专题2.5 对数与对数函数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 指数式与对数式的互化】..........................................................................................................................2
【题型2 对数的运算】..............................................................................................................................................2
【题型3 指数、对数函数模型的应用】..................................................................................................................3
【题型4 对数函数图象的识别及应用】..................................................................................................................4
【题型5 比较对数式的大小】..................................................................................................................................5
【题型6 解对数不等式】..........................................................................................................................................6
【题型7 对数（型）函数的单调性问题】..............................................................................................................6
【题型8 对数（型）函数的综合问题】..................................................................................................................6
1、对数与对数函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解对数的概念及运算
性质，能用换底公式将一
般对数转化成自然对数或
常用对数
(2)通过实例，了解对数函
数的概念，会画对数函数
的图象，理解对数函数的
单调性与特殊点
(3) 了解指数函数y=ax
（a>0 且a≠1）与对数函
数y=logax（a>0 且a≠1）
互为反函数
2023 年北京卷：第4 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第6
题，5 分
2024 年北京卷：第7 题，4 分
2025 年全国一卷：第8 题，5
分
2025 年北京卷：第9 题，4 分
对数函数是常见的重要函数，对
数与对数函数是高考常考的热点内容，
从近几年的高考形势来看，对数函数往
往与幂函数、指数函数结合考查，主要
以基本函数的性质为依托，结合指、对
数运算性质，运用幂函数与指、对数函
数的图象与性质解决具体的问题，包括
比较指对幂的大小、解不等式等题型，
主要以单选题的形式考察，难度不大.
知识点
1
对数运算的解题策略
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
互化.
知识点
2
对数函数的常见问题及解题思路
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与
1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数式与对数式的互化】
【例1】（2025·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10
n=3，则10
3m−2n
2
的值为（ ）
A．64
9
B．8
3
C．4
3
D．2❑√2
3
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数x , y满足log2(log3 x)= log3(log2 y)=1，则x + y =（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
【变式1-2】（2025·全国·三模）若a>1，则alg(lga)−(lga)
lga的值是（ ）
A．零
B．正数
C．负数
D．以上皆有可能
【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件x1
a= x2
b= x3
c，且1
a −2
b + 3
c =0的一组x1, x2, x3为（ ）
A．x1= 4，x2=3，x3=2
B．x1= 4，x2=2，x3=3
C．x1=3，x2=9，x3=2
D．x1=18，x2=12，x3=2
【题型2 对数的运算】
【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a
2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数log23的第一位小数的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式2-2】（2025·山西临汾·三模）已知2
log2a=3
，log55
b=2，则a−b=（ ）
A．3
B．1
C．−1
D．−3
【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·一模）若abc≠0，且3
a= 4
b=6
c，则（ ）
A．1
c = 1
a + 1
b
B．1
c = 2
a + 2
b
C．2
c = 2
a + 1
b
D．2
c = 1
a + 2
b
【题型3 指数、对数函数模型的应用】
【例3】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）
喊泉
是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他
“
”
声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生
共鸣
等物理声学作用，激起水波，形成涌泉
“
”
.声音越大，
涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0（m0约为10
−12，单位：W /m
2）之比的常用对数称作声
强的声强级，记作L（贝尔），即L=lg m
m0
，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处
喊泉
的声音响度
“
”
y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y = 40 x，现知A同学用喇叭大喝一
声激起的涌泉最高高度为2 米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，
则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过
5730 年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14 的含量N = N 0( 1
2 )
kt
（N 0为碳14 的初始含量，k为常
数），则碳14 含量由原来的80 %衰减为60 %大约需要经过（ ）
（参考数据：ln2≈0.7 ,ln3≈1.1）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
【变式3-3】（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有
所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：
lg E = 4.8+1.5 M.若记2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能量为E1，2022 年5 月
20 日四川雅安发生里氏4.8 级地震释放出来的能量为E2
，则E1
E2
=（ ）
A．100
B．200
C．1000
D．2000
【题型4 对数函数图象的识别及应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=(|x)−1
|x))ln x
2，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数f (x)=a
−x与
g(x)=logb x的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）函数f (x)=e
x−e
1
x −ln x
2的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·甘肃陇南·一模）函数f (x)=
x
2ln|x)的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5 比较对数式的大小】
【例5】（2025·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3
log23.4，b=9
log163.3，c =( 1
3 )
log20.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z
的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，
b=−f(log3
1
2)，c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【题型6 解对数不等式】
【例6】（24-25 高一下·四川南充·阶段练习）“a<b+e
是
”
“ln(a−b)<1
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式6-1】（2025·重庆·模拟预测）已知集合 A ={x∣x
2−5 x +6=0)，B ={x∣log2 x>1)，则 A ∩B =
（ ）
A．{3)
B．{2)
C．∅
D．{2,3)
【变式6-2】（2025·广东汕头·一模）“log3a>log3b
是
”
“3
a>3
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤0,
log3(x +1), x>0,)
则不等式f (x)≤1的解集为（ ）
A．[0,2)
B．[0,1)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
【题型7 对数（型）函数的单调性问题】
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数f (x)= log2(x
2−2 x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
【变式7-1】（2025·天津·模拟预测）已知函数f ( x)= loga x + log(a+1)x(a>0 且a≠1)在(0,+ ∞)上单调递
增，则a 的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√5−1
2 )∪(1,+ ∞)
B．(
❑√5−1
2
,1)∪(1,+∞)
C．(
❑√5−1
2
,1)
D．
(1,+∞)
【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【变式7-3】（2025·吉林·三模）若函数f (x)=loga(ax−1
2)（a>0且a≠1）在区间[1,2)上单调递减，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(
1
2 ,1)
B．(
1
4 ,1)
C．(0, 1
2)
D．(1,+∞)
【题型8 对数（型）函数的综合问题】
【例8】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调，且
f (loga x)≤8在[2,4 ]上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．0<a≤1
B．0<a≤1
2
C．0<a≤
❑√2
2
D．
❑√2
2 ≤a<1
【变式8-1】（2025·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且
x1≠x2
都有f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【变式8-2】（2025·河北石家庄·一模）已知函数f ( x)= x
2+ ln(e
x+e
−x)−2，则不等式
f ( x +2)≤f (2 x−3)的解集为（ ）
A．[−5,−1
3)
B．(−∞,−5]∪[−1
3 ,+ ∞)
C．[
1
3 ,5)
D．(−∞, 1
3)∪[5,+∞)
【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知函数f (x)为偶函数，满足f (x +2)=−
1
f (x)，且−2≤x ≤0时，
f (x)=(
❑√3
3 )
x
−2，若关于x的方程f (x)−loga(x +1)=0至少有两解，则a的取值范围为（ ）．
A．(
1
3 ,3)
B．(0, 1
3)∪[3,+ ∞) C．(0, 1
5)∪[3,+∞) D．[
1
5 ,3)
一、单选题
1．（2025·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
2．（2025·山东潍坊·一模）已知a>0且a≠1，a
y与x成正比例关系，其图象如图所示，且y =loga x +1，
则a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最
小声强为I 0=10
−12（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I，用声强I与I 0
比值的常用
对数来表示声强I的
声强级数
“
n
，即
”
n=lg I −lg I 0，则
声强级数
“
8”的声强是
声强级数
“
6”的声强的
（ ）
A．2 倍
B．20 倍
C．100 倍
D．1000 倍
4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知f ( x)={
log2 x , x>0
4
x , x ≤0 )
，则f (f (−1
3 ))=（ ）
A．−2
3
B．1
9
C．1
3
D．2
3
5．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即C =W log2(1+ S
N)其中C是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位
Hz；S
N
代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
2
3.46≈11，2
5.93≈60.97）
A．5
B．6
C．7
D．8
6．（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4)
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
8．（2025·广东茂名·二模）已知函数f (x)={
−x
2−2ax +1, x<1
loga x +2a, x ≥1
(a>0,a≠1))
，若f (x)≤3
2
，则a的取值
范围是（ ）
A．(0, 3
4)
B．(0,
❑√2
2 )
C．[
❑√2
2 , 3
4)
D．[
3
4 ,1)
二、多选题
9．（2025·江苏苏州·三模）若6
a=2，6
b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1
B．a
2+b
2< 1
2
C．ab< 1
4
D．a> 1
3
10．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．log0.30.2>log0.20.3
B．0.3
0.2>0.2
0.3
C．log30.2<log20.2
D．3
0.2<2
0.3
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数f ( x)= ln|
2−x
2+ x)，则（ ）
A．f ( x)是奇函数
B．f ( x)≥0
C．f ( x)在(−2,2)上单调递减
D．f ( x)在(2,+∞)上单调递增
三、填空题
12．（2025·江西萍乡·三模）已知x0
e
x0 = 1
3，则x0+ln 1
x0
= .
13．（2025·浙江·三模）已知函数f (x)=ln x +1
1−x +a(a∈R)为奇函数，则f(
1
3)= .
14．（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)= log 1
7
(x
2−ax +6)在(−∞,2)上单调递增，则实数a的取值范围
是 ．
四、解答题
15．（24-25 高一上·广东湛江·阶段练习）计算：
(1)8
2
3 +(
1
3)
−2
−(3−π)
0+(3
1
3 ×2
1
2)
6；
(2)log327−(lg 4 +lg25)−log58⋅log25+7
log72
16．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知对数函数f (x)= loga x（a>0，且a≠1）的图象过点(4,1)．
(1)求f (16)；
(2)若函数g(x)= f (2−x)+ f (2+ x)，求g(x)的定义域．
17．（2025·上海金山·二模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=log2 x.
(1)求f (−2)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
4), x∈[1,8)，求函数y = g(x)的值域.
18．（2025·上海·三模）设a>0且a≠1，已知函数f (x)=loga(x +2),g(x)=loga(2−x)．
(1)判断f (x)+ g(x)是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数ℎ(x)= f (x)+ g(x)，解关于x的不等式ℎ(2 x−3)>ℎ(3 x−1)．
19．（2025·江苏南通·一模）已知函数f ( x)= log2 1−x
1+ x
．
(1)判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)若对任意x∈[−1
3 , 1
3)，t ∈[−2,2)，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，求实数a 的取值范围．
