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4.5 正余弦定理的综合运用考点一 三角形的角平分线、中线与高
【例1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ 中，点D在 边上， 平分 ， ， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，已知 ，当边BC的中线 时，
的面积为 ．
【例1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的中线 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2024·河北·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 的平
分线 的长为 ，则 边上的高线 的长等于（ ）
A． B．
C．2 D．
【一隅三反】
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ，
， 的平分线交边AC于点D，且 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．2．（2024湖北·阶段练习）已知 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， 为 的中点，求中线 的取值范围.
3．（2024·吉林延边·一模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且 ，求 ．
4．（2024·江西宜春·三模）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， 的周
长为15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段CD的长．考点二 三角形的周长与面积的取值范围
【例2-1】（2024·全国·二模）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，且 ，则 ABC周长的△最大值为（ ）
△
A． B． C． D．
【例2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则 面积的最大值为 .
【例2-3】（2024·陕西·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，则 的面积S的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）在① ；② 两个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在 中，内角 所对的边分别是 ，且
______．
(1)求角 的大小；
(2)若点 满足 ，且线段 ，求 面积的最大值．
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
4．（2024·四川德阳·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
考点三 取值范围
【例 3-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，
，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，
则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．【一隅三反】
1．（2024上海·期末）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 是 、 的等比中项，则角
的最大值为 ．
2．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且 ．
(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与 构成一个四边形ABDC，且 ，若 ，求AD的最大值．3．（2024·全国·模拟预测）在① ，② ，③ 的面积为
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，______．
(1)求 ；
(2)已知 是 的平分线与 的交点，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点四 正余弦定理与三角函数的性质
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，将 的图象横坐标变为原来的 ，纵
坐标不变，再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.【一隅三反】
1．（2024北京昌平·期末）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
2．（2024湖南常德·期中）已知向量 .
(1)求 的取值范围；
(2)记 ，在 中，角 的对边分别为 且满足 ，求函数 的值
域.3．（2024重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，求
的值.
考点五 正余弦定理在几何中运用
【例5-1】（2024福建三明·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
.（1）若 ，求 ；
（2）记 ，当 为何值时， 的面积有最小值？求出最小值.
【一隅三反】
1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 中， ， ， .
(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径为4.
(1)若 ， ，求 的面积；(2)若 ，求 的最大值.
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ． 的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
考点六 证明题与存在性
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
【例6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9.
【一隅三反】
1.（2024山西运城） 中，内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，已知.
(1)求 ；
(2)已知 的平分线交 于点 ，从以下三个条件中选择两个，使 唯一确定，并求 和 的长
度.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
2．（2024·浙江金华）记 的内角 的对边分别为 .已知 .
(1)求 ；
(2)证明： .3（2024广东）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
考点七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，角
B为钝角．
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 ， ， 为 的___________，求 的面积．【一隅三反】
1．（2024·安徽）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求 的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
2．（2024四川内江） 的内角A，B，C所对的边分别为 ．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；
②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．3．（2024·广东广州）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 ， ， 为 的___________，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.一．单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）在 中， 边上的高等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024江苏宿迁·期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 的
形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3．（2024·山东日照·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海·一模）在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，E，F分别为AD，BC
的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在 中， ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 边上的中线长为2 B． 为锐角三角形
C． D． 的周长为12
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 三个内角 、 、 的对应边分别为 、、 ，且 ， .则下列结论不正确的是（ ）
A． 面积的最大值为
B．
C． 的最大值为
D． 的取值范围为
8．（2024·全国·模拟预测）已知 外接圆的半径为 ， 为边 的中点， ， 为钝角，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图， 的角 所对的边分别为 ， ，且
，若点 在 外， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形 面积的最大值为
D．四边形 面积的最大值为10．（2024黑龙江佳木斯·期中）已知 ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 ，c=2．
△
则下列结论正确（ ）
A． ABC面积的最大值为 B． 的最大值为
△
C． D． 的取值范围为
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角 三个内角 的对应边分别为 ，且 ．则
下列结论正确的是（ ）
A． 的面积最大值为
B． 的取值范围为
C． 的值可能为3
D． 的最小值为
三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 的最大值为 .
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角 中， ，角A的角平分线交 于点 ， , 则
的取值范围为 .
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D为 的边AC上一点， ， ，
，则 的最小值为 .
四．解答题15．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；条件②：
；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个条件计分.
16．（2024·全国·模拟预测）在 中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证： ．17．（2024·山东青岛·期中）已知函数 ，若锐角 的内角 所对的边
分别为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围；
(3)在 中， ，其外接圆 直径为 （如图）， ，求 和 ．
18（2024湖南·阶段练习）已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中 百米，
百米， ， ，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、
BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若 ，求排水沟BD的长；
(2)若 ，试用 表示4条人行道的总长度．
