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专题1.2 三角形中的中线、角平分线和高线问题
目录
知识梳理..................................................2
1.
为中线（定比分点）..............................................................................................2
2.
为角平分线..............................................................................................................2
3.
为高线......................................................................................................................2
典例分析..................................................3
一、中线问题....................................................................................................................3
二、定比分点问题............................................................................................................3
三、角平分线问题............................................................................................................4
巩固练习..................................................5
知识梳理
1.
为中线（定比分点）
①向量法：若
，则
.
②双余弦（互补角或相同角）
互补角：利用
；
相同角：利用
和
的同一个角
使用余弦定理.
③中线利用平行四边形法则：平行四边形四边和的平方等于两条对角线的平方和.
2.
为角平分线
①角平分线定理：
；
②面积法：
.
特别的，当
时，
.
3.
为高线
①面积法
②直角三角形边角关系
注：很多方法都是通用的，例如：向量法，双余弦法，面积法等
典例分析
一、中线问题
【例1】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，且
边上的中线
，求
的面积.
（双余弦法（邻角、同角）、向量法、倍长中线法、平行四边形法则）
【详解】
（1）由
，得
，即
.
（2）法一：（向量法）由余弦定理
，即
.
而
，得
，
即
，解得
.
故
.
法二：（倍长中线法）延长中线至点
，使得
.
在
中，
，
由余弦定理得
，
即
，余下同法一.
法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即
，即
.余下同法一.
法四：（双余弦法）由
，利用余弦定理得
，
即
，即
.余下同法一.
【分析】无论是那种方法均可得到两个等式，一个是余弦定理所得的等式，另一个是
不同方式骏可得到同一个等价的式子，通过两个方程解
.
二、定比分点问题
【例2】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，且
边上的
满足
，
，求
的面积.
【详解】
（1）由例1 得
.
（2）法一：（向量法）由余弦定理
，即
.
而
，得
，
即
，解得
.
故
.
法二：（双余弦法）由
，利用余弦定理得
，
即
，即
.余下同法一.
【分析】中点问题是定比分点的特例，因此两个问题的通性通法为向量法和双余弦法.
三、角平分线问题
【例3】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，
的平分线交边
于点
，且
，求
的面积.
【详解】
（1）由例1 得
.
（2）由余弦定理
，即
.
利用
，即
化简得
.
计算可得
，故
.
巩固练习
1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，
.
(1)分别求出角
，边的长度；
(2)求
的角平分线
长度.
2．在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
3．在
中，内角
的对边分别为
，且
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
边上中线的长．
4．已知锐角三角形
的内角
所对的边分别为
，若向量
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若点
在边
上，
平分
，
，试求
的最大值.
5．在
中，角
的对边分别是
，且
.
(1)求角
；
(2)若
的中线
长为
，求
的最大值.
6．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
；
(2)若
的角平分线交边
于
，且
，
，求
的面积.
7．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，记
边上的高为，求的最大值．
8．在
中，内角
所对的边分别是
且
.
(1)求
；
(2)已知
的角平分线
交
于点
.若
，
.求
面积及
的
长.
9．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求；
(2)若D 为AB 中点，
，
，求
的面积.
10．在
中，内角
，
，
的对边分别是
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的角平分线并与
交于点
，且
，求
面积的最小
值.
11．在
中，角
所对的边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)若
是边
上靠近
的三等分点，
，
，求
的面积；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围.
12．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求
；
(2)若
的平分线与BC 交于点
，求AD.
13．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的值；
(2)若
的面积为
，
的平分线
交
于
，求线段
的最大值．
14．记
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
为
边的中点，求
的长.
15．在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
是边
的中点，
，
，求
的面积；
16．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，
.
(1)求；
(2)设
为
边上一点，且
，求
的面积.
17．记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)记
的中点为
，若
，且
，求
的周长．
