞)上递增，
因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以g(x)= f (x)−x是定义在R 上的奇函数，
所以g(x)= f (x)−x在(−∞,0)上递增，
不等式f (x−1)+1> x化为f (x−1)−(x−1)>0⇒g(x−1)>0，
因为f (1)=1，所以f (1)−1=0，即g(1)=0，所以g(−1)=−g(1)=0，
则{
g(x−1)>g(1)
x−1>0 )，即：{
x−1>1
x−1>0)⇒x>2，所以x>2，
或{
g(x−1)>g(−1)
x−1<0
)，即：{
x−1>−1
x−1<0 )⇒0< x<1，所以0< x<1，
所以不等式f (x−1)+1> x的解集为(0,1)∪(2,+∞)，
故选：A．
18．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x−1)的图象关于直线x =1对称，且f (x)在
(−∞,0)上单调递减.设a= f (log23),b= f (ln3),c = f(lg 1
9)，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】D
【解题思路】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.
【解答过程】因为f (x−1)的图象关于直线x =1对称，所以f (x)的图象关于y轴对称，所以f (x)为偶函数，
又f (x)在(−∞,0)上单调递减，所以f (x)在(0,+ ∞)上单调递增.
由题得c = f(lg 1
9)= f (−lg9)= f (lg9)，
又0<lg9<1，因0<ln 2<1，则log23= ln3
ln2 >ln3>1
所以f (lg9)<f (ln3)<f (log23)，
即c<b<a.
故选：D.
19．（2025·重庆·二模）已知函数f (x) 是定义在R上的偶函数，且f (x)在(−∞,0) 上为增函数，设
a=(
1
2)
−2
5，b=3
2
3 ，c =(−3)
2
5，则 f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是（ ）
A．f (a)>f (b)>f (c)
B．f (a)>f (c)>f (b)
C．f (c)>f (b)>f (a)
D．f (c)>f (a)>f (b)
【答案】B
【解题思路】易得函数f (x) 在 (0,+ ∞) 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到b>c>a>0
求解.
【解答过程】因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)在(−∞,0)上为增函数，
所以函数f (x)在(0,+ ∞)上为减函数，
又 a=(
1
2)
−2
5 =2
2
5 <3
2
5 =(−3)
2
5 =c，b=3
2
3 >3
2
5 =(−3)
2
5 =c，
所以b>c>a>0，则f (a)>f (c)>f (b)，
故选：B.
20．（2025·河北石家庄·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈(0, +∞)且x1≠x2时，都有
x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0成立，f (2025)=2025，则不等式f (x)−x>0的解集为（ ）
A．(−∞, −2025)∪(2025, +∞)
B．(−2025, 0)∪(2025, +∞)
C．(−2025, 2025)
D．(−
1
2025 ,
1
2025)
【答案】B
【解题思路】对
x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0进行变形，得出函数g(x)= f (x)
x
的单调性，再利用函数的单调性和
奇偶性解不等式.
【解答过程】由
x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0可得
f (x1)
x1
−f (x2)
x2
x1−x2
>0，设函数g(x)= f (x)
x
，x∈(0, +∞)，
则g(x)在(0,+ ∞)上单调递增，
又因为f (x)为定义在R上的奇函数，g(−x)= f (−x)
−x
= g(x)，所以g(x)为偶函数，g(x)在(−∞,0)上单调递
减，
而不等式f (x)−x>0⇔{
g(x)>1(x>0)
g(x)<1(x<0))，
又因为f (2025)=2025，所以g(2025)= g(−2025)=1，
所以不等式的解集为(−2025, 0)∪(2025, +∞).
故选：B.
【题型6 函数的周期性】
21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x +2)= f (x)，且当0< x ≤1时，
f (x)=−x
2+ x，则f(
11
2 )=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．1
4
D．−1
4
【答案】D
【解题思路】根据条件，利用函数的性质，得f(
11
2 )=−f(
1
2)，再将x = 1
2代入f (x)=−x
2+ x，即可求解.
【解答过程】因为f (x)奇函数，又f (x +2)= f (x)，知f (x)的一个周期为T =2，
所以f(
11
2 )= f(2×3−1
2)= f(−1
2)=−f(
1
2)，
又当0< x ≤1时，f (x)=−x
2+ x，所以f(
1
2)=−(
1
2)
2
+ 1
2 = 1
4 ，则f(
11
2 )=−1
4 ，
故选：D.
22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域R上的函数f (x)满足f (x +2)=−f (x)，且当x∈[0,2)时，
f (x)= x
2−2 x，则f (2025)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】B
【解题思路】求得函数f (x)的周期，利用周期函数的性质求解即可.
【解答过程】由f (x +2)=−f (x)，可得f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
所以f (x)是周期为4 的周期函数，
所以f (2025)= f (4×506+1)= f (1)=1
2−2×1=−1.
故选：B.
23．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记
g(x)= f
′ (x), y = f (2 x−1)+1是定义在R上的奇函数，且f (2 x +1)的一个周期为2，则（ ）
A．2 为f (x)的周期
B．f (2025)+ f (−2023)=2
C．g(−x)= g(x)
D．g(3+ x)= g(3−x)
【答案】D
【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.
【解答过程】因为 y = f (2 x−1)+1 是定义在 R上的奇函数，
所以 f (−2 x−1)+1+ f (2 x−1)+1=0,
所以 f (−x−1)+ f ( x−1)=−2 ，
所以 f ( x) 关于 (−1,−1) 对称，且 f (−1)=−1 ，
又 f (2 x +1) 的一个周期为 2 ，
所以 f [2( x +2)+1]= f (2 x +1) ，即 f (2 x +5)= f (2 x +1) ，
所以 f ( x + 4)= f ( x) ，所以 f ( x) 的周期为 4 ，所以 A 选项错误；
因为 f (−x−1)+ f ( x−1)=−2 ，
所以 f (−x)+ f ( x−2)=−2 ，
又 f ( x) 的周期为 4 ，即f ( x−2)= f ( x +2)，
所以 f (−x)+ f ( x +2)=−2 ，
所以 f (−2023)+ f (2025)=−2 ，所以 B 选项错误；
因为 f (−x)+ f ( x +2)=−2 ，f ( x + 4)= f ( x) ，
所以 −f
′(−x)+ f
′( x +2)=0 ，f
′( x + 4)= f
′( x),
即 −g(−x)+ g( x +2)=0 ，g( x + 4)= g( x) ，
所以 −g(−x)+ g( x−2)=0 ，−g(−x)+ g( x +6)=0 ，
所以 g(−x)= g( x−2) ，g( x +3)= g(3−x) ，
所以 C 选项错误，D 选项正确．
故选：D．
24．（2025·江苏南通·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的函数，对∀x , y ∈R，有
f ( x + y)−f ( x−y)= f ( x +1)f ( y −1)，且f (2)=−2，则f (f (2025))=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.
【解答过程】函数f ( x)，对∀x , y ∈R，有f ( x + y)−f ( x−y)= f ( x +1)f ( y −1)，
取x = y =1，得f (2)−f (0)= f (2)f (0)，而f (2)=−2，则f (0)=2，
对∀x∈R，令y =1，得f ( x +1)−f ( x−1)= f ( x +1)f (0)=2f ( x +1)，
即f ( x +1)=−f ( x−1)，因此f ( x + 4)=−f ( x +2)=−[−f ( x)]= f ( x)，函数f ( x)周期为4，
令x = y =0，得f (1)f (−1)=0，而f ( x +1)=−f ( x−1)，则f (1)=−f (−1)=0，
所以f (f (2025))= f (f (1))= f (0)=2.
故选：A.
【题型7 函数的对称性】
25．（2025·四川·三模）已知函数f (x)= x
3−x，则函数y = f (x +2)+2的图象（ ）
A．关于点(−2,2)对称
B．关于点(2,−2)对称
C．关于直线x =2对称
D．关于直线x =−2对称
【答案】A
【解题思路】由函数的奇偶性可得f (x)为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【解答过程】因为f (−x)=(−x)
3−(−x)=−x
3+ x =−f (x)，则f (x)为奇函数，
所以f (x)的图象关于原点对称，
函数y = f (x +2)+2的图象可由f (x)的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，
所以函数y = f (x +2)+2的图象关于点(−2,2)对称．
故选：A.
26．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于直线
x =2对称，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计
算给定求和式的值.
【解答过程】由f (2 x +1)为奇函数，得f (−2 x +1)+ f (2 x +1)=0，
所以f ( x)图象的对称中心为(1,0)，令x =0⇒f (1)=0
由f ( x)的图象关于直线x =2对称，得f (2+ x)= f (2−x)，
由{
f ( x)+ f (2−x)=0,
f (2+ x)= f (2−x),)得f ( x +2)=−f ( x)，所以f ( x + 4)=−f ( x +2)= f ( x)，
则f ( x)的一个周期为4，则f (1)+ f (3)=0,f (2)+ f (4)=0,
则∑
i=1
2025
f (i)=506×[ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)]+ f (2025)=506×[ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)]+ f (1)=0．
故选：B.
27．（2025·河南·一模）已知曲线y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，则a=（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
【答案】C
【解题思路】由题意可知f (−2−x)+ f (x)=0，计算即可得出结果.
【解答过程】因为y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，
所以f (−2−x)+ f (x)=0，
所以ln −x−2
−x
−(−2−x)+a+ln
x
x +2 −x +a=0，可得a=−1，
故选：C．
28．（2025·河南郑州·三模）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x−3)f (x)的图象关于x =3
对称，若g(−2)=−5，则f (4)=（ ）
A．−3
B．−1
C．0
D．1
【答案】D
【解题思路】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值x =−2, x =2, x = 4即可得到答案.
【解答过程】因为g(−2)=(−2−3)f (−2)=−5 f (−2)=−5，所以f (−2)=1，
因为f (x)是奇函数，f (2)=−f (−2)=−1，所以g(2)=(2−3)f (2)=1，
因为函数g(x)=(x−3)f (x)的图象关于x =3对称，所以g(4)= g(2)=1，
即g(4)=(4−3)f (4)= f (4)=1.
故选：D.
【题型8 函数的图象问题】
29．（2025·四川成都·三模）函数f ( x)= x +| x|
x
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】分x>0、x<0将函数解析式化简，分别说明函数的单调性与函数的取值情况，即可判断.
【解答过程】函数f ( x)= x +| x|
x
的定义域为{x| x≠0)，
当x>0时f ( x)= x +1，所以f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，且f (x)>1，
当x<0时f (x)= x−1，所以f (x)在(−∞,0)上单调递增，且f (x)<−1.
所以符合题意的只有D.
故选：D.
30．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=
x
|x)−1
B．f (x)= |x)
1−x
2
C．f (x)=−
x
2
|x)+1
D．f (x)=
x
2
1−|x)
【答案】D
【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.
【解答过程】由图可知：函数f (x)的图象关于y 轴对称，定义域有两个间断点，
对于选项A：令|x)−1≠0，解得x≠±1，可知f (x)的定义域为{x| x≠±1)，
且f (−x)=
−x
|−x)−1 =−
x
|x)−1 =−f (x)，可知函数f (x)为奇函数，
其图象关于原点轴对称，故A 错误；
对于选项B：令1−x
2≠0，解得x≠±1，可知f (x)的定义域为{x| x≠±1)，
当x>1时，f (x)= |x)
1−x
2 =
x
1−x
2 =
1
1
x −x ，
因为y = 1
x −x在(1,+ ∞)内单调递减，函数f (x)在(1,+∞)内单调递增，故B 错误；
对于选项C：因为|x)+1>0，可知f (x)的定义域为R，故C 错误；
故选：D.
31．（25-26 高一上·河北邢台·期中）函数f (x)= x
5−5 x
3+ 4 x的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可.
【解答过程】因为f (x)的定义域为R，
且f (−x)=(−x)
5−5(−x)
3+ 4 (−x)=−x
5+5 x
3−4 x = −f (x)，
所以f (x)是奇函数，排除 D．
又因为f (x)= x(x
2−4)(x
2−1)= x (x +2)(x−2)(x +1)(x−1)，
所以f (1)= f (−1)= f (2)= f (−2)=0，排除A．
当x∈(0,1)时，f (x)>0，排除B.
故选：C.
32．（2025·天津·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．f (x)= x
2|x)
B．f (x)=2|x)−2
C．f (x)=2|x)−x
2
D．f (x)=e|x)−|x)
【答案】C
【解题思路】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；
【解答过程】对于A：f (x)= x
2|x)，当x<0时，f ( x)<0 ，故排除A；
对于B：当x ≥0时，函数y =2
x−2为增函数，当x<0时，函数y =2
−x−2为减函数，故排除B；
对于D，当x>0时，f ( x)=e
x−x，f
′( x)=e
x−1>0，所以f (x)在(0,+∞)上单调递增，故排除D；
对于C，f (x)=2|x)−x
2为偶函数，由f (x)=0可得x =±2,± 4，满足图象，故C 正确.
故选：C．
【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】
33．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为R，其导函数为f
′ (x)，若函数
y = f (2 x +1)+ 3
2与y = f
′ (x +2)都是奇函数，且f
′ (3)=−2f (1)，则∑
k =1
2025
f
′ (k )=（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
【答案】A
【解题思路】根据函数是奇函数求导得出2f
′ (2 x +1)=2f
′ (−2 x +1)，再结合导函数是奇函数，进而得出
周期计算求值.
【解答过程】由f (2 x +1)+ 3
2为奇函数，可得
f (2 x +1)+ 3
2 =−f (−2 x +1)−3
2，
两边分别求导，可得
2f
′ (2 x +1)=2f
′ (−2 x +1)，
即f
′ (x)关于直线x =1对称，
且y = f
′ (x +2)为奇函数，
所以f
′ (2)=0，
且f
′ (x)关于(2,0)对称，
故4 是f
′ (x)的一个周期.
又由f
′ (x)关于(2,0)对称，
所以f
′ (1)+ f
′ (3)=0，
又f
′ (x)关于直线x =1对称，
所以f
′ (0)= f
′ (2)=0，
即f
′ (1)+ f
′ (2)+ f
′ (3)+ f
′ (4)=0.
由f (2 x +1)+3为奇函数，可得
f (1)+ 3
2 =0，
故f
′ (3)=−2f (1)=3，
所以∑
k =1
2025
f
′ (k )=506×0+ f
′ (1)=−f
′ (3)=−3.
故选：A.
34．（2025·重庆·三模）设函数f ( x)的定义域为R，f
′( x)是f ( x)的导函数.若f ( x +1)是奇函数，则f
′( x)
的图象（ ）
A．关于(1,0)对称
B．关于x =1对称
C．关于(−1,0)对称
D．关于x =−1对称
【答案】B
【解题思路】由题意得f ( x +1)+ f (−x +1)=0，求导得f
′( x +1)−f
′(−x +1)=0，即可求解.
【解答过程】因为f ( x +1)是奇函数，所以f ( x +1)=−f (−x +1)，即f ( x +1)+ f (−x +1)=0，
对其求导，则有f
′( x +1)−f
′(−x +1)=0，所以f
′( x)关于直线x =1对称.
故选：B.
35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f ( x)及其导函数f
′( x)的定义域都是R，若函数f ( x)是偶函数，
f
′( x)+e
x+ x也是偶函数，且f (a)>f (3a−1)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(
1
4 , 1
2)
D．(−∞, 1
4)∪(
1
2 ,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出f
′ (x)=−f
′ (−x)，由已知可得出
f
' (x)+e
x+ x = f
' (−x)+e
−x−x，可求出f
′ (x)的表达式，利用导数分析函数f
′ (x)的单调性，可知函数f (x)
在[0,+ ∞)上为减函数，再由f (a)>f (3a−1)可得出f (|a))>f (|3a−1))，可得出关于实数a的不等式，解
之即可.
【解答过程】因为f (x)为偶函数，则f (x)= f (−x)，等式两边求导可得f
′ (x)=−f
′ (−x)，①
因为函数f
' (x)+e
x+ x为偶函数，则f
' (x)+e
x+ x = f
' (−x)+e
−x−x，②
联立①②可得f
' (x)=e
−x−e
x
2
−x，
令g(x)= f
′ (x)，则g
' (x)= −e
x−e
−x
2
−1<0，且g
′ (x)不恒为零，
所以，函数g(x)在R上为减函数，即函数f
′ (x)在R上为减函数，
故当x>0时，f
' (x)<f
' (0)=0，所以，函数f (x)在[0,+∞)上为减函数，
由f (a)>f (3a−1)可得f (|a))>f (|3a−1))，
所以，|a)<|3a−1)，整理可得8a
2−6a+1>0，解得a< 1
4 或a> 1
2.
故选：D.
36．（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶函数
f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】C
【解题思路】由题意可得f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，由函数奇偶性的定义得出f (−t −1)= f (t −1)，求导得出
−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，进而可推出函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，以及函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，
求出f
′ (1)、f
′ (0)+ f
′ (2)的值，结合函数周期性可求得f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)的值.
【解答过程】因为函数f
′ (2 x +1)为奇函数，则f
′ (−2 x +1)=−f
′ (2 x +1)，
即f
′ (−2 x +1)+ f
′ (2 x +1)=0，令t =2 x，则f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，
所以，函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，且f
′ (2−t )+ f
′ (t )=0，①
在等式①中，令t =1可得2f
′ (1)=0，解得f
′ (1)=0，
在等式①中，令t =0可得f
′ (0)+ f
′ (2)=0,
因为函数f (2 x−1)为偶函数，则f (−2 x−1)= f (2 x−1)，
令t =2 x，可得f (−t −1)= f (t −1)，求导得−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，
则f
′ (t )+ f
′ (−2−t )=0，②
由①②可得f
′ (2−t )= f
′ (−2−t )，令s=−2−t，则f
′ (4 + s)= f
′ (s)，
所以，函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，
所以，f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)= f
′ (0)+ f
′ (1)+ f
′ (2)=0.
故选：C.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）已知函数f ( x)为偶函数，当x<0时，f ( x)= x−2
2
x ，则f (1)=（ ）
A．3
2
B．−3
2
C．6
D．−6
【答案】D
【解题思路】根据偶函数的定义得到f (−x)= f ( x)，代入计算即可．
【解答过程】因为函数f ( x)为偶函数，所以f (−x)= f ( x)，当x<0时，f ( x)= x−2
2
x ，
则f (1)= f (−1)= −1−2
2
−1
=−6.
故选：D.
2．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
3
C．y =2
x
D．y = ln x
【答案】B
【解题思路】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可.
【解答过程】对于A，y = x
2是偶函数，不是奇函数，故A 错误；
对于B，y = x
3是奇函数，且是增函数，故B 正确；
对于C，y =2
x是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，y = ln x是非奇非偶函数，故D 错误.
故选：B.
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数f (x)=(x +a−2)(x
2+a−1)为奇函数，则a的值是（ ）
A．3
B．1 或3
C．2
D．1 或2
【答案】C
【解题思路】根据奇函数在原点处有意义则f (0)=0求出a的值，再将a的值代回原函数检验即可得解.
【解答过程】因为f (x)=(x +a−2)(x
2+a−1)为奇函数，所以f (0)=(a−2)(a−1)=0，
解得a=1或a=2.
当a=1时，f (x)= x
2(x−1)，f (−x)= x
2(−x−1)≠−f (x)，故a=1不合题意，舍去；
当a=2时，f (x)= x(x
2+1)，f (−x)=−x(x
2+1)=−f (x)，故a=2符合题意.
故选：C.
4．（2025·吉林长春·模拟预测）函数f (x)= 1
x +
1
x−2的对称中心为（ ）
A．(1,0)
B．(0,0)
C．(2,0)
D．(1,1)
【答案】A
【解题思路】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入f (x)+ f (2−x)求对称中心的纵
坐标.
【解答过程】因为f (x)= 1
x +
1
x−2的定义域为(−∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)，根据定义域对称且有对称中
心，所以对称中心横坐标为1，
由f (x)+ f (2−x)= 1
x +
1
x−2 +
1
2−x + 1
−x =0，得对称中心纵坐标为0，
所以对称中心为(1,0).
故选：A.
5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数f ( x)是周期为2 的偶函数，且当x∈(0,1)时，f ( x)=2
x−1，则
f (log23)的值为（ ）
A．−1
4
B．−1
3
C．1
3
D．2
【答案】C
【解题思路】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可.
【解答过程】因为函数f ( x)是周期为2 的偶函数，且当x∈(0,1)时，f ( x)=2
x−1，
所以f (log23)= f (log23−2)= f(log2
3
4)= f(−log2
3
4)= f(log2
4
3)=2
log2
4
3 −1= 4
3 −1= 1
3．
故选：C.
6．（2025·天津·二模）函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
【答案】A
【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答.
【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括± π
2 ，
这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D 的定义域包括± π
2 ，所以排除C,D.
由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B 中，
因为f (−x)= e
−x+e
x
cos x = f (x)，说明选项B 中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.
故选：A.
7．（2025·湖南·模拟预测）若函数f (x)=|ln x−a)+a(a∈R)在[1,e
3)上的最大值为3，则a 的最大值为
（ ）
A．3
B．3
2
C．e
2
D．e
【答案】B
【解题思路】令t = ln x∈[0,3)，问题转化为函数g(t )=|t −a)+a(a∈R)在[0,3)上的最大值为3，结合函
数的对称性，讨论求最大值得解.
【解答过程】设t = ln x∈[0,3)，则问题转化为函数g(t )=|t −a)+a(a∈R)在[0,3)上的最大值为3，
因为函数g(t )的对称轴为t =a，
当a> 3
2时，g(t )max = g(0)=2a>3，不合题意；
当a≤3
2时，g(t )max = g(3)=|3−a)+a=3−a+a=3，合题意，
综上，a的最大值为3
2.
故选：B.
8．（2025·河南·三模）若f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)=2
x−4，则不等式f ( x)≥0的解
集为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,0]∪[2,+∞)
C．[−2,0)∪[2,+∞)
D．(−∞,−2]∪[2,+ ∞)
【答案】B
【解题思路】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可.
【解答过程】因为f ( x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)=0，
结合题意作出f ( x)的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式f ( x)≥0的解集为[−2,0]∪[2,+∞).
故选：B.
二、填空题
9．（2025·上海奉贤·一模）若函数y = a⋅2
x−1
2
x+1
(a∈R)是偶函数，则实数a=
．
【答案】−1
【解题思路】由偶函数定义建立方程，解得实数a.
【解答过程】函数的定义域为R，
由题意可知a⋅2
x−1
2
x+1
= a⋅2
−x−1
2
−x+1
，即a⋅2
x−1
2
x+1
= a−2
x
1+2
x ，
所以(a+1)⋅2
x=a+1，
因该等式对定义域内的任意x都成立，故a+1=0，
解得a=−1
故答案为：−1.
10．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上周期为4 的奇函数，若f (1)=1，则
f (2)+3 f (399)=
．
【答案】−3
【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.
【解答过程】函数f ( x)是定义在R上周期为4 的奇函数，故f (−x)=−f ( x)且f ( x + 4)= f ( x)，
故f (−2)=−f (2)= f (2)，解得f (2)=0，f (399)= f (399−400)= f (−1)，
又f (1)=1，所以f (2)+3 f (399)=0+3 f (−1)=−3 f (1)=−3.
故答案为：−3.
11．（2025·全国·模拟预测）已知函数f ( x)是定义域为R的奇函数.设g( x)= f ( x−1)+1，若f ( x)在
(0,+∞)的最小值为2，则g( x)在(−∞,1)的最大值为
.
【答案】−1
【解题思路】根据奇函数图象的对称性，判断在对称区间内的最值情况，根据图象的平移法则，求出平移
后函数在给定区间上的最值.
【解答过程】因为f ( x)是定义域为R的奇函数，由f ( x)在(0,+∞)的最小值为2，得f ( x)在(−∞,0)的最
大值为−2，
因为g( x)= f ( x−1)+1，所以g( x)的图象是由f ( x)的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后得
到，
故g( x)在(−∞,1)的最大值为−2+1=−1.
故答案为：−1.
12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)的图象关于(2,0)中心对称，且f (x)在[2,+∞)上单调递减，
若f (3−2a)+ f (4 a+5)>0，则实数a 的取值范围为
．
【答案】a<−2
【解题思路】根据函数图象关于(2,0)中心对称可得f (4−x)=−f (x)，又因为f (x)在[2,+∞)上单调递减可
推得f (x)≤0结合函数关于(2,0)中心对称进而推得f (x)在R上单调递减.再利用函数的单调性即可求得a的范
围.
【解答过程】由函数f (x)的图象关于(2,0)中心对称，则f (4−x)=−f (x).
又因为f (x)在[2,+ ∞)上单调递减，所以x∈[2,+∞)时，f (x)≤0，
且f (x)在(−∞,2)上单调递减，且f (x)>0，可得f (x)在R上单调递减.
又因为f (3−2a)=−f (1+2a)，所以f (3−2a)+ f (4 a+5)>0可得f (4 a+5)>f (1+2a)，
则4 a+5<1+2a，得a<−2.
故答案为：a<−2.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知f (x)=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a(a∈R)，且f (2 x +3)>f (2−x)，则
x的取值范围是（ ）
A．(−1
3 ,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−5)∪(−1
3 ,+∞)
D．(−5,−1
3)
【答案】B
【解题思路】先判断f ( x)= f (2−x)，得到f ( x)关于x =1对称，再利用函数和的单调性得到f ( x)的单调
性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可.
【解答过程】因为f (x)=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a(a∈R)，
所以 f (2−x)=e
2−x−1+e1−(2−x)+(2−x)
2−2(2−x)+a=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a，
所以f ( x)= f (2−x)，所以f ( x)的图象关于x =1对称，
又因为y1=e
x−1+e
−x +1=e
x−1+
1
e
x−1 , y2= x
2−2 x +a(a∈R)在[1,+∞)上均为单调递增函数，
所以f ( x)在[1,+ ∞)上单调递增，在(−∞,1]上单调递减，
因为f (2 x +3)>f (2−x)，结合对称性可得|2 x +3−1)>|2−x−1)，
两边平方后化简可得3 x
2+10 x +3>0，解得x>−1
3或x<−3，
所以x的取值范围是(−∞,−3)∪(−1
3 ,+ ∞).
故选：B.
2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)是(−∞,+∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有
f (x +2)=−f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)=log2(x +1)，则f (−2025)=（ ）
A．−2
B．−1
C．2
D．1
【答案】D
【解题思路】根据已知确定在x ≥0时，函数f (x)具有周期性，然后结合偶函数定义可把f (−2025)转化到
已知解析式的区间上求解即可．
【解答过程】∵x ≥0，都有f (x +2)=−f (x),∴f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
即当x ≥0时，函数f (x)具有周期性，且周期为4，
又f (x)是偶函数，∴f (−2025)= f (2025)= f (2024+1)= f (1)=log2(1+1)=1.
故选：D.
3．（2025·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为奇函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．若x∈(0,3)时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
【答案】C
【解题思路】对于A 选项，首先通过奇偶性得：f (−x +6)=−f (x +6)，然后根据已知条件通过赋值进行
求解；
对于B 选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；
对于C 选项，通过奇偶性可得函数关于(6,0)中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；
对于D 选项，利用函数周期性可得：f (2025)= f (9)，再根据f (−x +6)=−f (x +6)通过赋值可得：
f (9)=−f (3)，进而可以判断选项正误.
【解答过程】对于A 选项，已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，
令x =−2，得：f (8)=−f (4)，
又f (x +2)= f (4−x)，令x =0，得：f (4)= f (2)，
因此可得：f (8)=−f (4)=−f (2)=−4，故A 选项错误.
对于B 选项，已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，
又f (x +2)= f (4−x)，则有f (x)= f (6−x)，
由此可得：f (x)=−f (x +6)，即有：f (x +12)=−f (x +6)=−(−f (x))= f (x)
因此可得：f (x)的周期为12，故B 选项错误.
对于C 选项：已知f (x +6)为奇函数，则有f (−x +6)=−f (x +6)，
因此可得：函数f (x)关于(6,0)中心对称，又函数f (x)的周期为12，
所以f (x)关于(−6,0)中心对称，故C 选项正确；
对于D 选项：已知函数f (x)的周期为12，则有f (2025)= f (168×12+9)= f (9)，
又f (−x +6)=−f (x +6)，令x =3，得：f (9)=−f (3)，
因此可得：f (2025)=−f (3)，即f (2025)+ f (3)=0，故D 选项错误.
故选：C.
4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且满足f (−x)+ f (x)=0,f (x +2)+ f (x)=0，
当x∈[−2,0)时，f (x)=−x
2−2 x，则当x∈[4,6)时，函数f (x)的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．－1
D．0
【答案】D
【解题思路】由题意可得函数f (x)的周期为4，且为奇函数，根据f (x)解析式及周期性、奇偶性，可得
x∈[4,6)时，f (x)的解析式，根据二次函数的性质，即可得答案.
【解答过程】由题意得f (x +2)=−f (x)，
所以f (x + 4)=−f (x +2)=−[−f (x))= f (x)，所以函数f (x)的周期为4．
由f (−x)+ f (x)=0，得f (−x)=−f (x)，所以f (x)是奇函数．
又当x∈[−2,0)时，f (x)=−x
2−2 x，
所以当x∈[0,2)时，−x∈[−2,0),f (−x)=−(−x)
2−2(−x)=−x
2 +2 x，
所以f (x)=−f (−x)= x
2−2 x．
所以当x∈[4,6)时，有f (x)= f (x−4)=(x−4)
2−2(x−4) = x
2−10 x +24．
二次函数y = x
2−10 x +24的图像开口向上，对称轴为x =5，
在区间[4,6)上端点值均为0，最小值为－1，
所以f (x)的最大值为0．
故选：D．
5．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)的定义域D关于原点对称，f(
π
4 )=−1且f (x)满足：
（1）当x∈(0,π
2 )时，f (x)<0；
（2）∀x1, x2∈D且x1≠x2,f (x1)≠f (x2),f (x1−x2)= f (x1)f (x2)+1
f (x2)−f (x1)
.则下列关于f (x)的判断错误的是
（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f(
π
2 )=0
C．π是f (x)的一个周期
D．f (x)在(0,π
2 )上单调递减
【答案】D
【解题思路】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A 选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B 选项；根
据（2）以及B 选项推导出f(x−π
2 )=−
1
f (x)，可得出f (x−π)= f (x)，再结合函数周期性的定义可判断
C 选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D 选项.
【解答过程】因为∀x1、x2∈D，f (x1−x2)= f (x1)f (x2)+1
f (x2)−f (x1)
=−f (x2)f (x1)+1
f (x1)−f (x2)
=−f (x2−x1)，
所以f (x)为D上的奇函数，A 对；
因为f(
π
4 )=−1，所以f(−π
4 )=1，
所以f(
π
2 )= f[
π
4 −(−π
4 ))=
f(
π
4 )f(−π
4 )+1
f(−π
4 )−f(
π
4 )
=0，B 对；
因为f(x−π
2 )=
f (x)f(
π
2 )+1
f(
π
2 )−f (x)
=−
1
f (x)，
所以f (x−π)= f(x−π
2
−π
2 )=−
1
f(x−π
2 )
= f (x)
，
所以π是f (x)的一个周期，C 对；
∀x1、x2∈D，且0< x1< x2<π
2
，则0< x2−x1<π
2
，
因为当x∈(0,π
2 )时，f (x)<0，所以f (x1)、f (x2)、f (x2−x1)均小于0，
又f (x2−x1)= f (x1)f (x2)+1
f (x1)−f (x2)
，所以f (x1)−f (x2)<0，所以f (x1)<f (x2)，
所以f (x)在(0,π
2 )上单调递增，D 错．
故选：D．
二、填空题
6．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数y = f (x)的定义域为R，且f (x +1)为偶函数，f (x−1)为奇函数，
当x∈[−1,1)时，f (x)=1−x
2，则∑
k =1
2025
f (k )=
.
【答案】0
【解题思路】根据题意，推得f (x + 4)=−f (x)，可得出f ( x +8)= f ( x)，得到函数f (x)是周期为8 的周期
函数，分别求得f (1)=0，f (k + 4)+ f (k )=0(k =1,2,3,4)，得到∑
k =1
8
f (k )=0，结合周期性，即可求解.
【解答过程】因为函数y = f (x)的定义域为R，且f (x +1)为偶函数，f (x−1)为奇函数，
可得f (−x +1)= f (x +1),f (−x−1)=−f (x−1)，
所以函数y = f (x)的图象关于x =1对称，且关于(−1,0)对称，
则f (−x)= f ( x +2),f (−x)=−f ( x−2)，所以f ( x +2)=−f ( x−2)，
所以f (x +2+2)=−f (x +2−2)，即f (x + 4)=−f (x)，
则f ( x +8)=−f ( x + 4)= f ( x)，所以函数f (x)是周期为8 的周期函数，
由f (x + 4)=−f (x)可得f (1)+ f (5)=0，f (2)+ f (6)=0，f (3)+ f (7)=0，f (4)+ f (8)=0，
所以∑
k =1
8
f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)+ f (6)+ f (7)+ f (8)=0，
当x∈[−1,1)时，f (x)=1−x
2，则f (1)=0，
因为2025=8×253+1，则∑
k =1
2025
f (k )=253×∑
k =1
8
f (k )+ f (2025)=0+ f (1)=0.
故答案为：0.
7．（2025·青海·模拟预测）已知f ( x)是定义在(m−5,4 m)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0,4 m)，当
x1≠x2时，(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)
x1−x2
>0恒成立．若f (1)= 4，则关于x的不等式
f ( x −m)>2 x
2−4 x + 4的解集为
．
【答案】(−3,0)∪(2,5)
【解题思路】根据题意求出m，接着由题设得到
f (x1)
x1
2+1
< f (x2)
x2
2+1
，令g(x)= f (x)
x
2+1
，得到g(x)为偶函数，且
在[0,4)上递增，在(−4,0)上单减，结合g(1)=2，把不等式转化为g(x−1)> g(1)，得到不等式组，即可
求解.
【解答过程】因为f (x)是定义在(m−5,4 m)上的偶函数，所以m−5+ 4 m=0，解得m=1，
x1, x2∈[0,4 ），且x1< x2，则x1−x2<0，
又因为(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)
x1−x2
>0，所以(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)<0，
所以(x2
2+1)⋅f (x1)<(x1
2+1)⋅f (x2)，则
f (x1)
x1
2+1
< f (x2)
x2
2+1
，
令g(x)= f (x)
x
2+1
，则
g( x1)−g( x2)
x1−x2
>0，故g( x)在[0,4)上单调递增，
因为f (x)为(−4,4)上的偶函数，所以g(x)为(−4,4)上的偶函数，
所以g(x)在[0,4)上单调递增，在(−4,0)上单调递减，
又因为g(1)= f (1)
2
=2，所以f (x−m)>2 x
2−4 x + 4，即为f (x−1)
(x−1)
2+1
>2，
即g(x−1)>g(1)，则{
x−1>1
−4< x−1<4)或{
x−1<−1
−4< x−1<4)，
解得2< x<5或−3< x<0，
所以不等式的解集为(−3,0)∪(2,5).
故答案为：(−3,0)∪(2,5).
三、解答题
8．（2025·福建厦门·二模）已知函数f (x)=ax + ln
x
4−x ．
(1)若f (x)在定义域上单调递增，求实数a的最小值；
(2)当a=−1时，
①判断曲线y = f (x)是否为中心对称图形，若是，求出函数f (x)的对称中心，若不是，说明理由；
②解不等式f (x)+ f (2 x +1)+ 4>0．
【答案】(1)−1．
(2)①是，对称中心为(2,−2)；②(1, 3
2)．
【解题思路】（1）求导，分析可得f
′ (x)≥0在(0,4)上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解；
（2）①根据题意计算f (x)+ f (4−x)的值，结合中心对称的定义分析证明；②结合函数的对称性整理可得
f (2 x +1)>f (4−x)，在结合单调性列式求解，注意函数的定义域.
【解答过程】（1）f (x)=ax + ln x−ln (4−x)，其中x∈(0,4)，
因为f (x)在定义域上单调递增，所以f
′ (x)≥0在(0,4)上恒成立，
又f
′ (x)=a+ 1
x +
1
4−x =a+
4
x (4−x)，
又x (4−x)≤(
4−x + x
2
)
2
= 4，当且仅当x =2时等号成立，故
4
x (4−x)的最小值为4
4 =1，
所以f
′ (x)=a+
4
x (4−x) ≥a+1，得到f
′ (x)min=a+1，
所以a+1≥0，即a≥−1，所以a 的最小值−1．
（2）①当a=−1时，f (x)=−x + ln x−ln (4−x)，其中x∈(0,4) ，
f (4−x)=−(4−x)+ ln (4−x)−ln[4−(4−x))=−4 + x + ln (4−x)−ln x，
所以f (x)+ f (4−x)=−4，
故曲线y = f (x)为中心对称图形，函数f (x)的对称中心为(2,−2)．
②不等式f (x)+ f (2 x +1)+ 4>0可化为f (2 x +1)>−4−f (x)，即f (2 x +1)>f (4−x)，
由第一问可知a=−1时，f (x)在(0,4)上单调递增，
所以{
0< x<4
0<2 x +1<4
2 x +1>4−x)，解得1< x< 3
2，
所以不等式的解集为(1, 3
2)．
