专题2.1 函数的概念（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 函数的概念】..............................................................................................................................................2
【题型2 同一函数的判断】......................................................................................................................................4
【题型3 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................6
【题型4 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................7
【题型5 函数值域的求解】......................................................................................................................................9
【题型6 已知函数定义域、值域求参数】...........................................................................................................10
【题型7 已知函数类型求解析式】........................................................................................................................12
【题型8 已知f(g(x))求解析式】.............................................................................................................................14
【题型9 分段函数及其应用】................................................................................................................................15
1、函数的概念
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解函数的含义，会求
简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择
恰当的方法(图象法、列
表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，
并会应用
2022 年浙江卷：第14 题，5
分
2023 年北京卷：第11 题，5
分
2025 年北京卷：第7 题，4 分
函数的解析式与定义域、值域问题是高
考数学的重要内容.从近几年的高考情
况来看，高考对函数的概念考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均变
化不大，函数的解析式在高考中较少单
独考查，多在解答题中出现.预计明年
高考对本节的考查不会有大的变化，仍
将以分段函数、定义域、值域为主，主
要在选择题中考查.
知识点
1 函数的定义域、值域的求法
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子
( 运算
) 有意义
为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤ g ( x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点
2 函数解析式的四种求法
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
知识点
3 分段函数的应用
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即
分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y = f (x)图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
【答案】D
【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.
【解答过程】解：∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意，
对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；
对于④中，当x =0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义.
故选：D．
【变式1-1】（24-25 高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义判断.
【解答过程】选项A，C，D 的函数图象中存在x，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B 正
确.
故选：B.
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．A =R ,B = {y ∣y ≥0),f : x→y = ❑√xB．A =R ,B = {y ∣y >0),f : x→y =| x|
C．A = {x∣x ≥0),B =R ,f : x→y
2= x
D．A =R ,B = {1),f : x→y =1
【答案】D
【解题思路】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多
对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断.
【解答过程】A 选项：当x 为负数时，B 中没有元素与之对应，故A 选项不正确；
B 选项：当x 为零时，B 中没有元素与之对应，故B 选项不正确；
C 选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C 选项不正确；
D 选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D 选项正确．
故选：D.
【变式1-3】（24-25 高一上·黑龙江大庆·期中）若函数y = f ( x) 的定义域为M ＝{x|−2≤x ≤2} ，值域
为N ＝{y |0≤y ≤2) ，则函数y = f ( x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可.
【解答过程】解：函数y = f ( x)的定义域为M ＝{x|﹣2≤x ≤2} ，值域为N ＝{y |0≤y ≤2) ，
可知A 图象定义域不满足条件；
B 图象不满足函数的值域；
C 图象满足题目要求；
D 图象，不是函数的图象；
故选：C．
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f ( x)= x( x
2+1)
x
2+1
，g( x)= x
B．f ( x)= x，g( x)=
❑√x
2
C．f ( x)=1，g( x)= x
∘
D．f ( x)= x，g( x)= x
2
x
【答案】A
【解题思路】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．
【解答过程】对于A 中，函数f ( x)= x( x
2+1)
x
2+1
= x的定义域为R，函数g( x)= x的定义域为R，定义域相
同，对应法则相同，所以是同一个函数；
对于B 中，函数f ( x)= x和g( x)=
❑√x
2=| x|={ x , x ≥0
−x , x<0的定义域都是R，但对应法则不同，所以不是同
一个函数；
对于C 中，函数f ( x)=1的定义域为R，函数g( x)= x
∘的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域不相同，
所以不是同一个函数；
对于D 中，函数f ( x)= x的定义域为R，g( x)= x
2
x 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域不相同，所以
不是同一个函数.
故选：A．
【变式2-1】（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．f ( x)=1, g( x)= x
0
B．f ( x)=
3√x
3,g( x)=(
3√x)
3
C．f ( x)= x +1,g( x)= x
2−1
x−1
D．f ( x)=
❑√x
2, g( x)=(❑√x)
2
【答案】B
【解题思路】利用同一函数的定义，逐项分析判断.
【解答过程】对于A，f ( x)的定义域为R，g( x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，A 不是；
对于B，f ( x),g( x)的定义域均为R，且
3√x
3=(
3√x)
3，B 是；
对于C，f ( x)的定义域为R，g( x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，C 不是；
对于D，f ( x)的定义域为R，g( x)的定义域为[0,+ ∞)，D 不是.
故选：B.
【变式2-2】（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① f (x)= x
2
x , g(x)=
❑√x
2；②
f (x)= x
3+ x
x
2+1
,g(x)=(
3√x)
3
；③f (x)= x
2−2 x +1,g(t )=(t −1)
2； ④f (x)=1,g(x)=( x +1)
0；其中表示同
一函数的是（ ）
A．②④
B．②③
C．①③
D．③④
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可.
【解答过程】对于①，函数f (x)= x
2
x 的定义域为{x| x≠0)，函数g(x)=
❑√x
2的定义域为x∈R，
其定义域不同，所以不是同一函数，故错误；
对于②，函数f (x)= x
3+ x
x
2+1
= x , g(x)=(
3√x)
3= x，两个函数定义域都是x∈R，
对应法则也一样，是同一函数，故正确；
对于③，函数f (x)= x
2−2 x +1, g(t )=(t −1)
2=t
2−2t +1，
两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确；
对于④，函数f (x)=1的定义域为x∈R，函数g(x)=( x +1)
0=1定义域为{x| x≠−1)，
两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.
故选：B.
【变式2-3】（24-25 高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= 1
x , g(x)=
1
(❑√x)
2
B．f (x)=|x),g(x)={
x , x ≥0
−x , x<0)
C．f ( x)=1,g( x)= x
0
D．f ( x)= x
2,g( x)=( x +1)
2
【答案】B
【解题思路】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函
数相同，从而得到结果.
【解答过程】对A，f (x)的定义域为{x|x ≠0))，g(x)的定义域为{x|x >0))，故A 错误；
对B，f (x)和g(x)的定义域均为R，且f (x)=|x)={
x , x ≥0
−x , x<0)，故B 正确；
对C，f (x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x ≠0))，故C 错误；
对D，f (x)和g(x)的定义域均为R，但f ( x)≠g( x)，对应关系明显不同，故D 错误.
故选：B.
【题型3 具体函数的定义域的求解】
【例3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数y = ❑√x + ❑√1−x的定义域是（ ）
A．(0,1)
B．[0,1)
C．[0,+ ∞)
D．{0,1)
【答案】B
【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
【解答过程】由y = ❑√x + ❑√1−x，
得{
x ≥0
1−x ≥0)，解得0≤x ≤1，
所以函数y = ❑√x + ❑√1−x的定义域是[0,1).
故选：B.
【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为[0,4)，则函数
y = f ( x +1)
❑√x−1 +( x−2)
0的定义域是（ ）
A．(1,5)
B．(1,2)∪(2,5)
C．(1,2)∪(2,3)
D．(1,3)
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【解答过程】因为函数y = f (x)的定义域为[0,4)，又函数y = f ( x +1)
❑√x−1 +( x−2)
0有意义，
则有{
0≤x +1≤4
x−1>0
x−2≠0 )，解得1< x<2或2< x ≤3，
所以函数y = f ( x +1)
❑√x−1 +( x−2)
0的定义域是(1,2)∪(2,3).
故选：C.
【变式3-2】（2025·海南·模拟预测）函数f ( x )= ❑√2−x +1
x
1
−的定义域为( )
A．(
∞,1
−
)
B．(1,2)
C．(
∞,2
−
)
D．(
∞,1
−
)∪(1,2)
【答案】D
【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可
【解答过程】由题知{
2−x
0
⩾
x
1≠0
−
),解得x
2
⩽且x≠1
即函数f ( x )= ❑√2−x +1
x
1
−的定义域为( ∞,1)∪(1,2]
−
故选：D.
【变式3-3】（24-25 高一下·浙江金华·阶段练习）函数f (x)= x
0+ ❑√(x + 4)(1−x)的定义域是（ ）
A．(−∞,−4)∪[2,+ ∞)
B．(−4,0)∪(0,1)
C．[−4,0)∪(0,1)
D．[−4,0)∪(0,1)
【答案】C
【解题思路】由题意可得{
x≠0
(x + 4)(1−x)≥0)，求解即可.
【解答过程】由{
x≠0
(x + 4)(1−x)≥0)，得{
x≠0
(x + 4)(x−1)≤0)，解得−4≤x<0或0< x ≤1，
所以函数f (x)= x
0+ ❑√(x + 4)(1−x)的定义域是[−4,0)∪(0,1).
故选：C.
【题型4 抽象函数的定义域的求解】
【例4】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数y = f (2 x)的定义域为[−2,4)，则y = f (x)−f (−x)的定义域为
（ ）
A．[−2,2)
B．[−2,4)
C．[−4,4)
D．[−8,8)
【答案】C
【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数f (x)的定义域，对于函数y = f (x)−f (−x)，可列
出关于x的不等式组，由此可得出函数y = f (x)−f (−x)的定义域.
【解答过程】因为函数y = f (2 x)的定义域为[−2,4)，则−2≤x ≤4，可得−4≤2 x ≤8，
所以，函数y = f (x)的定义域为[−4,8)，
对于函数y = f (x)−f (−x)，则有{
−4≤x ≤8
−4≤−x ≤8)，解得−4≤x ≤4，
因此，函数y = f (x)−f (−x)的定义域为[−4,4).
故选：C.
【变式4-1】（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数f (x)的定义域为(−1,1)，则函数g(x)= f (x−1)
❑√x−1
的定义域为（ ）
A．(−1,1)
B．{1)
C．(1,3)
D．(1,2)
【答案】D
【解题思路】根据f (x)的定义域以及分式中分母不为0 和平方根式下大于0 即可直接计算出结果.
【解答过程】因为函数f (x)的定义域为(−1,1)，
所以g(x)= f (x−1)
❑√x−1 的定义域需满足：
{
−1< x−1<1
x−1>0 )，解得1< x<2.
故选：D.
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为[−1,5)，则函数y = f (2 x
2−1)的定
义域为（ ）
A．[0,3)
B．[−3.3)
C．[−❑√3,❑√3]
D．[−3,0)
【答案】C
【解题思路】由题可知解−1≤2 x
2−1≤5即可得答案.
【解答过程】解：因为函数y = f (x)的定义域为[−1,5)，
所以，−1≤2 x
2−1≤5，即0≤x
2≤3，解得−❑√3≤x ≤❑√3，
所以，函数y = f (2 x
2−1)的定义域为[−❑√3,❑√3]
故选：C.
【变式4-3】（24-25 高一上·云南楚雄·期末）已知函数f (x)的定义域为(−1,2)，则函数g(x)= f (x−1)
❑√x−1
的定
义域为（ ）
A．(−1,1)
B．{1)
C．(1,3)
D．(−1,3)
【答案】C
【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；
【解答过程】由题意：要使g(x)= f (x−1)
❑√x−1 有意义，则{
−1< x−1<2,
x>1,
)
解得1< x<3，所以g(x)的定义域为(1,3)．
故选：C.
【题型5 函数值域的求解】
【例5】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数f (x)=
4 x
2
2 x
2+1
，则对任意实数x，函数f (x)的值域是（ ）
A．(0,2)
B．(0,2)
C．[0,2)
D．[0,2)
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【解答过程】依题意，f (x)= 2(2 x
2+1)−2
2 x
2+1
=2−
2
2 x
2+1
，
显然2 x
2+1≥1，则0<
2
2 x
2+1
≤2，于是0≤2−
2
2 x
2+1
<2，
所以函数f (x)的值域是[0,2).
故选：C.
【变式5-1】（24-25 高一上·辽宁朝阳·期末）函数f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞,−5
2)
B．(−∞,−7
4)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−15
8 )
【答案】D
【解题思路】换元法，令❑√x−1=t ≥0，得到y =−2(t −1
4)
2
−15
8 ，从而得到函数值域.
【解答过程】令❑√x−1=t ≥0，则x =t
2+1，
则y =t −2(t
2+1)=−2t
2+t −2=−2(t −1
4)
2
−15
8 ，
故当t = 1
4 时，f (x)=−2(t −1
4)
2
−15
8 取得最大值，最大值为−15
8 ，
所以f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为(−∞,−15
8 ).
故选：D.
【变式5-2】（24-25 高一上·北京·期中）下列函数中，值域为[0,4)的是（ ）
A．f (x)= x−1，x∈{1,2,3,4,5)
B．f (x)=−x
2+ 4
C．f (x)=
❑√16−x
2
D．f (x)= x + 1
x −2(x>0)
【答案】C
【解题思路】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，f (x)的值域为{0,1,2,3,4)，A 错误；
对于B，f (x)的值域为(−∞,4)，B 错误；
对于C，由16−x
2≥0得：−4≤x ≤4，即f (x)的定义域为[−4,4)，
当x∈[−4,4)时，16−x
2∈[0,16)，∴f (x)∈[0,4)，C 正确；
对于D，当x>0时，x + 1
x ≥2（当且仅当x =1时取等号），∴f (x)∈[0,+∞)，D 错误.
故选：C.
【变式5-3】（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R”是“对任意
M ∈R，存在x0∈D，使得|f (x0))> M”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若函数f ( x)的值域为R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M )+1，
取x0= x1，则|f (x0))=|M )+1> M，充分性成立；
取f ( x)=2
x，D =R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M )+1，
取x0= x1，则|f (x0))=|M )+1> M，但此时函数f ( x)的值域为(0,+ ∞)，必要性不成立；
所以“f ( x)的值域为R”是“对任意M ∈R，存在x0∈D，使得|f (x0))> M”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型6 已知函数定义域、值域求参数】
【例6】（24-25 高一上·江苏常州·期中）若函数f (x)=
1
❑√k x
2+kx +1
的定义域为R，则实数k 的取值范围
是（ ）
A．(0,4)
B．(0,4 ]
C．[0,4)
D．k <0或k >4
【答案】C
【解题思路】由题意可知不等式k x
2+ kx +1>0的解集为R，分情况讨论，即可求解.
【解答过程】当x∈R时，不等式k x
2+ kx +1>0恒成立.
当k =0时，1>0恒成立；
当k ≠0时，则需满足{
k >0
Δ=k
2−4 k <0),∴0<k <4，
综合可得k的取值范围是[0,4).
故选：C.
【变式6-1】（25-26 高一上·全国·课后作业）函数y =
3 x
k x
2+2kx +1的定义域为R，则实数k的取值范围为
（ ）
A．(−∞,0)∪(1,+ ∞) B．(−∞,0)∪[1,+∞) C．(0,1) D．
[0,1)
【答案】D
【解题思路】k =0时直接代入；k ≠0时利用Δ<0可得答案．
【解答过程】因为函数y =
3 x
k x
2+2kx +1的定义域为R，
所以关于x的方程k x
2+2kx +1=0无实数解，
当k =0时，1=0显然无解，符合题意；
当k ≠0时，则Δ= 4 k
2−4 k <0，解得0<k <1．
综上可得0≤k <1．
故选：D．
【变式6-2】（24-25 高一上·北京·阶段练习）已知函数f (x)=|x
2−4 x +3)在[m,n)上的值域为[0,1)，则
n−m的取值范围是（ ）
A．[1,2)
B．[❑√2−1,2)
C．[1,2❑√2)
D．[❑√2−1,2❑√2)
【答案】D
【解题思路】令f (x)=1，求出相应的x的值，即可画出f (x)的图象，数形结合求出n−m的最值，即可得
解.
【解答过程】由x
2−4 x +3>0，即(x−1)(x−3)>0，解得x>3或x<1，
所以f (x)=|x
2−4 x +3)={
x
2−4 x +3, x∈(−∞,1)∪(3,+∞)
−x
2+ 4 x−3, x∈[1,3)
)，
当x∈[1,3)时，f (x)=−x
2+ 4 x−3=−(x−2)
2+1，所以f (2)=1，
当x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时，令f (x)=1，即x
2−4 x +3=1，解得x1=2−❑√2，x2=2+ ❑√2，
则f (x)的图象如下所示：
因为函数f (x)=|x
2−4 x +3)在[m,n)上的值域为[0,1)，
当m=2−❑√2，n=1（或m=3，n=2+ ❑√2）时n−m取得最小值，
即(n−m)min=1−(2−❑√2)= ❑√2−1；
当m=2−❑√2，n=2+ ❑√2时n−m取得最大值，
即(n−m)max=(2+ ❑√2)−(2−❑√2)=2❑√2；
所以n−m的取值范围是[❑√2−1,2❑√2).
故选：D.
【变式6-3】（24-25 高一上·贵州毕节·期末）已知函数f (x)=
1
(a−1) x
2+(a−1) x +2的定义域是R，则a的
取值范围是（ ）
A．(1,9)
B．(1,8)
C．[1,9)
D．[1,8)
【答案】C
【解题思路】将定义域是R的问题转化为不等式恒成立，对a−1是否为零进行分类讨论即可求得结果.
【解答过程】根据题意(a−1) x
2+(a−1) x +2>0对于∀x∈R恒成立；
当a−1=0时，2>0显然成立，可得a=1符合题意；
当a−1>0时，若满足题意可得{
a−1>0
Δ=(a−1)
2−4×2(a−1)<0)，解得1<a<9；
当a−1<0时，若满足题意可得{
a−1<0
Δ=(a−1)
2−4×2(a−1)<0)，此时无解；
综上可得，a的取值范围是[1,9).
故选：C.
【题型7 已知函数类型求解析式】
【例7】（24-25 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x，则
f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【答案】B
【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【解答过程】设f (x)=a x
2+bx +c（a≠0），由f (0)=2，则c =2，
由f (x +2)−f (x)= 4 x，则a(x +2)
2+b(x +2)+2−(a x
2+bx +2)= 4 x，
整理可得4 ax + 4 a+2b= 4 x，则{
4 a= 4
4 a+2b=0)，解得{
a=1
b=−2)，
所以f (x)= x
2−2 x +2.
故选：B.
【变式7-1】（24-25 高一上·天津·期中）已知函数f (x)=kx +b为一次函数，且f (2)=−1,f (4)=3，则
f (−1)=（ ）
A．3
B．−3
C．−7
D．7
【答案】C
【解题思路】根据条件求出k ,b，得f (x)的解析式，进而代入求值即可.
【解答过程】∵f (2)=−1,f (4)=3，∴2k +b=−1且4 k +b=3，解得k =2,b=−5，
∴f (x)=2 x−5，∴f (−1)=2×(−1)−5=−7.
故选：C.
【变式7-2】（23-24 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f ( x)是一次函数，且f [ f ( x)−2 x ]=3，则
f (5)=（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】A
【解题思路】设f (x)=ax +b(a≠0)，根据f [ f ( x)−2 x ]=3恒成立可得a，b，然后可解.
【解答过程】设f (x)=ax +b(a≠0)，
则f [ f ( x)−2 x ]= f (ax +b−2 x)=a(ax +b−2 x)+b=3，
整理得(a
2−2a) x +ab+b−3=0，
所以{
a
2−2a=0
ab+b−3=0)，解{
a=2
b=1)，
所以f (x)=2 x +1，所以f (5)=2×5+1=11.
故选：A.
【变式7-3】（24-25 高一上·全国·课后作业）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)=−3 x
2+6 x
B．f (x)=−2 x
2+ 4 x
C．f (x)=3 x
2−6 x
D．f (x)=2 x
2−4 x
【答案】A
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原
点，将(0,0)代入即可.
【解答过程】设图象是以(1,3)为顶点的二次函数f (x)=a(x−1)
2+3（a≠0）．
因为图象过原点，所以0=a+3，a=−3，所以f (x)=−3(x−1)
2+3=−3 x
2+6 x．
故选：A.
【题型8 已知f(g(x))求解析式】
【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【答案】B
【解题思路】利用换元法令t =1−x求解析式即可．
【解答过程】令t =1−x，则x =1−t，且x≠0，则t ≠1，
可得f (t )= 1−(1−t )
2
(1−t )
2
=
1
(t −1)
2 −1,(t ≠1)，
所以f (x)=
1
(x−1)
2 −1(x≠1).
故选：B.
【变式8-1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知f (x−1)=e
x，则f (2)=（ ）
A．e
B．2e
C．e
2
D．e
3
【答案】D
【解题思路】先由换元法求得函数f (x)的解析式，然后代入计算，即可得到结果.
【解答过程】令x−1=t ∈R，则x =t +1，所以f (t )=e
t +1，即f (x)=e
x +1，
则f (2)=e
3，
故选：D．
【变式8-2】（24-25 高一上·湖南衡阳·期中）函数f (x)满足若f (g(x))=9 x +3，g(x)=3 x +1，则f (x)=
（ ）
A．f (x)=3 x
B．f (x)=3
C．f (x)=27 x +10
D．f (x)=27 x +12
【答案】A
【解题思路】对f (g(x))的式子适当变形，即可直接求出f (x).
【解答过程】因为f (g(x))=9 x +3, g(x)=3 x +1，
所以f (3 x +1)=9 x +3=3(3 x +1)，则f (x)=3 x.
故选：A.
【变式8-3】（24-25 高一上·浙江·期中）已知函数f (❑√x−2)= x−4 ❑√x +5，则f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)= x
2+1( x ≥0)
B．f ( x)= x
2+1( x ≥−2)
C．f ( x)= x
2( x ≥0)
D．f ( x)= x
2( x ≥−2)
【答案】B
【解题思路】应用换元法求函数解析式，注意定义域.
【解答过程】令t = ❑√x−2≥−2，则x =(t +2)
2，
所以f (t )=(t +2)
2−4(t +2)+5=t
2+1，
综上，f ( x)= x
2+1( x ≥−2).
故选：B.
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数f ( x)={
2
x , x>0
f ( x +2), x ≤0)，则f (−3)=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【解答过程】由函数可得，f (−3)= f (−1)= f (1)=2
1=2.
故选：B.
【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设f (x)={
❑√x ,0< x<1
3(x−1), x ≥1)，若f (m)= f (m+1)，则m=（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
9
D．1
16
【答案】C
【解题思路】分0<m<1和m≥1两种情况解方程f (m)= f (m+1)即可求解.
【解答过程】由题意可知m>0，
当0<m<1时，m+1>1，所以由f (m)= f (m+1)得
❑√m=3m⇒m= 1
9；
当m≥1时，m+1>1，所以由f (m)= f (m+1)得3(m−1)=3m，无解.
综上，m= 1
9.
故选：C.
【变式9-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)满足f (x +1)={
f (x)
2
,f (x)为偶数，
3 f (x)+1,f (x)为奇数.)
若f (1)=3，
则f (2024)=（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
【答案】A
【解题思路】通过计算求得函数的周期即可得到答案.
【解答过程】因为f (1)=3，所以f (2)=10，f (3)=5，f (4)=16，f (5)=8，f (6)= 4，f (7)=2，f (8)=1，
f (9)= 4，f (10)=2，f (11)=1，f (12)= 4，f (13)=2，f (14)=1，f (15)= 4，f (16)=2，…，发现从第6
项开始就是以3 为周期的周期函数，2024−5=2019，为3 的倍数，则f (2024)=1．
故选：A.
【变式9-3】（2025·吉林·模拟预测）已知f (x)={
2
x−1, x<1,
❑√x
2 , x ≥1.)
若f (a)=1，则实数a的值为（ ）
A．1
B．4
C．1 或4
D．2
【答案】B
【解题思路】分a<1和a≥1，求解f (a)=1，即可得出答案.
【解答过程】当a<1时，f (a)=2
a−1=1，则a−1=0，解得：a=1（舍去）；
当a≥1时，f (a)=
❑√a
2 =1，则❑√a=2，解得：a= 4.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·山东·一模）函数f (x)= ❑√|x−1)−3的定义域是（ ）
A．[4 ,+∞)
B．(−∞,−2)
C．[−2,4)
D．(−∞,−2)∪[4 ,+∞)
【答案】D
【解题思路】先由函数有意义得|x−1)−3≥0，解该不等式即可得解.
【解答过程】要使函数有意义，则|x−1)−3≥0，即|x−1)≥3，
所以x−1≥3或x−1≤−3，解得x ≥4或x ≤−2，
所以函数的定义域为(−∞,−2)∪[4 ,+ ∞).
故选：D.
2．（2025·山西·模拟预测）已知f (f (x))= x
2−x +1，则f (1)=（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
【答案】B
【解题思路】将f (f (1))看成一个整体，利用f (f (x))= x
2−x +1求解即可.
【解答过程】f (f (x))= x
2−x +1，
故f (f (1))=1−1+1=1，
所以f (f (f (1)))= f (1)= f
2(1)−f (1)+1，
故f
2(1)−2f (1)+1=0，解得f (1)=1.
故选：B.
3．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（ ）
A．f ( x)= ❑√x
B．f ( x)= ln x
C．f ( x)=2
x
D．f ( x)= tan x
【答案】B
【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【解答过程】对于A，要使得根号下有意义，则x ≥0，即定义域为[0,+∞)，故A 错误；
对于B，要使得对数有意义，则真数x>0，即定义域为(0,+ ∞)，故B 正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C 错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则x≠k π + π
2 ,k ∈Z，即定义域为{x| x≠k π + π
2 ,k ∈Z)，故D 错
误；
故选：B.
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数f (x)= x
2的定义域A ⊆R，值域B = {9)，则满足条件的f (x)有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解题思路】先计算x
2=9，得出x =±3，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数.
【解答过程】令f (x)= x
2=9，则x =±3，
则满足条件的f (x)有：
f (x)= x
2, x∈{3)；f (x)= x
2, x∈{−3)；f (x)= x
2, x∈{−3,3)，
故满足条件的f (x)有3个.
故选：C.
5．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足对于任意实数x，y 均有f (xy)= yf (x)，且
2f (2)= f (1)+6，则f (2025)=（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
【答案】D
【解题思路】根据赋值法，用x 替换y，y 替换x 得到f (x)
x
= f ( y)
y
，故f (x)
x
是常函数，设f (x)=cx，再结
合2f (2)= f (1)+6可解f (x)即可求f (2025).
【解答过程】用x 替换y，y 替换x 可得f (xy)= yf (x)= xf ( y)，当x≠0，y ≠0时，，故可知f (x)
x
是常函
数，于是知当x≠0时，f (x)=cx，其中c 为常数，故4 c =c +6，解得c =2，于是
f (2025)=2×2025= 4050.
故选：D.
6．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的x , y ∈R，都有f ( x + y + f ( x))=6 x +2 y +3，则一次函数
y = f ( x)的解析式为（ ）
A．y = x +1
B．y =2 x
C．y =2 x +1
D．y = x
【答案】C
【解题思路】利用待定系数法，设f ( x)=kx +b(k ≠0)，根据题意运算求解即可.
【解答过程】设f ( x)=kx +b(k ≠0)，
则f ( x + y + f ( x))= f ( x + y +kx +b)=k( x + y +kx +b)+b =(k
2+k )x +ky +kb+b，
因为f ( x + y + f ( x))=6 x +2 y +3，即(k
2+ k )x +ky +kb+b=6 x +2 y +3，
则{
k
2+ k =6
k =2
kb+b=3)
，解得{
k =2
b=1)，所以y =2 x +1.
故选：C.
7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为[0,3).记f (x)的定义域为集合A ,f (2
x−1)的定义
域为集合B.则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】先利用函数的定义域求得集合A ,B，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【解答过程】∵函数f (x)的定义域为[0,3)，
所以A =[0,3)，
令0≤2
x−1≤3，解得1≤2
x≤4，即0≤x ≤2，即B =[0,2)，
∵A ⊇B，
∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
故选：C.
8．（2025·云南红河·三模）定义在R上的函数y = f (x)满足：∀x∈R都有f (x +1)−f (x)≤x，
f (x +2)−f (x)≥2 x +1，且f (1)=1，则f (10)=（ ）
A．45
B．46
C．91
D．92
【答案】B
【解题思路】将f (x +1)−f (x)≤x中的x替换为x +1得到新的不等式，再和f (x +2)−f (x)≥2 x +1运算，
即可得出x ≤f (x +1)−f (x)≤x，进而确定关系式f (x +1)−f (x)= x，再赋值x =1,2,⋯,9得出关系式，再
相加即可.
【解答过程】由f (x +1)−f (x)≤x①，得：f (x +2)−f (x +1)≤x +1②，
②×(−1)得：−f (x +2)+ f (x +1)≥−x−1③，
又f (x +2)−f (x)≥2 x +1④
+
③④得：f (x +1)−f (x)≥x⑤，
由①和⑤，得：f (x +1)−f (x)= x，
所以f (2)−f (1)=1，f (3)−f (2)=2，f (4)−f (3)=3，⋯，f (10)−f (9)=9，
以上式子相加得f (10)−f (1)=1+2+3+⋯+9= 45，
则f (10)= f (1)+ 45= 46.
故选：B．
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数v (x)=|x)
x 与u(x)={
1,当x>0时
0,当x =0时
−1,当x<0时)
表示同一函数
B．函数v (x)= x
2−2 x +2与u(t )=t
2−2t +2是同一函数
C．函数y = f (x)的图象与直线x =2024的图象至多有一个交点
D．函数f (x)=|x−1)−x，则f(f(
1
2))=0
【答案】BC
【解题思路】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可
判断D.
【解答过程】对于A：v (x)=|x)
x ={
1, x>0
−1, x<0)，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A 错
误；
对于B：函数v (x)= x
2−2 x +2与u(t )=t
2−2t +2定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B 正确；
对于C：根据函数的定义可知，函数y = f (x)的图象与直线x =2024的图象至多有一个交点，故C 正确；
对于D：因为f (x)=|x−1)−x，所以f(
1
2)=|
1
2 −1)−1
2 =0，
则f(f(
1
2))= f (0)=|0−1)−0=1，故D 错误.
故选：BC.
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
x
2+1，则（ ）
A．f ( x)+ f (−x)=0
B．f ( x)≤2
C．f ( x)+ f ( 1
x )=2
D．f (3)+ f (2)+ f (1)+ f ( 1
2 )+ f ( 1
3 )=5
【答案】BCD
【解题思路】根据f (x)的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，f (x)+ f (−x)=
2
x
2+1
+
2
(−x)
2+1
=
4
x
2+1
≠0，故A 错误；
对于B，由f (x)=
2
x
2+1
≤2
1 =2，故B 正确；
对于C，f (x)+ f(
1
x)=
2
x
2+1
+
2
(
1
x)
2
+1
= 2(x
2+1)
x
2+1
=2，故C 正确；
对于D，由选项C 知f (x)+ f(
1
x)=2，且f (1)=1，
∴f (3)+ f (2)+ f (1)+ f(
1
2)+ f(
1
3)=2+2+1=5，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R 的函数f ( x)满足
f ( x)⋅f ( y)= f ( x + y)+ f (2−x)⋅f (2−y)，且f (0)=1，f (−2)=0，则（ ）
A．f ( x)= f (−x)
B．f ( x + 4)= f ( x)
C．f (2)+ f (4)+ f (6)+ f (8)+ f (10)+⋯+ f (2026)=1012
D．[ f ( x)]
2+[ f (2+ x)]
2=1
【答案】AD
【解题思路】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解.
【解答过程】由题意f ( x)⋅f ( y)= f ( x + y)+ f (2−x)⋅f (2−y)，
得：f ( x + y)= f ( x)⋅f ( y)−f (2−x)⋅f (2−y).
令x = y =1，
则f (2)= f (1)⋅f (1)−f (1)⋅f (1)=0.
令x =2，y =−2，
可得：f (0)= f (2)⋅f (−2)−f (0)⋅f (4)=−f (0)⋅f (4)，
由f (0)=1，得f (4)=−1≠f (0)，故选项B 错误；
令x =−2，y替换为−y，
可得f (−2−y)= f (−2)⋅f (−y)−f (4)⋅f (2+ y)，
因为f (4)=−1，f (−2)=0，
所以f (−2−y)= f (2+ y)，即f ( x)= f (−x)，
故选项A 正确；
令x =2，y替换为x，
可得：f (2+ x)= f (2)⋅f ( x)−f (2−2)⋅f (2−x)，即f (2+ x)=−f (2−x)=−f ( x−2)，
所以f ( x +2)+ f ( x−2)=0，
所以f (4)+ f (8)=0，f (6)+ f (10)=0，…，f (2022)+ f (2026)=0，
故f (2)+ f (4)+ f (6)+ f (8)+ f (10)+⋯+ f (2026)= f (2)=0，故选项C 错误；
令y =−x，
可得：f (0)= f ( x)⋅f (−x)−f (2−x)⋅f (2+ x)，
所以1=[ f ( x)]
2−f (2−x)⋅f (2+ x)=[ f ( x)]
2+ f (2+ x)⋅f (2+ x)=[ f ( x)]
2+[ f (2+ x)]
2，
故选项D 正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（2025·上海·三模）函数y = ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为 .
【答案】[ 3
2 ,2)∪(2,+∞)
【解题思路】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解.
【解答过程】{
2 x−3≥0
x−2≠0 )，解得x∈[ 3
2 ,2)∪(2,+∞)，
所以函数y = ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为[ 3
2 ,2)∪(2,+∞).
故答案为：[ 3
2 ,2)∪(2,+∞).
13．（2025·上海宝山·二模）已知函数f (x)={
x
2+2，x<1,
f (x−2)，x ≥1.)则f (4)= .
【答案】2
【解题思路】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案.
【解答过程】由题意可得f (4)= f (2)= f (0)=0
2+2=2.
故答案为：2.
14．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R 的函数f (x)满足：∀x，y ∈R都有f (x + f ( y))= f (f (x))+ y且
f (0)=a（a 为常数），则函数f (x)= ．
【答案】x +a
【解题思路】运用赋值法可求解.
【解答过程】由f (x + f ( y))= f (f (x))+ y①，
在①中，令x =0可得f (f ( y))= f (f (0))+ y②，
在②中，令y = f (m)，则f (f (f (m)))= f (f (0))+ f (m)③，
由②可得，f (f (f (m)))= f (f (f (0))+m)④，
由①可得，f (f (f (0))+m)= f (f (m))+ f (0)⑤，
由②可得，f (f (m))+ f (0)= f (f (0))+m+ f (0)⑥，
则由③④⑤⑥可得，f (f (0))+ f (m)= f (f (0))+m+ f (0)，即f (m)=m+ f (0)，
因f (0)=a，则f (x)= x +a.
故答案为：x +a.
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)f ( x)= 3 x
x−4 ；
(2)f ( x)= 1
❑√x
2；
(3)f ( x)=
6
x
2−3 x +2
；
(4)f ( x)=
❑√4−x
x−1
．
【答案】(1){x∣x≠4}
(2){x∣x≠0}
(3){x∣x≠1且x≠2}
(4){x∣x ≤4且x≠1}
【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可.
【解答过程】（1）∵x−4≠0，∴x≠4，
所以定义域为{x| x≠4 }；
（2）∵
❑√x
2≠0, x
2≥0，∴x≠0，
所以定义域为{x| x≠0}；
（3）∵x
2−3 x +2≠0，∴x≠2且x≠1，
所以定义域为{x| x≠2且x≠1}；
（4）∵x−1≠0,4−x ≥0，∴x ≤4且x≠1，
所以定义域为{x| x ≤4且x≠1}.
16．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)+2 x)=5，求函数
f (x)的解析式；
（2）已知f(
❑√x + 1
❑√x)= x + 1
x −2，求函数f (x)的解析式；
【答案】（1）f (x)=−2 x−5
（2）f (x)= x
2−4 (x ≥2)
【解题思路】（1）首先设出函数f (x)的解析式，然后根据f (f (x)+2 x)=5求出参数，进而得到函数f (x)
的解析式.
（2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式.
【解答过程】（1）因为函数f (x)是一次函数，则设f (x)=kx +b(k ≠0).
由于f (f (x)+2 x)=5，所以f (kx +b+2 x)=5
所以k (kx +b+2 x)+b=5.化简得：k (k +2) x +b(k +1)=5
这是一个恒等式，所以k (k +2)=0，且b(k +1)=5.
所以k =−2,b=−5.
所以函数f (x)的解析式为f (x)=−2 x−5.
（2）f(
❑√x + 1
❑√x)= x + 1
x −2=(
❑√x + 1
❑√x)
2
−4，
令t = ❑√x + 1
❑√x ，t = ❑√x + 1
❑√x ≥2.
所以f (t )=t
2−4.
所以函数f (x)的解析式为f (x)= x
2−4 (x ≥2).
17．（24-25 高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)y =2 x +1，x∈{1,2,3,4,5)；
(2)y = ❑√x +1；
(3)y = x
2−4 x +6，x∈[1,5]；
(4)y = 3 x +2
x−1 ．
【答案】(1){3,5,7,9,11)；
(2)[1,+ ∞)；
(3)[2,11]；
(4)(−∞,3)∪(3,+∞)．
【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.
（2）利用二次根式的意义求出值域.
（3）利用二次函数的性质求出值域.
（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.
【解答过程】（1）y =2 x +1，且x∈{1,2,3,4,5)，则y ∈{3,5,7,9,11)．
所以函数的值域为{3,5,7,9,11).
（2）函数y = ❑√x +1的定义域为[0,+ ∞)，由❑√x ≥0，得❑√x +1≥1，
所以y = ❑√x +1的值域为[1,+ ∞).
（3）函数y = x
2−4 x +6图象的对称轴为x =2，而x∈[1,5]，
当x =2时，ymin=2，当x =5时，ymax=11，
所以函数的值域为[2,11]．
（4）函数y = 3 x +2
x−1 的定义域为{x∈R| x≠1}，
y = 3 x +2
x−1 = 3( x−1)+5
x−1
=3+
5
x−1 ≠3，
所以函数的值域为(−∞,3)∪(3,+∞)．
18．（2025 高一·江苏·专题练习）已知函数f ( x)=1+|x)−x
2
(−2< x ≤2).
(1)用分段函数的形式表示函数f ( x)；
(2)画出函数f ( x)的图象，并写出函数f ( x)的值域.
【答案】(1)f ( x)={
1,0≤x ≤2,
1−x ,−2< x<0.)
(2)作图见解析，[1,3)
【解题思路】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可；
（2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可.
【解答过程】（1）当0≤x ≤2时，f ( x)=1+ x−x
2
=1；
当−2< x<0时，f ( x)=1+ −x−x
2
=1−x；
所以f ( x)={
1,0≤x ≤2,
1−x ,−2< x<0.)
（2）由（1）得f ( x)={
1,0≤x ≤2,
1−x ,−2< x<0,)
由此画出f ( x)的图象如下图所示：
由图象知，f ( x)的值域为[1,3).
19．（24-25 高一上·广东江门·阶段练习）已知函数f ( x)= ❑√x +3+
1
x +2，
(1)求函数的定义域；
(2)求f (−3),f ( 2
3 )的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a−1)的值．
【答案】(1)[−3,−2)∪(−2,+ ∞)；
(2)f (−3)=−1,f ( 2
3 )= 8 ❑√33+9
24
；
(3)f (a)= ❑√a+3+
1
a+2，f (a−1)= ❑√a+2+
1
a+1.
【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域.
（2）（3）代入自变量值，计算得函数值.
【解答过程】（1）函数f ( x)= ❑√x +3+
1
x +2有意义，则{
x +3≥0
x +2≠0)，解得x ≥−3且x≠−2，
所以函数f ( x)= ❑√x +3+
1
x +2的定义域为[−3,−2)∪(−2,+∞).
（2）f (−3)=−1,f ( 2
3 )= ❑√
2
3 +3+
1
2
3 +2
=
❑√33
3
+ 3
8 = 8 ❑√33+9
24
.
（3）当a>0时，a−1>−1，所以f (a)= ❑√a+3+
1
a+2，f (a−1)= ❑√a+2+
1
a+1.
