专题2.2 函数的解析式与定义域、值域（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................1
【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】.................................................................................................2
【题型3 函数值域的求解】......................................................................................................................................4
【题型4 求函数值】..................................................................................................................................................5
【题型5 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................7
【题型6 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................8
【题型7 分段函数及其应用】................................................................................................................................10
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 具体函数的定义域的求解】
1．（2025·河北·模拟预测）函数y = ❑√lg(x−1)的定义域为（ ）
A．{x|x>1))
B．{x|x ≥2))
C．{x|x>10))
D．{x|x ≥11))
【答案】B
【解题思路】根据题意得lg(x−1)≥0，解不等式得解.
【解答过程】由lg(x−1)≥0，即lg(x−1)≥lg1，即x−1≥1，解得x ≥2.
所以函数的定义域为{x|x ≥2)).
故选：B.
2．（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {0,1,2)，B ={x∣y =
❑√1−x
2)，则A ∩B =（ ）
A．{0)
B．{1)
C．{0,1)
D．{0,1,2)
【答案】C
【解题思路】先化简集合B，再结合交集的运算，即可求解.
【解答过程】根据题意，集合B ={x∣y =
❑√1−x
2)={x∣1−x
2≥0)= {x∣−1≤x ≤1)，
又集合A = {0,1,2)，所以A ∩B = {0,1).
故选：C.
3．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（ ）
A．f ( x)= ❑√x
B．f ( x)= ln x
C．f ( x)=2
x
D．f ( x)= tan x
【答案】B
【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【解答过程】对于A，要使得根号下有意义，则x ≥0，即定义域为[0,+∞)，故A 错误；
对于B，要使得对数有意义，则真数x>0，即定义域为(0,+ ∞)，故B 正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C 错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则x≠k π + π
2 ,k ∈Z，即定义域为{x| x≠k π + π
2 ,k ∈Z)，故D 错
误；
故选：B.
4．（2025·山东·一模）函数f (x)= ❑√|x−1)−3的定义域是（ ）
A．[4 ,+∞)
B．(−∞,−2)
C．[−2,4)
D．(−∞,−2)∪[4 ,+∞)
【答案】D
【解题思路】先由函数有意义得|x−1)−3≥0，解该不等式即可得解.
【解答过程】要使函数有意义，则|x−1)−3≥0，即|x−1)≥3，
所以x−1≥3或x−1≤−3，解得x ≥4或x ≤−2，
所以函数的定义域为(−∞,−2)∪[4 ,+ ∞).
故选：D.
【题型2 抽象函数、复合函数的定义域的求解】
5．（25-26 高一上·四川遂宁·期中）已知函数f (x)的定义域为(0,2)，则函数g(x)= f (x−2)
❑√x−3
的定义域为
（ ）
A．(3,+∞)
B．[3,4)
C．(2,4)
D．(3,4)
【答案】D
【解题思路】根据条件，得{
0< x−2<2
x−3>0 )，即可求解.
【解答过程】因为函数f (x)的定义域为(0,2)，所以{
0< x−2<2
x−3>0 )，解得3< x<4，
所以函数g(x)= f (x−2)
❑√x−3
的定义域为(3,4)，
故选：D.
6．（25-26 高一上·重庆九龙坡·期中）已知函数f (x)的定义域为[−1,4)，则函数g(x)= f (x +1)+
❑√4−2
x的
定义域为（ ）
A．[0,2)
B．[−2,2)
C．[2,3)
D．[2,4)
【答案】B
【解题思路】由函数f (x)的定义域得出x +1的范围，再根据指数函数的单调性求解4−2
x≥0，最后取交集
即可.
【解答过程】因函数f (x)的定义域为[−1,4)，则−1≤x +1≤4，得−2≤x ≤3
又4−2
x≥0，即2
x≤2
2，得x ≤2，
故g(x)的定义域为[−2,2).
故选：B.
7．（25-26 高一上·陕西宝鸡·期中）若函数f (x)的定义域为[1,9)，则函数g(x)= f (2 x−1)
❑√x−1
的定义域为
（ ）
A．(1,5)
B．[1,5)
C．[1,5)
D．(1,5)
【答案】D
【解题思路】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案.
【解答过程】因f (x)定义域为：[1,9)，则f (2 x−1)
❑√x−1 的定义域满足：{
1≤2 x−1≤9
x−1>0 )，
解得：1< x ≤5，即定义域为：(1,5).
故选：D.
8．（25-26 高一上·山东枣庄·期中）若函数f (2 x−1)的定义域为[−1
2 ,0)，则y =
f(
1
x)
❑√x +1 +
❑√1−3
x的定义
域为（ ）
A．(−1,−2
3)
B．[−1,−2
3)
C．[−1,−1
2)
D．(−1,−1
2)
【答案】D
【解题思路】先求出f (x)的定义域为[−2,−1)，再由{
−2≤1
x ≤−1
x +1>0
1−3
x≥0 )
求解即可．
【解答过程】因为函数f (2 x−1)的定义域为[−1
2 ,0)，
所以x∈[−1
2 ,0),2 x−1∈[−2,−1)，所以f (x)的定义域为[−2,−1)，
则函数y =
f(
1
x)
❑√x +1 +
❑√1−3
x有意义，
有{
−2≤1
x ≤−1
x +1>0
1−3
x≥0 )
，得{
−1≤x ≤−1
2
x>−1
x ≤0 )
，得−1< x ≤−1
2，
则函数y =
f(
1
x)
❑√x +1 +
❑√1−3
x的定义域为：(−1,−1
2)，
故选：D.
【题型3 函数值域的求解】
9．（2025·湖南常德·模拟预测）已知集合A ={x| y = ❑√x−1)，B ={y | y = ❑√1−x)，则A ∩B =（ ）
A．∅
B．{1)
C．{x| x ≥0)
D．{x| x ≥1)
【答案】D
【解题思路】由根式的性质求函数的定义域和值域，再应用集合的交运算求集合.
【解答过程】由A ={x| y = ❑√x−1)={x| x ≥1}，B ={y | y = ❑√1−x)={ y | y ≥0}，
所以A ∩B = {x| x ≥1).
故选：D.
10．（2025·山东威海·三模）已知函数f ( x)={
(1−a)x +2a, x<1,
x−1
x , x ≥1. )
的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1)
B．(−1,+∞)
C．[−1,1)
D．(1,+∞)
【答案】C
【解题思路】由函数的单调性可得，当x ≥1时，f (x)≥f (1)=0，然后结合其值域为R，即可得到x<1的值
域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为y = x在[1,+∞)单调递增，y =−1
x 在[1,+ ∞)单调递增，
所以当x ≥1时，f (x)= x−1
x 单调递增，则f (x)≥f (1)=0，
又函数f (x)的值域为R，
所以x<1时，函数y =(1−a)x +2a的值域要取到(−∞,0)的所有实数，
所以1−a>0，
当1−a>0时，即a<1时，函数y =(1−a)x +2a单调递增，
x→−∞时，y →−∞，
当x =1时，y =1−a+2a=a+1≥0，即a≥−1，
所以−1≤a<1，即a的取值范围是[−1,1).
故选：C.
11．（25-26 高一上·天津·期中）函数y =1−x + ❑√1+2 x的值域为
.
【答案】(−∞,2)
【解题思路】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可.
【解答过程】令t = ❑√1+2 x ≥0，则x = t
2−1
2
，
所以y =1−t
2−1
2
+t =−1
2 t
2+t + 3
2 =−1
2
(t −1)
2+2，t ≥0，
所以y ∈(−∞,2)，即函数的值域为(−∞,2).
故答案为：(−∞,2).
12．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数f (x)的定义域为R，且f (x + y)= f (x)+ f ( y)+2 xy，则f (x)的
值域为
.
【答案】[0,+ ∞)
【解题思路】令x = y =0可得出f (0)=0，令y =−x结合偶函数的性质可求得函数f (x)的解析式，由此可得
出函数f (x)的值域.
【解答过程】对f (x + y)= f (x)+ f ( y)+2 xy，令x = y =0，则f (0)=2f (0)，解得f (0)=0；
对f (x + y)= f (x)+ f ( y)+2 xy，令y =−x，则f (0)= f (x)+ f (−x)−2 x
2，
又f (x)为偶函数，f (−x)= f (x)，故2f (x)−2 x
2=0，解得f (x)= x
2。
又f (x)= x
2≥0，故其值域为[0,+ ∞).
故答案为：[0,+∞).
【题型4 求函数值】
13．（2025·山西·模拟预测）已知f (f (x))= x
2−x +1，则f (1)=（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
【答案】B
【解题思路】将f (f (1))看成一个整体，利用f (f (x))= x
2−x +1求解即可.
【解答过程】f (f (x))= x
2−x +1，
故f (f (1))=1−1+1=1，
所以f (f (f (1)))= f (1)= f
2(1)−f (1)+1，
故f
2(1)−2f (1)+1=0，解得f (1)=1.
故选：B.
14．（2025·山西·模拟预测）已知函数f (x)=
1
1−❑√x ，则f(
1
2
2)f(
1
3
2)⋅⋅⋅f(
1
9
2)=（ ）
A．9
2
B．5
C．9
D．10
【答案】C
【解题思路】用1
n
2代换x得f(
1
n
2)=
n
n−1，即可求目标函数值.
【解答过程】由题设
f(
1
n
2)=
1
1−❑√
1
n
2
=
n
n−1，故f(
1
2
2)f(
1
3
2)⋅⋅⋅f(
1
9
2)= 2
1 × 3
2 ×⋅⋅⋅× 9
8 =9.
故选：C.
15．（2025·重庆·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足对任意的
a,b∈R ,f (a+ f (b))−b= f (f (a)),f (0)=1. 则f (1)=（ ）
A．−2
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【解题思路】赋值分别令a=0,b= x、a= x ,b=0可得f (x +1)= x + f (1)，再令x =−1即可得解.
【解答过程】因为对任意的a,b∈R ,f (a+ f (b))−b= f (f (a)),f (0)=1，
令a=0,b= x，则f (f (x))−x = f (f (0))= f (1)，即f (f (x))= x + f (1)；
令a= x ,b=0，则f (x + f (0))= f (f (x))，即f (x +1)= f (f (x))；
可得f (x +1)= x + f (1)，
令x =−1，则f (0)=−1+ f (1)=1，解得f (1)=2.
故选：C.
16．（2025·江西·二模）已知函数f (x)是定义在R上的函数，f (1)=1，且对任意的x∈R都有
f (x +5)≥f (x)+5，f (x +1)≤f (x)+1，若g(x)= f (x)+1−x，则g(2025)=（ ）
A．2
B．1
C．2025
D．2026
【答案】B
【解题思路】由已知条件得出f (x)= g(x)+ x−1，代入题干中的不等式，结合不等式的基本性质推导出
f (x)= g(x)+ x−1，再结合g(1)=1可求得结果.
【解答过程】由g(x)= f (x)+1−x，得f (x)= g(x)+ x−1，
由f (x +5)≥f (x)+5，f (x +1)≤f (x)+1，
得g(x +5)+(x +5)−1≥g(x)+(x−1)+5，g(x +1)+(x +1)−1≤g(x)+(x−1)+1，
即g(x +5)≥g(x)，g(x +1)≤g(x)，
所以g(x)≤g(x +5)≤g(x + 4)≤g(x +3)≤g(x +2)≤g(x +1)≤g(x)，
所以g(x)= g(x +1)，
又因为g(1)= f (1)=1，故g(2025)= g(1)=1.
故选：B.
【题型5 已知函数类型求解析式】
17．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知一次函数f ( x)满足f (2 x−1)+ f ( x +1)=2( x−3)，则（ ）
A．f ( x)= 2
3 x−3
B．f ( x)= 3
2 x−3
C．f ( x)= 2
3 x +3
D．f ( x)= 3
2 x +3
【答案】A
【解题思路】设出函数解析式，利用待定系数法求解.
【解答过程】由f ( x)为一次函数，设f ( x)=ax +b(a≠0)，
依题意，a(2 x−1)+b+a( x +1)+b=2 x−6，整理得3ax +2b=2 x−6，
因此{
3a=2
2b=−6)，解得a= 2
3 ,b=−3，所以f ( x)= 2
3 x−3．
故选：A.
18．（24-25 高一上·全国·课后作业）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)=−3 x
2+6 x
B．f (x)=−2 x
2+ 4 x
C．f (x)=3 x
2−6 x
D．f (x)=2 x
2−4 x
【答案】A
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原
点，将(0,0)代入即可.
【解答过程】设图象是以(1,3)为顶点的二次函数f (x)=a(x −1)
2+3（a≠0）．
因为图象过原点，所以0=a+3，a=−3，所以f (x)=−3(x −1)
2+3=−3 x
2+6 x．
故选：A.
19．（24-25 高一上·全国·课后作业）若f ( x)是一次函数，2f (2)−3 f (1)=5，2f (0)−f (−1)=1，则
f ( x)=（ ）
A．3 x +2
B．3 x−2
C．2 x +3
D．2 x−3
【答案】B
【解题思路】设出函数f ( x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【解答过程】设f ( x)=ax +b(a≠0)，由题设有¿，
解得{
a=3
b=−2)，所以f ( x)=3 x−2．
故选：B．
20．（24-25 高三·全国·中职高考）已知二次函数f (x)满足f (2)=−1,f (1−x)= f ( x)，且f (x)的最大值是
8，则此二次函数的解析式为f ( x)=（ ）
A．−4 x
2+ 4 x +7
B．4 x
2+ 4 x +7
C．−4 x
2−4 x +7
D．−4 x
2+ 4 x−7
【答案】A
【解题思路】根据条件设二次函数为f ( x)=a(x−1
2)
2
+ k(a≠0)，代入条件求解即可.
【解答过程】根据题意，由f (1−x)= f ( x)得:f ( x)图象的对称轴为直线x = 1
2，
设二次函数为f ( x)=a(x−1
2)
2
+ k(a≠0)，
因f ( x)的最大值是8，所以a<0，当x = 1
2时，f(
1
2)=k =8 ，
即二次函数f ( x)=a(x−1
2)
2
+8(a≠0)，
由f (2)=−1得:f (2)=a(2−1
2)
2
+8=−1，解得：a=−4，
则二次函数f ( x)=−4(x−1
2)
2
+8=−4 x
2+ 4 x +7，
故选：A.
【题型6 已知f(g(x))求解析式】
21．（25-26 高一上·福建三明·月考）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x−1，则f (x)=（ ）
A．x
2−2(x ≥1)
B．x
2−2
C．x
2(x ≥1)
D．x
2
【答案】A
【解题思路】利用配方法，将f (❑√x +1)= x +2❑√x−1化为f (❑√x +1)=(❑√x +1)
2−2，再结合换元法即可求
得答案.
【解答过程】由题意知f (❑√x +1)= x +2❑√x−1，即f (❑√x +1)=(❑√x +1)
2−2，
令t = ❑√x +1，因为❑√x +1≥1，故t ≥1，
则可得f (t )=t
2−2,(t ≥1)，
故f (x)= x
2−2,(x ≥1)，
故选：A.
22．（25-26 高一上·重庆·期中）已知f (x
2+1)= x
4+2 x
2−1，则函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2−2
B．f (x)= x
2−2(x ≥1)
C．f (x)= x
2+2
D．f (x)= x
2+2(x ≥1)
【答案】B
【解题思路】由利用配方法和换元法求函数解析式.
【解答过程】f (x
2+1)=(x
2+1)
2−2，且x
2+1≥1，
所以f (x)= x
2−2(x ≥1)，
故选：B.
23．（25-26 高一上·湖南岳阳·期中）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【答案】B
【解题思路】用换元法求函数解析式即可
【解答过程】令t =1−x ,t ≠1，则x =1−t，
所以f (t )= 1−(1−t )
2
(1−t )
2
=
1
(1−t )
2 −1，t ≠1.
所以f (x)=
1
(1−x)
2 −1=
1
(x−1)
2 −1(x≠1).
故选：B.
24．（25-26 高一上·江苏徐州·期中）已知f (2 x)= 4 x
2−1，则f (x +1)的解析式是（ ）
A．f (x +1)= x
2−1
B．f (x +1)= 4 x
2+8 x +3
C．f (x +1)= x
2+2 x
D．f (x +1)=8 x
2−1
【答案】C
【解题思路】利用配凑法求函数解析式．
【解答过程】因为f (2 x)= 4 x
2−1=(2 x)
2−1，
所以f (x)= x
2−1，则f (x +1)=(x +1)
2−1= x
2+2 x.
故选：C.
【题型7 分段函数及其应用】
25．（2025·安徽合肥·一模）若f (x)=¿是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1,+∞)
B．[1,+∞)
C．(2,+∞)
D．[2,+ ∞)
【答案】B
【解题思路】分类讨论x<1及x ≥1的f (x)的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到
a的取值范围．
【解答过程】当x<1时，若f (x)=ax +1为单调递增函数，则a>0；
当x ≥1时，f (x)=ln x +2a为单调递增函数，
若f (x)是R上的增函数，需有a+1≤2a，解得a≥1．
故选：B．
26．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数f ( x)={
x−ae
x , x<1
ln x−2, x ≥1)的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,e]
B．[0,e]
C．(−∞,e
−1]
D．(−∞,e
−1]∪[e,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】利用单调性求出f ( x)在[1,+ ∞)上的函数值集合，由已知可得f ( x)在(−∞,1)上的值域包含
(−∞,−2)，再利用导数探讨函数f ( x)在(−∞,1)上的函数值集合即可求出范围.
【解答过程】当x ≥1时，函数f ( x)= ln x−2在[1,+∞)上单调递增，函数值集合为[−2,+ ∞)，
由函数f ( x)的值域为R，得函数f ( x)= x−ae
x在(−∞,1)上的值域包含(−∞,−2)，
当x<1时，函数f ( x)= x−ae
x，求导得f
′( x)=1−ae
x，而e
x<e，
当a≤1
e 时，f
′( x)≥0，函数f ( x)在(−∞,1)上单调递增，函数值集合为(−∞,1−ae)，
而1−ae≥−2恒成立，则a≤1
e ；
当a> 1
e 时，由f
′( x)>0，得x<−ln a；由f
′( x)<0，得−ln a< x<1，
函数f ( x)在(−∞,−ln a)上单调递增，在(−ln a,1)上单调递减，f ( x)≤f (−ln a)=−ln a−1，
函数值集合为(−∞,−ln a−1]，于是−ln a−1≥−2，解得a≤e，则1
e <a≤e，
所以a 的取值范围是(−∞,e].
故选：A.
27．（2025·云南丽江·三模）已知函数f ( x)={
2
x
x ≥4
f ( x +1)
x<4)，则f (2+ log23)的值为（ ）
A．24
B．4
C．12
D．8
【答案】A
【解题思路】由2+ log23<4，则f (2+ log23)= f (3+ log23)，从而可求解.
【解答过程】因为2+ log23<4，所以f (2+ log23)= f (3+ log23)，
又3+ log23>4，所以f (3+ log23)=2
3+ log23=2
3×2
log23=8×3=24.
故选：A.
28．（2025·福建福州·模拟预测）若函数f (x)={
2
x+3, x ≤0
( x−2)
2,0< x ≤a)的定义域和值域的交集为空集，则a 的
取值范围是（ ）
A．(0,2)
B．(0,1)
C．(1,4)
D．(2,4)
【答案】B
【解题思路】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求
解.
【解答过程】由题意可得函数的定义域为{x| x ≤a)，
当x ≤0时，f (x)=2
x+3∈(3,4)，
要使得定义域和值域的交集为空集，则0<a≤3，
又0< x ≤a时，f (x)=(x−2)
2，
若a≥2，则f (2)=0，此时显然不满足题意，
若0<a<2，则f (x)在(0,a)上单调递减，f (x)∈[(a−2)
2,4)，
故f (x)∈[(a−2)
2,4)∪(3,4)，
所以{
a<(a−2)
2
0<a<2 )，解得0<a<1.
故选：B.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·河北保定·三模）设集合 A ={x∣2
2 x +1≤1
32)，B ={x∣y = ❑√1−x +1)，则A ∩B =（ ）
A．{x|−3≤x ≤1}
B．{x| x ≤1}
C．{x| x ≤−3}
D．{x|−1≤x ≤3}
【答案】C
【解题思路】解指数不等式得集合A，求函数定义域得集合B，然后根据交集的定义求解.
【解答过程】因为集合A ＝{x|2
2 x +1≤1
32 =2
−5)= {x| x ≤−3)，B ={x| y = ❑√1−x +1)= {x| x ≤1)，
所以A ∩B = {x| x ≤−3).
故选：C.
2．（25-26 高一上·重庆沙坪坝·期中）函数f (x)= ❑√x−2−x , x∈(2,6)的值域为（ ）
A．(−∞,−7
4)
B．[−4 ,−7
4)
C．[−4 ,−2)
D．[−4 ,−2)
【答案】B
【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可.
【解答过程】由题意得x∈(2,6)，令t = ❑√x−2∈(0,2)，
可得t
2= x−2，则x =t
2+2，即原函数化为g(t )=−t
2+t −2，
由二次函数性质得g(t )在(0, 1
2)上单调递增，在[
1
2 ,2)上单调递减，
而g(
1
2)=−7
4 ，g(2)=−4，当t →0时，g(t )→−2，
可得g(t )∈[−4 ,−7
4)，即f (x)的值域为[−4 ,−7
4)，故B 正确.
故选：B.
3．（25-26 高一上·安徽六安·期中）已知函数f (x)的定义域为[−1,5)，则函数g(x)= f (2 x−1)
x−1
的定义域为
（ ）
A．[0,3)
B．[−3,9)
C．[0,1)∪(1,3)
D．[−3,1)∪(1,9)
【答案】C
【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.
【解答过程】由题意得{
−1≤2 x−1≤5
x−1≠0 )，解得0≤x<1或1< x ≤3，
故函数g(x)= f (2 x−1)
x−1
的定义域为[0,1)∪(1,3).
故选：C.
4．（2025·重庆·模拟预测）若函数 y = f (−2 x +2) 的图象如图所示，则函数 y = f (x) 的图象可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】结合函数 y = f (−2 x +2) 的图并利用特殊值即可求解.
【解答过程】对于B，由题可知函数 y = f (−2 x +2) 的图象，当
x =2时y = f (−2×2+2)= f (−2)=0，故B 项错误；
对于A、C、D：对于函数 y = f (−2 x +2) ，
当x =0时，y = f (−2×0+2)= f (2)= ❑√2，故C、D 项错误，A 项正确.
故选：A.
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)={
2
x−1，x ≤0
f (x−1)+1，x>0)，则f (2026)= （ ）
A．0
B．1
C．2025
D．2026
【答案】D
【解题思路】利用等差数列的通项公式，得到f (n)的通项，即得答案.
【解答过程】函数在 x ≤0 时定义为 f ( x)=2
x−1，
取 x =0 得：f (0)=2
0−1=1−1=0，
令x =n,n∈N+，得：f (n)= f (n−1)+1，
f (1)= f (0)+1=0+1=1，
则数列{f (n))是以f (1)为首项，1为公差的等差数列，
所以f (n)= f (1)+(n−1)×1=n，
故f (2026)=2026.
故选：D.
6．（25-26 高一上·江苏无锡·月考）若函数f ( x)=
1
❑√−k x
2−2kx +3
定义域为R，则k 的取值范围为（ ）
A．−3<k <0
B．−3≤k <0
C．−3≤k ≤0
D．−3<k ≤0
【答案】D
【解题思路】将函数的定义域转化为k x
2+2kx −3<0恒成立即可．
【解答过程】因为函数f ( x)=
1
❑√−k x
2−2kx +3
的定义域为R，所以−k x
2−2kx +3>0在R 上恒成立，
所以k x
2+2kx −3<0在R 上恒成立.
当k =0时，−3<0符合题意；
当k ≠0时，{
k <0
Δ= 4 k
2+12k = 4 k (k +3)<0)，解得−3<k <0.
综上，实数k的取值范围是(−3,0)；
故选：D.
7．（2025·河南·模拟预测）已知函数f (x)={
−x
2+2ax + 4 , x<0
ln (x +1)+a, x ≥0 )，在R上单调递增，则实数a的取值范围
是（ ）
A．(−∞, 0)
B．[−4 , 0)
C．[0, 4)
D．[4 , + ∞)
【答案】D
【解题思路】根据分段函数的单调性与对数函数，二次函数的单调性求解即可.
【解答过程】因为函数f (x)={
−x
2+2ax + 4 , x<0
ln (x +1)+a, x ≥0 )，在R上单调递增，
所以{
4≤a
0≤a)，即a≥4.
所以实数a的取值范围是[4 , + ∞).
故选：D.
8．（25-26 高一上·重庆·期中）设函数f (x)满足等式f (2 x)−2f(−2
x)=2 x
2−1
x
2 +2, x≠0，则f (x)的值域
为（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−2,+∞)
C．(−∞,1)
D．(1,+∞)
【答案】A
【解题思路】由方程组法求得f (2 x)=−1
x
2 −2，进而得到f (x)=−4
x
2 −2，即可求解.
【解答过程】由f (2 x)−2f(−2
x)=2 x
2−1
x
2 +2, x≠0可得：
f(−2
x)−2f (2 x)= 2
x
2 −x
2+2, x≠0，
两式联立可得：f (2 x)=−1
x
2 −2=−
4
(2 x)
2 −2，
所以f (x)=−4
x
2 −2，x≠0，
因为−4
x
2 <0，
所以f (x)=−4
x
2 −2<−2，
所以f (x)的值域为(−∞,−2)，
故选：A.
二、填空题
9．（2025·上海金山·一模）函数y =
❑√x
2−2 x−3的定义域为 ．
【答案】(−∞,−1]∪[3,+ ∞)
【解题思路】根据题意列出一元二次不等式，求解即得函数的定义域.
【解答过程】要使函数y =
❑√x
2−2 x−3有意义，需使x
2−2 x−3≥0，
解得x ≤−1或x ≥3.
故函数的定义域为(−∞,−1]∪[3,+ ∞).
故答案为：(−∞,−1]∪[3,+ ∞).
10．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)={
2
x，x ≤0
ln x−x
2，x>0)，则f (f (1))=
．
【答案】1
2
【解题思路】利用分段函数的解析式，由内到外逐层计算即可得出f (f (1))的值.
【解答过程】已知函数f (x)={
2
x，x ≤0
ln x−x
2，x>0)，则f (1)= ln1−1
2=−1，
因此f (f (1))= f (−1)=2
−1= 1
2.
故答案为：1
2.
11．（2025·上海长宁·一模）函数y =
1
x−1 , x∈D的值域为(−1,0)∪(0,+∞)，则集合D = ．
【答案】(−∞,0)∪(1,+ ∞)
【解题思路】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可.
【解答过程】令
1
x−1 ∈(0,+ ∞)，解得x∈(1,+ ∞)，
令
1
x−1 ∈(−1,0)，解得x∈(−∞,0)，
则集合D =(−∞,0)∪(1,+ ∞).
故答案为：(−∞,0)∪(1,+ ∞).
12．（2025·河南·模拟预测）已知函数f (x)={
3
x+9, x ≥0,
x +7, x<0,)，则f (f (−5))= ．
【答案】18
【解题思路】根据自变量x的取值范围，代入对应的函数表达式，由内而外计算即可.
【解答过程】因为−5<0，所以将x =−5代入f ( x)= x +7，可得f (−5)=−5+7 =2，
又因为2>0，所以将x =2代入f ( x)=3
x+9，
可得f (f (−5))= f (2)=3
2+9=18.
故答案为：18.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·广东·一模）已知全集为R：f (x)=
1
❑√log2 x−1的定义域为集合A．x
2−2 x−3≥0的解集为集合
B，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．(0,3)
B．[2,3)
C．(2,3)
D．[3,+∞)
【答案】C
【解题思路】求出f (x)的定义域确定出A，求出已知不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．
【解答过程】由f (x)=
1
❑√log2 x−1，得到log2 x−1>0，即log2 x>1=log22，即x>2，
∴A =(2,+∞)，
不等式x
2−2 x−3≥0，变形得：(x−3)(x +1)≥0，
解得：x ≤−1或x ≥3，即B =(−∞,−1¿∪)3,+ ∞¿¿，
∴∁R B =(−1,3)，
则A ∩(∁R B)=(2,3)，
故选：C．
2．（2025·广东汕尾·一模）定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)= f (x−1)，且当x∈(0,2)时，
f (x)={
log2 x ,0< x ≤1,
4
x ,1< x ≤2, )则f(−7
4)=（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．2
D．−2
【答案】D
【解题思路】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可.
【解答过程】f (x +1)= f (x−1)，故f (x)的一个周期为2，
所以f(−7
4)= f(−7
4 +2)= f(
1
4)= log2
1
4 =−2.
故选：D.
3．（25-26 高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数
为“同族函数”，那么函数解析式为y = x
2，值域为{2,3,4)的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．27
【答案】D
【解题思路】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数
及分步计数求“同族函数”个数即可得．
【解答过程】由题可知y = x
2 的值域为 {2,3,4 } ，则 x =± ❑√2 或 ± ❑√3 或 ±2 ，
结合“同族函数“的定义，
则函数定义域分别从 {−❑√2,❑√2},{−❑√3,❑√3},{−2,2} 中各取至少一个数，
所以共有 (2
2−1)×(2
2−1)×(2
2−1)=27 种．
故选：D.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数f ( x)满足f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)−1，则以下结论错误的是（ ）
A．f (0)=1
B．f ( x)+ f (−x)=2
C．f ( x +1)+ f ( x−1)= f (2 x)+1
D．f (1+ x)+ f (1−x)=0
【答案】D
【解题思路】令y = x =0、y =−x，代入已知关系式判断A、B；用x +1, x−1代换x , y判断C；利用特殊
函数f ( x)= x +1判断D.
【解答过程】令y = x =0，有f (0)=2f (0)−1，从而f (0)=1，A 正确；
令y =−x，得f (0)= f ( x)+ f (−x)−1，故f ( x)+ f (−x)=2，B 正确；
由题意得，f ( x +1)+ f ( x−1)−1= f ( x +1+ x−1)，即f ( x +1)+ f ( x−1)= f (2 x)+1，C 正确；
令f ( x)= x +1，则f ( x + y)= x + y +1，f ( y)= y +1，满足f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)−1，
但f (1+ x)+ f (1−x)=1+ x +1+1−x +1= 4≠0，即不满足f (1+ x)+ f (1−x)=0，D 错误.
故选：D.
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (0)=0,f (x)=2−f (3−x),f(
x
3)= 1
2 f (x)，
且当0≤x1< x2≤1时，f (x1)≤f (x2)，则f(
1
666)等于（ ）
A．1
32
B．1
64
C．1
128
D．1
256
【答案】B
【解题思路】利用赋值法得到f (1)=1，f(
1
3)= 1
2，f(
2
3)= 1
2，根据f(
x
3)= 1
2 f (x)，得f (x)= 1
2 f (3 x)，从
而可得f(
1
666)= 1
32 f(
27
74).再由当0≤x1< x2≤1时，f (x1)≤f (x2)，可求出f(
27
74)，从而可求解.
【解答过程】在f(
x
3)= 1
2 f (x)中，令x =3，可得f(
3
3)= 1
2 f (3)= 1
2 [2−f (3−3)),
即f (1)= 1
2 [2−f (0))=1，
所以f(
1
3)= 1
2 f (1)= 1
2.
又f (1)=2−f (3−1)=1，所以f (2)=1,
所以f(
2
3)= 1
2 f (2)= 1
2.
因为f(
x
3)= 1
2 f (x)，所以f (x)= 1
2 f (3 x)，
所以f(
1
666)= 1
2 f(
1
222)= 1
4 f(
1
74)= 1
8 f(
3
74)= 1
16 f(
9
74)= 1
32 f(
27
74).
因为1
3 < 27
74 < 2
3，当0≤x1< x2≤1时，f (x1)≤f (x2)，
所以f(
27
74)≥f(
1
3)= 1
2 ,f(
27
74)≤f(
2
3)= 1
2，
所以f(
27
74)= 1
2，
所以f(
1
666)= 1
32 f(
27
74)= 1
32 × 1
2 = 1
64 .
故选:B.
6．（2025·河南·一模）函数f (x)的值域为正整数集的子集，f [f (x))=3 x(x∈N
∗)，对任意两个不相等的
正整数a，b，都有af (a)+bf (b)>af (b)+bf (a)成立，则f (1)+ f (6)+ f (28)=（ ）
A．54
B．66
C．81
D．89
【答案】B
【解题思路】根据函数单调性结合已知不等式，再应用赋值法计算得出f (1),f (6),f (28)即可求解.
【解答过程】因为af (a)+bf (b)>af (b)+bf (a)，所以(a−b)f (a)−(a−b)f (b)>0，
即(a−b)(f (a)−f (b))>0，设a>b，所以f (a)>f (b)，所以f (x)为N
∗上的单调增函数.
由(a−b)(f (a)−f (b))>0，
令b=1，a= f (1)，则有(f (1)−1)(f [f (1))−f (1))>0.
又f [f (1))=3，所以由不等式得1<f (1)<3，又f (1)∈N
∗，所以f (1)=2①.
因为f (1)=2，所以f (2)= f [f (1))=3，f (3)= f [f (2))=6，f (6)= f [f (3))=9②.
f (9)= f [f (6))=18，f (18)= f [f (9))=27，f (27)= f [f (18))=54，
f (54)= f [f (27))=81，
由于f ( x)是N
∗上的单调增函数，所以f ( x +1)≥f ( x)+1.
因此f (54)= f (27+27)≥f (27)+27 =54 +27=81.
因为已求得f (54)=81，所以上述不等式取等号，
这意味着当x∈{27,28,…,53}时，都有f ( x +1)= f ( x)+1.
所以f (28)= f (27)+1=54+1=55.所以f (28)=55③.
综合①②③有，f (1)+ f (6)+ f (28)=2+9+55=66.
故选:B.
二、填空题
7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√2k x
2+kx + 3
4
的定义域为实数集R，则实数k的取值范围
为
.
【答案】[0,6)
【解题思路】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【解答过程】要使f (x)有意义，则有2k x
2+kx + 3
4 ≥0，
∵函数f (x)的定义域为实数集R，∴2k x
2+kx + 3
4 ≥0在R上恒成立，
当k =0时，3
4 ≥0，恒成立；
当k ≠0时，则有{
2k >0
Δ=k
2−4×2k × 3
4 ≤0)
，解得0<k ≤6；
综上，实数k的取值范围为[0,6).
故答案为：[0,6).
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在区间[0,+∞)上的函数y = f (x)满足下列三个条件：
①对任意的x>0, y >0，总有f ( x + y)= f ( x⋅f ( y))⋅f ( y)成立；
②f (2)=0；
③当0< x<2时，总有f ( x)≠0，
那么，f (3)+ f(
1
2)= .
【答案】4
3
【解题思路】令x =1，y =2，结合f (2)=0可求f (3)；再令x = 3
2 , y = 1
2，结合②③可得f(
1
2)≥4
3 ，再令
x =
2
f(
1
2)
, y = 1
2，可排除f(
1
2)> 4
3 ，于是得：f(
1
2)= 4
3 .
【解答过程】先求f (3)的值，在①中令x =1, y =2可得，f (3)= f (1+2)= f (1⋅f (2))⋅f (2).
由②知，f (2)=0，所以f (3)=0×f (0)，所以f (3)=0.
再求f(
1
2)的值，在①中令x = 3
2 , y = 1
2可得，
0= f (2)= f(
3
2 + 1
2)= f(
3
2 ⋅f(
1
2))⋅f(
1
2).
又由③知，f(
1
2)≠0，所以f(
3
2 ⋅f(
1
2))=0.
依题意可得3
2 ⋅f(
1
2)≥2⇒f(
1
2)≥4
3 ，
但是若f(
1
2)> 4
3 ，则在①中令
x =
2
f(
1
2)
, y = 1
2，
可得f(
2
f(
1
2)
+ 1
2)
= f(
2
f(
1
2)
⋅f(
1
2))
⋅f(
1
2)= f (2)f(
1
2)=0
.
注意到
2
f(
1
2)
+ 1
2 < 2
4
3
+ 1
2 =2
，故由③可得
f(
2
f(
1
2)
+ 1
2)
≠0
，二者矛盾.
所以f(
1
2)= 4
3 .
所以f (3)+ f(
1
2)=0+ 4
3 = 4
3 .
故答案为：4
3 .
