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专题2.1 平面向量在几何中的应用
目录
类型一：平面向量中的三角不等式........................................................1
类型二：平面向量中三角形的外接圆....................................................4
类型三：平面向量中的射影问题............................................................6
类型四：平面向量中的垂直关系............................................................7
类型五：平面向量中隐含的圆..............................................................14
类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题..................................15
类型七：平面向量与平面几何..............................................................22
类型一：平面向量中的三角不等式
1．已知非零向量
，则“
与
共线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合
余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性．
【详解】已知非零向量
，
若“
与
共线”：
当
时，
，则
，故充分性不成立；
若
：
则
，即
，化简得
，
，
，即
，
，
，即
，
与
共线，必要性成立；
故“
与
共线”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
2．在
中，“
为锐角”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量的运算及充分必要条件的定义即可判断；
【详解】对于充分性，若
为锐角，则
，
所以
，即
，故充分性正确；
对于必要性，若
，两边平方得
，即
，
所以
，又因为
是
的内角，所以
为锐角，故必要性也成立.
所以 “
为锐角”是“
”的充分必要条件.
故选：A
3．已知
均为非零向量，其夹角为
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积的定义及运算律，以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若
，则
，则
所以
，因此充分性成立.
若
，则
，
即
，即
，
从而
，即
，因此必要性成立.
故“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
4．已知
为原点，复数
在复平面内对应的点分别为
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和
必要条件的概念依次判断即可得到结果.
【详解】设
，则
，
若
，则
，
即
，
所以
，
，充分性成立；
若
0，则
，又
，
所以
，
即
，必要性成立．
综上所述，“
”是“
”的充要条件．
故选：C．
5．已知
是两个非零向量，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】令
，
，则由题意可得
，即
，由向量加法、减
法的几何意义可得
，结合不等式即可求解.
【详解】由题意，令
，
，所以
，
，
所以
，由向量加法、减法的几何意义可得
，
所以
，
所以
，当且仅当
，且
时取等
号，
所以
的最大值为
.
故选：B.
6．若向量
满足
，且对任意的单位向量
，求
的最大值
和最小值．
【答案】最大值为
，最小值为
【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果。
【详解】先求最大值．
解法1：由题意知
，
则
，从而
，所以
．
平方得
，所以
．
解法2：如图，易知
，
在
中，有
，得
．
再求最小值．
易得
，
则
，从而
，所以
．
平方得
，所以
．
综上知
的最大值为
，最小值为
．
类型二：平面向量中三角形的外接圆
1．已知O 为△ABC 的外接圆的圆心，
，
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算、共线向量基本定理及圆的性质推理计算即得.
【详解】当
与
不共线时，如图设AC 中点为D，由
，
因
，则B，O，D 三点共线，由圆的性质知
，
故
.
当
与
共线时，由
和
可得
,
但此时
是圆的直径，则
,与题设不符.
综上，可得
.
故选：B
2．已知
为
的外接圆圆心，
，
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据已知画出示意图，利用向量数量积的运算律有
，再
应用数量积的定义、数形结合求最值.
【详解】如图所示，因为
为
的外接圆圆心，
，
，
所以
，且
，
所以
，
所以当
反向共线时，
取到最大值
.
故选：D
类型三：平面向量中的射影问题
1．如图所示，在边长为4 的正八边形
中，点
为正八边形的中心，点
是其
内部任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正八边形
的边长为4，求出外接圆的半径
和内切圆的半径
，再根据平面向量的数量积求出
的最小值和最大值，即可得出结果
【详解】正八边形
中，
，
所以
，
，
连接
，过点
作
，交
、
于点
、
，交
于点
，
设
，
中，由余弦定理得，
，
△OAF 中，
，
所以
，解得
，
，解得，
所以
，
当
在
上的投影点与
重合时，
在
上的投影向量为
，
此时
取得最小值为
，
当
在
上的投影点与
重合时，
在
上的投影向量为
，
此时
取得最大值为
，
因为点P 是其内部任意一点，所以
的取值范围是
．
故选：A．
类型四：平面向量中的垂直关系
1．设
为两个非零向量
所成的角，已知对任意
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】令
，根据向量减法及模的几何意义得
即为线段
的长度，数形结合得
，即可求夹角.
【详解】令
，如下图示，
即为线段
的长度，
由对任意
，
的最小值为
，即
，而
，
显然
时，线段
最短，此时
，
所以
，又
，故
或
.
故选：C
2．设
为非零不共线向量，若
，
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量模的几何意义以及向量运算的几何意义，数形结形即可求解.
【详解】
．
如图，设
，
，
，
则点
在直线
上移动，且
．
因为
，
即
，
所以
是
的最小值，故
，即
.
故选：D.
3．已知
，平面上动点
满足
对任意
恒成立，则
的最小值
为 .
【答案】7
【分析】利用向量的线性运算可得
，即动点
到定直线的距离恒为
，再利用极化
恒等式即可求解
.
【详解】
设直线
上有一动点
，满足
，则
，
由此可得点
到直线
的距离为
，
取
中点为
，如图，
则
，
此时
.
所以
的最小值为7.
故答案为：7
4．已知向量
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】先由向量线性运算法则得
、
、
所在有向线段构成等边三角形，再作图数
形结合即可求解.
【详解】因为
，
由向量线性运算法则可得
、
、
所在有向线段构成等边三角形，如图，
设
，
，
，则
为等边三角形，
取D 为AB 的中点，则
方向为
的方向或反向，且
，
因为
，以C 为起点，
方向或反向作
，
结合图象可知
的最小值为
．
故选：C
5．已知平面向量
，且
.已知向量
与所成的角为
，且
对任意
实数恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：
对任意实数恒成立，故
，解得
.利用绝对值的三
角不等式即可求解.
【详解】由题可知
.
由
，两边同时平方得
，化简整理得
.
因为
对任意实数恒成立，所以
对任意实数恒成立，
所以
，所以
.
所以
，
当且仅当向量
与
方向相反时等号成立，所以
的最小值为
.
故选：D.
6．（多选题）若平面向量
满足
，
，且
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】方法一，由向量
方向间的关系，判断
的最大值和最小值；由
，通过
的最值，计算
的最值.
方法二，由题意设
，取
，将向量的模用三角函数
表示即可求解.
【详解】方法一，由
，得
，
则当向量
方向相同，且与方向相反时，
有最小值，为
；
当向量
方向相同时，
有最大值，为
．A，B 正确．
由
，得
，所以
，
所以
方向相同时，
取最小值
取最小值3；
当
方向相反时，
取最大值
取最大值
．C 错误，D 正确．
方法二，由题意，设
，
则由
得
，
若取
，
则
，
若取
，则
所以C 错误，A，B，D 正确．
故选：ABD.
7．已知非零向量
，
的夹角为
，且
，若对任意的
，恒有
，
则
（
）的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出
，利用已知条件化简求出
，代入
，将其转化为
求点
到点
，
的距离之和的最小值，最后利用两点之间，线段最
短的性质求最小值．
【详解】
非零向量
，
的夹角为
，且
，
，
，
，即
，
对任意的
，恒有
，
，即
，则
，
，
表示点
到点
，
的距离之和，
取点
关于x 轴的对称点
，则
，如下图所示，
当点A，P，C 共线时
最小，最小值为
，
（
）的最小值为
．
故答案为：
．
8．已知向量
满足
，且对任意的
，都有
，则
的最大
值是 ．
【答案】12
【分析】首先由数形结合可得
进而得到
，再根据基本不等式即
可求解.
【详解】因为对任意
，都有
，如图，由图可知，
，又
，所以
，
又
，
所以
，即
，所以
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
的最大值是12．
故答案为：12
16．已知向量
满足：
为单位向量，且
和
相互垂直，又对任意
不
等式
恒成立，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直及数量积运算律得
，令
，
，
，则
，
，结合不等式恒成立及对应几何意义得
，进而有
，最后应用向量数量积的运算律得到
关于
的表达式求最值.
【详解】由题设
，又
，则
，
令
，
，
，则
，
，
由
，即
恒成立，数形结合易知
，
所以
，得
，
，其对称轴为
，
所以
，则
.
故答案为：
类型五：平面向量中隐含的圆
1．已知平面内的三个非零向量
、
、满足
，且
，则当
取得最大值时，
.
【答案】
【分析】令
，根据已知易得
是边长为2 的等边三角形，原点
在以
为直径的圆周上（不与
重合），再由条件确定
的位置，进而求
即可
得.
【详解】令
，
由
，所以
是边长为2 的等边三角形，
且
，则原点
在以
为直径的圆周上（不与
重合），
为圆心，如下图示，
若
，则
，
所以要使
最大，只需
尽量小，且
点在其轨迹的左上部，
所以，仅当
与
点轨迹左上部相切时
最小，即如图中
时，
最小，
由
，故
.
故答案为：
2．在平面内，定点
满足
，
，
动点
满足
，
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题可得
，因此
两两夹角为
，三
角形为等边三角形，点
是三角形的中心，所以建立直角坐标系，根据
，得到
的
轨迹方程为圆，得到
的坐标，进一步可得结果.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以可得
，
,
所以
，因此
两两夹角为
，
，
所以
即
，同理
，
故三角形
为等边三角形，点
是三角形的中心，
如图所示建立直角坐标系，
则
,
设
，因为动点
满足
，
，
所以
的轨迹方程为
，且
所以
，当且仅当
时，
有最大值为
.
故答案为：
.
3．已知平面向量
，
，满足
，
，则
的最小值
为 ．
【答案】
【分析】由条件设
，
，并令
，
，
，则可得点
在以
为圆心、1 为半径的圆上，并且
，取
，构造阿氏圆，
利用三角形三边关系可得结果.
【详解】由于
，不妨设
，
，且
，
，
，其中
为坐标原点，
又
，则点
在以
为圆心、1 为半径的圆上，设
，则
，
，
取
，则
故
,
则
，当
，
，
三点共线时取到最小值．
故答案为：
4．已知平面向量
，
，，
，
，
，则
的取值范围
．
【答案】
【分析】设
，
，
，求得
，在线段
的延长线上取点
，
使
，在线段
上取点
，使
，利用阿氏圆性质得到
，
结合图形推得
，
，从而将
转化成
，得到
动点
的轨迹为以
，
为焦点的椭圆，要求
的范围，即是求椭圆在膨胀
过程中的长轴长的范围问题，考虑
两个临界位置求出
的范围，即得答案.
【详解】如图，设
，
，
，则
，
，
由
可得
，则
.
在线段
的延长线上取点
，使
，在线段
上取点
，使
，
根据阿氏圆的性质有
，
结合图形知
，
，
则
，
因点
，
关于直线
对称，故可将其理解为圆上的动点到两定点的距离之和，
设
，
，
因
，则动点
的轨迹为以
，
为焦点的椭圆，
要求
的范围，即是求椭圆在膨胀过程中长轴长的范围问题.
由图知，椭圆先经过点
，最后经过点
.
设椭圆的短半轴长为
，当椭圆经过点
时，因
，
，
此时
；
当椭圆经过点
时，
，
，此时
.
故
的取值范围是
，即
的取值范围为
.
故答案为：
5．已知在
中，
，
，
是线段
上的动点，且
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】解法1：设
的中点为
，可得
，再利用向量数量积的几何意义
（向量的投影）即可求解
的取值范围；
解法2：设
，以
为原点，
所在直线为
轴建立直角坐标系，表示出各点坐
标，利用向量的坐标运算求解.
【详解】解法1：如图，设
的中点为
，则
，
因为
，
又
，所以
，则
，
由
得
，
因为
，所以
，其中
，
即
在
上的投影为
，结合图形对称性不妨设
在线段
上运动，
则
要大于投影长度
，
过
作
交
于
，所以
，
则
为
的中点，由于
，
所以
当
与
重合时，
取最大值
，
故
．
解法2：设
的中点为
，因为
，
又
，所以
，则
，
设
，以
为原点，
所在直线为
轴建立直角坐标系，
则
，
，设
，
所以
，
，
则
．
因为
，即
所以
，因为
，解得
，
将
代入可得
，
又
，则
，所以
．
6．已知
，
，
，对给定的向量
，设
的最大值为
，最
小值为
，对任意的向量
，求
的最小值.
【答案】
【分析】由题可知，构造图形知点
在以
为直径的圆上，然后分别求得
，
，最后计算即可.
【详解】由于
，设
,
所以向量
构成底边长为1 的等腰
，即
，如图.
由
，可得
，即知点
在以
为直径的圆上，
对任意给定的向量
，
，
，
所以
，
故所求最小值为
.
7．
起点重合，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式，可得
，根据求模公式，可得
，根据题意，
化简可得
，根据
，结合一元二次不等式的解法，
即可得答案.
【详解】由题意
，
，则
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
整理得
且
（恒成立），
解得
，即
的最大值为
.
故选：D
8．已知非零平面向量
，
，
是单位向量，
，且
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】根据给定条件可得
，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的
点到射线距离最小值求解.
【详解】由
是单位向量，
，得
，即
，
作向量
，则
，
点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
由
，得
，作向量
，
，
过
作射线
的垂线
，垂足为
，
所以
.
故选：D
9．已知非零平面向量
、
、，满足
，
，若
与
的夹角为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】明确
的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解.
【详解】如图：
令
，
，
.
则
，
.
又
，所以点
在以
为圆心，2 为半径的圆上.
所以
的最小值为：
.
又
，
，所以当
时，
取得最小值为
.
所以
的最小值为：
.
即
的最小值为
.
故选：A.
10．已知
，
均为单位向量，与
，
共面的向量满足
，则
的
最大值为 .
【答案】
【分析】由题可得
，根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即
可.
【详解】由题可得
，
所以
，
如图，设
，
则
，可得
，
则点
在以
为直径的圆
上运动，
由图可得，当
时，
，
设
，则
，
所以当
时，
取得最大值为
.
故答案为：
.
类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题
1．已知
中，
，
，P 是
所在平面内的任意一点，且满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可得
，建立平面直角坐标系，根据
，设出点P 坐标，利用
数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解．
【详解】在
中，由
，可得
，
根据
，得
，
，
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则
，
，
，则
，
设
为平面内满足
的点，
则有
，
，
则
，
由于P 在单位圆上，可设
，
，
则
，
故
的取值范围为
故选:A
2．已知
，
，
，
，
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，
，
，
，
将题干翻译成对应点的轨迹，再根据平面几何知识即可求解.
【详解】如图：不妨设
，
，
，
，
，
又
，即
，
也即动点
到两定点
的距离之和等于
，故点
的轨迹为线段
，
又因
，即
，即
，
故点
的轨迹是以点
为圆心，半径为1 的圆，
而
，
当且仅当
为
的延长线与圆
的交点时等号成立（即图中的
或
处），
故要求
的最大值，只需求
的最大值，由图可知，当
与
或
重合时
最大，
此时
，故
的最大值为
.
故选：D
3．已知在等腰梯形
中，
，
是腰
上的动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则
,
则
,
，所以
，
故
，
故
，
由于
，故
，故
，
故选：C
4．如图，已知点
在半径为1 的上半圆上运动，
，以
为边作正方形
，点
在
轴上方,求
的取值范围．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算得点
的轨迹即可求解.
【详解】设
，则
，
，
，
．
将
逆时针旋转
，则
，
则有
即
所以点
的轨迹方程为
．
所以
，
因为
的范围是
，所以
的范围是
，
所以
的范围是
，所以
的取值范围是
，
所以
的范围是
．
5．已知向量
满足
，记
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的模长公式可得
，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得
点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为
，所以
．又
，
所以
，解得
．因为
，
所以
．
建立如图所示的直角坐标系
，
设
，
因为
，所以
，整理得
，
即
点的轨迹是：圆心为
，半径为2 的圆．
设
，则点
在直线
上运动，则
，
令点
到直线
的距离为
，则
，无最大值，
故选：B．
6．已知
、
、均为平面向量，且
，若
对任意实数
恒成立，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】借助模长与数量积的关系结合根的判别式可得
，设
、
、
，再利用向量坐标运算可得
，最后利用几何
性质计算即可得.
【详解】由
，则
，
即有
，
化简得
，
则有
，
即
，则
，
则
，即
，
可设
，
，
，
则
，
故
，
设点
、
、
，
则点
在圆
上，
又
，
，
则
，
，即
，
则
，故圆
与线段
无交点，
则当点
是以
、
为焦点的椭圆与圆
相切的切点时，
取最小，
由线段
垂直平分线为
，即
，
该直线过原点，故点
、
关于
对称，圆
关于
对称，
联立
，解得
或
，
则当点
为
时，
取最小，
此时
，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
15．已知
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】由题意首先得出
为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边
关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设
，
满足
，
，
，
又
，即
，
由椭圆的定义可知点
在以
为焦点，长轴长为4 的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为
，
而
，即
，即
，
这表明了点
在圆
上面运动，其中点
为圆心，
为半径，
又
，等号成立当且仅当
三点共线，
故只需求
的最大值即可，
因为点
在椭圆上面运动，所以不妨设
，
所以
，
所以当
且
三点共线时，
有最大值
.
故答案为：
类型七：平面向量与平面几何
1．在
中，
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】延长AM 至D，使得
，连接
，证明
，由
推得
，设
，则得
，利用余弦定理得到
，根据基本不等式求得
，即得
的最大值.
【详解】
如图所示，延长AM 至D，使得
，连接
，
因
，且
，则可得
，
于是
，
，则
，因
，则
.
设
，则
，
.
在
中，由余弦定理，
，
即
，即
，
因
，则得
，当且仅当
时等号成立，
则得
，解得
，
即当
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
2．在
中，
，
，
，若点
满足
，
则
的正切值为 ．
【答案】
【分析】根据题设条件可得
为
的费马点，如图，以
为边作等边三角形
可
证
,再过点
作
交
于
,在
中，即可得出
的正切值
【详解】根据题意，
,
,
方向上的单位向量之和为零向量，
结合向量加法几何意义，易知
,（
为
的费马点）,
如图，以
为边作等边三角形
,过点
作
交
于
,
则
,故
,
,
,
四点共圆，
故
，且
，故
,
故
,故
在
中，
,
,
所以
.
故答案为：
